北海道大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で君の数学力は必ず上がる！

北海道大学 2016年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、北大2016年度の数学全問題を、基礎から丁寧に解説していきます。

この記事で得られる3つの価値：

• ✅ 2016年度の全大問を、解法の根拠から理解できる（丸暗記ゼロ！）
• ✅ 北海道大学数学の出題傾向と頻出単元を完全把握できる
• ✅ 合否を分けたポイントと、今後の学習ロードマップがわかる

👨‍🏫 藤原先生より：「北大の数学って、難問が少ない分、むしろ"解けて当然の問題を確実に解く力"が試されるんだ。基礎の理解をしっかり固めれば、必ず得点できる試験だよ。一緒にやっていこう！」

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北海道大学の数学：入試の全体像を知ろう

試験形式と基本情報

項目	文系（数Ⅰ・Ⅱ・A・B）	理系（数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B）
試験時間	90分	150分
大問数	4問	5問
解答形式	記述式（論述）	記述式（論述）
配点	200点	200点

記述式であるため、答えだけでなく解答プロセスの明示が合否を大きく左右します。北大の採点官は「どう考えたか」を重視します。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学の偏差値は学部によって異なりますが、医学部（偏差値65〜67）、工学部・理学部（偏差値57〜62）、文系学部（偏差値55〜62）が目安です。数学の難易度は旧帝大の中では標準〜やや標準レベルで、東京大学・京都大学・東北大学ほどの難問は少ない一方、計算力と論証力を問う問題が中心です。

過去10年の出題傾向まとめ

出題ジャンル	頻度	代表的な単元
微積分	★★★★★	定積分・面積・体積（理系）・接線
確率	★★★★☆	条件付き確率・漸化式と確率
図形と方程式	★★★★☆	ベクトル・三角形・外接円
整数問題	★★★☆☆	自然数の性質・不等式評価
複素数平面（理系）	★★★☆☆	複素数と絶対値
数列	★★★☆☆	漸化式・数学的帰納法
空間ベクトル（理系）	★★★☆☆	直線・平面・球

北大の特徴として「幅広い分野から満遍なく出題」される点が挙げられます。東大のように抽象的な思考力だけを問う問題は少なく、標準的な解法パターンを確実に習得したうえで、計算を正確にこなす力が求められます。

他大学との違い

• 東大・京大：高度な思考力・発見的な解法が必要
• 東北大・名古屋大：計算量が多く、論述の丁寧さも必要
• 北海道大学：基礎〜標準の解法パターンを正確に使いこなす力。計算力と論述の両立が鍵

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🧑 生徒：「北大の数学って、難問は少ないって聞きましたが、だったら満点近く取らないといけないんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！北大の数学は、たとえば大問の(1)(2)は比較的取りやすくても、(3)で証明問題や総合的な思考が要求されることが多いんだ。部分点の取り方が本当に重要で、(3)が完答できなくても(1)(2)を完璧にすれば十分合格点に届くケースが多いよ。目標は各大問で60〜70%の得点を安定させること。そのためには、まず青チャートや基礎問題精講で標準解法を磨いて、過去問で時間配分を体得することが大切だよ！」

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2016年度 出題テーマ速報と分析

大問1（文系・理系共通）

大問番号	テーマ	難易度
[1]	3次関数の接線・平行条件・中点の軌跡（証明）	★★★☆☆
[2]	絶対値を含む関数のグラフ・定積分	★★★☆☆
[3]	三角形の角度・ベクトル（外接円）	★★★★☆
[4]	自然数の整数問題（不等式評価）	★★★★☆

大問2（理系のみ）

大問番号	テーマ	難易度
[1]	複素数平面・$\|w\|$ の最小値	★★★★☆
[2]	積分方程式・微分・$g(a)$ の最小値	★★★★★
[3]	確率（条件付き確率）	★★★☆☆
[4]	3次方程式の実数根・数列と帰納法	★★★★★
[5]	空間ベクトル・球・放物線の軌跡	★★★★★

