北海道大学 2012年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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北海道大学 2012年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で分かること

北海道大学 2012年度数学過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介が、2012年度の北大数学を徹底解説します。

この記事を読むことで、以下の3つの価値が得られます：

✅ 2012年度北大数学全大問の完全解説（途中計算ゼロ省略）
✅ 北大数学の出題傾向・頻出テーマと合格戦略の全貌
✅ 合格者と不合格者を分けたポイントと、次の演習に活かせる学習ロードマップ

👨‍🏫 藤原先生より： 北大の数学は「標準レベル」と言われるけれど、ただ公式を暗記しているだけでは通用しない。「なぜこの手法を使うのか」を理解してはじめて安定した得点ができる。一緒に本質から理解していこう！

セクション1：北海道大学の数学入試の全体像

試験形式・時間・配点

北海道大学の数学入試は、文系・理系で出題範囲と難易度が異なります。大問1（文系・理系共通的な範囲）と大問2（理系向け、数III含む）に分かれており、試験時間は120分。問題数は大問形式で複数の小問が含まれ、各大問で段階的に難度が上がる構成です。

項目	内容
試験時間	120分
大問数	大問1（文系）・大問2（理系）各4〜5問
解答形式	記述式（論述形式）
配点	各大問均等配点（詳細は年度により変動）
難易度	標準〜やや難（偏差値63〜67程度）

北大数学の偏差値帯と求められるレベル

北大の合格偏差値は学部にもよりますが、概ね偏差値63〜67の層が対象です。数学で要求されるのは「公式の暗記」ではなく、論理的な記述力と標準問題の確実な完答力です。

「難問を1問解ける力」よりも「標準問題を確実に・丁寧に・ミスなく解く力」の方が遥かに重要な大学です。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

北大数学の頻出単元を整理すると次のようになります：

順位	単元	出題頻度
1位	微積分（数II・数III）	★★★★★
2位	ベクトル・図形	★★★★☆
3位	確率・場合の数	★★★★☆
4位	三角関数・指数対数	★★★☆☆
5位	数列・漸化式	★★★☆☆
6位	複素数・行列	★★★☆☆
7位	不等式の証明・はさみうち	★★★☆☆

他大学との違い・特徴

大学	特徴
東大	高度な論述力・発想力が必要。難問あり
京大	証明問題が多く、思考の深さを問う
阪大	計算量が多め・誘導形式
北大	標準問題中心・幅広い分野・確実な記述力が鍵
東北大	標準〜やや難・微積が頻出

北大の特徴は「バランスの良さ」です。 特定の単元だけ鍛えても通用しません。代わりに、高校数学の全範囲を標準レベルまで仕上げた受験生が強い大学です。

🧑 生徒：「北大数学って、具体的にどんな問題が出るんですか？難問ばかりですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「実は北大の数学は、難問よりも標準問題の完答力が勝負なんだ。例えばベクトルなら内分・外分点の位置ベクトルの公式、確率なら組み合わせと確率の積の原則、微積なら定積分の不等式評価とはさみうちの定理など、教科書レベルの手法を丁寧に使いこなせるかが問われる。まず青チャートや『フォーカスゴールド』で標準問題を完璧にすることが最短ルートだよ！」

バランスよく全分野を仕上げることが北大合格の鉄則です！

セクション2：2012年度出題テーマ速報と分析

2012年度大問別出題テーマ一覧

大問1（文系・理系共通範囲）

小問	テーマ	難易度
[1]	ベクトルの外分・一直線上の条件	★★★☆☆
[2]	三角関数の最大・最小（置換）	★★☆☆☆
[3]	領域と面積（ab平面への変換）	★★★★☆
[4]	確率（勝ち抜き戦・k連勝）	★★★☆☆

大問2（理系：数III含む）

小問	テーマ	難易度
[1]	行列の線形変換と条件	★★★☆☆
[2]	三角関数の置換・方程式の解の個数	★★★☆☆
[3]	不等式の証明・はさみうちの定理で極限値	★★★★☆
[4]	二次関数の連立不等式と領域図示	★★★★★
[5]	確率（k勝先取り）	★★★☆☆

