北海道大学 1997年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

北海道大学 1997年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、1997年度に出題された北海道大学の数学（文系・理系）の問題を、数強塾グループ代表の藤原進之介が徹底的に解説します。

この記事を読むことで、以下の3つが手に入ります：

• ✅ 北海道大学数学の出題傾向と攻略パターンがわかる
• ✅ 各大問の解法ステップと公式を完全に理解できる
• ✅ 合格に向けた学習ロードマップと参考書選びがわかる

👨‍🏫 藤原先生より： 「1997年度の北海道大学数学は、図形・対数・整数論・微積分と、幅広い分野からバランスよく出題されています。どれか一つ捨てると痛い目を見る構成です。でも安心してください！この記事で一緒に一つずつ丁寧に攻略していきましょう！」

セクション2：北海道大学の数学 入試の全体像

試験形式と基本情報

文系学部（数学）：
- 試験時間：12:40〜14:10（90分）
- 問題数：大問5問（問4・5は選択→実質4問解答）
- 解答形式：記述式（論述答案）

理系学部（数学）：
- 試験時間：12:40〜14:40（120分）
- 問題数：大問6問（問5・6は選択→実質5問解答）
- 解答形式：記述式（論述答案）

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学は全国的に見ると偏差値60〜65程度の難関国立大学です。数学の難易度は「標準〜やや難」。東大・京大のような超難問は出にくいですが、「基礎を完全に理解した上で、複合的に応用できるか」が問われます。

「解ける問題は確実に完答する。難しい問題は部分点を取る」という戦略が有効です。

過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

北海道大学数学の特徴は、「幅広い分野からバランスよく出題される」点です。東大のように1分野を深掘りするのではなく、複数分野を横断する問題が多い傾向があります。特に理系では「放物線と光の反射」「漸化式と極限」など、複合的な問題が頻出です。

他大学との比較

北海道大学は「教科書レベルの完全理解＋標準問題の演習」で十分戦える大学です。

🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どんな勉強をすれば点が取れますか？青チャートをやり込めばいいんでしょうか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！北海道大学の場合、まず青チャート（チャート式 基礎からの数学）で基礎的な解法パターンをしっかり習得することが大前提。でも青チャートを「解法を暗記する」のではなく、『なぜこの式変形をするのか』を理解しながら進めることが肝心だよ。青チャートが一通り終わったら、1対1対応の演習や数学 入試問題集（プラチカ）で過去問レベルの問題に慣れていこう。北海道大学は記述式だから、答えが合っていても途中の論理が曖昧だと減点されてしまうんだ。計算力の面では合格る計算 数学も補助として使うといいよ！」

北海道大学の数学は、「丁寧な論述と標準解法の確実な運用」が合否を分けます。諦めずに一歩ずつ進もう！

セクション3：1997年度 出題テーマ速報と分析

1997年度 大問別テーマ一覧

文系（問1〜5）

理系（問1〜6）

前年度との傾向変化と合格ライン

1997年度は複素数平面が文系・理系ともに出題されており、当時のカリキュラム改定の影響が見られます。理系の整数証明問題（[1]）はガウス記号を使った高難度の証明問題で、多くの受験生が苦戦したと考えられます。

合格ラインの目安：
- 文系：満点の60〜65%（5問中4問に取り組み、3問は完答レベル）
- 理系：満点の55〜60%（確実に解ける問題を完答、難問は部分点狙い）

1997年度の問題を通して、「自分の得意分野で確実に点を取る戦略」を学びましょう！

セクション4：全大問 問題・解説

【文系 大問1】円と接線・点の軌跡（難易度★★★☆☆）

問題文

平面上に原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円 $C$ と点 $A(r, 0)$ がある。$y$ 軸に平行な直線 $x = r$ 上に点 $P(r, t)$ をとる。ただし、$t \neq 0$ とする。

(1) 点 $P$ を通り、円 $C$ と接する直線で直線 $PA$ と異なるものを $\ell$ とする。$\ell$ と円 $C$ との接点を $T$ とするとき、点 $T$ の座標を $r, t$ を用いて表せ。

(2) 線分 $AT$ と線分 $OP$ との交点を $Q$ とする。点 $P$ が直線 $x = r$ の第1象限にある部分を動くとき、点 $Q$ の軌跡を求めよ。

使う公式・定理

解法ステップ（(1)の解答）

ステップ①　接線の方程式を設定する

円 $C$ は $x^2 + y^2 = r^2$。点 $P(r, t)$ から円 $C$ に引いた接線のうち、直線 $PA$（これは $x = r$ という鉛直線）と異なる方の接線 $\ell$ を求める。

接線 $\ell$ の方程式を $y = k(x - r) + t$（傾き $k$ の直線）とおく。

これを整理すると：

ステップ②　接線条件（中心から距離 $= r$）を使う

円の中心 $O(0,0)$ から直線 $kx - y + (-kr+t) = 0$ への距離が $r$ に等しい：

両辺を2乗：

（$k = 0$ の場合は $x$ 軸方向の接線だが、$t \neq 0$ のとき $t^2 - r^2 = 0$ すなわち $t = \pm r$ のとき $k=0$。一般の場合で進める。）

ステップ③　接点 $T$ の座標を求める

接線 $\ell$：$y = kx - kr + t$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ の接点は、円の中心 $O$ から接線への垂線の足である。