難易度評価と得点戦略

2016年度は全体として標準〜やや難のセットでした。文系では[1][2]が確実に取りたい問題、[3][4]はできれば小問(1)(2)を取る戦略が有効です。理系では[1][3]を確実に取り、[2][4][5]は(1)(2)まで取れれば上々。7割（140点）が理系の合格ラインの目安です。

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全大問 完全解説

大問1－[1]：3次関数の接線・平行条件・中点定理（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a, b, c$ を実数とし、$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とおく。曲線 $C: y = f(x)$ 上に異なる2点 $P(s, f(s))$、$Q(t, f(t))$ がある。

(1) $P$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。

(2) $P$ における $C$ の接線と $Q$ における $C$ の接線が平行になるための条件を $s, t, a$ の関係式として求めよ。

(3) (2)の条件のもとで、線分 $PQ$ の中点が $C$ 上にあることを示せ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
接線の方程式	点 $(p, f(p))$ における接線：$y - f(p) = f'(p)(x - p)$
平行条件	傾きが等しい：$f'(s) = f'(t)$
因数分解	$s^2 - t^2 = (s+t)(s-t)$、$s^3 + t^3 = (s+t)(s^2 - st + t^2)$

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【解法ステップ】

ステップ① まず $f'(x)$ を求める。

ステップ②（(1)の解答） 点 $P(s, f(s))$ における接線の方程式：

展開すると：

ステップ③（(2)の解答） 平行条件 $f'(s) = f'(t)$（かつ $s \neq t$）より：

$s \neq t$ なので $s - t \neq 0$、両辺を $s - t$ で割ると：

ステップ④（(3)の証明） 中点 $M$ の座標を $(X, Y)$ とおく。

$Y$ を展開する：

恒等式の利用：

$s + t = -\frac{2}{3}a$ を代入すると：

したがって：

よって：

ステップ⑤ $f(X)$ を計算する：

$Y = f(X)$ が成立するので、中点 $M(X, Y)$ は曲線 $C$ 上にある。（証明終）

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【藤原先生の解説】

この問題の核心は(3)の証明です。「中点が曲線上にある」という幾何的な主張を、代数的な計算で証明するのがポイント。

料理に例えると、「この料理においしい」と言うだけじゃなく、「砂糖○グラム、塩○グラム…」とレシピを示すのが証明問題です。感覚的に「そうなりそう」と思っても、式で確かめることが大事。

(3)では $s + t$ の値を(2)で求めているのが伏線になっています。複雑に見えますが、$s+t = -\frac{2}{3}a$ という条件を代入することで $st$ の項が消えるのが美しいところです。

🧑 生徒：「(3)の証明で $Y = f(X)$ を示すとき、$st$ の項が消えるのはなぜですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問だね！$s^3 + t^3$ を展開すると $+2ast$、$a(s^2 + t^2)$ を展開すると $-2ast$ が出てきて、これらがちょうどキャンセルされるんだ。これは偶然じゃなくて、3次関数の対称性から来ているよ。数学では『$s + t$ だけで表せる』ときは対称式の力を使う、という発想が大切だよ。対称式の基本定理：$s^2+t^2 = (s+t)^2 - 2st$、$s^3+t^3 = (s+t)^3 - 3st(s+t)$ を使うと、$s+t$ が固定されていれば $st$ に依存しない形に変形できるんだ。」

【この大問で身につく力】
微分・接線・因数分解の連携と、対称式を利用した証明技術。3次関数の「変曲点について対称」という性質の深い理解につながります。

💪 (3)の証明は最初は難しく感じるかもしれないけど、$s+t$ を代入すれば自然と証明できる。「伏線を回収する」数学の醍醐味を感じてほしい！

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大問1－[2]：絶対値関数のグラフ・定積分（難易度★★★☆☆）

【問題文】

(1) 関数 $y = f(x)$ のグラフをかけ。グラフと $x$ 軸との2つの交点の $x$ 座標を $\alpha$、$\beta$（$\alpha < \beta$）として値を求めよ。

(2) (1)の $\alpha$、$\beta$ に対して、定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\, dx$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
絶対値の場合分け	$\|A\| = A$（$A \geq 0$）、$\|A\| = -A$（$A < 0$）
定積分の区間分割	$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$
積分の計算	$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

