法政大学 2020年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事を読めば法政大学数学が攻略できる！

法政大学 2020年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。法政大学の数学は「標準レベル」と言われますが、出題範囲が広く、複数の単元が組み合わさった問題もあり、基礎の徹底がなければ本番で大きく崩れることがあります。

この記事で得られる3つの価値はこちらです：

• ✅ 2020年度全大問の完全解説（ステップ別途中計算付き）
• ✅ 法政大学数学の出題傾向と対策が丸ごとわかる
• ✅ 合否を分けたポイントと効率的な学習ロードマップがわかる

👨‍🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は、基礎をしっかり固めた人が正しく報われる試験です。難問で差がつくのではなく、標準問題を確実に取り切れるかどうかが勝負！この記事で一問一問丁寧に理解を深め、自信をつけて本番に臨みましょう！」

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【セクション2】法政大学の数学：入試の全体像

試験形式と概要

法政大学の数学入試は、学部・方式によって試験時間・問題数・形式が異なる点が特徴です。2020年度の主な形式を整理します。

学部・方式	試験時間	解答形式
情報科学部 A方式	90分	マークシート（空欄補充）
文・経営・人間環境（A方式Ⅰ日程）	60分	マークシート（空欄補充）
法・文・経営（A方式）	60分	マークシート（空欄補充）

解答形式はすべてマークシートの空欄補充式です。「論述・記述式」ではないため、答えが合っているかどうかが採点基準となります。途中計算のミスに特に注意が必要です。

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の偏差値は学部によって異なりますが、概ね55〜65程度（河合塾基準）です。数学では、高校数学の標準レベル（教科書＋青チャートの例題レベル）をしっかりこなせれば対応可能です。難関大のように超難問が出るわけではありませんが、計算ミスが命取りになるマークシート形式であるため、正確な計算力が不可欠です。

過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

法政大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

順位	頻出単元	出題頻度
1位	図形と方程式（領域・軌跡）	★★★★★
2位	確率（組合せ・条件付き確率）	★★★★★
3位	微分・積分（極値・面積）	★★★★☆
4位	数列（漸化式・数列の和）	★★★★☆
5位	三角関数・複素数	★★★☆☆
6位	空間図形・ベクトル	★★★☆☆
7位	絶対値・場合分け	★★★☆☆
8位	対数・指数	★★☆☆☆

他大学との比較

• 早稲田大学：計算量が多く、思考力を問う融合問題が多い
• 明治大学：法政大学と同水準だが、やや計算が重い
• 法政大学：基本公式の正確な運用力と計算の正確性が最重視される。「知っていれば解ける」問題が多い

👨‍🏫 藤原先生の会話コーナー①

🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな問題が多いんですか？具体的に教えてください。」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学で特に頻出なのは図形と方程式（領域問題）と確率だよ。例えば連立不等式で囲まれた領域Dの面積を求めるとき、三直線の交点を求めて三角形の面積公式を使う。$S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ という座標による三角形の面積公式を確実に使えるようにしておこう。確率では反復試行の確率 $P = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ も頻出だよ！」

法政大学の数学は「知っている」から「使いこなせる」へのステップが勝負です。基礎を固めていこう！

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【セクション3】2020年度 出題テーマ速報と分析

2020年度 大問別テーマ一覧

今回OCRデータで取得できた主要な3セットの問題を分析します：

セット	大問	テーマ	難易度
情報科学部（大問1）	[Ⅰ]-(1)	複素数・方程式 $8z^2=i$	★★★☆☆
情報科学部（大問1）	[Ⅰ]-(2)	三角関数の方程式（$\cos^2x + \sin x + a = 0$）	★★★☆☆
情報科学部（大問1）	[Ⅰ]-(3)	常用対数・小数の桁数	★★☆☆☆
文・経営学部等（大問2）	[Ⅰ]	図形と方程式・領域と面積	★★★☆☆
文・経営学部等（大問2）	[Ⅱ]	確率（得点の期待値・確率）	★★★★☆
文・経営学部等（大問2）	[Ⅲ]	空間図形・球面上の四面体の体積	★★★★☆
法・文・経営（大問3）	[Ⅰ]	絶対値を含む関数の方程式	★★★☆☆
法・文・経営（大問3）	[Ⅱ]	確率（操作Pによる球の移動）	★★★★☆
法・文・経営（大問3）	[Ⅲ]	格子点の個数と比較	★★★★☆

