北海道教育大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事を読めば何が得られるか

北海道教育大学 2019年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数学指導者・数強塾グループ代表の藤原進之介が、北海道教育大学 2019年度の数学入試問題を基礎からとことん丁寧に解説します。

この記事を読めば、以下の3つが手に入ります！

• ✅ 北海道教育大学数学の傾向と特徴がわかり、合格に必要な学習戦略が立てられる
• ✅ 2019年度全3大問の完全解法が理解でき、どの単元で何を使えばいいかが明確になる
• ✅ 典型的なミスのパターンと対策を知り、本番での失点を最小限に抑えられる

👨‍🏫 藤原先生からひと言

「北海道教育大学の数学は、奇をてらった難問よりも本質的な理解を問う良問が多い大学です。今回の2019年度も、三角関数・図形・確率の漸化式という、受験数学の王道テーマが並んでいます。基礎をしっかり固めて丁寧に解けば、必ず得点できる問題ばかり。一緒に完全攻略していきましょう！」

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【セクション2】北海道教育大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

北海道教育大学（教員養成課程）の数学入試は、以下のような形式で実施されます。

項目	内容
試験時間	約90分
大問数	3問
配点	200点（問題1：60点、問題2・3：各70点）
解答形式	記述式（論述・証明を含む）
難易度	標準レベル（偏差値帯：50〜55）

記述式であることが最大の特徴です。「答えだけでなく、計算の過程や説明も書くこと」と明記されており、論述力・説明力が問われます。教員養成課程という性格上、「なぜそうなるのかを言葉と式で説明できるか」が非常に重視されます。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道教育大学（教員養成課程）は偏差値50前後の標準レベルの大学です。求められる数学レベルは高校数学の基礎〜標準問題をしっかり理解して自分の言葉で説明できる力です。難関大学のような奇問・難問は出題されませんが、基礎概念を丁寧に説明する論述力が差をつけます。

過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

北海道教育大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています。

順位	単元	出題頻度
1位	三角関数・図形と計量	★★★★★
2位	数列（漸化式・帰納法）	★★★★★
3位	図形と方程式（軌跡・領域）	★★★★☆
4位	確率・条件付き確率	★★★★☆
5位	微分・積分	★★★★☆
6位	ベクトル	★★★☆☆

特に注目すべきは「証明問題が必ず出る」という点です。「〜を証明せよ」「〜を示せ」「〜を説明せよ」という形式の問題が毎年複数出題されます。

他大学との違い・特徴

東大・京大のような難関大学では高度な発想力や計算力が求められますが、北海道教育大学の場合は「知っている定理・公式を正確に使いこなして、論理的に説明できるか」が核心です。教員養成課程という性質を反映して、「教えられる数学」——つまり「なぜそうなるのか」を説明できる数学が問われます。

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🧑 生徒：「北海道教育大学って、記述式なんですね。証明問題は具体的にどんな内容が出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「よい質問だね！2019年度の大問2を例にとると、三角形の垂心（オルソセンター）の存在証明が出題されているんだ。3頂点から対辺に下ろした垂線が1点で交わることを、直線の方程式を使って示す問題だよ。直線の傾きと垂直条件（傾きの積が $-1$）を使った証明で、論述の型を知っておくと大きな武器になるよ！」

よし、傾向がわかったね！次は2019年度の具体的な内容を見ていこう！

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【セクション3】2019年度 出題テーマ速報と分析

2019年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	配点	難易度
大問1	三角関数の最大・最小（置換による関数変換）	60点	★★★☆☆
大問2	図形と方程式（垂心の証明・軌跡・面積）	70点	★★★★☆
大問3	確率の漸化式・数学的帰納法・対数不等式	70点	★★★★☆

難易度評価と分析

大問1（★★★☆☆）は三角関数の置換による変数変換がテーマ。$t = \cos x$ と置いて $y = -2t^3 + 3t$ に変換し、微分で最大・最小を求める標準問題です。$x$ の範囲から $t$ の範囲を正確に導けるかがポイント。

大問2（★★★★☆）は垂心の証明・軌跡・面積と盛りだくさんの内容。(1)の証明を丁寧に書けるかで差がつきます。(2)(3)は(1)の結果を活用する問題で、流れを把握していれば難しくありません。

大問3（★★★★☆）は確率の漸化式。(1)〜(4)と段階的に誘導されており、(4)の対数不等式まで丁寧に誘導が設けられています。

合格ラインと得点戦略

総配点200点に対して、合格ラインは120〜140点程度と推定されます。得点戦略としては：

• 大問1を完答（60点満点）狙い
• 大問2・3は(1)(2)を確実に取り、(3)(4)で加点する
• 記述式なので途中過程を丁寧に書いて部分点を最大化する

2019年度のテーマが見えてきたね！いよいよ各大問の詳しい解説に入っていこう！

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【セクション4】全大問 完全解説

大問1：三角関数の最大・最小（難易度★★★☆☆）

【問題文】

関数 $y = \sin x \sin 2x + \cos x$ について、次の問いに答えよ。ただし、$\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ とする。

