北海道大学 2017年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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北海道大学 2017年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で北海道大学 2017年度数学過去問を完全制覇しよう！

北海道大学 2017年度数学過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾グループ代表の藤原進之介が、2017年度に出題された全大問を基礎の基礎から丁寧に解説します。

この記事を読むと、こんな力が身につきます：

✅ 2017年度の全大問の解法を、途中計算を一切省略せず完全理解できる
✅ 北海道大学数学の出題傾向と頻出単元を把握し、効率よく対策できる
✅ 合否を分けるポイントと部分点の取り方を知り、本番で確実に得点できる

👨‍🏫 藤原先生より一言：

「北海道大学の数学は、奇問・難問ではなく『標準問題をいかに確実に解けるか』が勝負です。焦らず一つひとつの単元を丁寧に積み上げてきた受験生が報われる試験です。さあ、一緒にやっていきましょう！」

セクション2：北海道大学の数学入試の全体像

試験形式・時間・問題数・配点

北海道大学の数学入試は、文系（数Ⅰ・Ⅱ・A・B）と理系（数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B）で出題範囲が異なります。

項目	文系数学	理系数学
試験時間	90分	150分
大問数	4問	5問
解答形式	記述式	記述式
配点	各25点（計100点）	各20点（計100点）

試験は完全記述式であり、「結果を導く過程を重視する」と問題紙にも明記されています。答えだけ合っていても部分点しかもらえないケースがあるため、論述の質が非常に重要です。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学の偏差値は学部によって異なりますが、概ね偏差値60〜65程度の水準です。数学に関しては「青チャートや標準問題精講レベルの問題を確実に解けること」が最低ラインとなります。難問奇問はほとんど出ず、教科書の内容を深く理解したうえで標準問題を正確に処理する力が問われます。

過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

北海道大学数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

順位	単元	出題頻度
1位	微分・積分	★★★★★
2位	ベクトル	★★★★☆
3位	確率・確率漸化式	★★★★☆
4位	数列・漸化式	★★★★☆
5位	整数・平方数	★★★☆☆
6位	複素数平面（理系）	★★★☆☆
7位	2次関数・極値	★★★☆☆

特徴的なのは「幅広い分野からバランスよく出る」ことです。特定の単元だけ得意でも点が取りにくく、全単元をまんべんなく仕上げることが合格の鍵です。

他大学との比較

東京大学：抽象的・論証型の問題が多く、数学的思考力そのものを問う
京都大学：計算量が多く、発想力と根気強さが必要
北海道大学：標準レベルの問題が中心で、正確な処理力と丁寧な論述が重視される

北大は「数学が得意な人が完璧に仕上げる」というよりも、「しっかり勉強してきた人が確実に点を取れる」試験です。これは、きちんと準備してきた皆さんにとってチャンスですよ！

👨‍🏫 藤原先生コメント

🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どんな問題が出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「北大の数学は、標準的な問題を確実に解く力が最も大事なんだ。たとえば確率では漸化式を立てて等比数列型に帰着させる方法、積分では部分積分や置換積分、ベクトルでは内積を使った計算など、教科書で習う標準的な技法が毎年出てくる。だから青チャートやフォーカスゴールドで基礎を固め、1対1対応の演習で入試標準レベルに引き上げれば、十分に戦えるよ！」

各単元をバランスよく鍛えることが、北大合格への最短ルートです！

セクション3：2017年度出題テーマ速報と分析

2017年度大問別テーマ一覧

【文系（大問1）】

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	平方数と不等式の証明	整数・不等式の証明	★★★☆☆
[2]	ベクトルと円・中点	ベクトル	★★★☆☆
[3]	確率漸化式（正四面体）	確率・数列	★★★★☆
[4]	積分方程式と極値条件	微積分	★★★★☆

【理系（大問2）】

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	平方数と不等式の証明	整数・不等式の証明	★★★☆☆
[2]	三角関数・積分	微積分・三角関数	★★★☆☆
[3]	複素数平面と外心	複素数平面	★★★★☆
[4]	サイコロゲームの確率	場合の数・確率	★★★★☆
[5]	距離の和と領域	座標幾何	★★★☆☆

