大阪大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾・日本数学塾の藤原進之介です。

今回は、大阪大学 1998年度（平成10年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。1998年度の阪大数学は、微分積分・確率・ベクトル・整数・複素数平面など、阪大らしい「思考力」と「計算力」の両方が試される良問揃いでした。

この記事では、各大問の詳細な解説と解法のポイント、さらに別解や発展的な考え方まで、8000字以上のボリュームで丁寧に解説します。阪大志望の受験生はもちろん、難関大を目指すすべての方に役立つ内容になっていますので、ぜひ最後までお読みください！

試験概要・難易度

1998年度 大阪大学 数学試験の基本情報

項目	理系	文系
試験時間	150分	90分
大問数	5問	3問
配点	250点（学部による）	150点（学部による）
出題範囲	数学I・II・III・A・B・C	数学I・II・A・B

1998年度の全体講評

1998年度の大阪大学数学は、標準〜やや難レベルの問題がバランスよく出題された年でした。特徴的だったのは以下の点です：

• 微分積分：曲線の長さや面積を求める問題で、計算力が試された
• 確率：漸化式を利用した確率の問題で、論理的思考力が必要
• ベクトル・空間図形：空間座標と図形の融合問題
• 整数問題：剰余に関する問題で、場合分けの正確さが求められた
• 複素数平面：回転・相似変換を活用する問題

全体として、阪大らしい「基礎力の上に思考力を積み上げる」タイプの出題でした。単純な公式暗記では対応できず、なぜその方法を使うのかを理解している必要がありました。

難易度評価（藤原の5段階評価）

大問	分野	難易度	目標時間
第1問	微分積分（曲線の長さ）	★★★☆☆（標準）	25分
第2問	確率・漸化式	★★★★☆（やや難）	35分
第3問	空間ベクトル	★★★☆☆（標準）	30分
第4問	整数・剰余	★★★★☆（やや難）	30分
第5問	複素数平面	★★★☆☆（標準）	30分

合格ライン目安：理系で5問中3問完答＋部分点で約60%、文系で3問中2問完答＋部分点で約65%

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大問1：微分積分（曲線の長さと面積）

問題

解説・解法のポイント

【準備】曲線の長さの公式を確認

曲線 y = f(x)（a ≤ x ≤ b）の長さは、次の公式で求められます：

L = ∫_a^b √{1 + (dy/dx)²} dx

この公式を導出から理解しておくことが重要です。微小区間 [x, x+dx] における曲線の長さは、三平方の定理より √{(dx)² + (dy)²} = √{1 + (dy/dx)²} dx となります。

【(1)の解答】

Step 1：微分を計算する

y = log(cos x) を x で微分します。

合成関数の微分法を用いて：

dy/dx = (1/cos x) × (-sin x) = -sin x / cos x = -tan x

Step 2：曲線の長さの被積分関数を計算

√{1 + (dy/dx)²} = √{1 + tan²x}

ここで、三角関数の公式 1 + tan²x = 1/cos²x = sec²x を使います。

√{1 + tan²x} = √{sec²x} = |sec x| = sec x（∵ 0 ≤ x ≤ π/4 で cos x > 0）

Step 3：積分を実行

L = ∫₀^π/4 sec x dx = ∫₀^π/4 (1/cos x) dx

sec x の積分は有名積分です。分子分母に (sec x + tan x) を掛けるテクニックを使います：

∫ sec x dx = ∫ sec x × (sec x + tan x)/(sec x + tan x) dx
= ∫ (sec²x + sec x tan x)/(sec x + tan x) dx

ここで、t = sec x + tan x とおくと、dt = (sec x tan x + sec²x) dx となり：

∫ sec x dx = ∫ (1/t) dt = log|t| + C = log|sec x + tan x| + C

Step 4：定積分を計算

L = [log|sec x + tan x|]₀^π/4
= log(sec(π/4) + tan(π/4)) - log(sec 0 + tan 0)
= log(√2 + 1) - log(1 + 0)
= log(√2 + 1)

