会津大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、会津大学 2018年度（平成30年度）前期日程 数学の入試問題を徹底解説します。会津大学はコンピュータ理工学に特化した公立大学として知られており、数学の入試問題も論理的思考力と計算力をバランスよく問う良問が出題されます。

この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、別解や発展的な考え方、さらには類似問題での練習まで網羅的にカバーしていきます。会津大学を目指す受験生の皆さん、一緒に完全攻略を目指しましょう！

試験概要・難易度

会津大学 2018年度 数学入試の基本情報

2018年度の全体講評

2018年度の会津大学数学は、標準〜やや難レベルの出題でした。例年通り、微分積分、ベクトル、数列、確率などの主要分野からバランスよく出題されています。

難易度の特徴：

• 計算量は標準的だが、論理的な記述力が求められる
• 基本事項の正確な理解が問われる問題が中心
• 一部、発展的な思考力を要する問題も出題
• 150分という長い試験時間を活かした丁寧な解答が評価される

合格に必要な得点目安：約60〜70%（150〜175点程度）を目標にしましょう。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

まず、f(x) を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a² - 2a + 3
= (x - a)² - a² + a² - 2a + 3
= (x - a)² - 2a + 3

この二次関数は下に凸（x²の係数が正）なので、頂点で最小値をとります。

頂点の座標は (a, -2a + 3) となるため、

最小値 = -2a + 3

【(2)の解答】

0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。下に凸の放物線なので、最大値は区間の端点で取られます。

軸の位置 x = a によって場合分けが必要です。

■ 軸が区間の中央より左にある場合（a ≤ 1）

このとき、x = 2 で最大値をとります。

f(2) = (2 - a)² - 2a + 3 = 4 - 4a + a² - 2a + 3 = a² - 6a + 7

■ 軸が区間の中央より右にある場合（a > 1）

このとき、x = 0 で最大値をとります。

f(0) = (0 - a)² - 2a + 3 = a² - 2a + 3

したがって、

【(3)の解答】

M(a) の最小値を求めます。

■ a ≤ 1 のとき：M(a) = a² - 6a + 7 = (a - 3)² - 2

この放物線は軸が a = 3 で、a ≤ 1 の範囲では単調減少します。

a = 1 で最小値 M(1) = 1 - 6 + 7 = 2

■ a > 1 のとき：M(a) = a² - 2a + 3 = (a - 1)² + 2

この放物線は軸が a = 1 で、a > 1 の範囲では単調増加します。

a → 1+ で M(a) → 2

両方の場合を比較すると、a = 1 のとき M(a) = 2 で最小となります。

M(a) の最小値は 2（a = 1 のとき）

別解・発展

【別解】グラフの動きで考える

放物線 y = (x - a)² - 2a + 3 のグラフが a の値によって左右に移動することをイメージしましょう。区間 [0, 2] 内での最大値は、常に「軸から遠い方の端点」で取られます。

【発展】パラメータを含む関数の最大・最小問題の一般的アプローチ

• 軸の位置と定義域の関係を正確に把握する
• 場合分けの境界条件を明確にする
• 各場合での関数を求めた後、連続性を確認する

大問2：微分法と接線・面積

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

y = e^x を微分すると、y' = e^x

点 (t, e^t) における接線の傾きは e^t なので、接線の方程式は：

y - e^t = e^t(x - t)

整理すると、

y = e^t(x - t + 1)　または　y = e^t · x - te^t + e^t

【(2)の解答】

接線が原点 (0, 0) を通る条件を求めます。

接線の方程式 y = e^t(x - t + 1) に (0, 0) を代入：

0 = e^t(0 - t + 1)
0 = e^t(1 - t)

e^t > 0 なので、1 - t = 0

t = 1

【(3)の解答】

t = 1 のとき、接線の方程式は：

y = e^1(x - 1 + 1) = ex

接点は (1, e) です。

求める面積 S は、曲線 y = e^x と直線 y = ex および y 軸（x = 0）で囲まれた部分です。

0 ≤ x ≤ 1 の範囲で、e^x ≤ ex（接線は曲線より上にある）なので：

S = ∫₀¹ (ex - e^x) dx

計算します：

S = [ex²/2 - e^x]₀¹
= (e·1²/2 - e^1) - (e·0²/2 - e^0)
= (e/2 - e) - (0 - 1)
= -e/2 + 1
= 1 - e/2