難易度評価と得点戦略

2017年度は、大問[1]（平方数）と大問[2]（三角関数/ベクトル）が比較的取り組みやすく、確実に点を取るべき問題です。一方で大問[3]（確率漸化式・複素数平面）と大問[4]（積分方程式・確率）はやや難易度が高めで、ここで差がつきました。

合格ライン（目安）： 100点満点中 55〜65点程度

得点戦略： 大問[1]を完答（25点）→大問[2]を高得点（20点以上）→大問[3][4]から部分点を確保というルートが理想的です。

2017年度は「基礎力があれば半分以上取れる」設計の試験でした。焦らず丁寧に解いていこう！

セクション4：全大問問題・解説

大問1（共通）：平方数と不等式の証明（難易度★★★☆☆）

【問題文】

自然数の2乗となる数を平方数という。

(1) 自然数 $a$, $n$, $k$ に対して、$n(n+1)+a=(n+k)^2$ が成り立つとき、
$$a \geq k^2 + 2k - 1$$
が成り立つことを示せ。

(2)（文系） $n(n+1)+7$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

(2)（理系） $n(n+1)+14$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
差を取って符号を確認する証明法	$A \geq B$ を示すには $A - B \geq 0$ を示す
自然数の性質	$n \geq 1$、$k \geq 1$ なので $n-1 \geq 0$、$2k-1 \geq 1 > 0$

【解法ステップ：(1) 不等式の証明】

ステップ① 方針：$a \geq k^2 + 2k - 1$ を示すには、$a - (k^2 + 2k - 1) \geq 0$ を示せばよい。

ステップ② $a = (n+k)^2 - n(n+1)$ を利用して差を計算する：

$$a - (k^2 + 2k - 1) = \{(n+k)^2 - n(n+1)\} - (k^2 + 2k - 1)$$

$$= (n^2 + 2nk + k^2 - n^2 - n) - k^2 - 2k + 1$$

$$= 2nk - n - 2k + 1$$

$$= (2k-1)n - (2k-1)$$

$$= (2k-1)(n-1)$$

ステップ③ 符号の確認：$n, k$ は自然数なので $n \geq 1$, $k \geq 1$ より、

$$2k - 1 \geq 2(1) - 1 = 1 > 0, \quad n - 1 \geq 0$$

よって $(2k-1)(n-1) \geq 0$

$$\therefore a - (k^2 + 2k - 1) \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad a \geq k^2 + 2k - 1 \qquad \square$$

【解法ステップ：(2) 文系版 $n(n+1)+7$ が平方数となる自然数 $n$】

ステップ① $n(n+1) + 7$ が平方数であることを式で表す。

$n(n+1) = n^2 + n > n^2$ なので、$n(n+1)+7 > n^2$。よって $n(n+1)+7$ が平方数なら、ある自然数 $k$ を用いて

