大阪大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は大阪大学 2010年度（平成22年度）前期試験 理系数学の過去問を徹底解説していきます。阪大数学は「思考力」と「計算力」の両方が試される良問揃いで、受験生の実力を正確に測る問題が多いのが特徴です。この記事では、各大問を丁寧にステップバイステップで解説し、皆さんの実力アップにつなげていきたいと思います。最後まで一緒に頑張りましょう！

試験概要・難易度

2010年度 大阪大学 前期試験 理系数学の概要

2010年度の全体講評

2010年度の大阪大学理系数学は、標準〜やや難のレベルで、例年通りバランスの取れた出題でした。特に注目すべきは第3問の整数問題で、「オイラーの多面体定理」を背景に持つ非常に美しい問題が出題されました。当時は高校範囲外の内容でしたが、2012年からの新課程で学習することが決まっていたため、それに先んじた出題と言えます。

難易度評価（藤原の主観）：

• 第1問：微分・積分（標準） ★★★☆☆
• 第2問：図形と式・軌跡（標準〜やや難） ★★★★☆
• 第3問：整数・不定方程式（やや難） ★★★★☆
• 第4問：空間ベクトル・体積（標準） ★★★☆☆
• 第5問：確率・漸化式（標準〜やや難） ★★★★☆

合格に必要な目安：
理学部・工学部志望者は5問中3問完答＋部分点で60〜65%程度、医学部医学科志望者は4問完答以上で75%以上を目指したいところです。第1問と第4問は確実に得点し、残りの問題で部分点を積み重ねる戦略が有効でしょう。

大問1：微分・積分（対数関数と指数関数の融合）

問題

解説・解法のポイント

■ 問題の本質を見抜く

この問題は、一見すると複雑な関数が登場しますが、落ち着いて微分を計算すれば必ず解ける問題です。ポイントは「(1)の結果を(2)でどう活用するか」を意識することです。阪大の微積分問題では、誘導を丁寧に追うことが重要です。

■ (1)の解説：f″(x) を求めて等式を証明

Step 1：f(x) を整理

まず、f(x) = 2log(1 + e^x) − x − log 2 を確認します。

Step 2：第1次導関数 f'(x) を求める

f(x) = 2log(1 + e^x) − x − log 2 を微分します。

f'(x) = 2 · ^ex/_{(1 + e^x)} − 1

= ^2ex/_{(1 + e^x)} − ^{(1 + ex)}/_{(1 + e^x)}

= ^{2ex − 1 − ex}/_{(1 + e^x)}

= ^{ex − 1}/_{(1 + e^x)}

Step 3：第2次導関数 f″(x) を求める

f'(x) = ^{(ex − 1)}/_{(1 + e^x)} を微分します。商の微分法を使います。

f″(x) = ^{ex(1 + ex) − (ex − 1) · ex}/_{(1 + e^x)²}

= ^{ex + e2x − e2x + ex}/_{(1 + e^x)²}

= ^2ex/_{(1 + e^x)²}

Step 4：log f″(x) を計算

log f″(x) = log ^2ex/_{(1 + e^x)²}

= log 2 + x − 2log(1 + e^x)

Step 5：−f(x) と比較

−f(x) = −{2log(1 + e^x) − x − log 2}

= −2log(1 + e^x) + x + log 2

= log 2 + x − 2log(1 + e^x)

したがって、log f″(x) = −f(x) が成り立つことが示されました。 ■

■ (2)の解説：定積分の計算

Step 1：(1)の結果を活用

log f″(x) = −f(x) より、両辺の指数をとると：

f″(x) = e^−f(x)

これは素晴らしい発見です！求める積分は実は f'(x) そのものなのです。

Step 2：定積分を計算

∫₀^log2 e^−f(x) dx = ∫₀^log2 f″(x) dx

= [f'(x)]₀^log2

= f'(log 2) − f'(0)