難易度評価と合格ライン

2012年度は全体的に標準レベルで、特に奇問・難問は見られませんでした。大問1は完答を目指せる問題が多く、大問2の[3]（はさみうちの定理）と[4]（二次関数の領域）がやや高難度でした。

目標得点ライン：
- 文系：大問1の60〜70%正答で合格圏
- 理系：大問1＋2合わせて55〜65%で合格圏

前年度との傾向変化

2012年度は特に「不等式証明（積分評価）」「二次関数の領域問題」が目立ちました。確率の問題も両大問に登場し、確率分野の重要性が改めて示された年度です。

合格するためのカギは「正確な記述」と「取れる問題を確実に取る」姿勢です！

セクション3：全大問問題・解説

大問1-[1]：ベクトルの外分と一直線上の条件（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$m > 0,\ n > 0,\ 0 < x < 1$ とする。$\triangle OAB$ の辺 $OA$ を $m:n$ に内分する点を $P$、辺 $OB$ を $m:n$ に内分する点を $Q$ とする。また、線分 $AQ$ を $1:x$ に外分する点を $S$、線分 $BP$ を $1:x$ に外分する点を $T$ とする。

(1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OS}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$、$m$、$n$、$x$ で表せ。

(2) 3点 $O$、$S$、$T$ が一直線上にあるとき、$x$ を $m$、$n$ で表せ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
内分点の位置ベクトル	$\overrightarrow{OP} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$（$m:n$ 内分）
外分点の位置ベクトル	$S$ が $A$、$Q$ を $1:x$ に外分 → $\overrightarrow{OS} = \frac{-x \cdot \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \overrightarrow{OQ}}{1 - x}$
一直線条件	$\overrightarrow{OS} = k\overrightarrow{OT}$（$k$ は実数）と置いて係数比較

【解法ステップ（1）】

ステップ① 点 $Q$ の位置ベクトルを求める：

辺 $OB$ を $m:n$ に内分する点 $Q$ だから、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{n}{m+n} \vec{b}$$

（※ $m:n$ 内分なので、$O$ 側から $m$ の割合進んだ点。$\overrightarrow{OQ} = \frac{m \cdot \vec{b} + n \cdot \vec{0}}{m+n}$…ではなく、正確には $O$ から $B$ へ $m:n$ に内分する点は $\overrightarrow{OQ} = \frac{m}{m+n}\vec{b}$）

ここで注意！解答では $\overrightarrow{OQ} = \frac{n}{m+n}\vec{b}$ となっていますが、「$OB$ を $m:n$ に内分」とは $O$ から $B$ の方向に $m:(n)$ の比で区切ること。つまり $\overrightarrow{OQ} = \frac{m}{m+n}\vec{b}$ が正しい値です。ただし解答OCRでは $\frac{n}{m+n}$ となっています。以下では問題の設定に従い整合する形で進めます。

ステップ② 外分点 $S$ の位置ベクトルを求める：

$S$ が線分 $AQ$ を $1:x$ に外分（$0 < x < 1$）することから、

$$\overrightarrow{OS} = \frac{-x \cdot \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \overrightarrow{OQ}}{1 - x}$$

$$= \frac{-x \vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b}}{1 - x}$$

$$= \frac{x}{1-x}(-\vec{a}) + \frac{1}{1-x} \cdot \frac{m}{m+n}\vec{b}$$

整理すると：

$$\boxed{\overrightarrow{OS} = -\frac{x}{1-x}\vec{a} + \frac{m}{(1-x)(m+n)}\vec{b}}$$

（解答OCRの符号・係数を参照しつつ、外分の公式を正確に適用）

【解法ステップ（2）】

ステップ① 点 $P$ と $\overrightarrow{OT}$ を求める：

辺 $OA$ を $m:n$ に内分する点 $P$ は、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{m}{m+n}\vec{a}$$

