大阪大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

みなさん、こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、大阪大学 2007年度（平成19年度）前期日程 理系数学の過去問を徹底解説していきます。阪大数学は旧帝大の中でも特に計算力と発想力が問われる良問揃いで、この2007年度も例外ではありません。

「阪大の数学、どう対策すればいいの？」「この年度の問題、どうやって解けばいいの？」そんな悩みを抱えている受験生のために、私と一緒にステップバイステップで攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2007年度 大阪大学 理系数学 試験概要

2007年度 全体講評

2007年度の阪大理系数学は、標準〜やや難のレベルでバランスの取れたセットでした。特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問：回転体の体積と極限の融合問題。計算量は多いが、円錐の体積公式を活用すれば効率化できる
• 第2問：微分・積分の標準的な問題
• 第3問：「反転」という幾何学的変換を扱う問題（文理共通）。発想力が必要
• 第4問：行列の積に関する問題。場合分けと論理的思考力が求められる
• 第5問：数列・漸化式と確率の融合問題

全体として、計算力と論理的思考力のバランスが問われる年度でした。特に第1問の回転体と第3問の反転は、阪大らしい「ひねり」のある良問です。時間配分としては、各問30分を目安に、得意分野で確実に得点を稼ぐ戦略が有効でした。

大問1：回転体の体積と極限

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質を理解しよう】

この問題は、回転体の体積の計算と極限の計算を組み合わせた融合問題です。阪大では頻出のパターンで、計算力と極限の取り扱いの両方が問われます。

【(1) の解法】

Step 1：図形の把握

まず、y = xⁿ と y = x の交点を求めます。

xⁿ = x より、x(x^n-1 - 1) = 0

よって、x = 0 または x = 1（n ≥ 2 のとき）

0 ≤ x ≤ 1 の範囲では、n ≥ 2 のとき xⁿ ≤ x なので、直線 y = x が曲線 y = xⁿ の上側にあります。

Step 2：回転体の体積公式を適用

x 軸まわりの回転体の体積は、バームクーヘン積分ではなく、円盤法（ディスク法）を使います。

外側の回転体から内側の回転体を引くと：

Step 3：積分計算

∫₀¹ (x² - x²ⁿ) dx = [x³/3 - x²ⁿ⁺¹/(2n+1)]₀¹

= 1/3 - 1/(2n+1)

= (2n+1-3) / {3(2n+1)}

= (2n-2) / {3(2n+1)}

= 2(n-1) / {3(2n+1)}

したがって：

【(2) の解法】

(1)の結果を使って、lim_n→∞ n・V_n を計算します。

n・V_n = n × 2π(n-1) / {3(2n+1)}

= 2πn(n-1) / {3(2n+1)}

分子・分母を n² で割ると：

= 2π(1 - 1/n) / {3(2/n + 1/n²)}

n → ∞ のとき、1/n → 0, 1/n² → 0 なので：

別解・発展

【円錐の体積を利用した別解】

この問題では、n → ∞ のとき、曲線 y = xⁿ は区間 [0, 1) でほぼ y = 0 に近づき、x = 1 で急激に y = 1 に立ち上がります。

つまり、極限では直線 y = x と x 軸、直線 x = 1 で囲まれた三角形（を x 軸まわりに回転させた円錐）に近づくと考えられます。

円錐の体積 = (1/3)πr²h = (1/3)π × 1² × 1 = π/3

これは (2) の答えと一致します！このような図形的直観を持つことで、計算結果の検算ができます。

【発展：一般化】

この問題を一般化して、y = x^m と y = xⁿ（m < n）で囲まれた図形の回転体の体積を考えることもできます。これは阪大の過去問演習で取り組むとよい発展課題です。

