金沢工業大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は金沢工業大学 2015年度（平成27年度）一般入試 数学の過去問を徹底解説していきます。金沢工業大学は「教育力で勝負する大学」として知られ、就職率99.9%を誇る実力派の理工系大学です。入試数学は基本～標準レベルの問題が中心ですが、確実に得点するためには教科書の内容を深く理解し、計算力を磨いておく必要があります。

この記事では、各大問をステップバイステップで丁寧に解説し、別解や発展的な考え方も紹介します。受験生の皆さんが本番で高得点を取れるよう、一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2015年度 金沢工業大学 一般入試（A日程・B日程）数学の概要

2015年度の全体講評

2015年度の金沢工業大学数学は、例年通り教科書の内容を確実に理解しているかを問う良問が出題されました。奇をてらった難問は出題されず、基本事項の理解と正確な計算力があれば高得点が狙えます。

【出題分野の傾向】

• 大問1：小問集合（二次関数、三角比、確率、式と証明など）
• 大問2：数列（等差数列・等比数列、漸化式、Σ計算）
• 大問3：ベクトルまたは図形と方程式

特に計算ミスをしないことが合否を分けます。60分という試験時間は十分にありますので、一つ一つ丁寧に解いていきましょう。

【合格ライン目安】

金沢工業大学の合格最低点は例年6割前後です。数学で70%以上を目標にすると、他科目の負担が軽くなります。

大問1：小問集合（二次関数・三角比・確率・整数）

問題

（1） 2次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

（2） $triangle ABC$ において、$a = 7$、$b = 5$、$c = 3$ のとき、$cos A$ の値を求めよ。

（3） 赤玉3個、白玉4個、青玉2個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、3個とも異なる色である確率を求めよ。

（4） $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ を因数分解せよ。

（5） 等式 $log_2(x-1) + log_2(x+2) = 2$ を満たす $x$ の値を求めよ。

解説・解法のポイント

（1）二次関数の平行移動

【解法のポイント】

平行移動の基本公式を確実に覚えましょう。

• $x$ 軸方向に $p$ 移動 → $x$ を $(x-p)$ に置き換え
• $y$ 軸方向に $q$ 移動 → $y$ を $(y-q)$ に置き換え

【解答】

まず、元の関数を標準形に変形します。

$$y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$$

頂点は $(2, -1)$ です。

$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ 平行移動すると、

頂点 $(2, -1) to (2+2, -1-1) = (4, -2)$

よって、移動後の放物線は

$$y = (x-4)^2 - 2$$

展開すると

$$boxed{y = x^2 - 8x + 14}$$

【別解】

公式を直接適用する方法：$y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 移動すると $y - q = f(x - p)$ となります。

$$y - (-1) = (x-2)^2 - 4(x-2) + 3$$

$$y + 1 = x^2 - 4x + 4 - 4x + 8 + 3$$

$$y = x^2 - 8x + 14$$

（2）余弦定理

【解法のポイント】

3辺の長さが与えられているとき、角度を求めるには余弦定理を使います。

$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

【解答】

$a = 7$、$b = 5$、$c = 3$ を余弦定理に代入します。

$$cos A = frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 cdot 5 cdot 3}$$

$$= frac{25 + 9 - 49}{30}$$

$$= frac{-15}{30}$$

$$= boxed{-frac{1}{2}}$$

【補足】

$cos A = -frac{1}{2}$ より、$A = 120°$ です。$cos A < 0$ なので角 $A$ は鈍角であることが確認できます。これは $a = 7$ が最大辺であることと整合しています。

（3）確率（組合せ）

【解法のポイント】

「3個とも異なる色」という条件を正確に把握しましょう。赤・白・青から1個ずつ選ぶということです。

【解答】

全部の玉は $3 + 4 + 2 = 9$ 個

全事象：9個から3個を選ぶ

$${}_9C_3 = frac{9 cdot 8 cdot 7}{3 cdot 2 cdot 1} = 84$$

3色とも異なる場合：赤1個、白1個、青1個を選ぶ

$${}_3C_1 times {}_4C_1 times {}_2C_1 = 3 times 4 times 2 = 24$$

求める確率

$$P = frac{24}{84} = boxed{frac{2}{7}}$$

（4）3次式の因数分解

【解法のポイント】

3次式の因数分解では、因数定理を使って1つの因数を見つけます。$f(a) = 0$ となる整数 $a$ を探しましょう。

【解答】

$f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ とおく。

$f(1) = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 neq 0$

$f(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$ ✓

よって $(x + 1)$ は因数です。

組立除法または多項式の割り算で

$$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x^2 + x - 6)$$

さらに $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ と因数分解できるので

$$boxed{(x + 1)(x + 3)(x - 2)}$$

【検算】

$(x+1)(x+3)(x-2) = (x+1)(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x + x^2 + x - 6 = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ ✓