$T$ が線分 $BP$ を $1:x$ に外分するから、

$$\overrightarrow{OT} = \frac{-x \cdot \overrightarrow{OB} + 1 \cdot \overrightarrow{OP}}{1-x}$$

$$= \frac{-x\vec{b} + \frac{m}{m+n}\vec{a}}{1-x}$$

$$= \frac{m}{(1-x)(m+n)}\vec{a} - \frac{x}{1-x}\vec{b}$$

ステップ② 一直線条件を適用する：

$O$、$S$、$T$ が一直線上にあるとき、$\overrightarrow{OS} = k\overrightarrow{OT}$（$k$ は実数）と置ける。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、各係数を比較：

$\vec{a}$ の係数：$-\dfrac{x}{1-x} = k \cdot \dfrac{m}{(1-x)(m+n)}$ ……①

$\vec{b}$ の係数：$\dfrac{m}{(1-x)(m+n)} = k \cdot \left(-\dfrac{x}{1-x}\right)$ ……②

ステップ③ $k$ を消去する：

①より：$k = -\dfrac{x(m+n)}{m}$

これを②に代入：

$$\frac{m}{(1-x)(m+n)} = -\frac{x(m+n)}{m} \cdot \left(-\frac{x}{1-x}\right) = \frac{x^2(m+n)}{m(1-x)}$$

両辺に $m(1-x)(m+n)$ を掛けると：

$$m^2 = x^2(m+n)^2$$

$$x^2 = \frac{m^2}{(m+n)^2}$$

$0 < x < 1$ より $x > 0$ なので：

$$\boxed{x = \frac{m}{m+n}}$$

【藤原先生の解説】

ベクトルの外分点の公式は、内分点の公式と混同しやすい部分です。「$A$、$B$ を $m:n$ に外分する点 $P$」は、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{-n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}}{m - n}$$

と覚えておこう。

例え話をすると、内分は「2人の間をちょうどよく仕切る」イメージ、外分は「一方の人を通り越してもう少し先に行く」イメージです。$x$ の符号に注意しながら丁寧に計算することが大切です。

また、「3点が一直線」という条件は、ベクトルの係数比較で処理するのが鉄板手法。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次独立であることを必ず確認してから係数を比較しましょう。

🧑 生徒：「外分点の位置ベクトルの計算が混乱します。どうやって覚えればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「外分点の公式は外分比の符号を逆にして内分の公式に代入するだけだよ！点 $S$ が $A$、$Q$ を $1:x$ に外分するとき、外分比 $1:x$ の「$x$」を $-x$ に変えて内分の式に当てはめると、$$\overrightarrow{OS} = \frac{(-x) \cdot \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \overrightarrow{OQ}}{1 + (-x)} = \frac{-x\vec{a} + \overrightarrow{OQ}}{1-x}$$ になる。分母が $1-x$ になることに注意しよう！」

この問題で「ベクトルの外分と一直線条件の組み合わせ」という典型手法が完全に身につきます！

大問1-[2]：三角関数の置換と最大・最小（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

$-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ で定義された関数

$$f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin\theta + 3\sqrt{2}\cos 2\theta - 4\sin\theta$$

について、

(1) $x = \sin\theta$ とおき、$f(\theta)$ を $x$ で表せ。

(2) $f(\theta)$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
2倍角公式	$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$
置換の範囲	$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき $-1 \leq \sin\theta \leq 1$
微分による増減表	$g'(x) = 0$ の解を求めて増減を調べる

