法政大学 2022年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で得られること

法政大学 2022年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

この記事では、法政大学2022年度数学の全大問を、基礎から丁寧に・やさしく・楽しく解説していきます。

この記事を読むと、次の3つの価値が手に入ります：

• ✅ 各大問の出題意図と解法の本質を完全理解できる
• ✅ 合否を分けたポイントと得点戦略が明確になる
• ✅ 法政大学数学の傾向と対策を体系的に把握できる

👨‍🏫 藤原先生からのメッセージ：
「法政大学の数学は、派手な難問よりも"基礎の徹底理解"が問われる試験です。一つひとつの公式の意味をしっかり理解して解けるようになれば、必ず合格点が取れます。一緒にやっていきましょう！」

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セクション2：法政大学の数学入試の全体像

試験形式・配点・解答形式

法政大学の数学は学部によって試験形式が異なりますが、共通する特徴があります。

項目	内容
試験時間	60分
大問数	3問（一部の学部は選択あり）
解答形式	記述式（一部マークシート併用）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・A・B（文系学部はⅠ・Aのみの場合も）
難易度	標準レベル（偏差値55〜65程度）

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の偏差値帯は概ね55〜65（学部によって異なる）で、数学においては「基礎〜標準レベルの問題を確実に解く力」が求められます。東大・京大のような高度な発想力や難問処理能力は基本的に不要で、むしろ基礎公式の正確な運用・計算力・論理的な記述が評価の核心です。

過去5年の出題傾向まとめ

単元	頻出度	備考
微分・積分	★★★★★	毎年必出。面積計算が特に多い
確率	★★★★☆	場合分けが鍵
数列	★★★★☆	漸化式・等比数列
2次関数・領域	★★★★☆	線形計画法も頻出
図形と方程式	★★★☆☆	接線・交点の計算
3次関数の極値	★★★☆☆	定番問題
場合の数	★★★☆☆	組み合わせの整理が必要

他大学との違い・特徴

• 東大・京大：論述・発想力重視、誘導が少ない
• 早稲田・慶應：難問処理・高い計算力が必要
• 法政大学：標準問題の確実な処理、丁寧な計算が合否を左右

法政大学の最大の特徴は「基礎力があれば解ける、でも油断すると計算ミスで落とされる」という点です。まさに"実力がそのまま点数に出る"試験と言えるでしょう。

会話①

🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな勉強をすれば点数が上がりますか？具体的に教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学では微分・積分の面積計算と確率の場合分けが特に頻出なんだ。たとえば積分の面積計算では、$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$ という絶対値付きの面積公式を正確に使えることが重要で、さらに $\frac{1}{6}$ 公式（$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$）を瞬時に適用できるようにしておこう。確率はℓの値で場合分けするという思考パターンをしっかり身につけることが大事だよ！」

基礎をしっかり固めれば、法政大学の数学は必ず得点源になる！一緒に頑張ろう！

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セクション3：2022年度 出題テーマ速報と分析

2022年度の出題テーマ一覧（大問別）

大問1（文系学部系）

小問	テーマ	難易度
[I]	連立不等式・線形計画法・領域	★★★☆☆
[II]	硬貨と球の取り出し・確率	★★★★☆
[III]	絶対値を含む関数・面積	★★★★☆

大問2（法学部・文学部・経営学部系）

小問	テーマ	難易度
[I]	2次方程式の実数根の条件・存在範囲	★★★☆☆
[II]	確率（袋と球）・組み合わせ	★★★★☆
[III]	3次関数の極値・面積・最小化	★★★★☆

大問3（経済学部・社会学部系）

小問	テーマ	難易度
[I]	3次関数の極値・接線・面積	★★★★☆
[II]	対数を含む漸化式・数列	★★★★☆
[III]	選挙の得票数・場合の数	★★★★★

難易度評価の総評

2022年度の法政大学数学は、全体として標準〜やや難の問題構成でした。大問1の[I]（線形計画法）は基礎的で確実に取りたい問題。一方、大問1の[II]（確率）や大問3の[III]（場合の数）は少し複雑な場合分けが必要でした。

合格ラインと得点戦略

• 目標得点率：6〜7割（60〜70点/100点）
• 確実に取るべき問題：各大問の(1)と(2)
• 差がつく問題：(3)以降の発展問題

「(1)(2)を確実に解き、(3)で差をつける」という戦略が合格への近道です！

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セクション4：全大問 問題・完全解説

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大問1-[I]：連立不等式・線形計画法（難易度★★★☆☆）

【問題文】

点 $(x, y)$ が連立不等式

の表す領域 $D$ を動くとする。

(1) $D$ を図示せよ。
(2) $2x - 3y$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。
(3) $\frac{y+7}{x}$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
線形計画法	$k = ax + by$ とおき、直線 $ax + by = k$ を平行移動させて領域 $D$ と接する位置を探す
点と直線の傾き法	$\frac{y+7}{x} = k$ は「原点から平行移動した点 $(0, -7)$ を通る傾き $k$ の直線」と見る