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【解法ステップ】

ステップ① 絶対値を外すための符号変化点を特定する。

• $x(x-2) = 0$ の解：$x = 0, 2$
• $(x-1)(x-4) = 0$ の解：$x = 1, 4$

区間 $[-2, 4]$ を $x = 0, 1, 2, 4$ で分割する。

ステップ② 各区間での $f(x)$ を求める。

区間	$|x(x-2)|$	$|(x-1)(x-4)|$	$f(x)$
$-2 \leq x \leq 0$	$x^2 - 2x$	$x^2 - 5x + 4$	$2x^2 - 4x - 6$
$0 \leq x \leq 1$	$-x^2 + 2x$	$x^2 - 5x + 4$	$-6$
$1 \leq x \leq 2$	$-x^2 + 2x$	$-x^2 + 5x - 4$	$-2x^2 + 10x - 14$
$2 \leq x \leq 4$	$x^2 - 2x$	$-x^2 + 5x - 4$	$6x - 14$

ステップ③ $x$ 軸との交点を求める。

$-2 \leq x \leq 0$ のとき：

$0 \leq x \leq 1$ のとき：$f(x) = -6 < 0$（交点なし）

$1 \leq x \leq 2$ のとき：

判別式 $D = 25 - 28 = -3 < 0$（実数解なし）

$2 \leq x \leq 4$ のとき：

ステップ④（(2)の計算） 定積分を区間分割して計算する。

第1項：

第2項：

第3項：

第4項：

合計：

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【藤原先生の解説】

絶対値を含む関数の積分は、まず「符号が変わる点」を全部洗い出して、区間を分割するのが鉄則です。これはゲームのマップを攻略するとき、まずチェックポイントを全部確認するのと同じ発想ですね。

$0 \leq x \leq 1$ の区間で $f(x) = -6$（定数）になるのが面白いポイント！絶対値の足し合わせで定数になるなんて、なかなか気づきにくいですよね。

🧑 生徒：「絶対値の場合分けで $0 \leq x \leq 1$ の区間を求めると $f(x) = -6$ になりましたが、計算間違いじゃないか不安です。確認方法はありますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「確認方法は具体的な値を代入すること！$x = \frac{1}{2}$ を代入してみよう。$f\!\left(\frac{1}{2}\right) = \left|\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\right| + \left|\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{7}{2}\right)\right| + 3 \cdot \frac{1}{2} - 10 = \frac{3}{4} + \frac{7}{4} + \frac{3}{2} - 10 = \frac{10}{4} + \frac{6}{4} - 10 = 4 - 10 = -6$。ぴったり合ってるね！数値確認の習慣は本番でのミス防止に超重要だよ。特に絶対値問題は符号のミスが起きやすいから、1〜2点で必ずチェックして！」

【この大問で身につく力】
絶対値関数の区間分割と、場合分けを整理する系統的思考力。積分の計算精度も鍛えられます。

💪 場合分けは最初は面倒に感じるけど、慣れれば「チェックポイントを確認する作業」として楽しくなるよ！

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大問1－[3]：三角形・正弦定理・外接円のベクトル（難易度★★★★☆）

【問題文】

△ABC が $AB = 2$、$AC = 1 + \sqrt{3}$、$\angle ACB = 45°$ をみたすとする。

(1) $\beta = \angle ABC$ とおくとき、$\sin\beta$ および $\cos 2\beta$ の値を求めよ。

(2) (1)の $\beta$ の値をすべて求めよ。

(3) △ABC の外接円の中心を $O$ とする。△ABC が鋭角三角形であるとき、$\vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ をみたす実数 $s, t$ を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
正弦定理	$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$
2倍角の公式	$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$
円周角と中心角	$\angle AOB = 2\angle ACB$
内積の定義	$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

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【解法ステップ】

ステップ①（(1)） 正弦定理を $AB = 2$、$\angle ACB = 45°$ に適用。

2倍角の公式：

ステップ②（(2)） $\beta$ の範囲：$0° < \beta < 180° - 45° = 135°$、つまり $0° < \beta < 135°$。

$\cos 2\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$0° < 2\beta < 270°$

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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