【解法ステップ（1）】

ステップ① $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を代入する：

$$f(\theta) = 4(1-2\sin^2\theta)\sin\theta + 3\sqrt{2}(1-2\sin^2\theta) - 4\sin\theta$$

$$= 4\sin\theta - 8\sin^3\theta + 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2}\sin^2\theta - 4\sin\theta$$

$$= -8\sin^3\theta - 6\sqrt{2}\sin^2\theta + 3\sqrt{2}$$

ステップ② $x = \sin\theta$ と置く：

$$\boxed{f(\theta) = -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2}}$$

【解法ステップ（2）】

ステップ① $x$ の定義域を確認：

$-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ より、$-1 \leq x \leq 1$

ステップ② $g(x) = -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2}$ を微分：

$$g'(x) = -24x^2 - 12\sqrt{2}x = -24x\left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

ステップ③ 増減表を作成：

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$x$	$-1$	$\cdots$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$8-3\sqrt{2}$	$\searrow$	$2\sqrt{2}$	$\nearrow$	$3\sqrt{2}$	$\searrow$	$-8-3\sqrt{2}$

ステップ④ 各値を確認：

$g(-1) = -8(-1)^3 - 6\sqrt{2}(-1)^2 + 3\sqrt{2} = 8 - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8 - 3\sqrt{2}$
$g\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -8\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 - 6\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2} + 3\sqrt{2} = \sqrt{2}\cdot 2 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$g(0) = 3\sqrt{2}$
$g(1) = -8 - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = -8 - 3\sqrt{2}$

ステップ⑤ 最大・最小の比較：

$3\sqrt{2} \approx 4.24 > 8 - 3\sqrt{2} \approx 3.76$ → 最大値は $g(0) = 3\sqrt{2}$

$-8 - 3\sqrt{2} \approx -12.24 < 2\sqrt{2} \approx 2.83$ → 最小値は $g(1) = -8-3\sqrt{2}$

$\theta$ に戻すと：
- $x = 0$（$\sin\theta = 0$）のとき $\theta = 0$
- $x = 1$（$\sin\theta = 1$）のとき $\theta = \dfrac{\pi}{2}$

$$\boxed{\theta = 0 \text{ のとき最大値 } 3\sqrt{2},\quad \theta = \frac{\pi}{2} \text{ のとき最小値 } -8-3\sqrt{2}}$$

【藤原先生の解説】

三角関数の問題で $x = \sin\theta$ や $x = \cos\theta$ と置く「置換法」は、三角関数を多項式に帰着させる強力な手法です。料理で言えば「難しい材料を使いやすい形に下ごしらえする」感覚ですね。

重要なのは「置換後の $x$ の範囲を必ず確認する」こと。$\theta$ の範囲から $x$ の範囲が決まりますが、これを忘れて全実数で微分していると間違いになります。

🧑 生徒：「$g(0)$ と $g(-1)$ のどちらが大きいか比較するとき、計算ミスしそうです。確実な方法はありますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！比較は差をとるのが確実だよ。$g(0) - g(-1) = 3\sqrt{2} - (8-3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8$ だ。$6\sqrt{2} = 6 \times 1.414\cdots \approx 8.485$ だから、$6\sqrt{2} - 8 > 0$。つまり $g(0) > g(-1)$ が確認できる。数値を直接比較しようとするより、差の符号を調べる方がずっと確実だよ！」

置換 → 範囲確認 → 微分 → 増減表 → 端点比較、この流れをマスターしよう！

大問1-[3]：領域と面積（ab平面への変換）（難易度★★★★☆）

【問題文】

$xy$ 平面上に3点 $A(a, b)$、$B(a+3, b)$、$C(a+1, b+2)$ がある。不等式 $y \geq x^2$ の表す領域を $D$、不等式 $y \leq x^2$ の表す領域を $E$ とする（※問題文の $E$ は $y \leq x^2$ と解釈）。

(1) 点 $C$ が領域 $D$ に含まれ、点 $A$ と点 $B$ が領域 $E$ に含まれるような $b$ の条件を連立不等式で表せ。

(2) (1)で求めた条件を満たす点 $(a,b)$ の領域 $F$ を $ab$ 平面上に図示せよ。

(3) (2)で求めた領域 $F$ の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
領域の不等式	点 $(x_0, y_0)$ が $y \geq x^2$ に含まれる ⟺ $y_0 \geq x_0^2$
定積分による面積	$S = \int_\alpha^\beta \left\{f(x) - g(x)\right\}\,dx$（$f(x) \geq g(x)$）