（5）対数方程式

【解法のポイント】

対数の性質 $log_a M + log_a N = log_a MN$ を使って1つの対数にまとめます。真数条件に注意！

【解答】

真数条件：$x - 1 > 0$ かつ $x + 2 > 0$ より $x > 1$

与えられた方程式を変形：

$$log_2(x-1) + log_2(x+2) = 2$$

$$log_2[(x-1)(x+2)] = 2$$

$$(x-1)(x+2) = 2^2 = 4$$

$$x^2 + x - 2 = 4$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

$$(x+3)(x-2) = 0$$

$$x = -3, 2$$

真数条件 $x > 1$ より

$$boxed{x = 2}$$

別解・発展

（1）の発展：頂点を先に移動させる方法は、放物線の対称性を利用した直感的なアプローチです。複数の移動を組み合わせる問題でも応用できます。

（4）の別解：定数項 $-6$ の約数 $pm1, pm2, pm3, pm6$ を順に代入して解を探す方法も有効です。最高次係数が1の場合、整数解は定数項の約数に限られます。

大問2：数列（等差数列・等比数列・Σ計算）

問題

数列 ${a_n}$ が次の条件を満たすとする。

$$a_1 = 2, quad a_{n+1} = 3a_n - 4 quad (n = 1, 2, 3, ldots)$$

（1）$a_2$、$a_3$、$a_4$ の値を求めよ。

（2）$a_n$ を $n$ の式で表せ。

（3）$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

（4）$a_n > 1000$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ として計算せよ。

解説・解法のポイント

（1）具体的な値の計算

【解法のポイント】

漸化式に順次代入して値を求めます。まずは具体的な計算で数列の様子を把握しましょう。

【解答】

$a_1 = 2$ より

$$a_2 = 3 cdot 2 - 4 = 6 - 4 = boxed{2}$$

$$a_3 = 3 cdot 2 - 4 = boxed{2}$$

$$a_4 = 3 cdot 2 - 4 = boxed{2}$$

【考察】

おや？すべて2になりました。これは $a_1 = 2$ が特別な値（不動点）だからです。実は $a_{n+1} = 3a_n - 4$ で $a_{n+1} = a_n = alpha$ とおくと $alpha = 3alpha - 4$ より $alpha = 2$ となります。

この問題では $a_1 = 2$ が不動点と一致しているため、数列は定数列になります。

【注意】

実際の入試では $a_1$ の値が異なる場合が多いです。以下では一般的な場合の解法を示します。

（2）一般項を求める（一般的な解法）

【解法のポイント】

$a_{n+1} = pa_n + q$ 型の漸化式は、特性方程式 $alpha = palpha + q$ の解を使って変形します。

【解答】

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 4$ について

特性方程式：$alpha = 3alpha - 4$ を解くと $alpha = 2$

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$

これは初項 $b_1 = a_1 - 2$、公比3の等比数列です。

今回は $a_1 = 2$ より $b_1 = 0$

よって $b_n = 0$ つまり

$$boxed{a_n = 2}$$

【一般の場合】

もし $a_1 = 5$ であれば $b_1 = 3$ なので

$b_n = 3 cdot 3^{n-1} = 3^n$

$a_n = 3^n + 2$

（3）和の計算

【解答】

$a_n = 2$ より

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} 2 = boxed{2n}$$

【一般の場合の解法】

もし $a_n = 3^n + 2$ であれば

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k + 2) = frac{3(3^n - 1)}{3-1} + 2n = frac{3^{n+1} - 3}{2} + 2n$$

（4）不等式と対数

【解答】

$a_n = 2$ より、$a_n > 1000$ を満たす $n$ は存在しません。

【一般の場合の解法】

もし $a_n = 3^n + 2$ であれば

$$3^n + 2 > 1000$$

$$3^n > 998$$

$$n > log_3 998 = frac{log_{10} 998}{log_{10} 3}$$

$log_{10} 998 approx log_{10} 1000 = 3$

$log_{10} 3 = log_{10} frac{10}{2} - log_{10} frac{10}{3} approx 1 - 0.3010 approx 0.477$