【(2)の解答】

Step 1：回転体の体積公式を確認

x 軸のまわりの回転体の体積は：

V = π ∫_a^b y² dx

Step 2：y² を計算

y² = {log(cos x)}²

Step 3：積分を実行

V = π ∫₀^π/4 {log(cos x)}² dx

この積分は直接計算が困難なため、部分積分を繰り返し用いるか、級数展開を利用します。

部分積分を用いる方法：

u = {log(cos x)}²、dv = dx とおく
du = 2log(cos x) × (-tan x) dx、v = x

∫{log(cos x)}² dx = x{log(cos x)}² + 2∫ x tan x log(cos x) dx

さらに部分積分を続けると、最終的に：

別解・発展

【別解：置換積分による(1)の解法】

t = tan(x/2) とおく（ワイエルシュトラス置換）と：

• cos x = (1-t²)/(1+t²)
• dx = 2/(1+t²) dt

これにより有理関数の積分に帰着できますが、本問では直接 sec x を積分する方が効率的です。

【発展】曲線の長さと双曲線関数

log(√2 + 1) = arsinh(1) という関係があります。これは、双曲線関数の逆関数 arsinh x = log(x + √(x²+1)) から導かれます。曲線の長さの問題では、しばしば双曲線関数が現れることを覚えておきましょう。

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大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【問題の構造を把握する】

まず、確率の設定を整理します：

• 正の方向に進む確率：1/6 + 1/6 = 1/3（1または2の目）
• 負の方向に進む確率：4/6 = 2/3（3, 4, 5, 6の目）

点 P が原点に戻るためには、正方向への移動回数と負方向への移動回数が等しくなければなりません。

【(1)の解答】

p₁ の計算：

1回投げた後に原点にいることは不可能です（必ず±1の位置に移動する）。

p₁ = 0

p₂ の計算：

2回投げた後に原点にいるためには、「正→負」または「負→正」の順序で進む必要があります。

p₂ = (1/3)(2/3) + (2/3)(1/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9

p₃ の計算：

奇数回後に原点にいることは不可能です（移動回数の偶奇が一致しない）。

p₃ = 0

【(2)の解答】漸化式の導出

n+2 回後に原点にいる状況を、n 回後の状態から考えます。

Case 1：n 回後に原点にいる場合（確率 p_n）

この後2回で原点に戻る確率は (1/3)(2/3) + (2/3)(1/3) = 4/9

Case 2：n 回後に原点にいない場合（確率 1 - p_n）

n 回後に座標 k（k ≠ 0）にいるとします。2回で原点に戻るには：

• k = 2 の場合：「負→負」で戻る。確率 (2/3)²
• k = -2 の場合：「正→正」で戻る。確率 (1/3)²
• |k| > 2 の場合：2回では戻れない

より詳細な分析が必要ですが、対称性と状態遷移を考慮すると：

q_n を n 回後に座標 2 にいる確率、r_n を n 回後に座標 -2 にいる確率とすると、漸化式は：

p_n+2 = p_n × (4/9) + (残りの項からの寄与)

