法政大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られる3つの価値

法政大学 2016年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、法政大学の2016年度数学の全問題を、数強塾代表・藤原進之介先生が丁寧に・やさしく・楽しく解説します。

この記事を読むことで、以下の3つの価値が得られます：

• ✅ 2016年度の全大問（9問）を完全解説：途中計算を一切省略せず、なぜそのアプローチを選ぶのかという本質的な理解まで丁寧に解説
• ✅ 法政大学数学の出題傾向と合格戦略：頻出単元・難易度・時間配分など、合格ラインを突破するための実践的な戦略
• ✅ 参考書・学習ロードマップ：今の自分のレベルに合わせた「青チャート」「フォーカスゴールド」などの活用法と学習スケジュール

👨‍🏫 藤原先生からひと言： 法政大学の数学は「標準レベル」と言われているけど、「標準」って言葉に油断しちゃいけないよ。標準とは「基礎を完璧に理解した上で応用できる力」のこと。焦らず、一つ一つの単元を丁寧に積み上げていけば、必ず合格点が取れるようになる。一緒にやっていこう！

セクション2：法政大学の数学 入試の全体像

試験形式・基本情報

法政大学の数学入試は、学部・日程によって試験時間・問題数が異なります。基本的な形式は以下の通りです：

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の偏差値帯は概ね 55〜65（学部によって差がある）。数学で求められるレベルは「教科書レベルの公式・定理を完全に理解し、標準的な入試問題を解ける力」です。

難関国立大のような難問奇問は出ません。しかし、複数の単元が融合した問題（例：確率＋数列）が出ることもあり、単なる公式暗記では対応できません。

法政大学 数学の頻出単元ランキング

過去10年間の出題傾向を分析すると、以下の単元が頻繁に出題されています：

他大学との違い・特徴

東大・京大は論述の論理展開が重視されますが、法政大学は正確な計算力と公式の使いこなしが重視されます。「なぜそうなるか」という説明よりも「正確に計算して正答を導く」能力が問われます。

早慶と比較すると、法政大学の問題は処理量が少なく、1問あたりにかけられる時間が多い傾向があります。つまり、焦りではなく丁寧さが合否を分けるポイントです。

👨‍🏫 藤原先生コメント

🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな勉強をすれば点数が取れるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学の数学で大事なのは、二次関数の解の公式や因数分解、判別式 $D = b^2 - 4ac$ といった基礎公式を完全に使いこなせることなんだ。例えば『二次方程式が異なる2実数解を持つ』という条件は、必ず $D > 0$ で表現できる。これを反射的に使えるようになることが第一歩。それができたら、確率・数列・積分の標準問題をこなしていけば、合格点（6〜7割）は十分狙えるよ。青チャートやフォーカスゴールドで基礎〜標準を固めるのが一番の近道だね！」

法政大学の数学は「丁寧に基礎を固めた人が報われる」試験です。一緒に頑張っていこう！

セクション3：2016年度 出題テーマ速報と難易度分析

2016年度 大問別テーマ一覧

合格ラインと得点戦略

2016年度の目標得点率は 60〜70% です。全9問中、難易度★★★☆☆の問題（大問1-Ⅰ、大問1-Ⅲ、大問2-Ⅰ、大問2-Ⅲ、大問3-Ⅰ）を確実に取りきり、★★★★☆の問題で部分点を稼ぐ戦略が有効です。

2016年度は確率が2回出題され、確率の強化が合否を大きく左右した年でした。確率の基礎を丁寧に！

セクション4：全大問 問題・解説

大問1-Ⅰ：三角形と内接円（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$AB = 4$, $AC = 5$, $\tan A = \dfrac{3}{\sqrt{7}}$ である三角形 $ABC$ において、内接円の半径を $r$、中心を $O$ とおく。

(1) 辺 $BC$ の長さを求めよ。
(2) $r$ の値を求めよ。
(3) 線分 $OC$ の長さを求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $\tan A = \dfrac{3}{\sqrt{7}}$ から $\sin A$, $\cos A$ を求める

（確認：$\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{9}{16} + \dfrac{7}{16} = 1$ ✓）

ステップ② 余弦定理で $BC$ を求める（$AB = c = 4$, $AC = b = 5$）

ここで $41 - 10\sqrt{7} = 35 - 10\sqrt{7} + 6 = (\sqrt{7})^2 \cdot 5 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{5}{1}$… と試みるが、$(\sqrt{35-\sqrt{7}})$の形は整理しにくい。数値的に確認すると $\sqrt{7} \approx 2.646$ なので $10\sqrt{7} \approx 26.46$、$BC^2 \approx 14.54$、$BC \approx \sqrt{14.54}$。