$$n(n+1) + 7 = (n+k)^2 \quad \cdots\cdots①$$

と表せる。

ステップ② (1) の結果を使って $k$ の範囲を絞る。$a = 7$ とすると

$$7 \geq k^2 + 2k - 1$$

$$k^2 + 2k - 8 \leq 0$$

$$(k+4)(k-2) \leq 0$$

$$-4 \leq k \leq 2$$

$k$ は自然数なので $k = 1$ または $k = 2$。

ステップ③ 各 $k$ について①を解く。

$k=1$ のとき：$n(n+1) + 7 = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$

$$n^2 + n + 7 = n^2 + 2n + 1 \implies n = 6$$

$k=2$ のとき：$n(n+1) + 7 = (n+2)^2 = n^2 + 4n + 4$

$$n^2 + n + 7 = n^2 + 4n + 4 \implies 3n = 3 \implies n = 1$$

ステップ④ 確認：

$n=1$：$1 \cdot 2 + 7 = 9 = 3^2$ ✅
$n=6$：$6 \cdot 7 + 7 = 49 = 7^2$ ✅

$$\therefore n = 1, 6$$

【解法ステップ：(2) 理系版 $n(n+1)+14$ が平方数となる自然数 $n$】

ステップ① 同様に $n(n+1) + 14 = (n+k)^2$ とおく。$a=14$ を (1) に代入：

$$14 \geq k^2 + 2k - 1$$

$$k^2 + 2k - 15 \leq 0$$

$$(k+5)(k-3) \leq 0$$

$$k \leq 3$$（$k$ は自然数）

よって $k = 1, 2, 3$。

ステップ② 各 $k$ について解く：

$k=1$：$n(n+1) + 14 = (n+1)^2 \implies n^2+n+14 = n^2+2n+1 \implies n = 13$
$k=2$：$n(n+1) + 14 = (n+2)^2 \implies n^2+n+14 = n^2+4n+4 \implies 3n = 10$（不適：自然数でない）
$k=3$：$n(n+1) + 14 = (n+3)^2 \implies n^2+n+14 = n^2+6n+9 \implies 5n = 5 \implies n=1$

ステップ③ 確認：

$n=1$：$1 \cdot 2 + 14 = 16 = 4^2$ ✅
$n=13$：$13 \cdot 14 + 14 = 196 = 14^2$ ✅

$$\therefore n = 1, 13$$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「差を取って因数分解する」という証明の王道手法です。

$a \geq k^2 + 2k - 1$ を証明するとき、「左辺 $-$ 右辺 $\geq 0$」を示す。これはまるで料理で「この鍋の方が大きいか確かめたいなら、差し引きしてみればいい」みたいな話です。計算すると $(2k-1)(n-1)$ という因数分解された式になり、$k \geq 1$, $n \geq 1$ という条件から非負性が一発でわかります。

また (2) では、(1) で証明した不等式を道具として使うという流れが美しい。「証明した事実を使って具体的に絞り込む」という手順は、整数問題の典型的な解法パターンです。

💬 会話①

🧑 生徒：「(2) で $k$ の範囲を求めるところで $(k+4)(k-2) \leq 0$ から $k \leq 2$ が出てきましたが、なぜ $k \geq -4$ の方は使わないんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問だね！$k$ は自然数なので $k \geq 1$ という制約がもともとあるんだ。$(k+4)(k-2) \leq 0$ を解くと $-4 \leq k \leq 2$ だけど、ここに『$k$ は自然数』という条件を重ねると、$k \geq 1$ かつ $k \leq 2$ になって $k=1$ か $k=2$ しか残らないんだよ。条件を後から絞り込む、これが整数問題の定番テクニックだよ！」

【この大問で身につく力】

「不等式の証明（差を因数分解して非負性を示す手法）」と「証明した命題を道具として使って整数解を絞り込む問題解決力」が鍛えられます。

大問2（文系）：ベクトルと円・中点（難易度★★★☆☆）

【問題文】

平面上の点 $O$ を中心とする半径1の円を $C$ とする。円 $C$ の内部に点 $A$ がある。円 $C$ の周上に2点 $P, Q$ が $\angle PAQ = 90°$（$AP \perp AQ$）を満たしながら動く。線分 $PQ$ の中点を $R$ とする。また、$\vec{OA}=\vec{a}$, $|\vec{a}|=r$, $\vec{OP}=\vec{p}$, $\vec{OQ}=\vec{q}$ とする。ただし $0 < r < 1$。

(1) $|\vec{AR}|^2$ を内積 $\vec{a} \cdot \vec{p}$ および $\vec{a} \cdot \vec{q}$ を用いて表せ。

(2) 直線 $OA$ 上の点 $B$ で、$|\vec{BR}|^2$ が2点 $P, Q$ の位置によらず一定となるものを求めよ。また、このときの $|\vec{BR}|^2$ の値を $r$ を用いて表せ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
中点のベクトル表示	$\vec{OR} = \frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q})$
垂直条件（内積）	$\vec{AP} \perp \vec{AQ} \Leftrightarrow \vec{AP} \cdot \vec{AQ} = 0$
ベクトルの大きさ二乗	$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

