小樽商科大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
sukyojuku_adminこんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。
今回は、小樽商科大学 2013年度（前期日程）の数学入試問題を徹底解説していきます。小樽商科大学は北海道小樽市に本部を置く、国内唯一の社会科学系単科国立大学です。「実学・語学・品格」を教育理念とし、ビジネスの最前線で活躍する人材を輩出し続けています。
この記事では、2013年度の数学入試問題を大問ごとに丁寧に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習まで、合格に必要なすべてを網羅しています。一緒に攻略していきましょう！
試験概要・難易度
試験形式
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 100分 |
| 配点 | 200点 |
| 出題形式 | 大問3題構成（小問集合＋記述式） |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・A・B |
| 解答形式 | 穴埋め式＋記述式 |
2013年度の全体講評
2013年度の小樽商科大学数学は、全体的に標準〜やや易レベルの出題でした。大問1は穴埋め形式の小問集合で、基本的な計算力と公式の理解を問う問題が中心です。大問2・大問3は記述式で、論理的な思考力と答案作成能力が求められました。
特徴的だったのは、2013という年号を使った問題が出題された点です。入試年度にちなんだ数字を問題に織り込むのは、受験生にとって印象深い出題となります。
全体として、教科書レベルの基本事項をしっかり押さえていれば高得点が狙える年度でした。ただし、計算ミスをすると大きく失点するため、丁寧な計算力が合否を分けたと言えるでしょう。
難易度評価
- 大問1：★★☆☆☆（基本〜標準）
- 大問2：★★★☆☆（標準）
- 大問3：★★★☆☆（標準）
目標得点：合格を確実にするなら、140点〜160点（70%〜80%）を目指しましょう。
大問1：小問集合（基礎計算・最大値・三角関数・整数）
問題
次の□の中を適当に補って、それを答案用紙に書け。証明や説明を書かないこと。
(1) 実数 x, y が 2x + y = 2013 を満たすとき、xy の最大値を求めると (a) である。
(2) sin θ + cos θ = 1/2 のとき、sin θ cos θ の値は (b) であり、sin³θ + cos³θ の値は (c) である。
(3) 2以上の整数 n に対し、log₁₀ n の整数部分が k であるような n の個数を aₖ とおく。このとき、aₖ を k を用いて表すと aₖ = (d) であり、Σ(k=1 to 5) aₖ = (e) である。
解説・解法のポイント
(1) 条件付き最大値問題
【方針】制約条件 2x + y = 2013 のもとで xy を最大化する問題です。相加平均・相乗平均の不等式を使うか、1文字消去して2次関数の最大値問題に帰着させます。
【解法1：1文字消去法】
条件 2x + y = 2013 より、y = 2013 - 2x
これを xy に代入すると：
xy = x(2013 - 2x) = -2x² + 2013x
これは x の2次関数で、下に凸の放物線を上下反転させた形（上に凸）です。
最大値を取る x の値は：
x = -2013/(2×(-2)) = 2013/4
このとき：
xy = -2(2013/4)² + 2013 × (2013/4)
= -2 × 2013²/16 + 2013²/4
= -2013²/8 + 2013²/4
= -2013²/8 + 2×2013²/8
= 2013²/8
= 4052169/8
答え：(a) = 2013²/8 = 4052169/8
【別解：相加平均・相乗平均の不等式】
x > 0, y > 0 の場合を考えます（xy が最大となるのは x, y がともに正のとき）。
2x + y = 2013 において、相加平均・相乗平均の不等式より：
2013 = 2x + y ≥ 2√(2xy)
2013 ≥ 2√(2xy)
2013/2 ≥ √(2xy)
2013²/4 ≥ 2xy
xy ≤ 2013²/8
等号成立は 2x = y のとき。このとき 2x + 2x = 2013 より x = 2013/4, y = 2013/2
(2) 三角関数の対称式
【方針】sin θ + cos θ の値から、sin θ cos θ や sin³θ + cos³θ を求める典型問題です。対称式の変形公式を使います。
【解法】
sin θ + cos θ = 1/2 の両辺を2乗すると：
(sin θ + cos θ)² = 1/4
sin²θ + 2sin θ cos θ + cos²θ = 1/4
1 + 2sin θ cos θ = 1/4
2sin θ cos θ = 1/4 - 1 = -3/4
sin θ cos θ = -3/8
答え：(b) = -3/8
次に sin³θ + cos³θ について：
因数分解公式 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)((a + b)² - 3ab) を使います。
sin³θ + cos³θ = (sin θ + cos θ)(sin²θ - sin θ cos θ + cos²θ)
= (sin θ + cos θ)(1 - sin θ cos θ)
= (1/2)(1 - (-3/8))
= (1/2)(1 + 3/8)
