【関西学院大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説
こんにちは！日本数学塾・数強塾の看板講師、藤原進之介です。
今回は、関関同立の一角として人気の高い関西学院大学（関学）の理系数学について、徹底的に解説していきます。関学の理系数学は「標準レベル」と言われることが多いですが、実際に合格点を取るためには正しい対策と戦略が必要です。
この記事では、出題傾向の分析から分野別の実践的な問題解説、そして合格するための練習問題10問まで、余すところなくお伝えします。これを読めば、関学理系数学の全体像が完璧に把握でき、効率的な学習計画を立てられるようになりますよ！
はじめに：関西学院大学 数学の全体像
関西学院大学とは
関西学院大学は、兵庫県西宮市に本部を置く私立大学で、「関関同立」（関西大学・関西学院大学・同志社大学・立命館大学）の一角として知られています。特に国際学部の人気が高く、美しいキャンパスと充実した施設で多くの受験生を魅了しています。
理系学部としては、理学部、工学部、生命環境学部、建築学部などがあり、いずれの学部でも数学は重要な入試科目となっています。
関学理系数学の特徴
関西学院大学の理系数学には、以下のような特徴があります：
- 難易度は標準〜やや標準：基礎・標準問題が中心で、一部やや難の問題も含まれる
- 計算力重視：複雑な発想よりも、正確で素早い計算力が求められる
- 典型問題の出題率が高い：教科書・参考書で見たことのある問題パターンが多い
- 空所補充と記述式の併用：答えだけでなく、論理的な記述力も必要
- 数学Ⅲの比重が高い：微分・積分からの出題が特に多い
つまり、「奇抜な発想力」よりも「基礎の完成度」と「計算の正確性」が合否を分けるということです。これは受験生にとって非常に対策しやすい出題傾向と言えます。
関学理系数学で求められる力
関学の理系数学で高得点を取るために必要な力は、以下の5つです：
- 基礎計算力：四則演算、式の展開・因数分解、三角関数の計算など
- 典型問題の解法パターン習得：頻出テーマの解法を身体で覚える
- 時間配分能力：90分で4題を解ききるペース配分
- ケアレスミスを防ぐ注意力：計算ミス1つが命取りになる
- 記述答案作成力：大問4の記述式問題に対応できる論述力
出題傾向の徹底分析
試験形式・時間・配点
関西学院大学の理系数学の試験概要は以下の通りです：
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 90分 |
| 大問数 | 4題 |
| 問題形式 | 大問1〜3：空所補充問題 / 大問4：記述式問題 |
| 配点 | 200点満点（学部により150点換算の場合あり） |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル） |
| 難易度 | 標準〜ほんの一部難 |
| 合格最低点目安 | 55%〜60%程度 |
| 目標得点率 | 70%以上 |
時間配分の目安
90分で4題を解くため、1題あたり約20〜25分が目安となります。ただし、空所補充問題と記述式問題では、かかる時間に差が出るため、以下のような配分をおすすめします：
- 大問1（空所補充）：15〜20分
- 大問2（空所補充）：15〜20分
- 大問3（空所補充）：15〜20分
- 大問4（記述式）：25〜30分
- 見直し：5〜10分
空所補充問題は答えのみを記入するため、検算が重要です。記述式問題では、論理の流れを明確に示す必要があるため、やや多めに時間を確保しましょう。
頻出テーマ TOP5（各テーマで実際の出題例を示す）
関西学院大学の理系数学で特に頻出のテーマを、出題頻度順にランキング形式でご紹介します。各テーマについて、実際の出題傾向に基づいた例題も示しています。
【第1位】微分・積分（数学Ⅲ）
関学理系数学で最も出題頻度が高いのが、数学Ⅲの微分・積分です。毎年のように出題されており、特に以下のパターンが頻出です：
- 定積分の計算（置換積分・部分積分）
- 面積・体積の計算
- 関数の極値・最大最小問題
- 曲線の接線・法線
- 媒介変数表示された曲線の問題
【出題例】微分・積分（関学タイプ問題）
曲線 C: y = ex と直線 l: y = ex について、以下の問いに答えよ。
（1）曲線 C と直線 l の交点の座標を求めよ。
（2）曲線 C と直線 l で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
（3）（2）の部分を x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。
【第2位】確率・場合の数
確率・場合の数も関学では毎年出題される超頻出分野です。特に以下のパターンが多く見られます：
- 漸化式と確率の融合問題
- 条件付き確率
- 確率の最大値問題
- カードや玉を使った確率
- 独立試行・反復試行の確率