【解法ステップ：(1)】

ステップ① 垂直条件 $\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = 0$ を展開する：

$$(\vec{p}-\vec{a}) \cdot (\vec{q}-\vec{a}) = 0$$

$$\vec{p} \cdot \vec{q} - \vec{a} \cdot (\vec{p}+\vec{q}) + |\vec{a}|^2 = 0$$

$$\therefore \vec{a} \cdot (\vec{p}+\vec{q}) = \vec{p} \cdot \vec{q} + r^2 \quad \cdots\cdots①$$

ステップ② 中点 $R$ のベクトルを求める：

$$\vec{OR} = \frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}) \quad \cdots\cdots②$$

ステップ③ $|\vec{AR}|^2$ を計算する：

$$|\vec{AR}|^2 = |\vec{OR} - \vec{OA}|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}) - \vec{a}\right|^2$$

$$= \frac{1}{4}(|\vec{p}|^2 + 2\vec{p}\cdot\vec{q} + |\vec{q}|^2) - \vec{a}\cdot(\vec{p}+\vec{q}) + |\vec{a}|^2$$

$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$（円周上）、①を使って：

$$= \frac{1}{4}(1 + 2\vec{p}\cdot\vec{q} + 1) - (\vec{p}\cdot\vec{q} + r^2) + r^2$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{q} - \vec{p}\cdot\vec{q}$$

$$\boxed{|\vec{AR}|^2 = \frac{1}{2}(1 - \vec{p}\cdot\vec{q})}$$

【解法ステップ：(2)】

ステップ① $B$ は直線 $OA$ 上にあるので $\vec{OB} = k\vec{a}$（$k$ は実数）とおく。

ステップ② $|\vec{BR}|^2$ を計算する：

$$|\vec{BR}|^2 = |\vec{OR} - \vec{OB}|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}) - k\vec{a}\right|^2$$

$$= \frac{1}{4}(|\vec{p}|^2 + 2\vec{p}\cdot\vec{q} + |\vec{q}|^2) - k\vec{a}\cdot(\vec{p}+\vec{q}) + k^2|\vec{a}|^2$$

①を使って $\vec{a}\cdot(\vec{p}+\vec{q}) = \vec{p}\cdot\vec{q} + r^2$：

$$= \frac{1}{4}(2 + 2\vec{p}\cdot\vec{q}) - k(\vec{p}\cdot\vec{q} + r^2) + k^2 r^2$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{q} - k\vec{p}\cdot\vec{q} - kr^2 + k^2 r^2$$

$$= \left(\frac{1}{2} - k\right)\vec{p}\cdot\vec{q} + \frac{1}{2} + (k^2 - k)r^2 \quad \cdots\cdots③$$

ステップ③ $|\vec{BR}|^2$ が $P, Q$ の位置（すなわち $\vec{p}\cdot\vec{q}$ の値）によらず一定となるには、$\vec{p}\cdot\vec{q}$ の係数 $= 0$：

$$\frac{1}{2} - k = 0 \implies k = \frac{1}{2}$$

すなわち、$B$ は線分 $OA$ の中点。

ステップ④ $k = \frac{1}{2}$ を③に代入：

$$|\vec{BR}|^2 = 0 \cdot \vec{p}\cdot\vec{q} + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)r^2$$

$$= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}r^2 = \frac{1}{4}(2 - r^2)$$

$$\boxed{|\vec{BR}|^2 = \frac{2-r^2}{4}}$$

【藤原先生の解説】

このベクトル問題の核心は「$P, Q$ の位置によらず一定」という条件です。③の式をよく見ると、$\vec{p}\cdot\vec{q}$ という変数が含まれています。「一定」にするには、この変数の係数をゼロにすればいい。これはまるでゲームで「ランダムな要素を消してスコアを安定させる」ようなものです。$k = \frac{1}{2}$ という答えが、$B$ が $OA$ の中点であるという幾何的に美しい事実に対応しているのも、数学の醍醐味ですね。