大問2：微分・積分の応用

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質を理解しよう】

この問題は、指数関数と三角関数の積という典型的な形の関数を扱います。微分・積分の計算では部分積分が必須となる重要問題です。

【(1) の解法】

Step 1：導関数を求める

f(x) = e^x sin x を微分します（積の微分法則を使用）。

f'(x) = e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

Step 2：f'(x) = 0 となる x を求める

e^x > 0 より、sin x + cos x = 0

tan x = -1

x = 3π/4 + nπ （n は整数）

Step 3：極値の判定

sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) と変形できるので：

• x = 3π/4 のとき：極大値 f(3π/4) = e^3π/4 × (√2/2) = (√2/2)e^3π/4
• x = 7π/4 のとき：極小値 f(7π/4) = e^7π/4 × (-√2/2) = -(√2/2)e^7π/4

一般に：

【(2) の解法】

0 ≤ x ≤ π の範囲で、sin x ≥ 0 なので f(x) = e^x sin x ≥ 0 です。

S = ∫₀^π e^x sin x dx

部分積分を2回適用します。

I = ∫ e^x sin x dx とおくと、

（1回目の部分積分）

I = e^x sin x - ∫ e^x cos x dx

（2回目の部分積分）

= e^x sin x - [e^x cos x - ∫ e^x(-sin x) dx]

= e^x sin x - e^x cos x - ∫ e^x sin x dx

= e^x(sin x - cos x) - I

よって、2I = e^x(sin x - cos x)

I = (1/2)e^x(sin x - cos x) + C

したがって：

S = [(1/2)e^x(sin x - cos x)]₀^π

= (1/2)e^π(0 - (-1)) - (1/2)e⁰(0 - 1)

= (1/2)e^π + 1/2

【(3) の解法】

V = π∫₀^π (e^x sin x)² dx = π∫₀^π e^2x sin²x dx

半角公式を使って、sin²x = (1 - cos 2x)/2

V = (π/2)∫₀^π e^2x(1 - cos 2x) dx

= (π/2)[∫₀^π e^2x dx - ∫₀^π e^2x cos 2x dx]

第1項：∫₀^π e^2x dx = (1/2)[e^2x]₀^π = (e^2π - 1)/2

第2項は (2) と同様に部分積分を2回行うと：

∫ e^2x cos 2x dx = (1/4)e^2x(sin 2x + cos 2x) + C

よって、∫₀^π e^2x cos 2x dx = (1/4)[e^2x(sin 2x + cos 2x)]₀^π = (1/4)(e^2π - 1)

V = (π/2)[(e^2π - 1)/2 - (e^2π - 1)/4] = (π/2) × (e^2π - 1)/4

別解・発展

【複素数を使った別解】

∫ e^x sin x dx は、複素数を使うとエレガントに計算できます。

e^ix = cos x + i sin x より、sin x = Im(e^ix)

∫ e^x sin x dx = Im(∫ e^x · e^ix dx) = Im(∫ e^(1+i)x dx)

= Im[e^(1+i)x/(1+i)] = Im[(1-i)e^(1+i)x/2]

この方法は大学数学の手法ですが、計算の見通しがよくなります。

大問3：反転（インバージョン）と軌跡

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質を理解しよう】

この問題は「反転」（インバージョン）という幾何学的変換を扱います。反転は、円に関する対称移動の一種で、大学入試では阪大・京大・東大などで出題される発展的なテーマです。

反転の基本性質：

• OP · OQ = r²（今回は r = 1）
• P と Q は半直線 OP 上にある
• 原点を通らない円や直線は、反転によって円に写る
• 原点を通る円は、反転によって直線に写る

【(1) の解法】

A(2, 0) に対して、反転点 Q を (a, 0) とおく（半直線 OA 上なので y = 0）。

OA · OQ = 2 · a = 1 より、a = 1/2

【(2) の解法】

直線 x = 2 上の点 P(2, t) に対して、反転点 Q(x, y) を求めます。

Step 1：Q の座標を P で表す

Q は半直線 OP 上にあるので、Q = kP（k > 0）とおけます。

つまり、(x, y) = k(2, t) = (2k, kt)

Step 2：反転条件を適用

OP · OQ = 1 より、

√(4 + t²) · √(4k² + k²t²) = 1

√(4 + t²) · k√(4 + t²) = 1

k(4 + t²) = 1

k = 1/(4 + t²)

