法政大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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セクション1：リード文

法政大学 2009年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、法政大学2009年度の数学入試問題を全問丁寧に解説します。「どこから手をつければいいかわからない」「解答を見ても理解できない」という悩みを持つ受験生のために、数強塾グループ代表・藤原進之介先生が基礎から丁寧に解き明かします。

この記事で得られる3つの価値：
- ✅ 2009年度全大問の解法ステップを途中計算込みで完全解説
- ✅ 法政大学数学の頻出テーマと傾向を把握し、得点戦略が立てられる
- ✅ 「なぜそう解くのか」という本質的な理解が深まり、応用力が身につく

👨‍🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は標準レベルといわれていますが、だからこそ"基礎の完成度"が合否を直接左右します。焦らず、一問一問の本質を理解しながら一緒に進んでいきましょう！大丈夫、やれば必ず解けるようになります！」

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セクション2：法政大学の数学 入試の全体像

試験形式と基本情報

法政大学の数学入試は、受験する学部によって問題セットが異なるのが大きな特徴です。試験時間は60分（一部学部は異なる場合あり）で、大問数は通常3問構成です。マークシート方式と記述式の両方が採用されており、計算の正確さだけでなく論理的な思考力も求められます。

項目	内容
試験時間	60分
大問数	3問（学部共通問題＋学部別問題）
解答形式	マークシート・記述混在
難易度	標準レベル（偏差値55〜62程度）
対象単元	数学IA・IIB全範囲

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学は偏差値55〜65程度（学部により差異あり）に位置する難関私立大学です。数学のレベルとしては、「教科書の内容を完全に理解し、標準的な入試問題を自力で解けるレベル」が求められます。奇をてらった難問はほぼ出ず、むしろ基礎・標準問題で確実に得点できるかどうかが勝負です。

法政大学数学の頻出単元ランキング

過去10年の出題傾向を分析すると、以下のような傾向が見えてきます：

順位	単元	出題頻度
1位	確率・場合の数	★★★★★
2位	2次関数・方程式・不等式	★★★★★
3位	図形と方程式（軌跡・領域）	★★★★☆
4位	三角関数・正弦余弦定理	★★★★☆
5位	数列（等差・等比・漸化式）	★★★☆☆
6位	積分・面積	★★★☆☆
7位	絶対値を含む関数	★★★☆☆

他大学との違い・特徴

東大・一橋大などが「論述・証明」を重視するのに対し、法政大学は「計算の正確さと標準解法の習熟度」を重視します。つまり「なんとなくわかる」ではなく、「確実に計算できる」レベルまで仕上げることが重要です。また、学部ごとに問題が異なるため、自分の志望学部の過去問を重点的に演習することが効率的な対策です。

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🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな勉強をすれば一番効率よく対策できますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学では確率と2次方程式の判別式が特に頻出なんだ。確率は $P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}$ という基本から始めて、余事象・排反事象・条件付き確率の使い分けをマスターすること。2次方程式は判別式 $D = b^2 - 4ac \geq 0$ の意味を根本から理解することが大事だよ。『青チャート』で基礎を固めたら、過去問演習に進もう！」

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セクション3：2009年度 出題テーマ速報と分析

2009年度 大問別テーマ一覧

【大問1（全学部共通）】

問題	テーマ	難易度
[Ⅰ]	放物線上の2点間距離・軌跡	★★★☆☆
[Ⅱ]	さいころ・条件付き確率・得点の確率	★★★★☆
[Ⅲ]	2次方程式の判別式・パラメータ問題	★★★★☆

【大問2（法学部・文学部・経営学部 A方式）】

問題	テーマ	難易度
[Ⅰ]	最大公約数・最小公倍数の確率	★★★★☆
[Ⅱ]	円の領域・通過領域	★★★★☆
[法・文Ⅲ]	三角柱・内接球・空間図形	★★★★☆
[経営Ⅲ]	等差数列・等比数列の和	★★★☆☆

【大問3（文学部・経営学部 別日程）】

問題	テーマ	難易度
[Ⅰ]	絶対値関数・方程式の解の個数	★★★★☆
[Ⅱ]	正弦定理・余弦定理・三角形	★★★☆☆
[文Ⅲ]	さいころの積・確率	★★★★☆
[経営Ⅲ]	2次関数・面積・不等式	★★★★☆

難易度評価と合格ライン

2009年度は全体的に標準〜やや難の問題構成でした。確率問題（[Ⅱ]）と通過領域（大問2[Ⅱ]）がやや難しく、これらが合否の分岐点になったと考えられます。合格ラインの目安は60〜70%程度。基礎問題を確実に取り、難問で部分点を狙う戦略が有効です。

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セクション4：全大問 問題・解説

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大問1[Ⅰ]：放物線上の2点間距離と軌跡（難易度★★★☆☆）

