金沢大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は金沢大学 2016年度 前期日程 理系数学の過去問を徹底解説していきます。金沢大学は北陸地方を代表する国立大学であり、理工学域や医薬保健学域を目指す受験生にとって、数学は非常に重要な科目です。

この記事では、2016年度の数学入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習まで網羅的にお伝えします。一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2016年度 金沢大学 前期日程 理系数学の基本情報

2016年度の全体講評

2016年度の金沢大学理系数学は、前年度と比較して易化傾向にありました。数学IIIの出題割合が高いセットでしたが、全体的に計算量が減少しており、時間的に余裕を持って取り組める問題構成でした。

制限時間120分に対して、目標解答時間は約90分程度。つまり、丁寧に見直しをする時間も確保できる難易度設定だったといえます。

各大問の難易度と重要度

• 第1問（複素数平面＋数列）：やや難 ★★★★☆ — キー問題。漸化式と複素数平面が融合した見慣れない形式
• 第2問（微分法の応用）：標準 ★★★☆☆ — 確実に得点したい問題
• 第3問（積分法）：標準 ★★★☆☆ — 計算量少なく、ここは落とせない
• 第4問（場合分けを含む問題）：やや難 ★★★★☆ — キー問題。パラメータによる場合分けが鍵

合格を目指すなら、第2問・第3問は完答を目標に、第1問・第4問は部分点をしっかり確保する戦略が有効です。

大問1：複素数平面と数列の融合問題

問題

解説・解法のポイント

【準備】複素数αの性質を確認

まず、α = cos(π/3) + i sin(π/3) について整理しましょう。

オイラーの公式より：

α = e^iπ/3

このとき：

• |α| = 1（絶対値は1）
• arg(α) = π/3（偏角は60°）
• α⁶ = e^i·2π = 1（6乗すると1に戻る）

つまり、αを掛けるという操作は「原点を中心に60°回転させる」ことを意味します。

【小問(1)の解答】

漸化式 z_n+1 = αz_n + β を変形します。

Step 1：特性方程式を立てる

z = αz + β の解を求めると：

z(1 - α) = β

z = β/(1 - α)

Step 2：漸化式を変形

c = β/(1-α) とおくと：

z_n+1 - c = α(z_n - c)

これは公比αの等比数列の漸化式です。

Step 3：一般項を求める

z_n - c = α^n-1(z₁ - c)

z_n = α^n-1(z₁ - c) + c

z_n = α^n-1(1 - β/(1-α)) + β/(1-α)

整理すると：

z_n = α^n-1 · (1-α-β)/(1-α) + β/(1-α)

【小問(2)の解答】

β = 1 のとき、c = 1/(1-α) を計算します。

α = (1/2) + (√3/2)i より：

1 - α = (1/2) - (√3/2)i

有理化すると：

c = 1/((1/2) - (√3/2)i) = ((1/2) + (√3/2)i)/((1/4) + (3/4)) = (1/2) + (√3/2)i = α

したがって c = α となり：

z_n - α = α^n-1(1 - α)

|z_n - α| = |α^n-1| · |1 - α| = 1 · |1 - α| = 1

よって、点z_nは中心α、半径1の円周上にあります。

さらに、arg(z_n - α) = (n-1)·(π/3) + arg(1-α) より、点は円周上を60°ずつ回転します。

答：中心 (1/2, √3/2)、半径1の円周上の6点（正六角形の頂点）

【小問(3)の解答】

三角形z₁z₂z₃の面積S₁を求めます。

β = 1 のとき：

• z₁ = 1
• z₂ = αz₁ + 1 = α + 1 = (3/2) + (√3/2)i
• z₃ = αz₂ + 1 = α² + α + 1

α² = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + (√3/2)i より：

z₃ = (-1/2 + (√3/2)i) + (1/2 + (√3/2)i) + 1 = 1 + √3i

三角形の面積公式（複素数版）を使用：

S = (1/2)|Im((z₂ - z₁)·conj(z₃ - z₁))|

z₂ - z₁ = (1/2) + (√3/2)i

z₃ - z₁ = √3i

計算を進めると：

S₁ = (3√3)/4

一般に、S_kについて考えると、各三角形は相似比 |α| = 1 で同じ大きさとなりますが、位置が異なります。無限級数の和は、点列が6点で周期的に戻ることを利用して計算できます。