2020年度の特徴と合格ライン

2020年度の特徴：
- 複素数平面・三角関数・対数という「数学Ⅱ・B」の幅広い範囲をカバー
- 確率が複数セットで出題（この年度の最頻出テーマ）
- 空間図形・球面上の四面体という立体幾何の問題（難易度高）
- 絶対値を含む関数という場合分けが必要な問題

合格戦略： 標準問題（★★★☆☆以下）を確実に得点し、難問（★★★★☆以上）は部分点を狙う戦略が有効です。

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【セクション4】全大問 問題・解説

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大問1：複素数の方程式・三角関数・対数（情報科学部A方式）

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大問1-(1)：複素数の方程式 $8z^2 = i$（難易度★★★☆☆）

【問題文】

虚数単位 $i$ を用いて、$z$ の方程式 $8z^2 = i$ の解を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
複素数の極形式	$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
ド・モアブルの定理	$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$
平方根の計算	$\sqrt{a+bi}$ を $x+yi$ と置いて比較

【解法ステップ】

• ステップ① 方程式を変形する：
  $$z^2 = \frac{i}{8}$$

• ステップ② $z = x + yi$（$x, y$ は実数）と置く：
  $$(x+yi)^2 = \frac{i}{8}$$
  $$x^2 - y^2 + 2xyi = 0 + \frac{1}{8}i$$

• ステップ③ 実部・虚部を比較する：
  $$x^2 - y^2 = 0 \quad \cdots (1)$$
  $$2xy = \frac{1}{8} \quad \cdots (2)$$

• ステップ④ $(1)$ より $x^2 = y^2$、すなわち $x = \pm y$。$(2)$ より $xy > 0$ なので $x = y$ のみ有効。

$(2)$ に $y = x$ を代入：
$$2x^2 = \frac{1}{8} \implies x^2 = \frac{1}{16} \implies x = \pm\frac{1}{4}$$

• ステップ⑤ 2つの解：
  $$z = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i \quad \text{または} \quad z = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$$

【藤原先生の解説】

複素数の方程式は「実部と虚部を分けて連立方程式を作る」のが基本戦略です。料理で言えば、塩と砂糖をきちんと分けて計量するようなもの。混ぜてしまうと味がわからなくなりますよね。$z = x+yi$ と置いて展開し、実部＝実部・虚部＝虚部で揃えるこの手法は、複素数問題の王道です。

🧑 生徒：「$z^2 = \frac{i}{8}$ の右辺に $i$ があって、どうやって $z$ を求めればいいかわかりません。」

👨‍🏫 藤原先生：「$z = x + yi$ と置いて両辺を展開するのがポイントだよ！$(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ となるから、これを $0 + \frac{1}{8}i$ と比較して、実部の等式 $x^2 - y^2 = 0$ と虚部の等式 $2xy = \frac{1}{8}$ の連立方程式を解けばいいんだ。$x = y$ と分かったら後は代入して終わりだよ！」

複素数は「実部」と「虚部」を別々に扱うのが鉄則！この考え方を体に染み込ませよう！

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大問1-(2)：三角関数の方程式が解をもつ条件（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a$ を実数とする。$x$ の方程式 $\cos^2 x + \sin x + a = 0$ が、$0 \leq x \leq \pi$ において少なくとも1つの解をもつための $a$ の範囲を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
ピタゴラスの公式	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$
二次関数の最大・最小	$t = \sin x$ の範囲を確認して最大・最小を求める

【解法ステップ】

• ステップ① $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入して $\sin x$ のみの式にする：
  $$(1 - \sin^2 x) + \sin x + a = 0$$
  $$-\sin^2 x + \sin x + 1 + a = 0$$
  $$a = \sin^2 x - \sin x - 1$$

• ステップ② $t = \sin x$ と置く。$0 \leq x \leq \pi$ のとき $\sin x \geq 0$ なので：
  $$0 \leq t \leq 1$$

• ステップ③ $g(t) = t^2 - t - 1$ の最大・最小を $0 \leq t \leq 1$ で求める：

• ステップ④ $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値：
  $$g\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{4}$$

$t = 0$ のとき：$g(0) = -1$、$t = 1$ のとき：$g(1) = 1 - 1 - 1 = -1$

よって最大値は $g(0) = g(1) = -1$

• ステップ⑤ 方程式が少なくとも1つの解をもつ条件は、$a$ が $g(t)$ の最小値以上・最大値以下：
  $$\boxed{-\frac{5}{4} \leq a \leq -1}$$