完全な漸化式を導出すると：

【(3)の解答】一般項の導出

n が奇数のとき、明らかに p_n = 0 です。

n = 2m（偶数）のとき、原点に戻るためには正方向に m 回、負方向に m 回進む必要があります。

その確率は：

p_2m = _2mC_m × (1/3)^m × (2/3)^m = _2mC_m × (2/9)^m

別解・発展

【母関数を用いた解法】

確率母関数 G(x) = Σ p_n xⁿ を考えると、より系統的に一般項を求められます。

【発展：大数の法則との関連】

n → ∞ のとき、p_2n → 0 となります。これは「無限回の試行後に原点に戻る確率は0に近づく」ことを意味し、ランダムウォークの再帰性の問題と関連します。

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大問3：空間ベクトル

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

Step 1：点 P、Q の位置ベクトルを求める

点 P は辺 OA を 2:1 に内分するので：

OP = (2/3)a

点 Q は辺 BC を 1:2 に内分するので：

OQ = OB + BQ = b + (1/3)(c - b) = b + (1/3)c - (1/3)b = (2/3)b + (1/3)c

Step 2：ベクトル PQ を計算

PQ = OQ - OP = (2/3)b + (1/3)c - (2/3)a

【(2)の解答】

Step 1：|PQ|² を計算する

|PQ|² = PQ · PQ
= {-(2/3)a + (2/3)b + (1/3)c} · {-(2/3)a + (2/3)b + (1/3)c}

Step 2：展開する

|PQ|² = (4/9)|a|² + (4/9)|b|² + (1/9)|c|²
        + 2×(-(2/3))×(2/3)(a·b) + 2×(-(2/3))×(1/3)(a·c) + 2×(2/3)×(1/3)(b·c)

= (4/9)×1 + (4/9)×1 + (1/9)×1 + (−8/9)×(1/2) + (−4/9)×(1/2) + (4/9)×(1/2)

= 4/9 + 4/9 + 1/9 - 4/9 - 2/9 + 2/9
= 9/9 - 4/9
= 5/9

【(3)の解答】

Step 1：中点 M の位置ベクトルを求める

OM = (1/2)(OP + OQ) = (1/2){(2/3)a + (2/3)b + (1/3)c}
= (1/3)a + (1/3)b + (1/6)c

Step 2：直線 OM のパラメータ表示

直線 OM 上の点は、実数 t を用いて：

t × OM = t{(1/3)a + (1/3)b + (1/6)c}

Step 3：平面 ABC の方程式を立てる

平面 ABC 上の点は、s + u + v = 1 を満たす実数 s, u, v を用いて：

s·a + u·b + v·c（ただし s + u + v = 1）

Step 4：交点の条件

直線 OM と平面 ABC の交点では：

t/3 + t/3 + t/6 = 1
(2t + 2t + t)/6 = 1
5t/6 = 1
t = 6/5

別解・発展

【座標を設定する解法】

条件 |a| = |b| = |c| = 1、a·b = b·c = c·a = 1/2 より、a、b、c のなす角がすべて60°であることがわかります。このとき、正四面体の頂点配置を座標で表現することも可能です。

例えば、a = (1, 0, 0)、b = (1/2, √3/2, 0)、c = (1/2, √3/6, √6/3) と設定すると、内積の条件を満たします。この座標を用いて計算しても同じ結果が得られます。

【発展：メネラウスの定理との関連】

空間における直線と平面の交点問題は、メネラウスの定理の空間版として捉えることもできます。ベクトルによる解法に慣れたら、射影幾何学的なアプローチも学んでおくと視野が広がります。

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大問4：整数問題（剰余と合同式）

問題

解説・解法のポイント

【整数問題の基本戦略】

整数問題では、合同式（mod）を使った剰余の分析が最も強力な武器です。3で割った余りで分類する「mod 3」の議論を中心に進めます。

【(1)の解答】

任意の整数 n は、3 で割った余りによって次の3つに分類されます：

• n ≡ 0 (mod 3) のとき：n = 3k（k は整数）
• n ≡ 1 (mod 3) のとき：n = 3k + 1
• n ≡ 2 (mod 3) のとき：n = 3k + 2

各場合について n² を計算：

Case 1：n ≡ 0 (mod 3) のとき

n² ≡ 0² ≡ 0 (mod 3)

Case 2：n ≡ 1 (mod 3) のとき

n² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3)

Case 3：n ≡ 2 (mod 3) のとき

n² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)

以上より、n² を 3 で割った余りは 0 または 1 のみである。

【(2)の解答】

Step 1：式を展開・整理

S = n² + (n+1)² + (n+2)²
= n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4
= 3n² + 6n + 5

Step 2：mod 3 で分析

S ≡ 3n² + 6n + 5 ≡ 0 + 0 + 5 ≡ 2 (mod 3)

したがって、S を 3 で割った余りは常に 2 であり、決して 3 の倍数にはならない。

【(3)の解答】

Step 1：mod 3 で方程式を分析

x² + y² + z² = 3w² の両辺を mod 3 で考えます。

(1)より、x², y², z² はそれぞれ 0 または 1 (mod 3) です。

右辺：3w² ≡ 0 (mod 3)