Step 3：Q の座標を求める

x = 2k = 2/(4 + t²)

y = kt = t/(4 + t²)

Step 4：軌跡の方程式を導出

x と y の関係式を求めます。

y/x = t/2 より、t = 2y/x

これを x = 2/(4 + t²) に代入：

x = 2/(4 + 4y²/x²) = 2x²/(4x² + 4y²)

x(4x² + 4y²) = 2x²

4x² + 4y² = 2x （x ≠ 0）

x² + y² = x/2

(x - 1/4)² + y² = 1/16

t が実数全体を動くとき、Q は円全体を動きますが、原点は除かれます（P が無限遠に行くとき Q → O）。

【(3) の解法】

中心 (3, 0)、半径 2 の円上の点 P を P(3 + 2cosθ, 2sinθ) とおきます。

この円は原点を通りません（中心 (3, 0) から原点までの距離は 3 で、半径 2 より大きい）。

Step 1：(2) と同様に Q を求める

OP = √{(3 + 2cosθ)² + 4sin²θ}

= √{9 + 12cosθ + 4cos²θ + 4sin²θ}

= √{9 + 12cosθ + 4}

= √{13 + 12cosθ}

Q = P/OP² より、

x = (3 + 2cosθ)/(13 + 12cosθ)

y = 2sinθ/(13 + 12cosθ)

Step 2：軌跡の方程式

計算を進めると（詳細は省略）：

別解・発展

【ベクトルを使った解法】

反転の定義を位置ベクトルで表すと、より見通しがよくなります。

P の位置ベクトルを p とすると、Q の位置ベクトルは：

q = p/|p|²

この公式を使えば、複雑な計算も整理しやすくなります。

【反転の一般的性質】

反転には以下の重要な性質があります（発展学習向け）：

1. 原点を通らない直線は、原点を通る円に写る
2. 原点を通る直線は、自分自身に写る（原点を除く）
3. 原点を通らない円は、原きます。続きを作成します。

   ---

   点を通らない円に写る

4. 原点を通る円は、原点を通らない直線に写る
5. 反転を2回行うと元に戻る（対合性）

これらの性質を知っておくと、(2)の「直線 → 円」、(3)の「円 → 円」という結果が自然に理解できます。

大問4：行列の積と場合の数

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質を理解しよう】

この問題は、行列の積の性質と場合の数・漸化式を組み合わせた融合問題です。まず各行列の積を計算して規則性を見つけ、それを使って場合の数を求めます。

【準備：行列の積の計算】

まず、A, B, C, D の任意の2つの積を計算します。

重要な観察：

• A, B の後には A, B しか置けない（C, D を置くと O になる）
• C, D の後には C, D しか置けない（A, B を置くと O になる）
• 積が O でないとき、結果は必ず A, B, C, D のいずれかになる

【(1) の解法】

上の表から、積が O にならない組み合わせは：

【(2) の解法】

n = 3 のとき、積 M₁M₂M₃ が O にならない条件を考えます。

Step 1：M₁M₂ が O にならない必要がある

(1) より、M₁M₂ が O にならない組み合わせは 8 通りです。

Step 2：(M₁M₂)M₃ が O にならない条件

M₁M₂ の結果は A, B, C, D のいずれかです。

• M₁M₂ = A または B のとき：M₃ は A, B から選べる（2通り）
• M₁M₂ = C または D のとき：M₃ は C, D から選べる（2通り）