S = 1 - e/2 = (2 - e)/2

別解・発展

【別解】面積を直接計算

面積公式を使う前に、曲線と直線の位置関係を必ず確認しましょう。e^x は下に凸なので、接線は必ず曲線の上側にあります（接点を除く）。

【発展】一般化した問題

y = f(x) の点 (a, f(a)) における接線が点 (p, q) を通る条件は：

q - f(a) = f'(a)(p - a)

これは a についての方程式となり、条件を満たす a の個数が「点 (p, q) から曲線に引ける接線の本数」に対応します。

大問3：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

bₙ = aₙ - 2ⁿ⁺¹ より、aₙ = bₙ + 2ⁿ⁺¹

与えられた漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 2ⁿ⁺¹ に代入します：

bₙ₊₁ + 2ⁿ⁺² = 3(bₙ + 2ⁿ⁺¹) - 2ⁿ⁺¹
bₙ₊₁ + 2ⁿ⁺² = 3bₙ + 3·2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹
bₙ₊₁ + 2ⁿ⁺² = 3bₙ + 2·2ⁿ⁺¹
bₙ₊₁ + 2ⁿ⁺² = 3bₙ + 2ⁿ⁺²

bₙ₊₁ = 3bₙ

【(2)の解答】

まず b₁ を求めます：

b₁ = a₁ - 2² = 2 - 4 = -2

{bₙ} は初項 -2、公比 3 の等比数列なので：

bₙ = -2 · 3ⁿ⁻¹

したがって、

aₙ = bₙ + 2ⁿ⁺¹ = -2 · 3ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁺¹

aₙ = 2ⁿ⁺¹ - 2 · 3ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹ - (2/3) · 3ⁿ

【(3)の解答】

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (2^(k+1) - 2·3^(k-1))

これを二つの和に分けます：

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ 2^(k+1) - Σₖ₌₁ⁿ 2·3^(k-1)

第1項：

Σₖ₌₁ⁿ 2^(k+1) = 2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹ = 4 · (2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 4(2ⁿ - 1) = 2ⁿ⁺² - 4

第2項：

Σₖ₌₁ⁿ 2·3^(k-1) = 2(1 + 3 + 3² + ... + 3ⁿ⁻¹) = 2 · (3ⁿ - 1)/(3 - 1) = 3ⁿ - 1

したがって、

Sₙ = 2ⁿ⁺² - 4 - (3ⁿ - 1) = 2ⁿ⁺² - 3ⁿ - 3

別解・発展

【別解】特性方程式を使う方法

漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 2ⁿ⁺¹ の特殊解を aₙ = α·2ⁿ の形で探します。

α·2ⁿ⁺¹ = 3·α·2ⁿ - 2ⁿ⁺¹ より、2α = 3α - 2、よって α = 2

特殊解は aₙ = 2·2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

一般解は aₙ = 2ⁿ⁺¹ + C·3ⁿ⁻¹ の形となり、初期条件から C を決定できます。

【発展】漸化式のタイプと解法

• aₙ₊₁ = paₙ + q → 特性方程式 α = pα + q を解く
• aₙ₊₁ = paₙ + f(n) → f(n) の形によって置き換えを工夫
• f(n) = rⁿ の場合 → bₙ = aₙ - αrⁿ の形で等比数列に帰着

大問4：空間ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

M は AB の中点なので：

OM = (OA + OB)/2 = (a + b)/2

OM = (a + b)/2

【(2)の解答】

P は直線 OM 上にあるので、実数 t を用いて：

OP = t · OM = t(a + b)/2

CP = OP - OC = t(a + b)/2 - c

条件 CP ⊥ OM より、CP · OM = 0

{t(a + b)/2 - c} · {(a + b)/2} = 0

展開すると：

t(a + b)·(a + b)/4 - c·(a + b)/2 = 0
t|a + b|²/4 = (c·a + c·b)/2

ここで、|a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² = 9 + 12 + 16 = 37

また、c·a = 0, c·b = 10 より、c·a + c·b = 10

t · 37/4 = 10/2 = 5
t = 20/37

したがって、

OP = (20/37) · (a + b)/2 = (10/37)(a + b)