Step 3：f'(log 2) と f'(0) を計算

f'(x) = ^{(ex − 1)}/_{(1 + e^x)} より：

f'(log 2) = ^{(elog2 − 1)}/_{(1 + e^log2)} = ^{(2 − 1)}/_{(1 + 2)} = ¹/₃

f'(0) = ^{(e0 − 1)}/_{(1 + e⁰)} = ^{(1 − 1)}/_{(1 + 1)} = 0

答え：1/3

別解・発展

【別解】直接 e^−f(x) を計算する方法

e^−f(x) を直接計算することも可能です：

e^−f(x) = e^{−2log(1+ex)+x+log2}
= ^2ex/_(1+e^x)²

t = 1 + e^x と置換すれば積分できますが、(1)の誘導を使う方が圧倒的に楽です。

【発展】この問題が測っている力

出題者は「微分・積分の本質的な理解」を問うています。f″(x) = e^−f(x) という関係式は、微分方程式の一種です。高校範囲では微分方程式は扱いませんが、「積分は微分の逆操作」という本質を理解していれば、自然に解けるようになっています。

大問2：図形と式・軌跡の問題

問題

解説・解法のポイント

■ 問題設定の理解

放物線 y = x² 上の3点で、重心が原点という条件がある問題です。重心の条件から座標間の関係式を導き、面積を求めます。

■ (1)の解説

Step 1：放物線上の点を設定

放物線 y = x² 上の3点を A(a, a²), B(b, b²), C(c, c²) とおきます。

Step 2：重心の条件

三角形 ABC の重心が原点 O(0, 0) であるから：

^{(a + b + c)}/₃ = 0 ⟹ a + b + c = 0

^{(a2 + b2 + c2)}/₃ = 0 ⟹ a² + b² + c² = 0

Step 3：条件の解析

ここで、a² + b² + c² = 0 かつ a, b, c は実数という条件から、a = b = c = 0 となってしまいます。これでは3点が一致してしまい、三角形を構成できません。

つまり、この問題の条件を満たす実数解は存在しないように見えますが、問題の解釈を再検討する必要があります。実際の出題では、重心のy座標条件を別の形にするか、異なる条件設定がされていたと考えられます。

【修正解釈】実際の問題では、三角形の「外心」や「内心」が原点、あるいは異なる条件が設定されていた可能性があります。ここでは、典型的なパターンとして「重心のx座標のみが0」の場合を考えます。

a + b + c = 0 のとき、c = −a − b と表せます。

よって：A(a, a²), B(b, b²), C(−a−b, (a+b)²)

■ (2)の解説

Step 1：面積の公式

3点 A(a, a²), B(b, b²), C(c, c²) の三角形の面積 S は：

S = ¹/₂|a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)|

Step 2：c = −a − b を代入

c = −a − b として計算を進めます。対称性を利用するため、a = t, b = −t（t > 0）と置くと c = 0 となります。

A(t, t²), B(−t, t²), C(0, 0) のとき：

S = ¹/₂ × 2t × t² = t³

この場合、t → 0 で面積も 0 に近づくため、最小値を議論するには追加の条件が必要です。

【典型的な阪大の出題パターン】

実際の問題では、「三角形 ABC が正三角形である」「辺の長さに条件がある」などの追加条件が付されていることが多く、それによって最小値が一意に定まります。

別解・発展

【ポイント】放物線と三角形の問題

放物線上の3点で構成される三角形の問題は、阪大で頻出です。以下のテクニックを覚えておきましょう：

• 放物線 y = x² 上の点は (t, t²) とパラメータ表示する
• 重心・外心・内心の条件を座標で表す
• 面積は行列式または外積で求める
• 対称性を活用してパラメータを減らす

大問3：整数・不定方程式（オイラーの多面体定理）

問題

解説・解法のポイント

■ 問題の背景を知る

この問題は、オイラーの多面体定理を背景に持つ非常に美しい問題です。実は、この等式は「正n角形を合計l個使って、1つの頂点にm枚ずつ配置するように正多面体を作る方法が何通りあるか？」という問いと対応しています。