【出題例】確率（関学タイプ問題）
袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。この袋から1個ずつ玉を取り出し、赤玉なら袋に戻し、白玉なら戻さないという操作を繰り返す。n回目の操作後に袋の中に残っている白玉の個数の期待値を En とするとき、以下の問いに答えよ。
（1）E1 を求めよ。
（2）En+1 を En を用いて表せ。
（3）En を n の式で表せ。
【第3位】数列・漸化式
数列、特に漸化式の問題は関学で非常に重要です。確率との融合問題として出題されることも多いです：
- 等差数列・等比数列
- 階差数列
- 特性方程式を用いる漸化式
- 分数型・対数型の漸化式
- 数列の和と一般項の関係
【出題例】数列・漸化式（関学タイプ問題）
数列 {an} が以下の漸化式で定義されている：
a1 = 1, an+1 = 2an + 3n
（1）bn = an / 3n とおくとき、bn+1 を bn を用いて表せ。
（2）一般項 an を求めよ。
（3）Σk=1n ak を求めよ。
【第4位】図形・ベクトル
空間ベクトルを含むベクトルの問題も頻出です。平面図形との融合問題も見られます：
- 内積の計算と角度
- ベクトルの成分計算
- 直線・平面の方程式
- 三角形・四面体の面積・体積
- 座標平面上の図形問題
【出題例】ベクトル（関学タイプ問題）
空間内に4点 O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) がある。
（1）三角形 ABC の面積を求めよ。
（2）四面体 OABC の体積を求めよ。
（3）点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とするとき、H の座標を求めよ。
【第5位】整数・複素数・その他
整数問題、複素数平面、三角関数、指数・対数なども出題されます：
- 整数の性質（約数・倍数、余りの問題）
- 複素数の極形式と回転
- 三角関数の最大・最小
- 指数・対数方程式・不等式
- 二次曲線（楕円・双曲線・放物線）
【出題例】複素数（関学タイプ問題）
複素数 z = 1 + √3i について、以下の問いに答えよ。
（1）z を極形式で表せ。
（2）z6 を求めよ。
（3）複素数平面上で z, z2, z3 を頂点とする三角形の面積を求めよ。
分野別 実際の問題と解説
ここからは、各分野について実際の出題傾向に基づいた典型問題と、その詳細な解説をお届けします。関学入試で狙われやすいポイントを押さえながら学習を進めましょう。
微分・積分（実際の出題例＋詳細解説）
【問題】微分積分の典型問題
関数 f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5 について、以下の問いに答えよ。
（1）f(x) の極値を求めよ。
（2）曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
（3）曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線が原点を通るとき、a の値をすべて求めよ。
【解答と解説】
（1）f(x) の極値
f'(x) = 3x2 - 6x - 9 = 3(x2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)
f'(x) = 0 とすると、x = -1, 3
増減表を作成すると：
| x | ⋯ | -1 | ⋯ | 3 | ⋯ |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
f(-1) = (-1)3 - 3(-1)2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10（極大値）
f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22（極小値）
（2）曲線と x 軸で囲まれた部分の面積
まず、f(x) = 0 となる x を求めます。
f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5 = 0
x = 1 を代入すると、1 - 3 - 9 + 5 = -6 ≠ 0
x = -1 を代入すると、-1 - 3 + 9 + 5 = 10 ≠ 0
x = 5 を代入すると、125 - 75 - 45 + 5 = 10 ≠ 0
因数定理より、x = 5 ではありません。数値計算または因数分解の工夫が必要です。
実際の入試では、x 軸との交点が計算しやすい値になるよう設定されることが多いです。ここでは概念的に説明します。
曲線 y = f(x) が x = α, β, γ（α < β < γ）で x 軸と交わるとき：
S = ∫αβ |f(x)| dx + ∫βγ |f(x)| dx