【(3)の解答】

平面 OAB は原点 O と点 A, B を含む平面です。この平面の法線ベクトルを求めます。

法線ベクトル n は、a と b の両方に垂直なベクトル、すなわち外積 a × b の方向です。

しかし、ここでは座標を設定して計算する方が確実です。

座標設定：

O = (0, 0, 0), A = (3, 0, 0) とおきます。

b について、|b| = 4, a·b = 6 より：

b = (b₁, b₂, 0) として、3b₁ = 6 → b₁ = 2

|b|² = b₁² + b₂² = 16 より、b₂² = 12、b₂ = 2√3（正をとる）

よって B = (2, 2√3, 0)

c について、|c| = 5, c·a = 0, c·b = 10 より：

c = (c₁, c₂, c₃) として：

• 3c₁ = 0 → c₁ = 0
• 2c₂ + 2√3·c₂ = 2c₂ + 2√3c₂... （訂正：2c₁ + 2√3c₂ = 10 → 0 + 2√3c₂ = 10 → c₂ = 5/√3 = 5√3/3）
• |c|² = c₂² + c₃² = 25 より、c₃² = 25 - 25/3 = 50/3、c₃ = √(50/3) = 5√2/√3

P の座標は OP = (10/37)(a + b) = (10/37)(3 + 2, 0 + 2√3, 0) = (50/37, 20√3/37, 0)

平面 OAB は z = 0 の平面なので、P から平面 OAB への距離は P の z 座標の絶対値ですが、P は z = 0 上にあります。

再検討すると、CP ⊥ OM の条件で P を求めましたが、P は直線 OM 上（平面 OAB 上）にあるため、距離は 0 となります。

【注】問題の解釈によっては、P から平面 OAB への垂線の足を求める別の問題設定も考えられます。

別解・発展

【発展】空間ベクトルの垂直条件

空間における「点と平面の距離」の公式：

点 P から、点 A を通り法線ベクトル n を持つ平面への距離 d は：

d = |AP · n| / |n|

大問5：確率

大問5：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

3回投げて合計が10になる目の出方を数えます。

各回の目を (a, b, c) とすると、a + b + c = 10（ただし 1 ≤ a, b, c ≤ 6）

条件を満たす組み合わせを列挙します：

• (6, 3, 1) の並べ替え：3! = 6通り
• (6, 2, 2) の並べ替え：3!/2! = 3通り
• (5, 4, 1) の並べ替え：3! = 6通り
• (5, 3, 2) の並べ替え：3! = 6通り
• (4, 4, 2) の並べ替え：3!/2! = 3通り
• (4, 3, 3) の並べ替え：3!/2! = 3通り

合計：6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27通り

全事象は 6³ = 216通り

確率 = 27/216 = 1/8

【(2)の解答】

p₁ について：

1回投げて座標1にいる、つまり目が1である確率

p₁ = 1/6

p₂ について：

2回投げて座標2にいる、つまり目の合計が2である確率

これは (1, 1) の場合のみ

p₂ = 1/36

【(3)の解答】

n+1回投げた後に座標 n+1 にいる状況を考えます。

「n+1回投げて合計が n+1」となるには、以下の2つのケースがあります：

ケース1：n回投げた後に座標 n にいて、n+1回目に1が出る

確率：pₙ × (1/6)

ケース2：n回投げた後に座標が n より小さく、n+1回目の目で座標 n+1 になる

しかし、n回で座標 k（k < n）にいる場合を考えると、n+1回目に n+1-k の目が出る必要があります。

ここで重要な観察：n回投げて座標が n 未満になることは可能でしょうか？

各回で最小の目は1なので、n回投げると最小でも座標は n になります。つまり、n回投げた後の座標は必ず n 以上です。

したがって、「n+1回投げて座標 n+1」となるのは、

• n回で座標 n にいて、1が出る場合のみ

pₙ₊₁ = pₙ × (1/6) = pₙ/6

【(4)の解答】

漸化式 pₙ₊₁ = pₙ/6 より、{pₙ} は公比 1/6 の等比数列です。

初項 p₁ = 1/6 なので：

pₙ = (1/6) × (1/6)ⁿ⁻¹ = (1/6)ⁿ = 1/6ⁿ

【検証】

• p₁ = 1/6¹ = 1/6 ✓
• p₂ = 1/6² = 1/36 ✓
• p₃ = 1/6³ = 1/216（3回投げて座標3、つまり全部1が出る場合）✓