Step 3：場合分けして数え上げ

M₁M₂ = A となる組：AA, BC → 2通り → 各々 M₃ は 2通り → 4通り

M₁M₂ = B となる組：AB, BD → 2通り → 各々 M₃ は 2通り → 4通り

M₁M₂ = C となる組：CA, DC → 2通り → 各々 M₃ は 2通り → 4通り

M₁M₂ = D となる組：CD, DD → 2通り → 各々 M₃ は 2通り → 4通り

【(3) の解法】

漸化式を立てて一般項を求めます。

Step 1：状態を定義する

n 個の積が O にならないとき、その積は A, B, C, D のいずれかです。

α_n：n 個の積が A または B になる組み合わせの総数

β_n：n 個の積が C または D になる組み合わせの総数

とおくと、a_n = α_n + β_n

Step 2：漸化式を立てる

積が A または B になるのは：

• 前の積が A または B で、最後に A または B をかける
• 前の積が C または D で、最後に A または B をかける → O になるので不可

よって、α_n+1 = 2α_n（A,B それぞれに A,B をかける2通り）

同様に、β_n+1 = 2β_n

Step 3：初期条件

n = 1 のとき：

• M₁ = A のとき積は A → α₁ に寄与（A が 1通り、B が 1通り）
• M₁ = B のとき積は B → α₁ に寄与
• M₁ = C のとき積は C → β₁ に寄与
• M₁ = D のとき積は D → β₁ に寄与

よって、α₁ = 2, β₁ = 2

Step 4：一般項を求める

α_n = 2 × 2^n-1 = 2ⁿ

β_n = 2 × 2^n-1 = 2ⁿ

したがって：

検算：

• n = 1：a₁ = 2² = 4 ✓（A, B, C, D の4通り）
• n = 2：a₂ = 2³ = 8 ✓（(1)の結果と一致）
• n = 3：a₃ = 2⁴ = 16 ✓（(2)の結果と一致）

別解・発展

【グラフ理論的解釈】

この問題は、有向グラフの経路の数え上げとして解釈できます。

頂点：{A, B}, {C, D} の2グループ

辺：同じグループ内でのみ移動可能（各頂点から2本の辺）

n 個の行列の積は、このグラフ上の長さ n-1 の経路に対応し、各ステップで2通りの選択肢があるので、2ⁿ × 2 = 2ⁿ⁺¹ 通りとなります。

大問5：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質を理解しよう】

この問題は、確率と漸化式の典型的な融合問題です。サイコロの目を3や6で割った余りで状態を分類し、推移確率を考えます。

【(1) の解法】

Step 1：状態の設定

S_k を3で割った余りは 0, 1, 2 のいずれかです。

p_n：S_n ≡ 0 (mod 3) となる確率

q_n：S_n ≡ 1 (mod 3) となる確率

r_n：S_n ≡ 2 (mod 3) となる確率

Step 2：サイコロの目の分類

サイコロの目を3で割った余りで分類：

• 余り0：3, 6 → 確率 2/6 = 1/3
• 余り1：1, 4 → 確率 2/6 = 1/3
• 余り2：2, 5 → 確率 2/6 = 1/3

Step 3：漸化式を立てる

S_n+1 ≡ 0 (mod 3) となるのは：

• S_n ≡ 0 で X_n+1 ≡ 0
• S_n ≡ 1 で X_n+1 ≡ 2
• S_n ≡ 2 で X_n+1 ≡ 1

p_n+1 = (1/3)p_n + (1/3)q_n + (1/3)r_n = (1/3)(p_n + q_n + r_n) = 1/3

ここで p_n + q_n + r_n = 1 を使いました。

しかし、これは n ≥ 1 で成り立つので、初期条件を確認します。

p₁ = 2/6 = 1/3（X₁ = 3 または 6）

実は、対称性から p_n = q_n = r_n = 1/3 が予想できます。

Step 4：対称性による証明

サイコロの目 1, 2, 3, 4, 5, 6 を3で割った余りは 1, 2, 0, 1, 2, 0 で、各余りの出現確率は等しく 1/3 です。

初期状態 S₀ = 0 から始めて、各ステップで余りが一様に変化するので、任意の n に対して：

【(2) の解法】

6の倍数であることは「3の倍数かつ2の倍数（偶数）」と同値です。

Step 1：状態の設定

S_n を6で割った余りで分類（0, 1, 2, 3, 4, 5 の6状態）

または、3で割った余りと2で割った余りを組み合わせて考えます。

a_n：S_n ≡ 0 (mod 6) となる確率

Step 2：サイコロの目の分類（mod 6）

• 目1 → 余り1
• 目2 → 余り2
• 目3 → 余り3
• 目4 → 余り4
• 目5 → 余り5
• 目6 → 余り0

各余りの確率は 1/6 です。

Step 3：漸化式を立てる

b_n(k) を S_n ≡ k (mod 6) となる確率とすると：

b_n+1(0) = (1/6)[b_n(0) + b_n(1) + b_n(2) + b_n(3) + b_n(4) + b_n(5)]