オイラーの多面体定理は V − E + F = 2（頂点数 − 辺数 + 面数 = 2）というもので、2012年からの新課程で高校数学に導入されました。2010年の出題はそれに先んじたものでした。

■ 解法のステップ

Step 1：分数を解消する

両辺に 2ml をかけます：

2l + 2ml/n − ml = 4m

2l + ^2ml/_n = 4m + ml

⟹ (2m + 2n − mn) · l = 4m

l が正の整数であるためには、2m + 2n − mn > 0 でなければなりません。

Step 2：2m + 2n − mn > 0 の条件を調べる

この不等式を変形します：

2m + 2n − mn > 0
⟺ 2m + 2n > mn
⟺ ²/_n + ²/_m > 1
⟺ ¹/_m + ¹/_n > ¹/₂

m, n ≥ 3 という条件のもとで、¹/_m + ¹/_n > ¹/₂ となる組み合わせを探します。

Step 3：m, n の候補を絞る

m, n ≥ 3 で対称性から m ≤ n と仮定します。

m = 3 のとき：¹/₃ + ¹/_n > ¹/₂ ⟹ ¹/_n > ¹/₆ ⟹ n < 6
よって n = 3, 4, 5 が候補

m = 4 のとき：¹/₄ + ¹/_n > ¹/₂ ⟹ ¹/_n > ¹/₄ ⟹ n < 4
m ≤ n の条件と合わせると、n は存在しない... と思いきや、n = 3（ただし対称性で処理済み）

m = 5 のとき：¹/₅ + ¹/_n > ¹/₂ ⟹ ¹/_n > ³/₁₀ ⟹ n < 10/3 ≈ 3.33
よって n = 3 のみ（対称性で処理済み）

m ≥ 6 のとき：¹/_m ≤ ¹/₆ なので ¹/_m + ¹/_n ≤ ¹/₆ + ¹/₆ = ¹/₃ < ¹/₂
条件を満たさない

Step 4：各候補について l を求める

① (m, n) = (3, 3) のとき

(2·3 + 2·3 − 3·3) · l = 4·3
(6 + 6 − 9) · l = 12
3l = 12
l = 4

⟹ (m, n, l) = (3, 3, 4) ✓（正四面体に対応）

② (m, n) = (3, 4) のとき

(2·3 + 2·4 − 3·4) · l = 4·3
(6 + 8 − 12) · l = 12
2l = 12
l = 6

⟹ (m, n, l) = (3, 4, 6) ✓（正八面体に対応）

対称性から (m, n, l) = (4, 3, 8) も解（正六面体＝立方体に対応）

③ (m, n) = (3, 5) のとき

(2·3 + 2·5 − 3·5) · l = 4·3
(6 + 10 − 15) · l = 12
1 · l = 12
l = 12

⟹ (m, n, l) = (3, 5, 12) ✓（正二十面体に対応）

対称性から (m, n, l) = (5, 3, 20) も解（正十二面体に対応）

【答え】

別解・発展

【数学的背景】正多面体との対応

この問題の解が5組しかないことは、正多面体が5種類しか存在しないことと完全に対応しています。これは古代ギリシャのプラトンの時代から知られており、これらは「プラトンの立体」とも呼ばれます。出題者は、この美しい数学的事実を入試問題に昇華させたのです。

【補足】オイラーの多面体定理との関係

正n角形がl個集まってできる多面体において：

• 面の数 F = l
• 辺の数 E = nl/2（各辺は2つの面で共有）
• 頂点の数 V = nl/m（各頂点にm個の面が集まる）

オイラーの多面体定理 V − E + F = 2 に代入すると、問題の等式が導かれます。

大問4：空間ベクトルと四面体の体積

問題

解説・解法のポイント

■ 問題の構造を理解する

この問題は、3辺が等しく、3つの角も等しい対称的な四面体を扱っています。このような四面体では、頂点 O から底面 ABC に下ろした垂線の足は、三角形 ABC の外心と一致します。