別解・発展

【別解】直接的な考え方

n回投げて座標が n になるのは、毎回1が出る場合に限られます（各回の目は1以上なので、合計が最小値 n になるのは全て1のとき）。

よって、pₙ = (1/6)ⁿ と直接求められます。

【発展】一般化した問題

「n回投げて座標が kn（k ≥ 1）になる確率」を考えると、より複雑な漸化式が現れます。特に k = 3.5（期待値）付近の場合は、正規分布への収束（中心極限定理）と関連して興味深い問題となります。

この年度の重要テーマと対策

2018年度の出題傾向分析

2018年度の会津大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

会津大学数学の特徴と攻略法

【特徴1】計算力と論理力のバランス

会津大学の数学は、複雑な計算よりも論理的な思考過程を重視します。答えだけでなく、途中経過を明確に記述することが重要です。

【特徴2】融合問題への対応

確率と漸化式、微分と図形など、複数分野の融合問題が出題されます。各分野を個別に学ぶだけでなく、横断的な視点を持つことが大切です。

【特徴3】標準問題の完答が鍵

難問を解くことより、標準レベルの問題を確実に完答することが合格への近道です。基本事項の徹底理解を優先しましょう。

分野別対策のポイント

📐 微分積分（数学Ⅲ）

• 指数・対数関数の微分を確実に
• 接線の方程式は必須パターン
• 面積計算は積分区間の設定に注意
• 置換積分、部分積分の使い分け

📊 数列・漸化式

• 基本的な漸化式の解法パターンを網羅
• 特性方程式の考え方を理解
• Σ計算は公式だけでなく原理から
• 数学的帰納法との組み合わせ

➡️ ベクトル

• 内積の定義と計算を正確に
• 垂直条件（内積 = 0）の活用
• 位置ベクトルによる図形の表現
• 空間座標との相互変換

🎲 確率

• 場合の数の正確な数え上げ
• 漸化式を立てる発想
• 余事象の活用
• 期待値・分散の計算

時間配分の目安（150分）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2018年度の出題傾向を踏まえ、実力を確認できる練習問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！

【練習問題1】微分積分（接線と面積）

【練習問題2】数列と漸化式

【練習問題3】確率と場合の数

会津大学合格のための学習ロードマップ

会津大学の数学で高得点を取るための、段階的な学習プランを提案します。

【Phase 1】基礎固め期（〜高3夏）

【Phase 2】実力養成期（高3夏〜秋）

【Phase 3】実戦演習期（高3秋〜直前）

日本数学塾・数強塾で会津大学合格を目指そう

ここまで2018年度の会津大学数学を徹底解説してきましたが、いかがでしたか？

「解説を読めば分かるけど、自分で解けるか不安…」
「どこから手をつければいいか分からない…」
「記述の書き方に自信がない…」

そんな悩みを抱えている受験生は多いと思います。

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講師・藤原進之介からのメッセージ

まとめ：2018年度 会津大学数学のポイント

最後に、この記事で解説した内容を振り返りましょう。

会津大学の魅力と将来性

最後に、会津大学の魅力についても触れておきましょう。志望校研究の一助になれば幸いです。

🏫 会津大学の特徴

• 日本初のコンピュータ専門大学（1993年設立）
• 公立大学で学費が比較的安い
• 国際色豊か — 教員の約40%が外国人、授業の多くが英語
• 24時間利用可能なコンピュータ環境
• 就職率ほぼ100%、IT企業への就職に強い
• 少人数教育で教員との距離が近い

💼 卒業後の進路

会津大学の卒業生は、以下のような分野で活躍しています：

• 大手IT企業（Google、Microsoft、Amazon、Yahoo!、楽天など）
• ゲーム業界（任天堂、スクウェア・エニックス、カプコンなど）
• 自動車産業のIT部門（トヨタ、ホンダなど）
• 金融系システム会社
• スタートアップ起業
• 大学院進学（国内外の大学院）

コンピュータサイエンスを深く学びたい、IT業界で活躍したいという志を持つ皆さんにとって、会津大学は最高の選択肢の一つです。

関連記事・参考リンク

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執筆：藤原進之介