ここでも対称性があり、十分大きな n では b_n(k) → 1/6 に収束しますが、有限の n での正確な値を求めます。

Step 4：詳細な計算

実は、6で割った余りについても対称性が成り立ちます。

サイコロの目 1, 2, 3, 4, 5, 6 を6で割った余りは 1, 2, 3, 4, 5, 0 で、各余りがちょうど1回ずつ現れます。

したがって、どの状態から始めても、1回の試行後には各余りが等確率 1/6 で現れます。

初期状態 S₀ = 0（余り0）から、n 回後には：

別解・発展

【漸化式を正確に解く方法】

対称性が成り立つことを厳密に示すには、推移行列を用いる方法があります。

状態 0, 1, 2, 3, 4, 5 間の推移確率行列 P は：

P = (1/6) × (巡回行列)

この行列の性質から、定常分布が一様分布 (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6) であることが示せます。

【発展：一般の場合】

サイコロが n 面で目が 1 から n まである場合、S_k が n の倍数である確率は 1/n になります。これは「各余りが等確率で出る」という対称性によります。

この年度の重要テーマと対策

2007年度に見られた重要テーマ

阪大数学攻略のためのアドバイス

1. 計算力を徹底的に鍛える

阪大数学は計算量が多いことで有名です。特に積分計算（部分積分、置換積分）は毎年のように出題されます。日頃から計算を省略せずに最後まで解き切る習慣をつけましょう。

2. 融合問題への対応力

第1問の「回転体＋極限」、第5問の「確率＋漸化式」のように、複数の分野を横断する問題が多いのが阪大の特徴です。単元ごとの学習だけでなく、分野間のつながりを意識した演習が重要です。

3. 発想力を要する問題への備え

第3問の「反転」のように、見慣れない設定の問題も出題されます。このような問題では、まず具体例で実験し、規則性を見つける姿勢が大切です。

4. 過去問演習の重要性

阪大数学には「阪大らしさ」があります。最低10年分の過去問を解いて、出題パターンや難易度に慣れておきましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：回転体の体積と極限

解答・解説

(1) の解答

y = xⁿ より x = y^1/n（x ≥ 0, y ≥ 0）

y 軸まわりの回転体なので、0 ≤ y ≤ 1 の範囲で：

W_n = π∫₀¹ x² dy = π∫₀¹ y^2/n dy

= π[y^{2/n + 1} / (2/n + 1)]₀¹

= π × n/(n + 2)

(2) の解答

n・W_n = n × πn/(n + 2) = πn²/(n + 2)

= π/(1/n + 2/n²)

n → ∞ のとき、1/n → 0, 2/n² → 0 なので：

...これは発散します。問題設定を修正して：

lim_n→∞ W_n = lim_n→∞ πn/(n + 2) = π

これは、n → ∞ で曲線 y = xⁿ が「x = 0 (0 ≤ y < 1) と y = 1 (0 ≤ x ≤ 1)」に近づき、回転体が半径1、高さ1の円柱に近づくことを意味します。

練習問題2：反転と軌跡

解答・解説

Step 1：円のパラメータ表示

中心 (4, 0)、半径 1 の円上の点 P は：

P = (4 + cosθ, sinθ)　（0 ≤ θ < 2π）

Step 2：OP の計算

OP = √{(4 + cosθ)² + sin²θ}

= √{16 + 8cosθ + cos²θ + sin²θ}

= √{17 + 8cosθ}

Step 3：反転点 Q の座標

反転条件 OP · OQ = r² = 4 より：

OQ = 4/OP = 4/√{17 + 8cosθ}

Q は半直線 OP 上にあるので：

Q = (OQ/OP) × P = (4/OP²) × P

x = 4(4 + cosθ)/(17 + 8cosθ)

y = 4sinθ/(17 + 8cosθ)

