図形問題が苦手な子必見！成績が上がる「3つの習慣」と解き方のコツ

問題：四角形ABCDにおいて、対角線AC = 10cm、BD = 8cmであり、2つの対角線が直交しているとき、四角形ABCDの面積を求めなさい。

S = (1/2) × AC × BD = (1/2) × 10 × 8 = 40 cm²

問題：△ABCにおいて、AB = 13cm、BC = 14cm、CA = 15cmのとき、頂点AからBCに下ろした垂線の長さ（高さh）を求めなさい。

h = 2 × 84 / 14 = 168/14 = 12 cm

問題：△ABCにおいて、辺BC上に点Dをとり、ADを引く。辺AB上に点Eをとり、DE // ACとする。BD = 4cm、DC = 6cm、AC = 15cmのとき、DEの長さを求めなさい。

DE : AC = 2 : 5
DE : 15 = 2 : 5
DE = 15 × 2/5 = 6 cm

問題：△ABCにおいて、辺BC上に点D、辺CA上に点E、直線ABの延長上に点Fがあり、D、E、Fは一直線上にある。BD:DC = 2:3、CE:EA = 1:2のとき、AF:FBを求めなさい。

AF : FB = 3 : 1

問題：円に内接する四角形ABCDにおいて、∠A = 70°のとき、∠Cの大きさを求めなさい。

∠A + ∠C = 180°
70° + ∠C = 180°
∠C = 110°

問題：円Oにおいて、点Aで円に接する直線と弦ABがある。弦ABに対する円周角が50°のとき、接線と弦ABの作る角を求めなさい。

接弦定理より、接線と弦ABの作る角 = 50°

問題：座標平面上に3点A(1, 2)、B(4, 6)、C(7, 2)がある。△ABCの面積を求めなさい。

S = (1/2) × 6 × 4 = 12

問題：点P(3, 4)と直線 3x + 4y - 10 = 0 との距離を求めなさい。

d = |3×3 + 4×4 - 10| / √(3² + 4²)
= |9 + 16 - 10| / √(9 + 16)
= |15| / √25
= 15 / 5
= 3

問題：点Aの位置ベクトルをa、点Bの位置ベクトルをbとする。線分ABを2:3に内分する点Pの位置ベクトルを求めなさい。

p = (3a + 2b) / (2 + 3) = (3a + 2b) / 5

問題：a = (3, 4)、b = (5, 12)のとき、aとbのなす角θを求めなさい。

cosθ = 63/65
θ = cos⁻¹(63/65)（≒ 14.25°）

問題：△ABCにおいて、AB = 5、BC = 6、CA = 7とする。
(1) △ABCの面積Sを求めよ。
(2) △ABCの内接円の半径rを求めよ。

(1) S = 6√6

(2) S = rs より
6√6 = r × 9
r = 6√6/9 = 2√6/3

問題：△ABCにおいて、a = 7、b = 5、C = 60°とする。
(1) 辺cの長さを求めよ。
(2) 外接円の半径Rを求めよ。
(3) sinAの値を求めよ。

(1) c = √39
(2) R = √13
(3) sinA = 7√13/26

問題：△ABCにおいて、辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、Fがあり、直線AD、BE、CFが1点Pで交わっている。BD:DC = 2:1、CE:EA = 3:2のとき、AF:FBを求めよ。

AF : FB = 1 : 3

問題：半径5の円に内接する△ABCにおいて、BC = 6、∠BAC = θとする。
(1) sinθの値を求めよ。
(2) △ABCの面積が最大となるときのAB、ACの値を求めよ。

(1) sinθ = 3/5
(2) AB = AC = 3√10

問題：△ABCにおいて、BC = a、CA = b、AB = cとする。内心Iの位置ベクトルを、頂点A、B、Cの位置ベクトルA、B、Cを用いて表せ。

I = (aA + bB + cC) / (a + b + c)