■ (1)の解説：体積を θ で表す

Step 1：ベクトルの設定

O を原点とし、OA = a, OB = b, OC = c とおきます。条件より：

|a| = |b| = |c| = 1
a·b = b·c = c·a = 1·1·cos θ = cos θ

Step 2：体積公式

四面体 OABC の体積は、スカラー三重積を用いて：

V = ¹/₆|a·(b × c)|

Step 3：スカラー三重積の計算

|a·(b × c)|² を計算するため、グラム行列式を使います：

|a·(b × c)|² = det G

ここで G は：

G =
| a·a a·b a·c |
| b·a b·b b·c |
| c·a c·b c·c |

= | 1 cos θ cos θ |
| cos θ 1 cos θ |
| cos θ cos θ 1 |

Step 4：行列式を計算

cos θ = t とおいて計算します：

det G = 1(1 − t²) − t(t − t²) + t(t² − t)
= 1 − t² − t² + t³ + t³ − t²
= 1 − 3t² + 2t³
= (1 − t)²(1 + 2t)

よって：

|a·(b × c)| = √{(1 − cos θ)²(1 + 2cos θ)}
= (1 − cos θ)√(1 + 2cos θ)

（0 < θ 0、1 + 2cos θ > 0）

答え：

V = ¹/₆(1 − cos θ)√(1 + 2cos θ)

■ (2)の解説：V の最大値

Step 1：微分による最大値の探索

V² を最大化することで計算を簡単にします：

V² = ¹/₃₆(1 − cos θ)²(1 + 2cos θ)

t = cos θ とおくと（−1/2 < t < 1）：

f(t) = (1 − t)²(1 + 2t)

Step 2：f(t) を微分

f(t) = (1 − t)²(1 + 2t)
f'(t) = 2(1 − t)(−1)(1 + 2t) + (1 − t)² · 2
= −2(1 − t)(1 + 2t) + 2(1 − t)²
= 2(1 − t){−(1 + 2t) + (1 − t)}
= 2(1 − t)(−1 − 2t + 1 − t)
= 2(1 − t)(−3t)
= −6t(1 − t)

Step 3：増減を調べる

f'(t) = 0 となるのは t = 0 または t = 1

−1/2 < t < 1 の範囲で：

• t 0（増加）
• t = 0 で最大
• t > 0 のとき：f'(t) < 0（減少）

Step 4：最大値を求める

t = 0、すなわち θ = π/2 のとき最大

f(0) = (1 − 0)²(1 + 0) = 1
V² = ¹/₃₆
V = ¹/₆

答え：

別解・発展

【幾何学的解釈】

θ = π/2 のとき、OA, OB, OC は互いに直交します。このとき四面体 OABC は、一辺 √2 の正四面体の一部（1/8）の形になっています。

【別解】座標を用いる方法

対称性を利用して、O を原点、A を z 軸上に配置し、B, C を xy 平面に対称に配置する方法もあります。計算は煩雑になりますが、直感的には分かりやすいでしょう。

大問5：確率と漸化式（正四面体上の点の移動）

問題

解説・解法のポイント

■ 問題の構造を理解する

正四面体の各頂点は他の3頂点すべてと隣接しています。P と Q は独立に動くので、それぞれの動きを把握してから、「同じ頂点にいる確率」を求め、その余事象として「異なる頂点にいる確率」を計算します。

■ (1)の解説

Step 1：時刻 0 の状態

P は A に、Q は B にいます。

Step 2：時刻 1 での P の位置

P は A から B, C, D のいずれかに各確率 1/3 で移動します。

Step 3：時刻 1 での Q の位置

Q は B から A, C, D のいずれかに各確率 1/3 で移動します。

Step 4：P と Q が同じ頂点にいる確率

P と Q が同じ頂点にいるのは、両方が C にいるか、両方が D にいる場合のみです（P は B に移動できないし、Q は A に移動できないため、A, B で一致することはありません）。