Step 4：軌跡の方程式を導出

cosθ と sinθ を消去します。

17 + 8cosθ = 4(4 + cosθ)/x より：

x(17 + 8cosθ) = 16 + 4cosθ

17x + 8x·cosθ = 16 + 4cosθ

cosθ(8x - 4) = 16 - 17x

cosθ = (16 - 17x)/(8x - 4) = (16 - 17x)/(4(2x - 1))

同様に、y = 4sinθ/(17 + 8cosθ) から sinθ を求め、

cos²θ + sin²θ = 1 を使います。

計算を進めると（詳細省略）：

【確認】

元の円は原点を通らないので（中心 (4,0) から原点までの距離 4 > 半径 1）、反転像も円になります。これは反転の一般的性質と一致します。

練習問題3：確率と漸化式

解答・解説

(1) の解答

Step 1：各目の2の因数を確認

• 目1：2⁰ を含む
• 目2：2¹ を含む
• 目3：2⁰ を含む
• 目4：2² を含む

P_n が 4 = 2² の倍数であるためには、n 回の積に含まれる 2 の因数の総数が 2 以上である必要があります。

Step 2：状態の設定

S_n：n 回投げた後の積に含まれる 2 の因数の個数

a_n：S_n = 0 となる確率

b_n：S_n = 1 となる確率

c_n：S_n ≥ 2 となる確率（= p_n）

Step 3：漸化式

各目の出る確率は 1/4 で、2の因数の増加は：

• 目1, 3（確率 2/4 = 1/2）：+0
• 目2（確率 1/4）：+1
• 目4（確率 1/4）：+2

a_n+1 = (1/2)a_n（1,3が出たとき）

b_n+1 = (1/2)b_n + (1/4)a_n（状態0から+1、状態1から+0）

c_n+1 = c_n + (1/4)a_n + (1/4)b_n + (1/2)c_n...（複雑になるので別アプローチ）

Step 4：余事象で考える

p_n = 1 - a_n - b_n

a_n = (1/2)ⁿ（毎回 1 か 3 が出る確率）

b_n については、n 回中ちょうど1回だけ 2 が出て、残りは 1 か 3 が出る確率：

b_n = _nC₁ × (1/4) × (1/2)^n-1 = n × (1/4) × (1/2)^n-1 = n/2ⁿ⁺¹

(2) の解答

P_n が 8 = 2³ の倍数であるためには、2 の因数の総数が 3 以上必要です。

同様に余事象で考えます：

d_n：S_n = 2 となる確率

d_n を求めるには、以下の場合を考えます：

• 4 が1回出て、残りは 1 か 3
• 2 が2回出て、残りは 1 か 3

d_n = _nC₁ × (1/4) × (1/2)^n-1 + _nC₂ × (1/4)² × (1/2)^n-2

= n/2ⁿ⁺¹ + n(n-1)/(2 × 16 × 2^n-2)

= n/2ⁿ⁺¹ + n(n-1)/2ⁿ⁺³

= (4n + n(n-1))/2ⁿ⁺³

= (n² + 3n)/2ⁿ⁺³

= n(n + 3)/2ⁿ⁺³

整理すると：

q_n = 1 - [4/2ⁿ⁺² + 2n/2ⁿ⁺² + n(n+3)/2ⁿ⁺³]

= 1 - [8 + 4n + n(n+3)]/2ⁿ⁺³

= 1 - (n² + 7n + 8)/2ⁿ⁺³

まとめ：2007年度阪大数学を振り返って

2007年度の大阪大学理系数学は、以下の点で特徴的でした：

日本数学塾・数強塾で大阪大学合格を目指そう

おわりに

2007年度の大阪大学数学、いかがでしたでしょうか？

阪大数学は「計算力」「発想力」「論理的思考力」の三拍子が揃わないと高得点は難しいですが、逆に言えば、この3つを鍛えれば確実に点数が伸びます。

今回解説した問題を参考に、ぜひ過去問演習に取り組んでみてください。わからないところがあれば、何度も解き直すことが大切です。

みなさんの阪大合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介