整数解を確認：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形で $(\sqrt{35} - \sqrt{6})^2 = 41 - 2\sqrt{210}$ ≠ これ。実は $BC^2 = 41 - 10\sqrt{7}$ のままが答えでは扱いにくいので、別の確認をしよう。

$\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}}$ のとき、斜辺を $k$ とすると $\sin A = \frac{3k}{...}$... 直角三角形のアナロジーで考えると、$\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}}$ は対辺 $3$、隣辺 $\sqrt{7}$、斜辺 $\sqrt{9+7} = 4$ なので：

ステップ③ 余弦定理で $BC^2$ を求める

$\sqrt{41-10\sqrt{7}}$：$(a-b)^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形にするなら $a+b = 41$, $4ab = 700$, $ab = 175$。$a,b$ は $t^2 - 41t + 175 = 0$ の解。判別式 $1681 - 700 = 981$（整数でない）。

よって $BC = \sqrt{41 - 10\sqrt{7}}$ のままとなる。しかしこれは計算がきれいでない。問題の $\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}}$ の設定から $BC = \sqrt{7}$ となる可能性を確認：$(\sqrt{7})^2 = 7 \neq 41 - 10\sqrt{7}$（数値的に $\approx 14.5$）。

実際に計算すると $BC^2 = 41 - 10\sqrt{7}$ であり、$\sqrt{41-10\sqrt{7}}$ が答えになります（または問題の条件を再確認すると $y = x^2 - 2a^2 x$ 型の問題ではなく三角比の問題なので、このまま記述）。

ステップ④ 三角形の面積 $S$ を求める

ステップ⑤ 内接円の半径 $r$ を求める

半周長：$s = \dfrac{AB + AC + BC}{2} = \dfrac{4 + 5 + \sqrt{41-10\sqrt{7}}}{2}$

ステップ⑥ $OC$ の長さを求める（角の二等分線の性質を使う）

内接円の中心 $O$ から辺 $BC$ と辺 $CA$ に接するので、$\angle OCB$ の二等分線方向にある。

$OC$ は $\angle ACB$ の二等分線上にあり、$OC = \dfrac{r}{\sin(\angle OCB)}$ = $\dfrac{r}{\sin(C/2)}$ と表せる。

または直接、$OC^2 = r^2 + (CA_{\text{接点からCまでの距離}})^2$ を使う。

内接円と辺 $CA$ の接点を $E$ とすると、$CE = s - c = s - AB$（$s$ は半周長、$c = AB = 4$）

整理すると $CE = s - c = \frac{AB+AC+BC}{2} - AB = \frac{-AB+AC+BC}{2} = \frac{-4+5+BC}{2} = \frac{1+BC}{2}$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは $\tan A$ から $\sin A$, $\cos A$ を導くことです。料理で例えると、$\tan A$ という「材料の比率」が与えられたとき、三角形の「斜辺」を求めることで $\sin$, $\cos$ という「調味料の量」を特定するイメージです。

$\tan A = \dfrac{3}{\sqrt{7}}$ ということは、直角三角形で「対辺3、隣辺$\sqrt{7}$、斜辺4」という比になっています。これを使えば $\sin A = \dfrac{3}{4}$, $\cos A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ がすぐ出てきます。

🧑 生徒：「内接円の半径 $r$ ってどうやって求めるんですか？公式がよくわからなくて…」

👨‍🏫 藤原先生：「内接円の半径は $r = \dfrac{S}{s}$ という公式で求めるよ。ここで $S$ は三角形の面積、$s$ は半周長（三辺の和の半分）だ。面積は $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ で、半周長は $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ で計算できる。今回は $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{2}$ が出るね。あとは三辺の和が計算できれば $r$ が求まるよ！」

【この大問で身につく力】

三角比（$\tan$ から $\sin$, $\cos$ への変換）と内接円の公式を組み合わせる「多段階計算力」が身につきます。

三角比は「直角三角形の辺の比」という原点に戻って考えれば怖くない！

大問1-Ⅱ：確率（条件付き確率・積の法則）（難易度★★★★☆）

【問題文】

5人の選手 $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4$ が出場する柔道の大会において、次の規則で試合を4回行う。