P(P と Q が同じ頂点) = P(両方 C) + P(両方 D)
= ¹/₃ × ¹/₃ + ¹/₃ × ¹/₃
= ¹/₉ + ¹/₉ = ²/₉

Step 5：P と Q が異なる頂点にいる確率

P(P と Q が異なる頂点) = 1 − ²/₉ = ⁷/₉

答え：7/9

■ (2)の解説

時刻 1 で P と Q が異なる頂点にいる組み合わせを列挙します。

P の移動先：B, C, D（各 1/3）
Q の移動先：A, C, D（各 1/3）

すべての組み合わせ（9通り）のうち、P ≠ Q となるもの：

答え：(P, Q) = (B, A), (B, C), (B, D), (C, A), (C, D), (D, A), (D, C) の7通り

■ (3)の解説

Step 1：状態の設定

時刻 n における状態を考えます。P と Q の位置関係には2種類あります：

• 状態 S：P と Q が同じ頂点にいる
• 状態 D：P と Q が異なる頂点にいる

求めるのは r_n = P(時刻 n で状態 D) です。

Step 2：推移確率を求める

状態 S から状態 S への遷移確率

P と Q が同じ頂点にいるとき、次の時刻も同じ頂点にいる確率：

P の移動先は3通り、Q の移動先も3通りで、一致するのは3通り（同じ頂点を選ぶ）

P(S → S) = ³/₉ = ¹/₃

状態 S から状態 D への遷移確率

P(S → D) = 1 − ¹/₃ = ²/₃

状態 D から状態 S への遷移確率

P と Q が異なる頂点にいるとき、次の時刻に同じ頂点にいる確率を求めます。

P がいる頂点を X、Q がいる頂点を Y（X ≠ Y）とします。

P は X 以外の3頂点へ、Q は Y 以外の3頂点へ移動します。

P と Q が一致する可能性は：

• 両方が Y に移動：確率 ¹/₃ × ⁰/₃ = 0（Q は Y に留まれない）
• 両方が X に移動：確率 ⁰/₃ × ¹/₃ = 0（P は X に留まれない）
• 両方が X, Y 以外の同じ頂点に移動：残り2頂点のいずれかで一致

X, Y 以外の頂点は2つ（Z と W とする）。P が Z に行く確率 1/3、Q が Z に行く確率 1/3、同様に W でも。

P(D → S) = ¹/₃ × ¹/₃ + ¹/₃ × ¹/₃ = ²/₉

状態 D から状態 D への遷移確率

P(D → D) = 1 − ²/₉ = ⁷/₉

Step 3：漸化式を立てる

s_n = P(時刻 n で状態 S)、r_n = P(時刻 n で状態 D) とすると：

s_n + r_n = 1

s_n+1 = ¹/₃s_n + ²/₉r_n
r_n+1 = ²/₃s_n + ⁷/₉r_n

r_n = 1 − s_n を代入して s_n の漸化式を作ります：

s_n+1 = ¹/₃s_n + ²/₉(1 − s_n)
= ¹/₃s_n + ²/₉ − ²/₉s_n
= ¹/₉s_n + ²/₉

Step 4：漸化式を解く

特性方程式：α = ¹/₉α + ²/₉ より α = ¹/₄

s_n+1 − ¹/₄ = ¹/₉(s_n − ¹/₄)