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【解法ステップ】

(1) 領域Dの図示

ステップ① 各不等式を $y$ について解く：

ステップ② 各直線の交点を求める：

直線 $y = x - 5$ と $y = -x + 3$ の交点：
$$x - 5 = -x + 3 \iff 2x = 8 \iff x = 4, \quad y = -1$$
交点：$(4, -1)$

直線 $y = x - 5$ と $y = -3x + 7$ の交点：
$$x - 5 = -3x + 7 \iff 4x = 12 \iff x = 3, \quad y = -2$$
交点：$(3, -2)$

直線 $y = -x + 3$ と $y = -3x + 7$ の交点：
$$-x + 3 = -3x + 7 \iff 2x = 4 \iff x = 2, \quad y = 1$$
交点：$(2, 1)$

ステップ③ 領域 $D$ は頂点 $(2,1)$、$(4,-1)$、$(3,-2)$ を持つ三角形領域（境界含む）となる。

(2) $2x - 3y$ の最小値

ステップ① $2x - 3y = k$ とおくと、$y = \frac{2}{3}x - \frac{k}{3}$ という傾き $\frac{2}{3}$ の直線族。

ステップ② $k$ を最小にするには、この直線を下方（$y$ 切片が最大方向）に平行移動させて $D$ と接する点を探す。傾き $\frac{2}{3}$ の直線を左上方向に動かすと、頂点 $(2, 1)$ で最小値をとる。

ステップ③ 最小値の計算：
$$2(2) - 3(1) = 4 - 3 = \boxed{1}$$

$(x, y) = (2, 1)$ のとき、$2x - 3y$ の最小値は $\mathbf{1}$。

(3) $\frac{y+7}{x}$ の最小値

ステップ① $\frac{y+7}{x} = k$ とおくと、$y = kx - 7$ となり、これは点 $(0, -7)$ を通る傾き $k$ の直線である。

ステップ② $k$ を最小にするには、点 $(0, -7)$ を軸として直線を回転させて、傾きが最も小さくなる（最も右下を向く）位置を探す。領域 $D$ の頂点 $(4, -1)$ を通るときが最小。

ステップ③ 最小値の計算：
$$k = \frac{-1+7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

$(x, y) = (4, -1)$ のとき、$\frac{y+7}{x}$ の最小値は $\dfrac{3}{2}$。

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【藤原先生の解説】

線形計画法は「直線を平行移動させるゲーム」だと思ってください。$2x - 3y = k$ という直線を、傾きを変えずにスライドさせていくんです。まるでスライドパズルのように、領域 $D$ の端（頂点）に引っかかる瞬間が最小・最大になります。

(3) の $\frac{y+7}{x}$ の問題は、「点 $(0, -7)$ から領域 $D$ の各点に引いた直線の傾き」を最小化するイメージです。コンパスで角度を測るように、いちばん寝た方向に向く直線を探すんですね。

🧑 生徒：「(3) の $\frac{y+7}{x}$ の最小値を求めるとき、なぜ点 $(0,-7)$ を通る直線で考えるのですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$\frac{y+7}{x} = k$ を変形すると $y + 7 = kx$、つまり $y = kx - 7$ になるよね。これは傾きが $k$、$y$ 切片が $-7$ の直線、言い換えると点 $(0, -7)$ を通る傾き $k$ の直線なんだ。$k$ を最小化するには、この直線を点 $(0, -7)$ を中心に回転させて、領域 $D$ と接するギリギリの傾きを探せばいい。その最小傾きになるのが頂点 $(4, -1)$ を通るとき、つまり $k = \frac{-1+7}{4} = \frac{3}{2}$ だよ！」

【この大問で身につく力】

領域の頂点での最大・最小の発見力と、「$\frac{y+c}{x} = k$ 型」を直線の傾きに変換する応用力が身につきます。

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大問1-[II]：硬貨と球・確率（難易度★★★★☆）

【問題文】

袋の中に、数字の $0$ が書いてある球が $2$ 個、数字の $1$ が書いてある球が $3$ 個、数字の $2$ が書いてある球が $2$ 個、数字の $3$ が書いてある球が $1$ 個、全部で $8$ 個の球が入っている。2枚の硬貨を同時に投げて、表の出た硬貨が $\ell$ 枚のとき、$(\ell+1)$ 個の球を取り出し、それらの球に書いてある数の総和を $a$ とおく。

(1) $a = 7$ の確率　(2) $a = 1$ の確率　(3) $a = 3$ の確率

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【使う公式・定理】

公式名	内容
全確率の法則	$P(A) = \sum_i P(B_i) \cdot P(A|B_i)$
組合せ	$_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
硬貨の確率	2枚の硬貨で $\ell$ 枚表が出る確率：$\ell=0$：$\frac{1}{4}$、$\ell=1$：$\frac{1}{2}$（$_2 C_1 \cdot \frac{1}{2^2}$）、$\ell=2$：$\frac{1}{4}$