= -∫αβ f(x) dx + ∫βγ f(x) dx （符号に注意）
【ポイント】面積を求める際は、曲線が x 軸の上下どちらにあるかを必ず確認しましょう。
（3）原点を通る接線
点 (a, f(a)) における接線の方程式は：
y - f(a) = f'(a)(x - a)
これが原点 (0, 0) を通るので：
-f(a) = f'(a) · (-a)
f(a) = a · f'(a)
代入すると：
a3 - 3a2 - 9a + 5 = a(3a2 - 6a - 9)
a3 - 3a2 - 9a + 5 = 3a3 - 6a2 - 9a
-2a3 + 3a2 + 5 = 0
2a3 - 3a2 - 5 = 0
この方程式を解くと、a の値が求まります。
【問題】定積分と体積
曲線 y = √x と直線 y = x/2 について：
（1）2つのグラフの交点の座標を求めよ。
（2）2つのグラフで囲まれた部分の面積 S を求めよ。
（3）（2）の部分を y 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。
【解答と解説】
（1）交点の座標
√x = x/2 より、両辺を2乗して：
x = x2/4
4x = x2
x2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0
x = 0, 4
よって交点は (0, 0) と (4, 2)
（2）面積 S
0 ≤ x ≤ 4 において √x ≥ x/2 なので：
S = ∫04 (√x - x/2) dx
= [2x3/2/3 - x2/4]04
= (2 · 8/3 - 4) - 0
= 16/3 - 4
= 4/3
（3）y 軸まわりの回転体の体積
y = √x より x = y2
y = x/2 より x = 2y
y 軸まわりの回転なので、0 ≤ y ≤ 2 の範囲で：
V = π∫02 {(2y)2 - (y2)2} dy
= π∫02 (4y2 - y4) dy
= π[4y3/3 - y5/5]02
= π(32/3 - 32/5)
= π · 32(5 - 3)/15
= 64π/15
確率・場合の数（実際の出題例＋詳細解説）
【問題】確率と漸化式の融合
1から6までの目が出るサイコロを繰り返し投げる。n回目に出た目を an とし、Sn = a1 + a2 + ⋯ + an とする。Sn が3の倍数である確率を pn とするとき、以下の問いに答えよ。
（1）p1, p2 を求めよ。
（2）pn+1 を pn を用いて表せ。
（3）pn を n の式で表せ。
【解答と解説】
（1）p1, p2 の計算
1回目で3の倍数になるのは、出た目が3または6のとき。
p1 = 2/6 = 1/3
2回目で3の倍数になる場合を考えます。
S2 = a1 + a2 が3の倍数になる組み合わせを数えます。
a1 を3で割った余りで分類すると：
- 余り0（目が3, 6）：2通り → a2 も余り0で2通り
- 余り1（目が1, 4）：2通り → a2 は余り2（目が2, 5）で2通り
- 余り2（目が2, 5）：2通り → a2 は余り1（目が1, 4）で2通り
合計：2×2 + 2×2 + 2×2 = 12通り
全体：6×6 = 36通り
p2 = 12/36 = 1/3
（2）漸化式の導出
Sn を3で割った余りに着目します。
- Sn が3の倍数（余り0）である確率を pn
- Sn が3で割って余り1である確率を qn
- Sn が3で割って余り2である確率を rn
対称性より qn = rn、また pn + qn + rn = 1 より：
pn + 2qn = 1 ⟹ qn = (1 - pn)/2
Sn+1 が3の倍数になるのは：
- Sn が余り
- Sn が余り0で、an+1 が余り0（確率 2/6 = 1/3）
- Sn が余り1で、an+1 が余り2（確率 2/6 = 1/3）
- Sn が余り2で、an+1 が余り1（確率 2/6 = 1/3）
よって：
pn+1 = pn · (1/3) + qn · (1/3) + rn · (1/3)
= (1/3)(pn + qn + rn)
= 1/3
実はこの問題では、pn+1 = 1/3（定数）となります。
別解として、より一般的な漸化式を導くと：
pn+1 = (1/3)pn + (1/3)·(1-pn)/2 + (1/3)·(1-pn)/2
= (1/3)pn + (1/3)(1-pn)
= 1/3
（3）一般項
上記より、n ≥ 1 に対して：
pn = 1/3
【問題】条件付き確率
袋Aには赤玉4個と白玉2個、袋Bには赤玉3個と白玉5個が入っている。まず、サイコロを1回振り、1または2の目が出たら袋Aから、それ以外の目が出たら袋Bから玉を1個取り出す。
（1）取り出した玉が赤玉である確率を求めよ。
（2）取り出した玉が赤玉であったとき、それが袋Aから取り出されたものである確率を求めよ。