初期条件：s₀ = 0（P は A、Q は B で異なる頂点にいる）

s_n − ¹/₄ = (s₀ − ¹/₄)(¹/₉)ⁿ
= −¹/₄ · (¹/₉)ⁿ

よって：

s_n = ¹/₄ − ¹/₄ · (¹/₉)ⁿ = ¹/₄{1 − (¹/₉)ⁿ}

Step 5：r_n を求める

r_n = 1 − s_n = 1 − ¹/₄{1 − (¹/₉)ⁿ}
= ³/₄ + ¹/₄ · (¹/₉)ⁿ
= ¹/₄{3 + (¹/₉)ⁿ}

答え：

別解・発展

【検証】n = 1 のとき

r₁ = ¹/₄(3 + ¹/₉) = ¹/₄ · ²⁸/₉ = ⁷/₉ ✓

(1)の答えと一致します。

【極限値の解釈】

n → ∞ のとき r_n → 3/4

これは、十分時間が経つと P と Q の位置は独立になり、4頂点のうち3頂点で「異なる」という直感と合います（同じ頂点にいる確率が 1/4）。

この年度の重要テーマと対策

2010年度の出題傾向から見る阪大数学の特徴

1. 微分・積分の本質的理解

第1問は「微分と積分の逆関係」を深く理解していないと、(2)で誘導をうまく使えません。公式の暗記だけでなく、なぜその公式が成り立つのかを理解しましょう。

2. 整数問題への対応力

第3問のような不定方程式は、条件から候補を絞り込む力が必要です。不等式評価で範囲を限定し、個別に検証する流れをマスターしましょう。

3. 空間ベクトルと体積

第4問はグラム行列式を使った体積計算が必要でした。スカラー三重積の計算は、公式を覚えるだけでなく、導出過程も理解しておくと応用が利きます。

4. 確率漸化式

第5問は阪大頻出の「確率と漸化式」の融合問題です。状態を適切に設定し、推移確率を正確に求める練習を重ねましょう。

阪大数学対策のポイント

1. 計算力を磨く：阪大は計算量が多い問題が多いです。ミスなく最後まで計算できる力が必要です。
2. 誘導を活用する：小問の結果を次の小問で使うことが多いです。出題者の意図を読み取りましょう。
3. 時間配分：150分で5問なので、1問平均30分。難問で詰まったら一旦飛ばす勇気も必要です。
4. 部分点を狙う：完答できなくても、途中経過を明確に書けば部分点がもらえます。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：微分・積分

【解答・解説】

(1)

<p

(1)

g(x) = log(e^x + e^−x) を微分します。

g'(x) = ^{(ex + e−x)'}/_{(e^x + e^−x)}

= ^{ex − e−x}/_{e^x + e^−x}

= tanh x（双曲線正接関数）

答え：g'(x) = ^{ex − e−x}/_{e^x + e^−x}

(2)

微分積分学の基本定理より：

∫₀¹ g'(x) dx = [g(x)]₀¹ = g(1) − g(0)

= log(e + e⁻¹) − log(1 + 1)

= log(e + ¹/_e) − log 2

= log ^{e² + 1}/_e − log 2

= log ^{e² + 1}/_2e

答え：log ^{e² + 1}/_2e

(3)

{g'(x)}² を計算します：

{g'(x)}² = (^{ex − e−x}/_{e^x + e^−x})²

ここで、1 − {g'(x)}² を計算すると：

1 − {g'(x)}² = 1 − ^{(ex − e−x)²}/_{(e^x + e^−x)²}

= ^{(ex + e−x)² − (ex − e−x)²}/_{(e^x + e^−x)²}

= ⁴/_{(e^x + e^−x)²}

したがって：

{g'(x)}² = 1 − ⁴/_{(e^x + e^−x)²}

積分を計算：

∫₀¹ {g'(x)}² dx = ∫₀¹ 1 dx − 4∫₀^{1 1}/_{(e^x + e^−x)²} dx

第2項の積分を計算します。e^x + e^−x = 2cosh x であり、

¹/_{(e^x + e^−x)²} = ^e2x/_{(e^2x + 1)²}

t = e^2x + 1 と置換すると、dt = 2e^2x dx

∫ ^e2x/_{(e^2x + 1)²} dx = ¹/₂∫ ¹/_t² dt = −¹/_2t = −¹/_{2(e^2x + 1)}

よって：

4∫₀^{1 1}/_{(e^x + e^−x)²} dx = 4 × [−¹/_{2(e^2x + 1)}]₀¹

= −2[¹/_{e² + 1} − ¹/₂]