問題：四面体OABCにおいて、OA = OB = OC = 3、AB = BC = CA = 2とする。
(1) 内積OA・OBを求めよ。
(2) 四面体OABCの体積を求めよ。

(1) OA・OB = 7
(

(2) 体積を求めるために、まずOから平面ABCへの距離hを正確に計算します。

正三角形ABCの重心をGとすると、重心から各頂点への距離は：
AG = (2/3) × (正三角形の高さ) = (2/3) × (√3) = 2√3/3

OG² = OA² - AG² = 9 - (2√3/3)² = 9 - 4/3 = 23/3
OG = √(23/3) = √69/3

四面体の体積：
V = (1/3) × (底面積) × (高さ) = (1/3) × √3 × √69/3 = √207/9 = √23/3

【解答】

【実戦問題7】軌跡の問題

【解説】

点P(x, y)とすると、条件は PA:PB = 1:2、つまり 2PA = PB

PA = √{(x+3)² + y²}
PB = √{(x-3)² + y²}

2PA = PB より
4PA² = PB²
4{(x+3)² + y²} = (x-3)² + y²
4(x² + 6x + 9 + y²) = x² - 6x + 9 + y²
4x² + 24x + 36 + 4y² = x² - 6x + 9 + y²
3x² + 30x + 27 + 3y² = 0
x² + 10x + 9 + y² = 0
(x + 5)² + y² = 16

これはアポロニウスの円と呼ばれる円です。

【解答】

【実戦問題8】三角形と面積比の応用

【解説】

この問題は、メネラウスの定理やチェバの定理、面積比の公式を組み合わせて解きます。

ステップ1：点Pの位置を特定する

△ABEにおいて、直線CDとの交点を考えます。
メネラウスの定理を△ABEと直線CDに適用：
(AD/DB) × (BC/CE) × (EP/PA') = 1
※ここでA'は直線CDと直線ABの交点ではなく、正しく設定する必要があります。

別のアプローチとして、ベクトルを使います。

A を原点とし、AB = b、AC = c とおくと：
D = (2/3)b、E = (3/5)c

直線BE上の点：b + t(e - b) = b + t((3/5)c - b) = (1-t)b + (3t/5)c
直線CD上の点：c + s(d - c) = c + s((2/3)b - c) = (2s/3)b + (1-s)c

交点Pでは係数が一致：
1-t = 2s/3 …①
3t/5 = 1-s …②

①より t = 1 - 2s/3
②に代入：3(1 - 2s/3)/5 = 1-s
(3 - 2s)/5 = 1-s
3 - 2s = 5 - 5s
3s = 2
s = 2/3

t = 1 - 2×(2/3)/3 = 1 - 4/9 = 5/9

P = (2×(2/3)/3)b + (1 - 2/3)c = (4/9)b + (1/3)c

ステップ2：△PDEの面積を求める

D = (2/3)b、E = (3/5)c、P = (4/9)b + (1/3)c

△ABCの面積を S とすると、一般に点 αb + βc、γb + δc、εb + ζc で構成される三角形の面積は
S × |αδ - βγ + γζ - δε + εβ - ζα| / 2...

計算を簡略化して、△PDE の面積を S の何倍かを求めます。

△PDE の各頂点：
P = (4/9, 1/3)（bとcの係数）
D = (2/3, 0)
E = (0, 3/5)

面積比 = |x_P(y_D - y_E) + x_D(y_E - y_P) + x_E(y_P - y_D)|
= |(4/9)(0 - 3/5) + (2/3)(3/5 - 1/3) + 0(1/3 - 0)|
= |(4/9)(-3/5) + (2/3)(4/15)|
= |-12/45 + 8/45|
= |-4/45|
= 4/45

【解答】

【実戦問題9】円と接線の問題

【解説】

円の接線の公式：円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は
x₁x + y₁y = r²

点P(1, √3)における接線：
1・x + √3・y = 4
x + √3y = 4

x軸との交点A（y = 0を代入）：x = 4、よって A(4, 0)
y軸との交点B（x = 0を代入）：√3y = 4、y = 4/√3 = 4√3/3、よって B(0, 4√3/3)