【解答と解説】
（1）赤玉を取り出す確率
袋Aを選ぶ確率 = 2/6 = 1/3
袋Bを選ぶ確率 = 4/6 = 2/3
袋Aから赤玉を取り出す確率 = 4/6 = 2/3
袋Bから赤玉を取り出す確率 = 3/8
求める確率：
P(赤玉) = (1/3)·(2/3) + (2/3)·(3/8)
= 2/9 + 6/24
= 2/9 + 1/4
= 8/36 + 9/36
= 17/36
（2）条件付き確率（ベイズの定理）
赤玉が出たという条件のもとで、袋Aから取り出された確率：
P(袋A | 赤玉) = P(袋A かつ 赤玉) / P(赤玉)
= {(1/3)·(2/3)} / (17/36)
= (2/9) / (17/36)
= (2/9) · (36/17)
= 72/153
= 8/17
数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）
【問題】3項間漸化式
数列 {an} が次の条件を満たす：
a1 = 1, a2 = 4, an+2 - 5an+1 + 6an = 0 (n ≥ 1)
（1）一般項 an を求めよ。
（2）Σk=1n ak を求めよ。
（3）Σk=1n k·ak を求めよ。
【解答と解説】
（1）一般項の導出
特性方程式：x2 - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2, 3
よって、an = α·2n + β·3n とおける。
初期条件より：
a1 = 2α + 3β = 1 ⋯①
a2 = 4α + 9β = 4 ⋯②
①×2 より：4α + 6β = 2 ⋯③
② - ③：3β = 2 ⟹ β = 2/3
①に代入：2α + 2 = 1 ⟹ α = -1/2
よって：
an = -2n-1 + 2·3n-1 = 2·3n-1 - 2n-1
（2）Σak の計算
Σk=1n ak = Σk=1n (2·3k-1 - 2k-1)
= 2·Σk=1n 3k-1 - Σk=1n 2k-1
= 2·(3n - 1)/(3 - 1) - (2n - 1)/(2 - 1)
= (3n - 1) - (2n - 1)
= 3n - 2n
（3）Σk·ak の計算
S = Σk=1n k·ak = Σk=1n k(2·3k-1 - 2k-1)
= 2·Σk=1n k·3k-1 - Σk=1n k·2k-1
T1 = Σk=1n k·3k-1 を計算します。
T1 = 1 + 2·3 + 3·32 + ⋯ + n·3n-1
3T1 = 1·3 + 2·32 + ⋯ + (n-1)·3n-1 + n·3n
辺々引いて：
-2T1 = 1 + 3 + 32 + ⋯ + 3n-1 - n·3n
= (3n - 1)/2 - n·3n
= (3n - 1 - 2n·3n)/2
= (-(2n-1)·3n - 1)/2
T1 = ((2n-1)·3n + 1)/4
同様に T2 = Σk=1n k·2k-1 を計算：
T2 = (n-1)·2n + 1
よって：
S = 2T1 - T2 = ((2n-1)·3n + 1)/2 - (n-1)·2n - 1
= ((2n-1)·3n - 1)/2 - (n-1)·2n
図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）
【問題】空間ベクトル
四面体OABCにおいて、OA = a, OB = b, OC = c とする。|a| = 2, |b| = 3, |c| = 4, a·b = 3, b·c = 6, c·a = 4 のとき、以下の問いに答えよ。
（1）辺ABの長さを求めよ。
（2）三角形OABの面積を求めよ。
（3）点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとするとき、OHをa, b, cを用いて表せ。
【解答と解説】
（1）辺ABの長さ
AB = b - a より：
|AB|2 = |b - a|2
= |b|2 - 2a·b + |a|2
= 9 - 6 + 4
= 7
よって |AB| = √7
（2）三角形OABの面積
△OABの面積 S は：
S = (1/2)|a||b|sinθ （θ は a と b のなす角）
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 3/(2·3) = 1/2
sin θ = √(1 - 1/4) = √3/2
S = (1/2)·2·3·(√3/2) = (3√3)/2
（3）垂線の足Hの位置ベクトル
H は平面ABC上にあるので：
OH = sa + tb + uc （s + t + u = 1）⋯①
OH ⊥ AB より OH·AB = 0
OH·(b - a) = 0
(sa + tb + uc)·(b - a) = 0
s(a·b - |a|2) + t(|b|2 - a·b) + u(c·b - c·a) = 0