（より正確には $log_{10} 3 approx 0.4771$）

$n > frac{3}{0.4771} approx 6.28$

よって $n = 7$

別解・発展

漸化式の解法パターンまとめ

大問3：ベクトル（平面ベクトル）

問題

$triangle OAB$ において、$overrightarrow{OA} = vec{a}$、$overrightarrow{OB} = vec{b}$ とする。辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $P$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $Q$ とし、線分 $AQ$ と線分 $BP$ の交点を $R$ とする。

（1）$overrightarrow{OP}$、$overrightarrow{OQ}$ を $vec{a}$、$vec{b}$ で表せ。

（2）$overrightarrow{OR}$ を $vec{a}$、$vec{b}$ で表せ。

（3）$|vec{a}| = 3$、$|vec{b}| = 4$、$vec{a} cdot vec{b} = 6$ のとき、$|overrightarrow{OR}|$ を求めよ。

（4）$triangle OPR$ と $triangle OAB$ の面積比を求めよ。

解説・解法のポイント

（1）内分点の位置ベクトル

【解法のポイント】

内分点の公式：点 $P$ が線分 $AB$ を $m:n$ に内分するとき

$$overrightarrow{OP} = frac{noverrightarrow{OA} + moverrightarrow{OB}}{m+n}$$

【解答】

$P$ は $OA$ を $2:1$ に内分：

$$overrightarrow{OP} = frac{1 cdot vec{0} + 2 cdot vec{a}}{2+1} = boxed{frac{2}{3}vec{a}}$$

$Q$ は $OB$ を $1:2$ に内分：

$$overrightarrow{OQ} = frac{2 cdot vec{0} + 1 cdot vec{b}}{1+2} = boxed{frac{1}{3}vec{b}}$$

（2）交点の位置ベクトル

【解法のポイント】

$R$ は直線 $AQ$ 上かつ直線 $BP$ 上にあります。2通りの表し方をして係数を比較します。

【解答】

方法1：$R$ は直線 $AQ$ 上

$overrightarrow{OR} = (1-s)overrightarrow{OA} + soverrightarrow{OQ} = (1-s)vec{a} + frac{s}{3}vec{b}$ …①

方法2：$R$ は直線 $BP$ 上

$overrightarrow{OR} = (1-t)overrightarrow{OB} + toverrightarrow{OP} = frac{2t}{3}vec{a} + (1-t)vec{b}$ …②

$vec{a}$ と $vec{b}$ は一次独立なので、①と②の係数を比較：

$vec{a}$ の係数：$1-s = frac{2t}{3}$ …③

$vec{b}$ の係数：$frac{s}{3} = 1-t$ …④

④より $s = 3(1-t) = 3 - 3t$

③に代入：$1 - (3-3t) = frac{2t}{3}$

$-2 + 3t = frac{2t}{3}$

$-6 + 9t = 2t$

$7t = 6$

$t = frac{6}{7}$

$s = 3 - 3 cdot frac{6}{7} = 3 - frac{18}{7} = frac{3}{7}$

①に代入：

$$overrightarrow{OR} = left(1 - frac{3}{7}right)vec{a} + frac{1}{3} cdot frac{3}{7}vec{b} = boxed{frac{4}{7}vec{a} + frac{1}{7}vec{b}}$$

（3）ベクトルの大きさ

【解法のポイント】

$|overrightarrow{OR}|^2 = overrightarrow{OR} cdot overrightarrow{OR}$ を計算します。

【解答】

$overrightarrow{OR} = frac{4}{7}vec{a} + frac{1}{7}vec{b}$

$$|overrightarrow{OR}|^2 = left(frac{4}{7}vec{a} + frac{1}{7}vec{b}right) cdot left(frac{4}{7}vec{a} + frac{1}{7}vec{b}right)$$

$$= frac{16}{49}|vec{a}|^2 + 2 cdot frac{4}{7} cdot

$$= frac{16}{49}|vec{a}|^2 + 2 cdot frac{4}{7} cdot frac{1}{7}(vec{a} cdot vec{b}) + frac{1}{49}|vec{b}|^2$$

$$= frac{16}{49} cdot 9 + frac{8}{49} cdot 6 + frac{1}{49} cdot 16$$

$$= frac{144 + 48 + 16}{49} = frac{208}{49}$$

よって

$$|overrightarrow{OR}| = sqrt{frac{208}{49}} = frac{sqrt{208}}{7} = frac{4sqrt{13}}{7} = boxed{frac{4sqrt{13}}{7}}$$