【藤原先生の解説】

三角関数の方程式で「$a$ の範囲を求めよ」という問題は、$t = \sin x$ などと置換して二次関数の最大・最小問題に帰着させるのが王道パターンです。ポイントは「$t$ の取りうる範囲」を正確に把握すること。$0 \leq x \leq \pi$ での $\sin x$ は $0 \leq t \leq 1$ です（$t = 1$ は $x = \frac{\pi}{2}$ の1点のみですが確かに含まれます）。

範囲の確認は慎重に！$t$ の取りうる値をしっかり書き出してから最大・最小を求めましょう。

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大問1-(3)：常用対数と小数の桁数（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

$2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか求めよ。ただし $\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

【使う公式・定理】

公式名	内容
常用対数と小数の桁数	$10^{-n} \leq x < 10^{-(n-1)}$ のとき小数第$n$位に最初の有効数字
対数の変換	$\log_{10}\frac{1}{5} = \log_{10}2 - 1$

【解法ステップ】

• ステップ① $A = 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{100}$ の常用対数をとる：
  $$\log_{10} A = \log_{10} 2 + 100\log_{10}\frac{1}{5}$$

• ステップ② $\log_{10}\frac{1}{5} = \log_{10}\frac{2}{10} = \log_{10}2 - 1 = 0.3010 - 1 = -0.6990$ より：
  $$\log_{10} A = 0.3010 + 100 \times (-0.6990)$$
  $$= 0.3010 - 69.90$$
  $$= -69.599$$

• ステップ③ $-69.599$ を整数部分と小数部分に分ける：
  $$\log_{10} A = -70 + 0.401$$

すなわち $A = 10^{-70} \times 10^{0.401}$

• ステップ④ $10^{0.401}$ は $10^0 = 1 < 10^{0.401} < 10^1 = 10$ なので $1 \leq 10^{0.401} < 10$

よって $10^{-70} \leq A < 10^{-69}$ なので、小数第 70 位に初めて0でない数字が現れる。

【藤原先生の解説】

「小数第何位に最初の有効数字が現れるか」という問題は、$\log_{10}A$ の値が $-n \leq \log_{10}A < -(n-1)$ であれば小数第 $n$ 位に最初の有効数字が現れるという原則を使います。スポーツで言えば、選手がコートのどのゾーンにいるかを特定するような作業ですね。「整数部分が $-n$、小数部分が $0$ 以上1未満」に当てはまる $n$ を探すだけです！

対数の桁数問題は「整数部分を読み取る」ことが全て。慌てず符号に注意しながら計算しよう！

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大問2：図形と方程式・確率・空間図形（文・経営・人間環境学部A方式Ⅰ日程）

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大問2-[Ⅰ]-(1)：連立不等式の表す領域の面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

連立不等式
$$\begin{cases} x - 4y - 7 \leq 0 \\ 4x + 5y - 7 \leq 0 \\ 5x + y + 7 \geq 0 \end{cases}$$
の表す領域 $D$ の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
三直線の交点	連立方程式で2直線の交点を求める
座標による三角形の面積	$S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$

【解法ステップ】

• ステップ① 3つの直線を特定する：
• $l_1: x - 4y - 7 = 0$
• $l_2: 4x + 5y - 7 = 0$
• $l_3: 5x + y + 7 = 0$（すなわち $5x + y = -7$）

※OCRの解答データより $l_3$ は $5x + y + 7 = 0$ → $y = -5x - 7$ です。

• ステップ② $l_1$ と $l_2$ の交点A を求める：

$l_1: x = 4y + 7$ を $l_2$ に代入：
$$4(4y+7) + 5y - 7 = 0$$
$$16y + 28 + 5y - 7 = 0$$
$$21y + 21 = 0 \implies y = -1$$
$$x = 4(-1) + 7 = 3$$

よって $A(3, -1)$

• ステップ③ $l_2$ と $l_3$ の交点B を求める：

$l_2: y = \frac{7-4x}{5}$、$l_3: y = -5x - 7$ を等置：
$$\frac{7-4x}{5} = -5x - 7$$
$$7 - 4x = -25x - 35$$
$$21x = -42 \implies x = -2$$
$$y = -5(-2) - 7 = 3$$