△OABの面積：
S = (1/2) × OA × OB = (1/2) × 4 × (4√3/3) = 8√3/3

【解答】

【実戦問題10】空間図形と三角錐の体積

【解説】

(1) MNの長さ

正四面体では、向かい合う辺の中点を結ぶ線分は互いに垂直に交わり、その長さは同じです。

座標を設定しましょう。
A = (0, 0, 0)
B = (6, 0, 0)
C = (3, 3√3, 0)
D = (3, √3, 2√6)

M = (A + B)/2 = (3, 0, 0)
N = (C + D)/2 = (3, 2√3, √6)

MN = √{(3-3)² + (2√3-0)² + (√6-0)²}
= √{0 + 12 + 6}
= √18 = 3√2

(2) 正四面体の体積

1辺がaの正四面体の体積は V = (√2/12)a³

a = 6 のとき：
V = (√2/12) × 6³ = (√2/12) × 216 = 18√2

(3) AHの長さ

正四面体では、垂線の足Hは底面の正三角形BCDの重心と一致します。

底面の正三角形BCDの面積：
S = (√3/4) × 6² = 9√3

体積の公式 V = (1/3) × S × h より：
18√2 = (1/3) × 9√3 × AH
18√2 = 3√3 × AH
AH = 18√2/(3√3) = 6√2/√3 = 6√6/3 = 2√6

【解答】

よくある間違いと対処法

図形問題で多くの生徒がつまずくポイントと、その対処法を解説します。これらを意識することで、ケアレスミスを大幅に減らすことができます。

【間違い1】合同条件と相似条件の混同

対処法：
「2組の角がそれぞれ等しい」は相似条件であり、合同条件ではありません。合同を証明するには、必ず辺の長さに関する条件が含まれている必要があります。

合同条件	相似条件
3組の辺が等しい（SSS）	3組の辺の比が等しい
2組の辺とその間の角が等しい（SAS）	2組の辺の比とその間の角が等しい
1組の辺とその両端の角が等しい（ASA）	2組の角が等しい（AA）

【間違い2】相似比と面積比・体積比の混同

対処法：

• 相似比がa:bのとき、面積比はa²:b²
• 相似比がa:bのとき、体積比はa³:b³

なぜなら、面積は「長さ×長さ」、体積は「長さ×長さ×長さ」で計算されるからです。

【間違い3】三平方の定理の適用ミス

対処法：
三平方の定理が使えるのは直角三角形のみです。問題文に「直角」「垂直」「90°」などの記述があるか、図に直角マーク（□）があるかを必ず確認しましょう。直角三角形でない場合は、余弦定理を使います。

【間違い4】円周角と中心角の取り違え

対処法：
中心角 = 円周角 × 2（円周角 = 中心角 ÷ 2）

中心角の方が大きいと覚えましょう。「中心」は円の中央にあり、「周」は外側なので、中心の方が「大きな角度で見える」とイメージすると覚えやすくなります。

【間違い5】内分と外分の混同

対処法：

• 内分点（m:nに内分）：p = (na + mb) / (m + n)
• 外分点（m:nに外分）：p = (-na + mb) / (m - n)

外分では、分母が「引き算」になり、一方の係数がマイナスになることに注意しましょう。

【間違い6】証明の書き方の不備

対処法：
証明問題では、以下の手順を必ず踏みましょう。

1. 何を証明するか明確にする
2. 仮定（条件）を書き出す
3. 使う定理や条件を明示する
4. 各ステップで理由を述べる
5. 結論を明確に書く

「明らか」は原則として使わず、必ず根拠を示しましょう。

【間違い7】単位の付け忘れ・統一ミス

対処法：
計算を始める前に、すべての数値の単位を統一しましょう。答えを書く際は、必ず適切な単位（cm、cm²、cm³など）を付けることを習慣化してください。

【間違い8】図の読み取りミス

対処法：
習慣2「条件を図に書き込む」を徹底しましょう。等しい辺には同じ印（/や//）、等しい角には同じ印（○や●）を付け、平行な辺、垂直な関係、数値などをすべて図に書き込みます。