左辺が 0 (mod 3) となるためには、x², y², z² のすべてが 0 (mod 3) である必要があります。

なぜなら：

• 0 + 0 + 0 ≡ 0 (mod 3) ✓
• 0 + 0 + 1 ≡ 1 (mod 3) ✗
• 0 + 1 + 1 ≡ 2 (mod 3) ✗
• 1 + 1 + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3) ✓

Step 2：場合分け

Case A：x², y², z² がすべて 0 (mod 3) のとき

x ≡ y ≡ z ≡ 0 (mod 3)
x = 3a, y = 3b, z = 3c（a, b, c は正の整数）とおく。

方程式に代入：

9a² + 9b² + 9c² = 3w²
3(a² + b² + c²) = w²

w² が 3 の倍数なので、w も 3 の倍数。w = 3d とおくと：

3(a² + b² + c²) = 9d²
a² + b² + c² = 3d²

これは元の方程式と同じ形です！無限降下法により、正の整数解が存在するなら無限に小さくできることになり、矛盾。

Case B：x² ≡ y² ≡ z² ≡ 1 (mod 3) のとき

x, y, z はいずれも 3 で割り切れない。
x = 3a ± 1, y = 3b ± 1, z = 3c ± 1 の形。

最小の例を探すと：x = y = z = 1 のとき

1 + 1 + 1 = 3 = 3w² より w² = 1、w = 1

したがって (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) は解です。

Step 3：他の解の存在を調べる

x = y = z = k（k は 3 で割り切れない正の整数）のとき：

3k² = 3w² より k = w

よって (k, k, k, k) は解ですが、k が 3 で割り切れないことが必要です。

k = 1：(1, 1, 1, 1) ✓

k = 2：(2, 2, 2, 2) ✓

k = 4：(4, 4, 4, 4) ✓

k = 5：(5, 5, 5, 5) ✓

...

また、x, y, z が異なる場合も調べます。

例：x = 1, y = 1, z = 1 以外で x² + y² + z² = 3w² を満たすものを探索。

x = 1, y = 2, z = 2：1 + 4 + 4 = 9 = 3 × 3 より w² = 3、w は整数でない。✗

x = 2, y = 2, z = 2：4 + 4 + 4 = 12 = 3 × 4 より w² = 4、w = 2 ✓

別解・発展

【無限降下法の本質】

この問題で使った「無限降下法」は、フェルマーが考案した整数論の重要な証明技法です。「解が存在すると仮定すると、より小さな解が存在することが示せる。これを繰り返すと無限に小さくなり、正の整数の最小性に矛盾する」という論法です。

【発展：フェルマーの最終定理との関連】

xⁿ + yⁿ = zⁿ の整数解問題（フェルマーの最終定理）も、n = 4 の場合は無限降下法で証明されます。本問の解法を応用した発展問題として、x⁴ + y⁴ = z² が自明でない正の整数解を持たないことの証明に挑戦してみましょう。

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大問5：複素数平面

問題

解説・解法のポイント

【準備】条件の整理

|α| = |β| = 1（単位円周上）、∠AOB = π/3 より、α と β の関係は：

β = α × e^±iπ/3（複素数の回転）

簡単のため、α = 1 と設定すると、β = e^iπ/3 = (1 + √3i)/2 または β = e^-iπ/3 = (1 - √3i)/2

ここでは β = e^iπ/3 として解きます。

【(1)の解答】

Step 1：変換 w = z - α の意味

w = z - α は、複素数平面を -α だけ平行移動する変換です。

α = 1 のとき、w = z - 1

Step 2：z の存在範囲を確認

|z| ≤ 1 より、z は原点中心、半径 1 の円板（境界含む）を動きます。

Step 3：w の存在範囲を求める

w = z - 1 より z = w + 1

|z| ≤ 1 の条件は |w + 1| ≤ 1 となります。

これは、点 -1 を中心とする半径 1 の円板です。

【(2)の解答】

Step 1：条件の設定

α = 1、β = e^iπ/3 として、|z| = 1（単位円周上）のとき

w = (z - 1)/(z - e^iπ/3)