💬 会話②

🧑 生徒：「③の式で $\vec{p} \cdot \vec{q}$ の係数をゼロにすれば一定になるという理由がよく分からないです。」

👨‍🏫 藤原先生：「$|\vec{BR}|^2 = \left(\frac{1}{2} - k\right)\vec{p}\cdot\vec{q} + \frac{1}{2} + (k^2-k)r^2$ という式を見てほしいんだ。ここで $k$ は固定されていて、$\vec{p}\cdot\vec{q}$ が $P, Q$ の位置によって変わる値なんだ。もし $\frac{1}{2} - k \neq 0$ なら、$\vec{p}\cdot\vec{q}$ が変わるたびに $|\vec{BR}|^2$ の値も変わってしまうよね。逆に $\frac{1}{2} - k = 0$、つまり $k = \frac{1}{2}$ のときは $\vec{p}\cdot\vec{q}$ の項が消えて、残った $\frac{1}{2} + (k^2-k)r^2$ は $k$ と $r$ だけで決まる定数になる！これが『位置によらず一定』の意味だよ。一次式の係数が0なら定数になる、これがポイントだ！」

【この大問で身につく力】

「垂直条件を内積に変換し、展開・整理して問題を解くベクトル処理力」と「変数の係数をゼロにして定数にする思考法（条件抽出力）」が鍛えられます。

大問2（理系）：三角関数の微積分（難易度★★★☆☆）

【問題文】

関数 $f(x) = 1 + \sin x - x\cos x$ について、以下の問に答えよ。

(1) $f(x)$ の $0 \leq x \leq 2\pi$ における増減を調べ、最大値と最小値を求めよ。

(2) $f(x)$ の不定積分を求めよ。

(3) 次の定積分の値を求めよ：$\displaystyle\int_0^{2\pi} |f(x)|\,dx$

【使う公式・定理】

公式名	内容
積の微分	$(uv)' = u'v + uv'$
部分積分	$\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx$
絶対値の積分	符号変化点を求めて場合分けして積分

【解法ステップ：(1) 増減表と最大・最小】

ステップ① $f'(x)$ を計算する（積の微分を使う）：

$$f'(x) = \cos x - \frac{d}{dx}(x\cos x)$$

$$= \cos x - (\cos x + x \cdot (-\sin x))$$

$$= \cos x - \cos x + x\sin x$$

$$= x\sin x$$

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

**藤原進之介**（数強塾グループ代表）

Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。

**主要著書：**
- 『オールカラー高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テストパターンドリル情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ藤原のたった９時間でＩＴパスポート令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書共通テスト７日で完成情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介のゼロから始める情報I』（KADOKAWA）

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カテゴリー: 北海道大学

タグ: 2017年度ベクトル・空間図形図形・幾何整数・数論

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はじめに：この記事で北海道大学 2017年度 数学 過去問を完全制覇しよう！

セクション2：北海道大学の数学 入試の全体像

試験形式・時間・問題数・配点

偏差値帯と求められる数学レベル

過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

他大学との比較

👨‍🏫 藤原先生コメント

セクション3：2017年度 出題テーマ速報と分析

2017年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と得点戦略

セクション4：全大問 問題・解説

大問1（共通）：平方数と不等式の証明（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ：(1) 不等式の証明】

【解法ステップ：(2) 文系版 $n(n+1)+7$ が平方数となる自然数 $n$】

【解法ステップ：(2) 理系版 $n(n+1)+14$ が平方数となる自然数 $n$】

【藤原先生の解説】

💬 会話①

【この大問で身につく力】

大問2（文系）：ベクトルと円・中点（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ：(1)】

【解法ステップ：(2)】

【藤原先生の解説】

💬 会話②

【この大問で身につく力】

大問2（理系）：三角関数の微積分（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ：(1) 増減表と最大・最小】

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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2017年度大問別テーマ一覧

セクション4：全大問問題・解説

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