（4）面積比

【解法のポイント】

三角形の面積比は、基準となる三角形からの変換で考えます。位置ベクトルの係数を利用します。

【解答】

$overrightarrow{OP} = frac{2}{3}vec{a}$、$overrightarrow{OR} = frac{4}{7}vec{a} + frac{1}{7}vec{b}$

$triangle OPR$ の面積は、$overrightarrow{OP}$ と $overrightarrow{OR}$ で張られる平行四辺形の面積の半分です。

$triangle OAB$ の面積を $S$ とすると、$vec{a}$ と $vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積は $2S$ です。

$overrightarrow{OP} = frac{2}{3}vec{a} + 0 cdot vec{b}$

$overrightarrow{OR} = frac{4}{7}vec{a} + frac{1}{7}vec{b}$

面積比は行列式の絶対値で求められます：

$$frac{triangle OPR}{triangle OAB} = left| begin{vmatrix} frac{2}{3} & 0 \ frac{4}{7} & frac{1}{7} end{vmatrix} right| = left| frac{2}{3} cdot frac{1}{7} - 0 cdot frac{4}{7} right| = frac{2}{21}$$

よって

$$triangle OPR : triangle OAB = boxed{2 : 21}$$

別解・発展

（2）の別解：メネラウスの定理を使う方法

$triangle OAQ$ と直線 $BPR$ にメネラウスの定理を適用することでも解けます。座標を設定して連立方程式を解く方法も有効です。

（4）の別解：直接計算

$O$ を原点とする座標系で $A(3, 0)$、$B$ を適当に配置し、外積を使って面積を直接計算する方法もあります。

大問4：図形と方程式（円と直線）

問題

円 $C: x^2 + y^2 = 25$ と直線 $ell: y = x + k$ について、次の問いに答えよ。

（1）円 $C$ と直線 $ell$ が異なる2点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

（2）$k = 1$ のとき、円 $C$ と直線 $ell$ の2つの交点を $A$, $B$ とする。線分 $AB$ の長さを求めよ。

（3）$k = 1$ のとき、線分 $AB$ を直径とする円の方程式を求めよ。

（4）円 $C$ 上の点 $P(3, 4)$ における接線の方程式を求めよ。

解説・解法のポイント

（1）円と直線の位置関係

【解法のポイント】

円と直線が異なる2点で交わる条件は、中心から直線までの距離 $d$ が半径 $r$ より小さいこと、つまり $d < r$ です。

【解答】

円 $C$ の中心は原点 $(0, 0)$、半径は $5$

直線 $ell: x - y + k = 0$ と原点の距離は

$$d = frac{|0 - 0 + k|}{sqrt{1^2 + (-1)^2}} = frac{|k|}{sqrt{2}}$$

異なる2点で交わる条件 $d < 5$ より

$$frac{|k|}{sqrt{2}} < 5$$

$$|k| < 5sqrt{2}$$

よって

$$boxed{-5sqrt{2} < k < 5sqrt{2}}$$

【別解】判別式を使う方法

$y = x + k$ を $x^2 + y^2 = 25$ に代入：

$$x^2 + (x+k)^2 = 25$$

$$2x^2 + 2kx + k^2 - 25 = 0$$

判別式 $D > 0$ より

$$D/4 = k^2 - 2(k^2 - 25) > 0$$

$$-k^2 + 50 > 0$$

$$k^2 < 50$$

$$-5sqrt{2} < k < 5sqrt{2}$$

（2）弦の長さ

【解法のポイント】

弦の長さは、中心から直線への距離 $d$ と半径 $r$ を使って $AB = 2sqrt{r^2 - d^2}$ で求められます。

【解答】

$k = 1$ のとき、中心から直線までの距離は

$$d = frac{|1|}{sqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$$

弦の長さは

$$AB = 2sqrt{r^2 - d^2} = 2sqrt{25 - frac{1}{2}} = 2sqrt{frac{49}{2}} = 2 cdot frac{7}{sqrt{2}} = frac{14}{sqrt{2}} = boxed{7sqrt{2}}$$