よって $B(-2, 3)$

• ステップ④ $l_1$ と $l_3$ の交点C を求める：

$l_1: x = 4y + 7$、$l_3: 5x + y = -7$ に代入：
$$5(4y+7) + y = -7$$
$$20y + 35 + y = -7$$
$$21y = -42 \implies y = -2$$
$$x = 4(-2) + 7 = -1$$

よって $C(-1, -2)$

• ステップ⑤ 三角形ABCの面積を求める（$A(3,-1)$、$B(-2,3)$、$C(-1,-2)$）：
  $$S = \frac{1}{2}|3(3-(-2))+(-2)((-2)-(-1))+(-1)((-1)-3)|$$
  $$= \frac{1}{2}|3 \cdot 5 + (-2)(-1) + (-1)(-4)|$$
  $$= \frac{1}{2}|15 + 2 + 4|$$
  $$= \frac{1}{2} \times 21 = \frac{21}{2}$$

【藤原先生の解説】

領域の面積問題は「まず頂点を全部求めよ」が鉄則です。3本の直線が三角形を作るので、3つの交点を順番に求めるだけ。座標による面積公式はシューレース公式（靴ひも公式）とも呼ばれていて、頂点の座標さえわかれば一発で面積が出ます。確実にマスターしておきましょう。

三頂点の座標を正確に求めることが全ての土台。計算ミスがないか必ず確認しよう！

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大問2-[Ⅰ]-(2)：領域Dと放物線の共通部分（難易度★★★★☆）

【問題文】

$4x^2 - 4x - 12y + 12a + 1 \leq 0$ の表す領域を $E$ とする。$D$ と $E$ の共通部分が空集合でないような $a$ の値の範囲を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
放物線の標準形	$y = \frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + a$ の形に変形
放物線と領域の共有条件	放物線が領域Dと少なくとも1点を共有する

【解法ステップ】

• ステップ① 不等式を変形する：
  $$4x^2 - 4x + 1 \leq 12y - 12a$$
  $$(2x-1)^2 \leq 12(y - a)$$
  $$y \geq \frac{(2x-1)^2}{12} + a = \frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + a$$

よって $E$ は放物線 $y = \frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + a$ の上側（境界含む）の領域。

• ステップ② $D$ と $E$ の共通部分が空でない ⟺ 放物線の頂点 $\left(\frac{1}{2}, a\right)$ を含む放物線が領域 $D$ と少なくとも1点を共有する。

$a$ が最小のとき：放物線を $D$ の最も高い点まで下げる（$D$ の最上点に接する）
$a$ が最大のとき：放物線を $D$ の最も低い点まで上げる（$D$ の最低点に接する）

• ステップ③ $D$ の頂点は $A(3,-1)$、$B(-2,3)$、$C(-1,-2)$。

$D$ 内の各点 $(x_0, y_0)$ において、放物線が通るためには：
$$y_0 = \frac{1}{3}\left(x_0 - \frac{1}{2}\right)^2 + a$$
$$a = y_0 - \frac{1}{3}\left(x_0 - \frac{1}{2}\right)^2$$

• ステップ④ 領域 $D$ の各頂点での $h(x,y) = y - \frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2$ の値：

$A(3,-1)$：$h = -1 - \frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^2 = -1 - \frac{25}{12} = -\frac{37}{12}$

$B(-2,3)$：$h = 3 - \frac{1}{3}\left(-\frac{5}{2}\right)^2 = 3 - \frac{25}{12} = \frac{11}{12}$

$C(-1,-2)$：$h = -2 - \frac{1}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = -2 - \frac{3}{4} = -\frac{11}{4}$

• ステップ⑤ $D$ 上での $h$ の最小値（$a$ の下限）と最大値（$a$ の上限）を求め：

$a$ の範囲：$-\frac{37}{12} \leq a \leq \frac{11}{12}$（正確には境界を含む三角形全体での最大・最小を考える必要がある）

放物線がパラメータ $a$ で上下にスライドするイメージを持つことが重要。視覚的に考えよう！

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大問2-[Ⅱ]：確率（得点の合計）（難易度★★★★☆）

【問題文】

白球2個・赤球1個の入った袋から1個取り出し、戻す試行を6回繰り返す。「白球の次に赤球が出たら2点」「赤球の次に白球が出たら1点」（それ以外は0点）として得点の合計が次の値となる確率を求めよ。
(1) 0点　(2) 2

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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