= (1/2)(11/8)
= 11/16
答え：(c) = 11/16
(3) 対数と整数問題
【方針】log₁₀ n の整数部分が k であるとは、k ≤ log₁₀ n < k + 1 を満たすことです。これを指数形式に変換して、n の範囲を求めます。
【解法】
log₁₀ n の整数部分が k であるとき：
k ≤ log₁₀ n < k + 1
10を底とする指数に直すと：
10^k ≤ n < 10^(k+1)
n は2以上の整数なので、この範囲にある整数 n の個数 aₖ は：
aₖ = 10^(k+1) - 10^k = 10^k(10 - 1) = 9 × 10^k
答え：(d) = 9 × 10^k
Σ(k=1 to 5) aₖ を計算します：
Σ(k=1 to 5) aₖ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅
= 9×10¹ + 9×10² + 9×10³ + 9×10⁴ + 9×10⁵
= 9(10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000)
= 9 × 111110
= 999990
または、等比数列の和の公式を使って：
Σ(k=1 to 5) 9×10^k = 9 × 10 × (10⁵ - 1)/(10 - 1)
= 90 × (100000 - 1)/9
= 10 × 99999
= 999990
答え：(e) = 999990
別解・発展
【(1)の発展】この問題は「ラグランジュの未定乗数法」を用いても解けます。大学数学の先取りとして理解しておくと、より深い理解が得られます。
f(x, y) = xy を g(x, y) = 2x + y - 2013 = 0 の制約下で最大化する問題として、∇f = λ∇g を解きます。
【(2)の発展】sin θ + cos θ = 1/2 を満たす θ の値を具体的に求めることもできます。t = sin θ + cos θ = √2 sin(θ + π/4) = 1/2 より、sin(θ + π/4) = 1/(2√2) となります。
【(3)の発展】この問題は「桁数」の問題と関連しています。n が k+1 桁の整数であることと、log₁₀ n の整数部分が k であることは同値です。したがって、k+1 桁の正の整数の個数は 9×10^k 個です。
大問2：整数と三角関数の融合問題
問題
次の問いに答えよ。
(1) 整数 n を 12 で割った余りが 1 であるとき、n² を 12 で割った余りを求めよ。
(2) 0 ≤ θ < 2π において、sin 2θ + sin 3θ = 0 を満たす θ の値をすべて求めよ。
(3) 整数 a, b が a² + b² = 100 を満たすとき、(a, b) の組をすべて求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 整数の剰余と平方
【方針】n を 12 で割った余りが 1 であることを数式で表し、n² の余りを求めます。
【解法】
n を 12 で割った余りが 1 であるとき、ある整数 k を用いて：
n = 12k + 1
と表せます。これを2乗すると：
n² = (12k + 1)²
= 144k² + 24k + 1
= 12(12k² + 2k) + 1
12k² + 2k は整数なので、n² を 12 で割った余りは 1 です。
答え：1
(2) 三角方程式（和積変換）
【方針】sin 2θ + sin 3θ = 0 を和積の公式で変形するか、因数分解して解きます。
【解法】
和積の公式：sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2) を使います。
sin 2θ + sin 3θ = 2 sin((2θ + 3θ)/2) cos((2θ - 3θ)/2)
= 2 sin(5θ/2) cos(-θ/2)
= 2 sin(5θ/2) cos(θ/2) （cos は偶関数なので）
したがって：
2 sin(5θ/2) cos(θ/2) = 0
sin(5θ/2) = 0 または cos(θ/2) = 0
【sin(5θ/2) = 0 の場合】
5θ/2 = nπ （n は整数）
θ = 2nπ/5
0 ≤ θ < 2π の範囲で：
n = 0：θ = 0
n = 1：θ = 2π/5
n = 2：θ = 4π/5
n = 3：θ = 6π/5
n = 4：θ = 8π/5
【cos(θ/2) = 0 の場合】
θ/2 = π/2 + mπ （m は整数）
θ = π + 2mπ
0 ≤ θ < 2π の範囲で：
m = 0：θ = π
答え：θ = 0, 2π/5, 4π/5, π, 6π/5, 8π/5
(3) 整数解の探索
【方針】a² + b² = 100 を満たす整数の組を、100以下の平方数を列挙して調べます。
【解法】
a² ≤ 100 より |a| ≤ 10 です。a² の取りうる値は 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 です。
b² = 100 - a² が平方数になる場合を探します：
- a² = 0 のとき、b² = 100 → b = ±10
- a² = 36 のとき、b² = 64 → b = ±8
- a² = 64 のとき、b² = 36 → b = ±6
- a² = 100 のとき、b² = 0 → b = 0
したがって、(a, b) の組は：
(0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8), (-6, 8), (-6, -8),