【問題文】

放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ 上にあり、$x$座標が $t$ である点をPとし、放物線 $y = x^2 + 3x + 4$ 上にあり、$x$座標が $-t$ である点をQとする。ただし、$t$ は0以上の実数の定数とする。

(1) PQの最小値とそのときの $t$ の値を求めよ。

(2) 線分PQを3：2に内分する点の軌跡を図示せよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
2点間の距離	$PQ = \sqrt{(x_P - x_Q)^2 + (y_P - y_Q)^2}$
内分点の座標	$\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n},\ \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right)$（$m:n$ に内分）
平方完成	$at^2 + bt + c = a\left(t + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$

【解法ステップ】

ステップ① 点Pと点Qの座標を具体的に書く：

ステップ② PQの距離を計算する：

ステップ③ 平方完成して最小値を求める：

$t \geq 0$ の範囲で、$(t-1)^2$ は $t=1$ のとき最小値0をとるので、

ステップ④（(2)の解法） 内分点の座標 $(X, Y)$ を $t$ で表す：

待って、ここは要注意！P を後点、Q を前点として3:2に内分なので：

解答では $X = -\frac{1}{5}t$ となっているので、内分の向き（PからQへ3:2）を確認：

ステップ⑤ $t$ を消去して軌跡の方程式を求める：

$X = -\frac{t}{5}$ より $t = -5X$

これを $Y$ の式に代入：

$t \geq 0$ より $X = -\frac{t}{5} \leq 0$ なので、

頂点は $x = -\frac{13}{50}$、$y_{\min} = 2 - \frac{169}{100} = \frac{31}{100}$ です。また $x=0$ のとき $y=2$ で、$y$ 軸上の点 $(0, 2)$ を端点とする放物線になります。

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「2点のy座標の差を計算するとき、t²の項が消える」ことに気づけるかどうかだよ。2つの放物線がともに $x^2$ の係数が1だから、差を取ると $t^2$ が消えて $t$ の1次式になる。これはスポーツでいうと、「同じ体力ゲージを持つ2人の戦いでは体力差が重要」みたいなイメージだね。$t^2$ という"共通部分"を消すことで問題がシンプルになるんだ！

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🧑 生徒：「(2)で軌跡を求めるとき、なぜ $x \leq 0$ という制限がつくんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！これはパラメータ $t$ の範囲に起因する制約だよ。$X = -\frac{t}{5}$ という関係があって、問題文に '$t \geq 0$' とあるから、$X \leq 0$ になるんだ。軌跡問題では必ずパラメータの定義域を確認して、座標に課される制約を $x$ や $y$ の不等式に変換することが重要だよ。これを忘れると答えが部分的に間違いになるから要注意！」

【この大問で身につく力】
パラメータを消去して軌跡を求める技術と、「パラメータの定義域 → 座標の制約」を正確に変換する論理力が鍛えられます。

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大問1[Ⅱ]：さいころ・複数回試行の得点確率（難易度★★★★☆）

【問題文】

2個のさいころを同時に投げ、2つの目 $X$、$Y$ の差 $|X-Y|$ を確かめる。最大3回行って得点が決まる。1回目で $X \neq Y$ なら差を得点、同じ目なら2回目へ。2回目で $X \neq Y$ なら差の2倍を得点、同じ目なら3回目へ。3回目は必ず差の4倍を得点とする。

(1) 0点　　(2) 4点　　(3) 10点未満

【使う公式・定理】

公式名	内容
余事象の確率	$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
積の法則	$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$（独立な場合）
差の目の数え方	$|X-Y| = k$ となる $(X,Y)$ の組数を数える

【解法ステップ】

ステップ① 基本的な確率を整理する：

さいころ2個を投げる全事象の数：$6 \times 6 = 36$

$X = Y$（同じ目）となる場合：$(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ の6通り

ステップ②（(1) 0点の確率）

0点になるのは1〜3回目すべてで $X=Y$ のとき（3回目で $|X-Y|=0$ を得点）：

ステップ③（(2) 4点の確率）

4点になる経路は3つ（排反）：

• (i) 1回目で $|X-Y|=4$：$(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)$ の4通り
  $$P_i = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

• (ii) 1回目 $X=Y$、2回目 $|X-Y|=2$（$2 \times 2 = 4$点）：
  差が2の組：$(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)$ の8通り
  $$P_{ii} = \frac{1}{6} \times \frac{8}{36} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$$

• (iii) 1・2回目 $X=Y$、3回目 $|X-Y|=1$（$4 \times 1 = 4$点）：
  差が1の組：$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)$ の10通り
  $$P_{iii} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{10}{36} = \frac{10}{1296} = \frac{5}{648}$$

ステップ④（(3) 10点未満の確率）

余事象（10点以上になる確率）を求める。

1回目で $X \neq Y$ のとき、最大得点は $|X-Y|=5$ の5点なので10点未満。よって10点以上になるのは：

• (i) 1回目 $X=Y$、2回目 $|X-Y|=5$（$2 \times 5 = 10$点）：
  $(1,6),(6,1)$ の2通り
  $$P_i = \frac{1}{6} \times \frac{2}{36} = \frac{1}{108}$$