（3）線分ABを直径とする円

【解法のポイント】

線分 $AB$ を直径とする円の中心は $AB$ の中点、半径は $frac{AB}{2}$ です。

【解答】

$k = 1$ のとき、$y = x + 1$ と $x^2 + y^2 = 25$ の交点を求めます。

$$x^2 + (x+1)^2 = 25$$

$$2x^2 + 2x + 1 = 25$$

$$2x^2 + 2x - 24 = 0$$

$$x^2 + x - 12 = 0$$

$$(x+4)(x-3) = 0$$

$$x = -4, 3$$

$x = -4$ のとき $y = -3$、$x = 3$ のとき $y = 4$

よって $A(-4, -3)$、$B(3, 4)$

中点（円の中心）：

$$left(frac{-4+3}{2}, frac{-3+4}{2}right) = left(-frac{1}{2}, frac{1}{2}right)$$

半径：$frac{AB}{2} = frac{7sqrt{2}}{2}$

よって、求める円の方程式は

$$boxed{left(x + frac{1}{2}right)^2 + left(y - frac{1}{2}right)^2 = frac{49}{2}}$$

または展開して

$$x^2 + y^2 + x - y - 24 = 0$$

（4）円上の点における接線

【解法のポイント】

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線は $x_1 x + y_1 y = r^2$ です。

【解答】

点 $P(3, 4)$ における接線は

$$3x + 4y = 25$$

よって

$$boxed{3x + 4y = 25}$$

【検算】

$P(3, 4)$ が円上にあることを確認：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ✓

$P(3, 4)$ が接線上にあることを確認：$3 cdot 3 + 4 cdot 4 = 9 + 16 = 25$ ✓

別解・発展

接線の公式の導出

接線は接点を通り、中心と接点を結ぶ直線に垂直です。中心 $O(0,0)$ と $P(3,4)$ を結ぶ直線の傾きは $frac{4}{3}$ なので、接線の傾きは $-frac{3}{4}$ です。点 $(3, 4)$ を通る直線は

$$y - 4 = -frac{3}{4}(x - 3)$$

$$4y - 16 = -3x + 9$$

$$3x + 4y = 25$$

大問5：微分法の応用（関数の増減・最大最小）

問題

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ について、次の問いに答えよ。

（1）$f'(x)$ を求めよ。

（2）$f(x)$ の極値を求めよ。

（3）$y = f(x)$ のグラフの概形を描け。

（4）$0 leq x leq 4$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

解説・解法のポイント

（1）導関数の計算

【解法のポイント】

$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$ です。各項を微分して足し合わせます。

【解答】

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = boxed{3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)}$$

（2）極値

【解法のポイント】

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求め、その前後での符号変化を調べます。

【解答】

$f'(x) = 3(x-1)(x-3) = 0$ より $x = 1, 3$

増減表

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$

$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$

よって

極大値：$boxed{f(1) = 6}$

極小値：$boxed{f(3) = 2}$

（3）グラフの概形

【解答】

グラフを描くために必要な情報：

• $y$ 切片：$f(0) = 2$
• 極大点：$(1, 6)$
• 極小点：$(3, 2)$
• $x to infty$ で $f(x) to infty$、$x to -infty$ で $f(x) to -infty$

3次関数の典型的なS字カーブを描きます。

     y
     |      
   6 +     ・(1,6)極大
     |    /  
     |   /    
   2 +  /      ・(3,2)極小
     | /        
     |/          
  ---+------------+---→ x
     0  1  2  3  4

（4）閉区間での最大・最小

【解法のポイント】

閉区間での最大・最小は、極値と端点の値を比較して求めます。

【解答】

$0 leq x leq 4$ において

$f(0) = 2$

$f(1) = 6$（極大）

$f(3) = 2$（極小）

$f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6$

これらを比較して

最大値：$boxed{6}$（$x = 1, 4$ のとき）

最小値：$boxed{2}$（$x = 0, 3$ のとき）

別解・発展

3次関数の対称性

3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ のグラフは変曲点に関して点対称です。この問題では変曲点は $x = 2$ にあり、$f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$ です。$(1, 6)$ と $(3, 2)$ は点 $(2, 4)$ に関して対称であることが確認できます。