(8, 6), (8, -6), (-8, 6), (-8, -6), (10, 0), (-10, 0)
答え：(a, b) = (0, ±10), (±6, ±8), (±8, ±6), (±10, 0) の計12組
別解・発展
【(2)の別解】sin 3θ = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ と展開し、sin 2θ = 2 sin θ cos θ を代入して整理する方法もあります。
sin 2θ + sin 3θ = 0
sin 2θ = -sin 3θ = sin(-3θ)
2θ = -3θ + 2nπ または 2θ = π - (-3θ) + 2nπ
5θ = 2nπ または -θ = π + 2nπ
これでも同じ解が得られます。
【(3)の発展】a² + b² = n を満たす整数解の個数は、数論の重要なテーマです。n の素因数分解において、4k+3 型の素数が奇数乗で現れない場合に限り解が存在します。100 = 2² × 5² であり、条件を満たすため解が存在します。
大問3：関数と微分・積分
問題
関数 f(x) = x³ - 3x² + 2 について、次の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求めよ。
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸との交点の x 座標をすべて求めよ。
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 極値の計算
【方針】f(x) を微分し、f'(x) = 0 となる点を求め、極大・極小を判定します。
【解法】
f(x) = x³ - 3x² + 2
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 のとき、x = 0 または x = 2
増減表を作成します：
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
極値を計算します：
f(0) = 0³ - 3×0² + 2 = 2
f(2) = 2³ - 3×2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2
答え：x = 0 で極大値 2、x = 2 で極小値 -2
(2) x軸との交点
【方針】f(x) = 0 を解きます。3次方程式の因数分解を行います。
【解法】
x³ - 3x² + 2 = 0
x = 1 を代入すると：1 - 3 + 2 = 0 ✓
よって (x - 1) が因数です。
組立除法または多項式の割り算で：
x³ - 3x² + 2 = (x - 1)(x² - 2x - 2)
x² - 2x - 2 = 0 を解くと：
x = (2 ± √(4 + 8))/2 = (2 ± √12)/2 = (2 ± 2√3)/2 = 1 ± √3
答え：x = 1, 1 - √3, 1 + √3
（数直線上では 1 - √3 ≈ -0.73 < 1 < 1 + √3 ≈ 2.73 の順）
(3) 面積の計算
【方針】曲線と x 軸で囲まれた領域を把握し、定積分で面積を計算します。
【解法】
まず、各区間での f(x) の符号を確認します：
- x < 1 - √3 のとき：f(x) < 0
- 1 - √3 < x 0
- 1 < x < 1 + √3 のとき：f(x) < 0
- x > 1 + √3 のとき：f(x) > 0
曲線と x 軸で囲まれた部分は2つあります：
- 区間 [1 - √3, 1] で x 軸の上側
- 区間 [1, 1 + √3] で x 軸の下側
面積 S は：
S = ∫[1-√3 to 1] f(x) dx + ∫[1 to 1+√3] |f(x)| dx
= ∫[1-√3 to 1] f(x) dx - ∫[1 to 1+√3] f(x) dx
F(x) = x⁴/4 - x³ + 2x を原始関数として計算します：
∫[1-√3 to 1] f(x) dx = F(1) - F(1-√3)
F(1) = 1/4 - 1 + 2 = 5/4
F(1-√3) の計算：
= (1-√3)⁴/4 - (1-√3)³ + 2(1-√3)
(1-√3)² = 1 - 2√3 + 3 = 4 - 2√3
(1-√3)³ = (1-√3)(4-2√3) = 4 - 2√3 - 4√3 + 6 = 10 - 6√3
(1-√3)⁴ = (4-2√3)² = 16 - 16√3 + 12 = 28 - 16√3
F(1-√3) = (28-16√3)/4 - (10-6√3) + 2(1-√3)
= 7 - 4√3 - 10 + 6√3 + 2 - 2√3
= -1
同様に F(1+√3) = -1（対称性より）
∫[1-√3 to 1] f(x) dx = 5/4 - (-1) = 9/4
∫[1 to 1+√3] f(x) dx = F(1+√3) - F(1) = -1 - 5/4 = -9/4
S = 9/4 - (-9/4) = 9/4 + 9/4 = 9/2
答え：S = 9/2
別解・発展
【(3)の別解：対称性の利用】
f(x) = x³ - 3x² + 2 において、点 (1, f(1)) = (1, 0) に関する対称性を調べます。
g(t) = f(1 + t) + f(1 - t) を計算すると：
f(1+t) = (1+t)³ - 3(1+t)² + 2
f(1-t) = (1-t)³ - 3(1-t)² + 2
展開して足し合わせると、奇数次の項が消えて偶関数になることがわかります。このような対称性を