中心 $O(0,0)$ から直線 $kx - y + (t - kr) = 0$ への垂線の足（接点 $T$）の座標は：

実際は公式：点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax+by+c=0$ への垂線の足は

$O(0,0)$、直線 $kx - y + (t-kr) = 0$（$a=k, b=-1, c=t-kr$）を代入：

ステップ④　$k = \dfrac{t^2-r^2}{2rt}$ を代入して整理

次に $T_y$：

分子：$t - \dfrac{t^2-r^2}{2t} = \dfrac{2t^2 - (t^2-r^2)}{2t} = \dfrac{t^2+r^2}{2t}$

ステップ⑤　答えをまとめる

解法ステップ（(2)の解答）

ステップ①　直線 $AT$ の方程式を求める

$A(r, 0)$、$T = \left(\dfrac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2}, \dfrac{2r^2t}{r^2+t^2}\right)$

方向ベクトル：$T - A$の$x$成分 $= \dfrac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2} - r = \dfrac{r(r^2-t^2) - r(r^2+t^2)}{r^2+t^2} = \dfrac{-2rt^2}{r^2+t^2}$

$y$成分 $= \dfrac{2r^2t}{r^2+t^2} - 0 = \dfrac{2r^2t}{r^2+t^2}$

傾き $= \dfrac{2r^2t}{-2rt^2} = -\dfrac{r}{t}$

直線 $AT$：$y - 0 = -\dfrac{r}{t}(x - r)$

ステップ②　直線 $OP$ の方程式を求める

$O(0,0)$、$P(r,t)$ を通る直線：

ステップ③　交点 $Q$ を求める

$(*)$ と $(**)$ を連立：

両辺に $rt$ をかける：

ステップ④　軌跡を求める

$Q = \left(\dfrac{r^3}{r^2+t^2}, \dfrac{r^2t}{r^2+t^2}\right)$ とおく。$X = \dfrac{r^3}{r^2+t^2}$、$Y = \dfrac{r^2t}{r^2+t^2}$ とすると：

また $X = \dfrac{r^3}{r^2+t^2}$ より $r^2+t^2 = \dfrac{r^3}{X}$

ステップ⑤　範囲の確認

$P$ が第1象限（$t > 0$）を動くとき、$X > 0$、$Y > 0$ なので $Q$ は第1象限の点。また $t \to 0^+$ のとき $Q \to (r, 0) = A$ に近づき、$t \to +\infty$ のとき $X \to 0$、$Y \to 0$ となりQ は $O$ に近づく。ただし $Q = A$ と $Q = O$ は対応する $t$ が $t=0$ および $t\to\infty$ の極限なので含まれない。

藤原先生の解説

この問題のポイントは「接点を直接求める」アプローチです。ちょうどバスケットボールのシュートと同じで、「ゴール（接点）」の位置を先に計算してから、あとの動き（軌跡）を追いかけるイメージです。

接点 $T$ の座標計算は少し計算量が多いですが、丁寧に整理すれば確実に出ます。軌跡の問題は「媒介変数を消去して $x, y$ の関係式を求める」という定石を使います。

🧑 生徒：「軌跡の問題で、どうやって答えの式を導くんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「軌跡の問題では媒介変数消去法が基本だよ。今回は $Q = \left(\dfrac{r^3}{r^2+t^2}, \dfrac{r^2t}{r^2+t^2}\right)$ と $t$ で表せているから、$x = \dfrac{r^3}{r^2+t^2}$、$y = \dfrac{r^2t}{r^2+t^2}$ の $t$ を消去するんだ。$x^2 + y^2 = \dfrac{r^6 + r^4t^2}{(r^2+t^2)^2} = \dfrac{r^4(r^2+t^2)}{(r^2+t^2)^2} = \dfrac{r^4}{r^2+t^2} = r \cdot x$ となるから $x^2 + y^2 = rx$、つまり $\left(x-\dfrac{r}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\dfrac{r}{2}\right)^2$ という円の方程式が出てくるよ！」

この大問で身につく力： 接線の方程式設定、媒介変数消去による軌跡導出、図形的な意味の把握（タレスの定理的な円）。

計算量が多い問題でも、一ステップずつ丁寧に進めれば必ず答えにたどり着けます！

【文系 大問2】常用対数の計算（難易度★★☆☆☆）

問題文

近似値 $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を利用して次の問いに答えよ。

(1) $18^{38}$ の桁数を求めよ。

(2) $18^{38}$ の最高位の数字が $8$ であることを示せ。

使う公式・定理

解法ステップ

ステップ①　$\log_{10} 18$ を計算する

ステップ②　$\log_{10} 18^{38}$ を計算する

ステップ③　(1) 桁数を求める

$\log_{10} 18^{38} = 47.6976$ より、

よって $18^{38}$ の桁数は $\mathbf{48}$ 桁。

ステップ④　(2) 最高位の数字を判定する

$\log_{10} 18^{38} = 47.6976$ の小数部分は $0.6976$。

最高位の数字 $d$ は $10^{0.6976}$ の整数部分（一の位）で決まる。

$\log_{10} 14 = \log_{10} 2 + \log_{10} 7$ は循環してしまうので、別の方法で：

$\log_{10} 7 \approx 0.8451$（既知値として）

実際は $\log_{10} 4 = 2\log_{10}2 = 0.6020$ と $\log_{10} 5 = \log_{10}\dfrac{10}{2} = 1 - 0.3010 = 0.6990$

あれ、これでは最高位が4になってしまう。改めて計算を確認：

$38 \times 1.2552 = 38 \times 1 + 38 \times 0.2552 = 38 + 9.6976 = 47.6

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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