• 第1回目：$A_0$ と $A_1$ が対戦。$A_0$ が勝つ確率 $= A_1$ が勝つ確率 $= \dfrac{1}{2}$
• 第 $k$ 回目（$k = 2,3,4$）：前の試合の勝者と $A_k$ が対戦
• 第2回目以降：$n$ 勝している選手が勝つ確率 $= \dfrac{n}{n+2}$、対戦相手が勝つ確率 $= \dfrac{n+1}{n+2}$（$n \geq 1$）

※注意：OCR解答データに基づき、(iv)の正しい確率は「$n$勝している選手が勝つ確率 $= \dfrac{n}{n+2}$」として解きます。

(1) 第1回〜第4回すべてで $A_0$ が勝つ確率を求めよ。
(2) 第3回目の試合で $A_3$ が勝つ確率を求めよ。
(3) 第4回目の試合で $A_4$ が勝つ確率を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ — (1)】

ステップ① $A_0$ が第1回に勝つ確率：

ステップ② 第1回を勝った $A_0$ の勝利数は1。第2回に $A_0$ が勝つ確率（$n=1$）：

ステップ③ 第2回を勝った $A_0$ の勝利数は2。第3回に $A_0$ が勝つ確率（$n=2$）：

ステップ④ 第3回を勝った $A_0$ の勝利数は3。第4回に $A_0$ が勝つ確率（$n=3$）：

ステップ⑤ 積の法則ですべての試合で $A_0$ が勝つ確率：

【解法ステップ — (2)】

$A_3$ が第3回目に勝つためには、$A_3$ と対戦する「第2回目の勝者」が誰かで場合分けします。

パターンA：$A_0$ が第1回・第2回と勝ち（$A_0$ が $A_3$ と対戦）

$A_0$ が2勝しているので $n=2$、$A_3$ が勝つ確率 $= \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{3}{4}$

パターンB：$A_1$ が第1回に勝ち、$A_1$ が第2回も勝つ（$A_1$ が $A_3$ と対戦）

$A_1$ が第1回に勝つ確率：$\dfrac{1}{2}$

$A_1$ の勝利数 $n=1$、第2回に $A_1$ が $A_2$ に勝つ確率：$\dfrac{1}{3}$（$n=1$ 勝の選手が勝つ確率）

$A_1$ は2勝（$n=2$）で第3回に $A_3$ と対戦。$A_3$ が勝つ確率：$\dfrac{3}{4}$

パターンC：$A_1$ が第1回に勝ち、$A_2$ が第2回に勝つ（$A_2$ が $A_3$ と対戦）

$A_2$ は1勝（$n=1$）で第3回に $A_3$ と対戦。$A_3$ が勝つ確率：$\dfrac{2}{3}$（$n+1/(n+2) = 2/3$）

$A_2$ が第2回に勝つ確率（$A_1$ は $n=1$ 勝）：$\dfrac{2}{3}$（対戦相手 $A_2$ が勝つ確率）

パターンD：$A_0$ が第1回に勝ち、$A_2$ が第2回に勝つ（$A_2$ が $A_3$ と対戦）

$A_0$ は1勝（$n=1$）で第2回に $A_2$ と対戦。$A_2$ が勝つ確率：$\dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{2}{3}$

$A_2$ は1勝（$n=1$）で $A_3$ と対戦。$A_3$ が勝つ確率：$\dfrac{2}{3}$

合計：

🧑 生徒：「確率の問題で場合分けがたくさんあるとき、どうやって整理すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「こういう問題は樹形図（ツリー図）を書くのが一番効果的だよ！第1回の勝者が誰か、第2回の勝者が誰か、という風に枝を伸ばしていくんだ。そして各枝に確率を書いていけば、積の法則（各枝の確率を掛け合わせる） と 加法則（同じ結果になる枝の確率を足す） で自然と答えが出てくる。$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ という基本に忠実に！」

【この大問で身につく力】

複数の条件が組み合わさった確率計算を、場合分け＋積の法則＋加法則で整理する力が身につきます。

確率は「樹形図」を書けば必ず整理できる。焦らず場合を分けていこう！

大問1-Ⅲ：放物線と直線の接触・面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

放物線 $C: y = x^2 - 2a^2 x + a(a^2 + 1)$、直線 $\ell: y = x$（$a$ は実数定数）

(1) $C$ と $\ell$ が接するような $a$ の値と、そのときの接点の座標を求めよ。
(2) $C$ と $\ell$ が異なる2点で交わり、囲まれた面積が $\dfrac{4}{3}$ となるような $a$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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