• (ii) 1・2回目 $X=Y$、3回目 $|X-Y| \geq 3$（$4 \times 3 = 12$点以上）：
  差が3以上の組：12通り（差3が8通り＋差4が4通り、正確には下記）

$|X-Y|=3$：$(1,4),(2,5),(3,6),(4,1),(5,2),(6,3)$ の6通り
$|X-Y|=4$：$(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)$ の4通り
$|X-Y|=5$：$(1,6),(6,1)$ の2通り

合計12通り

【藤原先生の解説】

この問題はゲームのような設定だけど、「何点を出すために何回目にどんな目が出る必要があるか」を樹形図で整理するのが鉄則だよ。例えば4点は「最初から4点を出す」「2倍で4点にする（差2の目）」「4倍で4点にする（差1の目）」の3ルートがある。このルートを漏れなく・重複なく列挙できるかが勝負！まるでRPGのクエスト攻略経路を全部列挙するイメージだね。

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🧑 生徒：「(3)で余事象を使うのはなぜですか？直接求めてはいけないんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「直接「10点未満」を求めようとすると、0点から9点まですべての場合を列挙しないといけないから大変なんだ。でも余事象、つまり「10点以上になる場合」は非常に少なく2通りしかないから、$P(\text{10点未満}) = 1 - P(\text{10点以上})$ とした方がはるかに計算が楽になる。確率問題で『〜未満』『〜以外』が出てきたら余事象の使いどきシグナルだよ！」

【この大問で身につく力】
複数段階にわたる試行の確率計算（積の法則・余事象）と、場合の組み合わせを漏れなく列挙する思考力が鍛えられます。

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大問1[Ⅲ]：2次方程式の判別式・全ての実数bで成立する条件（難易度★★★★☆）

【問題文】

$x$ の2次方程式 $x^2 + a(b+1)x + a(b+2) = 0 \cdots (*)$ について

(1) $b=1$ のとき、$(*)$ が実数解をもつような実数 $a$ の範囲を求めよ。

(2) すべての実数 $b$ に対して $(*)$ が実数解をもつような実数 $a$ の範囲を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
判別式	$D = \{a(b+1)\}^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(b+2) \geq 0$
「すべての実数bに対して」の条件	$D$ を $b$ の関数と見て、その最小値 $\geq 0$
2次関数の最小値	下に凸の2次関数の最小値は頂点のy座標

【解法ステップ】

ステップ①（(1)の解法） $b=1$ を代入：

判別式：
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3a = a(a-3) \geq 0$$

ステップ②（(2)の解法） 一般の判別式を $b$ の関数として展開：

ステップ③ $a=0$ のとき：$D = 0 \geq 0$ なので全ての $b$ で成立 ✅

ステップ④ $a \neq 0$ のとき：①を $b$ の2次関数と見て平方完成：

$a^2 > 0$（$a \neq 0$）より、$D$ の $b$ に関する最小値は $-4a-4$。

ステップ⑤ 「すべての実数 $b$ に対して $D \geq 0$」⟺ $D$ の最小値 $\geq 0$：

ステップ⑥ $a=0$ と合わせて：

【藤原先生の解説】

この問題の核心は「bについての判別式」という二重構造を見抜くことだよ。$D \geq 0$（実数解を持つ条件）を $b$ の関数として見ると、それ自体が2次式になる。「すべての実数 $b$ に対して $D \geq 0$」というのは「この $b$ の関数が常に0以上」ということだから、最小値 $\geq 0$ という条件になるんだ。これはまるで、「どんな天気でも大丈夫な服装をする」ためには「最悪の天気（最小値）でも対応できる服」を選ぶのと同じ発想だよ！

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🧑 生徒：「(2)で $a=0$ のときを別に確認しなければいけない理由は何ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い！$a=0$ のときを別処理する理由は、$D$ を $b$ の2次式として扱う際に最高次の係数が $a^2$ だからなんだ。$a \neq 0$ を仮定しないと '$b$ の2次関数で下に凸' という性質が使えないんだよ。$a=0$ のとき $D=0$ で常に成立するから、最終的に $a \leq -1$ または $a=0$ となる。場合分けは条件を破壊しないための『安全装置』だと思ってね！」

【この大問で身につく力】
判別式を別のパラメータの関数として見る「二重の最適化」思考と、$a=0$ などの特殊ケース分離の習慣が身につきます。

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大問2[Ⅰ]：最大公約数・最小公倍数の確率（難易度★★★★☆）

【問題文】

1から15までの数が1つずつ書かれた15枚のカードから同時に5枚を取り出す。

(1) 5つの数の最大公約数（GCD）が2となる確率を求めよ。

(2) 5つの数の最小公倍数（

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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