【解法ステップ（1）】

ステップ① 点 $C(a+1, b+2)$ が領域 $D$（$y \geq x^2$）に含まれる条件：

$$b + 2 \geq (a+1)^2 \quad \Rightarrow \quad b \geq (a+1)^2 - 2$$

ステップ② 点 $A(a, b)$ が領域 $E$（$y \leq x^2$）に含まれる条件：

$$b \leq a^2$$

ステップ③ 点 $B(a+3, b)$ が領域 $E$（$y \leq x^2$）に含まれる条件：

$$b \leq (a+3)^2$$

$$\boxed{\begin{cases} b \geq (a+1)^2 - 2 \\ b \leq a^2 \\ b \leq (a+3)^2 \end{cases}}$$

【解法ステップ（2）・（3）】

ステップ① $ab$ 平面上での曲線の交点を求める：

$b = a^2$ と $b = (a+1)^2 - 2$ の交点：

$$a^2 = (a+1)^2 - 2 = a^2 + 2a - 1$$

$$0 = 2a - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

このとき $b = \dfrac{1}{4}$

$b = (a+3)^2$ と $b = (a+1)^2 - 2$ の交点：

$$(a+3)^2 = (a+1)^2 - 2$$

$$a^2 + 6a + 9 = a^2 + 2a - 1$$

$$4a = -10 \Rightarrow a = -\frac{5}{2}$$

このとき $b = \dfrac{1}{4}$

$b = a^2$ と $b = (a+3)^2$ の交点：

$$a^2 = (a+3)^2 = a^2 + 6a + 9 \Rightarrow 6a + 9 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{2}$$

このとき $b = \dfrac{9}{4}$

ステップ② 領域 $F$ の形状を確認：

$-\dfrac{5}{2

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

**藤原進之介**（数強塾グループ代表）

Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。

**主要著書：**
- 『オールカラー高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テストパターンドリル情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ藤原のたった９時間でＩＴパスポート令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書共通テスト７日で完成情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介のゼロから始める情報I』（KADOKAWA）

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カテゴリー: 北海道大学

タグ: 2012年度ベクトル・空間図形図形・幾何複素数

北海道大学 2012年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で分かること

セクション1：北海道大学の数学入試の全体像

試験形式・時間・配点

北大数学の偏差値帯と求められるレベル

過去5〜10年の出題傾向まとめ

他大学との違い・特徴

セクション2：2012年度出題テーマ速報と分析

2012年度大問別出題テーマ一覧

大問1（文系・理系共通範囲）

大問2（理系：数III含む）

難易度評価と合格ライン

前年度との傾向変化

セクション3：全大問問題・解説

大問1-[1]：ベクトルの外分と一直線上の条件（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

【解法ステップ（2）】

【藤原先生の解説】

大問1-[2]：三角関数の置換と最大・最小（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

【解法ステップ（2）】

【藤原先生の解説】

大問1-[3]：領域と面積（ab平面への変換）（難易度★★★★☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

【解法ステップ（2）・（3）】

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試験形式・時間・配点

北大数学の偏差値帯と求められるレベル

過去5〜10年の出題傾向まとめ

他大学との違い・特徴

セクション2：2012年度 出題テーマ速報と分析

2012年度 大問別出題テーマ一覧

大問1（文系・理系共通範囲）

大問2（理系：数III含む）

難易度評価と合格ライン

前年度との傾向変化

セクション3：全大問 問題・解説

大問1-[1]：ベクトルの外分と一直線上の条件（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

【解法ステップ（2）】

【藤原先生の解説】

大問1-[2]：三角関数の置換と最大・最小（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

【解法ステップ（2）】

【藤原先生の解説】

大問1-[3]：領域と面積（ab平面への変換）（難易度★★★★☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

【解法ステップ（2）・（3）】

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