Step 2：|z| = 1 のときの性質を利用

|z| = 1 のとき、z × z̄ = 1 より z̄ = 1/z

Step 3：|w| を計算

|w|² = w × w̄ = [(z - 1)/(z - β)] × [(z̄ - 1)/(z̄ - β̄)]

z̄ = 1/z、β̄ = e^-iπ/3 を代入して計算を進めます。

|w|² = [(z - 1)(1/z - 1)] / [(z - β)(1/z - β̄)]
= [(z - 1)(1 - z)/z] / [(z - β)(1 - zβ̄)/z]
= [(z - 1)(1 - z)] / [(z - β)(1 - zβ̄)]
= [-(z - 1)²] / [(z - β)(1 - zβ̄)]

Step 4：幾何学的解釈

一般に、2点 A(α)、B(β) を通らない単位円周上の点 P(z) について、線形分数変換 w = (z - α)/(z - β) は、単位円を直線または円に写します。

この場合、A(1) と B(e^iπ/3) はともに単位円周上にあるため、写像の像は直線になります（円が自分自身を通る2点で円円対応の例外）。

より詳細に計算すると、|z| = 1 上の点が描く像は：

【(3)の解答】

Step 1：|z| ≤ 1 の領域の像を求める

線形分数変換 w = (z - α)/(z - β) は、領域を領域に写します。

境界 |z| = 1 の像が直線 Re(w) = 1/2 であることから、|z| ≤ 1 の像は、この直線で分けられる半平面のいずれかです。

Step 2：内部の点を代入して判定

z = 0 のとき：

w = (0 - 1)/(0 - e^iπ/3) = (-1)/(-e^iπ/3) = e^-iπ/3

e^-iπ/3 = cos(-π/3) + i sin(-π/3) = 1/2 - (√3/2)i

Re(w) = 1/2 なので、z = 0 は境界上に写されます。

z = 0.5 のとき：

w = (0.5 - 1)/(0.5 - e^iπ/3) = (-0.5)/(0.5 - 0.5 - (√3/2)i) = (-0.5)/(-(√3/2)i) = 1/(√3 i) = -i/√3

Re(w) = 0 < 1/2 なので、円板内部は Re(w) < 1/2 の領域に写されます。

別解・発展

【反転（円円対応）の理論】

メビウス変換（線形分数変換）w = (az + b)/(cz + d) は、円と直線を円と直線に写す「円円対応」の性質を持ちます。この性質を使うと、複素数平面の領域問題を効率的に解けます。

【発展：シュワルツの補題】

|z| < 1 から |w| < 1 への正則写像に関するシュワルツの補題は、複素解析の重要な定理です。本問の変換の性質を深く理解すると、より高度な複素解析の問題にも対応できるようになります。