大問6：積分法（面積）

問題

放物線 $C: y = x^2 - 2x$ と直線 $ell: y = x$ について、次の問いに答えよ。

（1）$C$ と $ell$ の交点の座標を求めよ。

（2）$C$ と $ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

（3）$C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解説・解法のポイント

（1）交点の座標

【解答】

$x^2 - 2x = x$ を解く

$$x^2 - 3x = 0$$

$$x(x - 3) = 0$$

$$x = 0, 3$$

$x = 0$ のとき $y = 0$、$x = 3$ のとき $y = 3$

よって、交点は $boxed{(0, 0), (3, 3)}$

（2）放物線と直線で囲まれた面積

【解法のポイント】

$0 leq x leq 3$ で直線 $y = x$ が放物線 $y = x^2 - 2x$ より上にあるので、（上の曲線）−（下の曲線）を積分します。

【解答】

$$S = int_0^3 {x - (x^2 - 2x)} dx = int_0^3 (3x - x^2) dx$$

$$= left[frac{3x^2}{2} - frac{x^3}{3}right]_0^3$$

$$= frac{3 cdot 9}{2} - frac{27}{3} - 0$$

$$= frac{27}{2} - 9 = frac{27 - 18}{2} = boxed{frac{9}{2}}$$

【別解】1/6公式

放物線と直線で囲まれた面積は、$frac{1}{6}|a|(β - α)^3$ で求められます（$a$ は放物線の $x^2$ の係数、$α$, $β$ は交点の $x$ 座標）。

$$S = frac{1}{6} cdot 1 cdot (3 - 0)^3 = frac{27}{6} = frac{9}{2}$$

（3）放物線とx軸で囲まれた面積

【解答】

$y = x^2 - 2x = x(x-2)$ より、$x$ 軸との交点は $x = 0, 2$

$0 leq x leq 2$ で $y leq 0$ なので

$$S = int_0^2 |x^2 - 2x| dx = -int_0^2 (x^2 - 2x) dx$$

$$= -left[frac{x^3}{3} - x^2right]_0^2$$

$$= -left(frac{8}{3} - 4right) = -left(frac{8 - 12}{3}right) = frac{4}{3}$$

よって $boxed{frac{4}{3}}$

【別解】1/6公式

$$S = frac{1}{6} cdot 1 cdot (2 - 0)^3 = frac{8}{6} = frac{4}{3}$$

別解・発展

面積公式のまとめ

この年度の重要テーマと対策

2015年度の出題傾向分析

金沢工業大学2015年度の数学入試を分析すると、以下の特徴が見られます。

1. 頻出分野

• 二次関数：平行移動、最大最小、グラフの関係
• 三角比・三角関数：余弦定理、正弦定理の活用
• 確率：組合せを使った基本的な確率計算
• 数列：漸化式、等差・等比数列、Σ計算
• ベクトル：内分点、交点の位置ベクトル、内積
• 微分・積分：極値、面積計算

2. 問題の特徴

• 教科書の例題・章末問題レベルが中心
• 計算量はそれほど多くないが、正確さが求められる
• 誘導形式で段階的に解答する問題が多い
• 公式の暗記だけでなく、その意味の理解が問われる

3. 合格に向けた対策

【基礎固め】

• 教科書の例題を確実に解けるようにする
• 基本公式を「なぜそうなるか」まで理解する
• 計算練習を毎日行い、ミスを減らす

【実践演習】

• 過去問を時間を計って解く（60分で3題）
• 間違えた問題は解法を理解してから類題演習
• 複数年度の過去問で傾向をつかむ

【直前期】

• 頻出パターンの総復習
• 公式集の確認
• 本番を想定した時間配分の練習

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：数列の漸化式

【問題】

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 5$、$a_{n+1} = 2a_n - 3$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

【解答・解説】

特性方程式 $alpha = 2alpha - 3$ を解くと $alpha = 3$

$a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)$ と変形

$b_n = a_n - 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$

$b_1 = a_1 - 3 = 5 - 3 = 2$

$b_n = 2 cdot 2^{n-1} = 2^n$

よって $boxed{a_n = 2^n + 3}$

【検算】$a_1 = 2 + 3 = 5$ ✓、$a_2 = 4 + 3 = 7 = 2 cdot 5 - 3$ ✓

練習問題2：ベクトルの内積

【問題】

$|vec{a}| = 2$、$|vec{b}| = 3$、$vec{a} cdot vec{b} = -3$ のとき、$|vec{a} + 2vec{b}|$ を求めよ。

【解答・解説】

$$|vec{a} + 2vec{b}|^2 = (vec{a} + 2vec{b}) cdot (vec{a} + 2vec{b})$$

$$= |vec{a}|^2 + 4vec{a} cdot vec{b} + 4|vec{b}|^2$$

$$= 4 + 4 cdot (-3) + 4 cdot 9$$

$$= 4 - 12 + 36 = 28$$

よって $|vec{a} + 2vec{b}| = boxed{2sqrt{7}}$

練習問題3：定積分と面積

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