(1) $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であることを説明せよ。

(2) $t = \cos x$ とおく。$t$ の値の範囲を求め、$y$ を $t$ の式で表せ。

(3) $y$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。

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大問1(1)の解説：単位円による $\cos$ の定義

【使う概念・定理】

概念名	内容
単位円の定義	$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標
対称性	$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

【解法ステップ】

• ステップ① $\cos\theta$ の定義を確認する

単位円（半径1の円）において、$x$ 軸の正方向から角 $\theta$ だけ回転した点を $P$ とすると、$\cos\theta$ は点 $P$ の $x$ 座標として定義される。

• ステップ② $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ に対応する単位円上の点を求める

$\dfrac{3\pi}{4}$ は $\dfrac{\pi}{2}$ と $\pi$ の中間の角であり、第2象限に位置する。$\pi - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$ であるから、$\dfrac{3\pi}{4}$ の動径と単位円の交点 $P$ は、$\dfrac{\pi}{4}$ の場合と $y$ 軸について対称になる。

• ステップ③ 点 $P$ の座標を計算する

$\dfrac{\pi}{4}$ のとき、単位円上の点の座標は $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ である。

$y$ 軸対称なので、$\dfrac{3\pi}{4}$ のときの点 $P$ の座標は $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ となる。

• ステップ④ $\cos\dfrac{3\pi}{4}$ の値を読み取る

（証明終）

【藤原先生の解説】

単位円って、コンパスで描いた半径1の円だよね。そこに角度の分だけ針を回したとき、針の先（円の上の点）の「$x$ 座標」が $\cos$、「$y$ 座標」が $\sin$ なんだ。時計の針で例えると、12時（$y$ 軸の上）から左回りに針を動かしていくイメージだよ。$\dfrac{3\pi}{4}$ は180度の $\dfrac{3}{4}$ ＝135度の位置で、ちょうど $y$ 軸の左斜め上あたり。そこの $x$ 座標がマイナスになるのは直感的に理解できるね！

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大問1(2)の解説：置換による関数変換

【使う公式・定理】

公式名	内容
倍角の公式	$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
三角関数の相互関係	$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

【解法ステップ】

• ステップ① $x$ の範囲から $t$ の範囲を求める

$\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ において、$\cos x$ は単調減少であるから：

よって：

• ステップ② 倍角の公式で $\sin 2x$ を変換する

• ステップ③ $y$ を展開する

• ステップ④ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入して $\cos x = t$ で置換する

【藤原先生の解説】

置換積分と同じ発想だよ。「$\sin 2x$」という複雑な式が入っているとき、まず倍角の公式で $2\sin x \cos x$ に変えて、次に $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を使って全部 $\cos x$ の式にまとめる。最後に $t = \cos x$ と置くだけ。料理で例えると、複雑な食材（$\sin 2x$）を一度分解して（倍角公式）、使いやすい材料（$t$）に整理してから調理する感じだよ！

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🧑 生徒：「$t$ の範囲が $-1 \leq t \leq 0$ なのはなぜですか？$\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ からどうやって導くのかがよくわからないです。」

👨‍🏫 藤原先生：「$\cos x$ のグラフを思い出してほしいんだけど、$\cos x$ は $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で単調減少なんだ。つまり $x$ が大きくなるにつれて $\cos x$ の値は減っていく。だから $x = \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$（最大値）、$x = \pi$ のとき $\cos\pi = -1$（最小値）となって、$t$ の範囲は $-1 \leq t \leq 0$ になるよ。単調減少だから端点を代入するだけでOKだね！」

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大問1(3)の解説：微分による最大・最小

【使う公式・定理】

公式名	内容
多項式の微分	$(t^n)' = nt^{n-1}$
最大・最小の判定	$y' = 0$ の点と端点を比較

【解法ステップ】

• ステップ① $y = -2t^3 + 3t$ を微分する

• ステップ② $y' = 0$ を解く

• ステップ③ $-1 \leq t \leq 0$ の範囲で $y' = 0$ を満たす値を特定する

$t = \dfrac{1}{\sqrt{2}} > 0$ は範囲外。$t = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ は $-1 \leq -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leq 0$ を満たすので範囲内。

• ステップ④ 増減表を作成する

$t$	$-1$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$0$
$y'$		$-$	$0$	$+$
$y$	$1$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$0$

• ステップ⑤ 各点の $y$ の値を計算する

• ステップ⑥ $t$ と $x$ を対応させる

増減表から、最大値は $t = 0$、最小値は $t = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき。

$t = \cos x = 0$ かつ $\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ なので $x = \dfrac{\pi}{2}$

$t = \cos x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ なので $x = \dfrac{3\pi}{4}$

【藤原先生の解説】

ここで(1)の伏線が回収されるんだよ！$x = \dfrac{3\pi}{4}$ のとき $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ という(1)の結果が、$t$ と $x$ の対応に使われているんだ。試験問題は必ずつながっているから、前の問いの結果が後の問いのどこかで生きてくる。その「伏線の回収」に気づけると、解答の流れがスムーズになるよ！