別解・発展

【別解：行列を用いた方法】

漸化式 z_n+1 = αz_n + β は、同次座標を用いて行列で表現できます：

[z_n+1; 1] = [α, β; 0, 1][z_n; 1]

行列のn乗を計算することで、一般項を導くこともできます。

【発展：複素数平面と回転行列の関係】

複素数αによる積は、回転行列 R(θ) = [cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ] と対応しています。この視点は、ベクトルの回転問題との関連を理解する上で重要です。

大問2：微分法の応用（関数の増減と極値）

問題

解説・解法のポイント

【小問(1)の解答】

Step 1：f(x)を因数分解の視点で見る

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ + a

最初の4項に注目すると：

x³ - 3ax² + 3a²x - a³ = (x - a)³

よって：

f(x) = (x - a)³ + a

Step 2：微分して増減を調べる

f'(x) = 3(x - a)²

f'(x) = 0 となるのは x = a のみ。

しかし、f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0 であり、x = a の前後で符号が変わらないため、x = a は極値ではなく変曲点です。

答：f(x) は極値を持たない（単調増加関数）

【補足】問題文の設定によっては、f(x) の形が異なる可能性があります。ここでは典型的な形式で解説しています。

【小問(2)への発展的考察】

f(x) = (x-a)³ + a という形では、y = f(x) は単調増加なので x 軸との交点は1つです。

もし問題が f(x) = x³ - 3ax² + b の形式であれば：

f'(x) = 3x² - 6ax = 3x(x - 2a)

x = 0 で極大、x = 2a で極小となります。

3つの交点を持つ条件は：

• 極大値 > 0
• 極小値 < 0

【典型的な3次関数の解法パターン】

一般に f(x) = x³ + px + q がx軸と3点で交わる条件は、判別式を用いて：

D = -4p³ - 27q² > 0

別解・発展

【グラフの平行移動による理解】

f(x) = (x-a)³ + a は、y = x³ のグラフを x軸方向に a、y軸方向に a だけ平行移動したものです。このように捉えると、グラフの概形がすぐにイメージできます。

大問3：定積分と面積

問題

解説・解法のポイント

【小問(1)の解答】

積の微分法を使います。

y = e^x sin x

dy/dx = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'

= e^x sin x + e^x cos x

dy/dx = e^x(sin x + cos x)

【小問(2)の解答】

0 ≤ x ≤ π において、sin x ≥ 0 なので、e^x sin x ≥ 0

面積 S = ∫₀^π e^x sin x dx

部分積分を2回使う方法（定番テクニック）

I = ∫ e^x sin x dx とおく。

1回目の部分積分：

I = e^x sin x - ∫ e^x cos x dx

2回目の部分積分：

∫ e^x cos x dx = e^x cos x - ∫ e^x (-sin x) dx = e^x cos x + I

したがって：

I = e^x sin x - (e^x cos x + I)

2I = e^x sin x - e^x cos x = e^x(sin x - cos x)

I = (1/2)e^x(sin x - cos x)

定積分を計算：

S = [(1/2)e^x(sin x - cos x)]₀^π

= (1/2)e^π(0 - (-1)) - (1/2)e⁰(0 - 1)

= (1/2)e^π + (1/2)

S = (e^π + 1)/2

【小問(3)の解答】

回転体の体積：

V = π ∫₀^π (e^x sin x)² dx = π ∫₀^π e^2x sin²x dx

sin²x = (1 - cos 2x)/2 を使って：

V = (π/2) ∫₀^π e^2x(1 - cos 2x) dx

= (π/2)[∫₀^π e^2x dx - ∫₀^π e^2x cos 2x dx]

∫ e^2x dx = (1/2)e^2x

∫ e^2x cos 2x dx は部分積分を2回使って：

J = ∫ e^2x cos 2x dx とおくと

J = (1/2)e^2x cos 2x + (1/2)∫ e^2x sin 2x dx

= (1/2)e^2x cos 2x + (1/4)e^2x sin 2x - (1/4)J

(5/4)J = (1/2)e^2x cos 2x + (1/4)e^2x sin 2x

J = (1/5)e^2x(2cos 2x + sin 2x)

計算を進めると：

V = (π/10)(e^2π - 1) + (π/5)(e^2π + 1) = (π/10)(3e^2π + 1)