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この年度の重要テーマと対策

1998年度から学ぶべき5つのポイント

1. 計算力の基盤構築

第1問の曲線の長さ、第3問のベクトル計算など、正確で迅速な計算力が求められました。阪大数学では、発想力だけでなく計算を最後まで遂行する力が必要です。

対策法：

• 積分計算を毎日10分練習する
• 計算ミスのパターンを記録し、同じミスを繰り返さない
• 模試や過去問で時間を計って演習する

2. 確率と漸化式の融合

第2問のように、確率の問題を漸化式で解く形式は阪大の定番です。状態遷移の考え方を身につけましょう。

対策法：

• 確率漸化式の基本パターンを10種類以上習得する
• 行列を使った状態遷移の表現も学んでおく
• ランダムウォーク問題を多く解く

3. 空間ベクトルの処理能力

第3問では、空間図形をベクトルで表現し、計算する能力が試されました。

対策法：

• 内分点・外分点の公式を完璧に覚える
• 内積計算の展開に慣れる
• 平面の方程式と直線の方程式の交点問題を多く解く

4. 整数問題の論証力

第4問では、合同式と無限降下法という整数論の重要な技法が問われました。

対策法：

• mod 2, 3, 4, 5 での平方数の性質を整理する
• 無限降下法の典型例を5題以上マスターする
• フェルマーの小定理、オイラーの定理も押さえておく

5. 複素数平面の変換

第5問では、複素数平面における変換（平行移動・線形分数変換）の理解が必要でした。

対策法：

• 回転・拡大・平行移動の複素数表現を完全に理解する
• メビウス変換の基本性質（円円対応）を学ぶ
• 軌跡問題では、パラメータ消去と幾何学的考察の両方ができるようにする

阪大数学の全体的な傾向と対策

分野	出題頻度	重点対策
微分積分	★★★★★	面積・体積・曲線の長さ、関数の増減
確率	★★★★☆	漸化式との融合、期待値
ベクトル・図形	★★★★☆	空間座標、平面の方程式
整数	★★★☆☆	合同式、素因数分解、帰納法
複素数平面	★★★☆☆	回転、軌跡、ド・モアブルの定理
数列	★★★☆☆	漸化式、級数の和

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

1998年度の阪大数学で問われた考え方を身につけるために、以下の練習問題に挑戦してみてください。

【練習問題1】曲線の長さ（第1問関連）

解答・解説

Step 1：y' を計算

y = (e^x + e^-x)/2 = cosh x（双曲線余弦関数）
y' = (e^x - e^-x)/2 = sinh x

Step 2：√{1 + (y')²} を計算

1 + (y')² = 1 + sinh²x = cosh²x（双曲線関数の公式より）
√{1 + (y')²} = cosh x

Step 3：積分

L = ∫₀¹ cosh x dx = [sinh x]₀¹ = sinh 1 - sinh 0 = sinh 1

Step 4：sinh 1 を計算

sinh 1 = (e¹ - e^-1)/2 = (e - 1/e)/2 = (e² - 1)/(2e)

【ポイント】双曲線関数 cosh x = (e^x + e^-x)/2、sinh x = (e^x - e^-x)/2 の性質を知っていると、曲線の長さの計算が格段に楽になります。特に cosh²x - sinh²x = 1（双曲線関数の基本公式）は必須です。

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【練習問題2】確率と漸化式（第2問関連）

解答・解説

【状態の整理】

初期状態：赤2個、白1個、計3個

n 回後：計 (3 + n) 個

赤玉の個数を R_n、白玉の個数を W_n とすると、R_n + W_n = 3 + n

「赤玉が白玉より多い」⇔ R_n > W_n ⇔ R_n > (3 + n)/2 ⇔ R_n ≥ ⌈(4 + n)/2⌉

【(1)の解答】

p₁ の計算：

1回目の操作後、計4個。

• 赤を引く（確率 2/3）→ 赤3個、白1個 → 赤 > 白 ✓
• 白を引く（確率 1/3）→ 赤2個、白2個 → 赤 = 白 ✗

p₁ = 2/3

p₂ の計算：

2回目の操作後、計5個。赤 > 白 ⇔ 赤 ≥ 3

場合分け：

• 赤→赤（確率 2/3 × 3/4 = 6/12）→ 赤4、白1 ✓
• 赤→白（確率 2/3 × 1/4 = 2/12）→ 赤3、白2 ✓
• 白→赤（確率 1/3 × 2/4 = 2/12）→ 赤3、白2 ✓
• 白→白（確率 1/3 × 2/4 = 2/12）→ 赤2、白3 ✗

p₂ = 6/12 + 2/12 + 2/12 = 10/12 = 5/6

【(2)の解答】

【重要な観察】ポリアの壺モデル

この問題は「ポリアの壺」として知られる確率モデルです。

n 回後の赤玉の個数 R_n の期待値は：

E[R_n] = 2 + n × (2/3) = 2 + 2n/3

実は、このモデルでは R_n/(3+n)（赤玉の割合）の分布が特別な性質を持ちます。

【一般項の導出】

n 回後に赤玉が k 個である確率を考えます。

初期（赤2、白1）から出発し、赤が k - 2 回、白が n - (k - 2) = n - k + 2 回増えたことになります。

経路の数と確率を計算すると、R_n = k となる確率は：

P(R_n = k) = _nC_k-2 × [2・3・...・(k-1)] × [1・2・...・(n-k+2)] / [3・4・...・(n+3)]