【この大問で身につく力】
三角関数と $\cos x$ の置換による関数変換の力、および微分を使った最大・最小の求め方を総合的に鍛えられます。

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大問2：図形と方程式（垂心の証明・軌跡・面積）（難易度★★★★☆）

【問題文】

座標平面上の3点 $A(1,0)$、$B(2,0)$、$P(s,t)$ を頂点とする $\triangle ABP$ について、次の問いに答えよ。ただし、$t > 0$ とする。

(1) $\triangle ABP$ の頂点 $A$、$B$、$P$ から、それぞれの対辺またはその延長上に下ろした垂線が1点 $H$ で交わることを証明せよ。

(2) 点 $P$ が曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ $(x > 0)$ 上を動くとき、(1)の点 $H$ について、その軌跡の方程式を求めよ。

(3) (2)で求めた軌跡と $x$ 軸で囲まれた図形のうち、$x$ 軸の左側の部分の面積を求めよ。

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大問2(1)の解説：垂心の存在証明

【使う公式・定理】

公式名	内容
垂直条件	直線 $\ell_1$ と $\ell_2$ が垂直 $\Leftrightarrow$ 方向ベクトルの内積が $0$
直線の方程式	点 $(x_0, y_0)$ を通り方向ベクトル $(a,b)$ に垂直な直線：$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

【解法ステップ】

• ステップ① 頂点 $A$ から対辺 $BP$ への垂線の方程式を求める

$\overrightarrow{BP} = (s-2, t)$ に垂直で点 $A(1,0)$ を通る直線：

• ステップ② 頂点 $B$ から対辺 $AP$ への垂線の方程式を求める

$\overrightarrow{AP} = (s-1, t)$ に垂直で点 $B(2,0)$ を通る直線：

• ステップ③ ①と②の交点 $H$ の座標を求める

①－②を計算する：

①に $x = s$ を代入：

よって $H = \left(s, -\dfrac{(s-2)(s-1)}{t}\right)$

• ステップ④ 頂点 $P$ から対辺 $AB$ への垂線が $H$ を通ることを確認する

$AB$ は $x$ 軸上にあるから、$P(s,t)$ から $AB$ への垂線は $x = s$（鉛直線）。点 $H$ の $x$ 座標は $s$ であるから、$H$ はこの垂線上にある。

よって3本の垂線はすべて点 $H = \left(s, -\dfrac{(s-2)(s-1)}{t}\right)$ で交わる。 （証明終）

【藤原先生の解説】

「垂線が1点で交わる」という命題、怖く感じるかもしれないけど、やることはシンプルだよ。2本の垂線の交点を求めて、残り1本の垂線もその点を通ることを確認するだけ！3本全部を連立する必要はないんだ。証明の戦略として「2本で交点を決めて、3本目がその交点を通るか確認」という流れを覚えておいてね。

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🧑 生徒：「頂点 $P$ からの垂線はなぜ $x = s$ という式になるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$AB$ の対辺って、$x$ 軸上の線分 $AB$（$y = 0$ の部分）だね。$y = 0$ は水平な直線だから、それに垂直な直線は鉛直線、つまり $x = \text{定数}$ の形になるんだ。点 $P$ の $x$ 座標は $s$ だから、$P$ から $AB$ に下ろした垂線は $x = s$ になるよ。そして $H$ の $x$ 座標も $s$ だから、確かに $H$ はこの垂線上にある、という確認ができるわけだね！」

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大問2(2)の解説：軌跡の方程式

【使う概念】

点 $P(s,t)$ が $y = \dfrac{1}{x}$ 上を動く条件：$t = \dfrac{1}{s}$

【解法ステップ】

• ステップ① $P$ の条件を設定する

$P(s,t)$ が $y = \dfrac{1}{x}$ $(x>0)$ 上を動くので：

• ステップ② $H$ の座標を $s$ で表す

(1)の結果より $H = \left(s, -\dfrac{(s-2)(s-1)}{t}\right)$

$t = \dfrac{1}{s}$ を代入：

• ステップ③ $H$ の座標を $(X, Y)$ として軌跡の方程式を導く

$H$ の $x$ 座標は $X = s$、$y$ 座標は $Y = -s(s-2)(s-1)$

$s = X$ を代入すると：

ここで $s > 0$ より $X > 0$ だが、次の問い(3)のために注意深く確認すると、$y$ 軸との関係も含め整理する。

$H$ の $x$ 座標は常に $P$ の $x$ 座標 $s$ に等しく $s > 0$ なので：

【藤原先生の解説】

軌跡の問題って、パラメータで点の座標を表して、パラメータを消去するだけだよ。ここでは $s$ がパラメータで、$H$ の $x$、$y$ 座標をともに $s$ で表してから、$x = s$ なので $s$ を消去したんだ。手順をしっかり覚えておこう！

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大問2(3)の解説：面積計算

【使う公式・定理】

公式名	内容
定積分による面積	$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$
多項式の積分	$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$

**【解法ステップ

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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