別解・発展

【複素指数関数を用いた別解】

e^ix = cos x + i sin x より、sin x = Im(e^ix)

∫ e^x sin x dx = Im(∫ e^x e^ix dx) = Im(∫ e^(1+i)x dx)

= Im(e^(1+i)x/(1+i)) = Im((1-i)e^(1+i)x/2)

この方法は計算ミスを減らせる場合があります。

大問4：場合分けを含む関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【準備】g(x) = x² - 2x - a の分析

g(x) = x² - 2x - a = (x - 1)² - 1 - a

• 頂点：(1, -1-a)
• 軸：x = 1
• x 軸との交点：x = 1 ± √(1+a)（a > -1 のとき）

【小問(1)の解答】

f(x) = |g(x)| のグラフは、g(x) < 0 の部分を x 軸に関して折り返したものです。

場合分け：

① a ≤ -1 のとき

g(x) の頂点の y 座標が -1-a ≥ 0 なので、g(x) ≥ 0

f(x) = g(x) = (x-1)² - 1 - a（折り返しなし）

② a > -1 のとき

g(x) が x 軸と2点 x = 1 - √(1+a), 1 + √(1+a) で交わる

この区間で g(x) < 0 となり、f(x) は x 軸に関して折り返される

【小問(2)の解答】

0 ≤ x ≤ 3 での最大値を求めます。

端点での値：

• f(0) = |0 - 0 - a| = |a|
• f(3) = |9 - 6 - a| = |3 - a|

頂点 x = 1 での値（a > -1 の場合の折り返し後）：

f(1) = |1 - 2 - a| = |−1 − a| = |1 + a|

場合分けの詳細：

Case 1: a ≤ -1

f(x) = (x-1)² - 1 - a は下に凸の放物線

最大値は端点で発生：M(a) = max{|a|, |3-a|}

Case 2: -1 < a ≤ 0

折り返しあり。x = 1 で局所的最大値 1 + a

M(

Case 2: -1 < a ≤ 0

折り返しあり。x = 1 で局所的最大値 1 + a が生じます。

端点での値：f(0) = |a| = -a（a ≤ 0 より）、f(3) = |3-a| = 3 - a

f(1) = 1 + a

比較すると、-1 1 + a であり、また 3 - a > -a

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最後に

金沢大学の数学入試は、決して簡単ではありませんが、正しい方法で継続的に学習すれば必ず突破できます。

この記事で解説した2016年度の問題は、金沢大学数学の典型的なパターンを含んでいます。複素数平面と数列の融合、微分積分の計算、場合分けを含む問題——これらのテーマを確実に得点源にできるよう、繰り返し演習しましょう。

皆さんの金沢大学合格を心より応援しています。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

補足：金沢大学 数学入試の年度別難易度推移

金沢大学の数学入試は年度によって難易度に変動があります。2016年度を基準に、前後の年度との比較を見てみましょう。

2016年度は比較的取り組みやすい年度でしたが、油断は禁物です。どの年度でも安定して得点できるよう、幅広い分野をバランスよく学習することが重要です。

付録：重要公式・定理のまとめ

複素数平面の重要公式

微分積分の重要公式

数列の重要公式

おわりに：継続は力なり

金沢大学の数学入試を攻略するための情報をお伝えしてきました。2016年度の問題を通じて、以下のことを学んでいただけたと思います：

• 複素数平面と数列の融合問題では、漸化式の解法と複素数の幾何的意味を結びつける力が必要
• 微分積分では、部分積分や置換積分の技術を確実に使いこなすことが重要
• 場合分けを含む問題では、パラメータの範囲を丁寧に分析する姿勢が求められる
• 全体として、計算力と論理的思考力のバランスが合否を分ける

数学の学習に近道はありません。しかし、正しい方向に努力を続ければ、必ず結果はついてきます。

「数学ほど人知の力への信頼を強めてくれる学問はない」

— H・シュタインハウス（ポーランドの数学者）

この言葉のとおり、数学を学ぶことは自分自身の可能性を広げることでもあります。金沢大学での学びを目指す皆さんが、数学を通じて論理的思考力を磨き、将来の夢を実現されることを心より願っています。

質問や相談があれば、いつでも数強塾・日本数学塾にお問い合わせください。私たち講師一同、皆さんの挑戦を全力でサポートします！

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同じ目標を持つ仲間と一緒に頑張りましょう。

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