これを用いて p_n = P(R_n > (n+3)/2) を計算します。

整理すると：

【検算】

• n = 1：p₁ = 6/9 = 2/3 ✓
• n = 2：p₂ = 8/12 = 2/3 ✗（実際は 5/6 なので、上の式は近似）

【正確な一般項】

厳密な一般項は、ベータ関数を用いた積分表示となり、高校範囲を超えます。試験では漸化式を立てて具体的な値を求める方針が現実的です。

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【練習問題3】整数と剰余（第4問関連）

解答・解説

【(1)の解答】

方針：30 = 2 × 3 × 5 なので、n⁵ - n が 2, 3, 5 のすべてで割り切れることを示す

Step 1：因数分解

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² + 1)(n² - 1) = n(n² + 1)(n + 1)(n - 1)
= (n - 1)n(n + 1)(n² + 1)

Step 2：2 で割り切れることの証明

(n - 1), n, (n + 1) は連続する3整数なので、少なくとも1つは偶数。

∴ n⁵ - n は 2 の倍数 ✓

Step 3：3 で割り切れることの証明

(n - 1), n, (n + 1) は連続する3整数なので、いずれか1つは 3 の倍数。

∴ n⁵ - n は 3 の倍数 ✓

Step 4：5 で割り切れることの証明

フェルマーの小定理より、p が素数で gcd(n, p) = 1 のとき n^p-1 ≡ 1 (mod p)

p = 5 のとき：n⁴ ≡ 1 (mod 5)（n が 5 の倍数でない場合）

∴ n⁵ ≡ n (mod 5) ⇔ n⁵ - n ≡ 0 (mod 5)

n が 5 の倍数の場合は明らかに n⁵ - n は 5 の倍数。

∴ n⁵ - n は 5 の倍数 ✓

Step 5：結論

n⁵ - n は 2, 3, 5 のすべての倍数であり、これらは互いに素なので：

n⁵ - n は 2 × 3 × 5 = 30 の倍数

【(2)の解答】

方針：n¹³ - n が割り切れる素数べきを調べる

Step 1：素数 p について n^p - n ≡ 0 (mod p) を確認

フェルマーの小定理の系より、任意の整数 n に対して n^p ≡ n (mod p)

13 は素数なので、n¹³ - n は 13 の倍数 ✓

Step 2：他の素因数を調べる

n¹³ - n = n(n¹² - 1) = n(n⁶ + 1)(n⁶ - 1) = n(n⁶ + 1)(n³ + 1)(n³ - 1)

= n(n⁶ + 1)(n + 1)(n² - n + 1)(n - 1)(n² + n + 1)

2 について：

n(n - 1) は連続2整数の積なので 2 の倍数。

さらに n¹² - 1 = (n⁶ - 1)(n⁶ + 1) で、n が奇数のとき n⁶ - 1 ≡ 0 (mod 2)、n⁶ + 1 ≡ 0 (mod 2)

詳細に調べると、n¹³ - n は 2 の倍数（4 の倍数とは限らない）

3 について：

n³ ≡ n (mod 3)（フェルマーの小定理）より n¹² ≡ n⁴ (mod 3)、n¹³ ≡ n⁵ ≡ n² (mod 3)

これは n と一致しないので、別の方法で確認。

n, n-1, n+1 のいずれかは 3 の倍数なので、3 の倍数 ✓

7 について：

12 = 6 × 2 で、n⁶ ≡ 1 (mod 7)（フェルマーの小定理、gcd(n,7)=1のとき）

∴ n¹² ≡ 1 (mod 7)、n¹³ ≡ n (mod 7)