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【解法ステップ】

前提整理：
- $\ell = 0$：確率 $\frac{1}{4}$、1個取り出す
- $\ell = 1$：確率 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、2個取り出す
- $\ell = 2$：確率 $\frac{1}{4}$、3個取り出す

球の内訳：$0$ が $2$ 個、$1$ が $3$ 個、$2$ が $2$ 個、$3$ が $1$ 個（合計 $8$ 個）

(1) $a = 7$ の確率

ステップ① $\ell = 0$（1個取り出す）：最大値は $3$ なので $a=7$ 不可。

ステップ② $\ell = 1$（2個取り出す）：最大値は $3+3=6$（ただし $3$ は1個しかない）→ $3+2=5$ が最大。$a=7$ 不可。

ステップ③ $\ell = 2$（3個取り出す）：$a=7$ にするには $3+2+2=7$。球 $3$ を $1$ 個、球 $2$ を $2$ 個取り出す。

答：$\dfrac{1}{224}$

(2) $a = 1$ の確率

ステップ① $\ell = 0$（1個取り出す）：$a=1$ になるのは、$1$ と書かれた球を $1$ 個取り出すとき。

ステップ② $\ell = 1$（2個取り出す）：$a=1$ になるのは $\{0, 1\}$ の組み合わせ。

ステップ③ $\ell = 2$（3個取り出す）：$a=1$ になるのは $\{0, 0, 1\}$ の組み合わせ。

ステップ④ 合計：

通分（最小公倍数は $224$）：

答：$\dfrac{3}{14}$

(3) $a = 3$ の確率

ステップ① $\ell = 0$（1個）：$\{3\}$ の $1$ 通り。

ステップ② $\ell = 1$（2個）：$a=3$ になる組み合わせは $\{0,3\}$ または $\{1,2\}$。

ステップ③ $\ell = 2$（3個）：$a=3$ になる組み合わせは $\{0,0,3\}$、$\{0,1,2\}$、$\{1,1,1\}$。

$$\{0,0,3\}: {}_2 C_2 \cdot {}_1 C_1 = 1$$
$$\{0,1,2\}: {}_2 C_1 \cdot {}_3 C_1 \cdot {}_2 C_1 = 2 \times 3 \times 2 = 12$$
$$\{1,1,1\}: {}_3 C_3 = 1$$

ステップ④ 合計（最小公倍数 $224$）：

答：$\dfrac{53}{224}$

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【藤原先生の解説】

この問題は「硬貨→球」という2段階の確率問題です。料理で言えば「まず鍋の火加減を決めてから、具材を入れる量を決める」みたいな感じ。まず $\ell$ の値で場合分けして、それぞれの確率をかけていく。全確率の法則の典型的な使い方です。

🧑 生徒：「$\ell=1$ のときに硬貨の確率が $\frac{1}{2}$ になるのはなぜですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「2枚の硬貨を投げたとき、表が $\ell=1$ 枚出る確率は二項分布の公式 $_2 C_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ だよ。2枚のうちどちらが表でもいいから $2$ 通りあって、それぞれの確率が $\frac{1}{4}$ だから $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ になるんだ！」

【この大問で身につく力】

「段階的な確率の掛け算」と「場合分けを漏れなく・重なりなく行う」全確率の法則の運用力が身につきます。

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大問1-[III]：絶対値を含む関数・面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - |2x^2 - 2x|$ とする。

(1) $f(x) = 1$ を満たす実数 $x$ の値をすべて求めよ。
(2) $y = f(x)$ のグラフをかけ。
(3) $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
絶対値の場合分け	$|A| = A$ $(A \geq 0)$、$|A| = -A$ $(A < 0)$
面積公式	$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$

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【解法ステップ】

前提：$|2x^2 - 2x|$ の場合分け

$2x^2 - 2x = 2x(x-1) \geq 0 \iff x \leq 0$ または $x \geq 1$
$2x^2 - 2x < 0 \iff 0 < x < 1$

場合1 $x \leq 0$ または $x \geq 1$ のとき：

場合2 $0 < x < 1$ のとき：

(1) $f(x) = 1$ を解く

場合1 $x \leq 0$ または $x \geq 1$：

$$x^3 - 4x^2 + 4x = 1$$
$$x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0$$

$x = 1$ を代入：$1 - 4 + 4 - 1 = 0$ ✓ → $(x-1)$ が因数。

$\frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2.618 \geq 1$ ✓、$\frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.382$（$0 < 0.382 < 1$ なので場合1の条件外）

場合2 $0 < x < 1$：

しかし $x = 1$ は $0 < x < 1$ の範囲外。解なし。

答：$x = 1,\ \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

(2) グラフの概形

$g(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ の微分：$g'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x-2)(x-2)$

増減表：$x = \frac{2}{3}$ で極大（ただしこれは $0 < x < 1$ 内の話ではなく、$x \geq 1$ 側では $x=2$ で極小）

• $x \geq 1$ の範囲：$g(1) = 1$、$x=2$ で極小 $g(2) = 8-16+8 = 0$
• $

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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