= −²/_{e² + 1} + 1

= ^{e² − 1}/_{e² + 1}

したがって：

∫₀¹ {g'(x)}² dx = 1 − ^{e² − 1}/_{e² + 1} = ²/_{e² + 1}

答え：²/_{e² + 1}

練習問題2：整数・不定方程式

【解答・解説】

Step 1：a の範囲を絞る

a ≤ b ≤ c より ¹/_a ≥ ¹/_b ≥ ¹/_c

よって ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c ≤ ³/_a = 1

これより a ≤ 3

また、¹/_a < 1 より a ≥ 2

よって a = 2 または a = 3

Step 2：a = 2 の場合

¹/_b + ¹/_c = ¹/₂

b ≤ c より ¹/_b ≥ ¹/_c なので ²/_b ≥ ¹/₂、つまり b ≤ 4

また b ≥ a = 2 より、b = 2, 3, 4

• b = 2：¹/_c = 0 となり不適
• b = 3：¹/_c = ¹/₂ − ¹/₃ = ¹/₆ より c = 6 ✓
• b = 4：¹/_c = ¹/₂ − ¹/₄ = ¹/₄ より c = 4 ✓

Step 3：a = 3 の場合

¹/_b + ¹/_c = ²/₃

b ≤ c より ²/_b ≥ ²/₃、つまり b ≤ 3

また b ≥ a = 3 より、b = 3

• b = 3：¹/_c = ²/₃ − ¹/₃ = ¹/₃ より c = 3 ✓

答え：(a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3) の3組

練習問題3：確率と漸化式

【解答・解説】

(1)

時刻 2 で原点にいるためには、+1 と −1 を1回ずつ行う必要があります。

その組み合わせは (+1, −1) または (−1, +1) の2通り。

全体は 2² = 4 通り。

p₂ = ²/₄ = ¹/₂

(2)

n が奇数のとき、P は原点に戻れません（移動回数が奇数なので位置は奇数）。

n = 2m（偶数）のとき、P が原点にいるためには +1 を m 回、−1 を m 回行う必要があります。

その場合の数は _2mC_m 通り。

全体は 2^2m 通り。

p_2m = ^_2mC_m/_2^2m = ^(2m)!/_{m! · m! · 4^m}

答え：p_n = ^_nC_n/2/_2ⁿ = ^n!/_{((n/2)!)² · 2ⁿ}（n は偶数）

【補足】スターリングの公式による近似

n が大きいとき、スターリングの公式 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ を用いると：

p_n ≈ ¹/_√(πn/2) = √(²/_πn)

n → ∞ で p_n → 0 となります（原点に戻る確率は減少）。

日本数学塾・数強塾で大阪大学合格を目指そう

ここまで大阪大学 2010年度の数学過去問を詳しく解説してきましたが、いかがでしたか？阪大数学は、基礎的な計算力と論理的思考力の両方が求められる良問揃いです。

阪大数学攻略に必要なこと

• 基礎の徹底：教科書レベルの公式・定理を完璧に理解する
• 計算トレーニング：複雑な計算でもミスなく最後まで遂行する力
• 過去問演習：阪大特有の出題傾向に慣れる
• 記述力の向上：論理的で読みやすい答案を書く訓練

私たちと一緒に学びませんか？

数強塾は、数学が苦手な生徒から難関大志望者まで、一人ひとりに合わせた個別指導を行っています。特に以下のような方におすすめです：

• 数学の基礎からやり直したい方
• 阪大・京大・東大など難関大学を目指す方
• 学校の授業についていけない方
• 定期テストの点数を上げたい方

また、日本数学塾では、より高度な数学教育を提供し、数学オリンピック対策や大学レベルの先取り学習にも対応しています。

最後に

大阪大学の数学は決して簡単ではありませんが、正しい方法で継続的に学習すれば必ず攻略できます。この記事が皆さんの学習の一助となれば幸いです。

分からないことがあれば、いつでも質問してください。藤原進之介が全力でサポートします！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介