この単元の大学入試での頻出パターン一覧

図形問題は大学入試において非常に重要な分野です。ここでは、共通テストや二次試験で頻出するパターンを整理します。

【共通テスト頻出パターン】

パターン	内容	使う公式・定理
1. 三角比と図形	三角形の辺や角、面積を求める	正弦定理、余弦定理、面積公式
2. 円と三角形	円に内接・外接する三角形の性質	円周角の定理、接弦定理、方べきの定理
3. 図形と方程式	座標平面上の図形の面積、距離	点と直線の距離、円の方程式
4. ベクトルと図形	内分点・外分点、面積、垂直条件	内積、位置ベクトル
5. 空間図形の計量	立体の体積、表面積、切断面	三平方の定理、空間ベクトル

【二次試験頻出パターン（国公立大学）】

パターン	内容	出題大学例
1. 軌跡の問題	条件を満たす点の軌跡を求める	東大、京大、東工大
2. 最大・最小問題	図形の面積や辺の長さの最大値・最小値	一橋大、阪大、名大
3. 複素数平面と図形	複素数を用いた図形の性質の証明	東大、京大、東北大
4. 空間ベクトル	四面体、球、平面の方程式	北大、九大、神戸大
5. 融合問題	図形と数列、図形と確率の融合	東大、京大、医学部

【難関私立大学頻出パターン】

パターン	内容	出題大学例
1. 平面図形の証明	合同・相似を用いた証明	早稲田、慶應、上智
2. 座標と図形	複雑な図形の面積計算	MARCH、関関同立
3. 三角関数と図形	三角関数の式変形を伴う図形問題	理科大、明治、立教
4. ベクトルの応用	内積を用いた角度・面積の計算	早稲田、慶應、同志社

【解法パターン別・攻略のコツ】

パターンA：三角比・三角関数を使う問題

パターンB：ベクトルを使う問題

パターンC：座標を使う問題

<div style="background-color: #f5f5f5; padding:

パターンD：円が絡む問題

パターンE：空間図形の問題

【入試直前チェックリスト】

入試本番前に、以下の項目を確認しておきましょう。

【得点アップのための時間配分】

図形問題を含む数学の試験では、時間配分が重要です。

試験形式	図形問題の目安時間	アドバイス
共通テスト（70分）	15〜20分	図形と計量は確実に得点。誘導に乗る
二次試験（120分・4問）	25〜30分/問	部分点狙い。(1)(2)は確実に
私大（60分・3問）	15〜20分/問	計算ミスに注意。検算の時間を確保

日本数学塾・数強塾でさらに実力を伸ばそう

ここまで「図形問題が苦手な子必見！成績が上がる3つの習慣と解き方のコツ」について詳しく解説してきました。

図形問題を克服するためのポイントを改めてまとめます。

これらの習慣を身につけ、基礎から入試レベルまで段階的に練習を重ねることで、図形問題は必ず得意分野に変わります。

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最後に：図形問題克服への道

図形問題は、多くの生徒にとって「苦手意識」を持ちやすい分野です。しかし、本記事で解説したように、正しい習慣を身につけ、基礎から段階的に学習を積み重ねることで、必ず克服できます。

大切なのは、以下の3点です。

1. 基本概念を確実に理解すること：定義・公式・定理の「なぜ」を理解する
2. 手を動かして練習すること：図を描き、条件を書き込み、計算する
3. 間違いから学ぶこと：なぜ間違えたかを分析し、同じミスを繰り返さない

本記事で紹介した30問の演習問題を繰り返し解き、解法パターンを身につけてください。そして、もし一人での学習に限界を感じたら、ぜひ数強塾や日本数学塾の力を借りることも検討してみてください。

皆さんの数学力向上を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介