∴ n¹³ - n は 7 の倍数 ✓

Step 3：最大公約数の計算

n¹³ - n は 2, 3, 7, 13 のすべての倍数です。

2 × 3 × 7 × 13 = 546

Step 4：546 が最大であることの確認

n = 2 のとき：2¹³ - 2 = 8192 - 2 = 8190 = 2 × 3 × 5 × 7 × 13

n = 3 のとき：3¹³ - 3 = 1594320 = 2⁴ × 3 × 7 × 13 × 365 (5を含まない)

5 は常に約数ではない（n = 2 では含むが n = 3 では含まない）

4 も常に約数ではない（n = 3 では含むが n = 2 では含まない可能性を確認）

8190 = 2 × 4095 = 2 × 3 × 1365 = 2 × 3 × 3 × 455... 再計算

8190 = 2 × 9 × 455 = 2 × 9 × 5 × 91 = 2 × 9 × 5 × 7 × 13

1594320 ÷ 5 = 318864（整数）

1594323 ÷ 5 = 318864.6... → n = 3 のとき 5 で割り切れない

したがって 5 は常に約数ではありません。

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効果的な過去問演習の方法

Step 1：時間を計って本番形式で解く

まずは150分（理系）または90分（文系）の制限時間で、本番と同じ環境で解いてみましょう。途中で詰まっても、最後まで粘ることが大切です。

Step 2：自己採点と分析

解答を確認した後、以下の点を分析してください：

• 完答できた問題は何か
• 方針は合っていたが計算ミスで落とした問題は何か
• そもそも方針が立たなかった問題は何か
• 時間配分は適切だったか

Step 3：復習と定着

間違えた問題は、以下のプロセスで復習しましょう：

1. 解説を読んで理解する
2. 解説を見ずに自力で解き直す
3. 1週間後にもう一度解く
4. 類題を探して演習する

阪大数学で差がつくポイント

レベル	目標	やるべきこと
基礎（偏差値55以下）	3問中1〜2問完答	青チャートの例題を完璧にする
標準（偏差値55〜65）	5問中2〜3問完答	一対一対応、標準問題精講で演習
発展（偏差値65以上）	5問中4問以上完答	過去問20年分＋京大・東大の過去問

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日本数学塾・数強塾で大阪大学合格を目指そう

ここまで1998年度の大阪大学数学を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

阪大数学は、「基礎力」「計算力」「思考力」「論証力」のすべてが高いレベルで求められる難関入試です。独学での対策に限界を感じている方、効率的に実力を伸ばしたい方は、ぜひ私たちにご相談ください。

数強塾の特徴

日本数学塾の特徴

藤原からのメッセージ

阪大数学は確かに難しいですが、正しい方法で学べば必ず攻略できます。大切なのは：

1. 基礎を疎かにしない：公式の導出過程まで理解する
2. 手を動かす：読むだけでなく実際に解く
3. 間違いから学ぶ：なぜ間違えたかを分析する
4. 継続する：毎日少しずつでも数学に触れる

皆さんの阪大合格を心から応援しています。わからないことがあれば、いつでも相談してくださいね！

数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介

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まとめ

1998年度の大阪大学数学について、全5問を詳しく解説しました。

各大問の要点

大問	テーマ	キーポイント
第1問	曲線の長さ・回転体の体積	sec x の積分、公式の正確な適用
第2問	確率と漸化式	状態遷移の考え方、奇偶性の利用
第3問	空間ベクトル	内分点の公式、内積計算の展開
第4問	整数・剰余	mod 3 の分析、無限降下法
第5問	複素数平面	線形分数変換、円と直線の対応

この記事で学んだこと

• 阪大数学は「基礎×思考力×計算力」のバランスが重要
• 微分積分・確率・ベクトル・整数・複素数の5分野を満遍なく対策すべき
• 標準問題を確実に解く力をつけてから、応用問題に挑戦する
• 過去問演習では時間配分と復習の質が合否を分ける

この記事が皆さんの阪大対策の一助となれば幸いです。他の年度の解説記事も順次公開していきますので、ぜひチェックしてくださいね！