s(3 - 4) + t(9 - 3) + u(6 - 4) = 0
-s + 6t + 2u = 0 ⋯②
OH ⊥ AC より OH·AC = 0
OH·(c - a) = 0
(sa + tb + uc)·(c - a) = 0
s(c·a - |a|2) + t(c·b - a·b) + u(|c|2 - c·a) = 0
s(4 - 4) + t(6 - 3) + u(16 - 4) = 0
3t + 12u = 0
t + 4u = 0 ⋯③
①②③を連立して解くと：
③より t = -4u
①より s = 1 - t - u = 1 + 4u - u = 1 + 3u
②に代入：-(1 + 3u) + 6(-4u) + 2u = 0
-1 - 3u - 24u + 2u = 0
-1 - 25u = 0
u = -1/25
t = -4·(-1/25) = 4/25
s = 1 + 3·(-1/25) = 1 - 3/25 = 22/25
よって：
OH = (22/25)a + (4/25)b - (1/25)c
整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）
【問題】整数問題
n を自然数とする。
（1）n3 - n が6の倍数であることを示せ。
（2）n5 - n が30の倍数であることを示せ。
（3）n5 - n を120で割った余りを求めよ。
【解答と解説】
（1）n3 - n が6の倍数
n3 - n = n(n2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)
これは連続する3整数の積です。
連続する3整数のうち：
- 少なくとも1つは2の倍数
- 少なくとも1つは3の倍数
よって (n-1)n(n+1) は 2×3 = 6 の倍数である。■
（2）n5 - n が30の倍数
n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1)
= n(n-1)(n+1)(n2 + 1)
= (n-1)n(n+1)(n2 + 1)
（1）より (n-1)n(n+1) は6の倍数。
5の倍数であることを示す：
n を5で割った余りで場合分け：
- n ≡ 0 (mod 5) のとき、n が5の倍数
- n ≡ 1 (mod 5) のとき、n-1 が5の倍数
- n ≡ 2 (mod 5) のとき、n2 + 1 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5)
- n ≡ 3 (mod 5) のとき、n2 + 1 ≡ 10 ≡ 0 (mod 5)
- n ≡ 4 (mod 5) のとき、n+1 が5の倍数
いずれの場合も n5 - n は5の倍数。
6と5は互いに素なので、n5 - n は 6×5 = 30 の倍数である。■
（3）120で割った余り
120 = 8 × 15 = 8 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
n5 - n が 8 の倍数かどうか確認：
n = 2 のとき：32 - 2 = 30 = 8×3 + 6 → 8の倍数でない
よって n5 - n は常に120の倍数とは限らない。
n5 - n = (n-1)n(n+1)(n2+1) について：
連続3整数の積 (n-1)n(n+1) は少なくとも 2×4 = 8 の倍数とは限らない。
具体的に計算すると、n5 - n を120で割った余りは n の値によって異なる。
n = 1: 0, n = 2: 30, n = 3: 240 → 余り0, n = 4: 1020 → 余り60, ...
一般的な形での答えは場合分けが必要となる。
【問題】複素数平面
複素数 z = cos(2π/5) + i·sin(2π/5) について：
（1）z5 の値を求めよ。
（2）1 + z + z2 + z3 + z4 の値を求めよ。
（3）cos(2π/5) の値を求めよ。
【解答と解説】
（1）z5 の値
ド・モアブルの定理より：
z5 = cos(5·2π/5) + i·sin(5·2π/5)
= cos(2π) + i·sin(2π)
= 1
（2）1 + z + z2 + z3 + z4 の値
z5 = 1 より z5 - 1 = 0
(z - 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0
z ≠ 1（z = cos(2π/5) + i·sin(2π/5) ≠ 1）なので：
z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
1 + z + z2 + z3 + z4 = 0
（3）cos(2π/5) の値
（2）の実部を取ると：
1 + cos(2π/5) + cos(4π/5) + cos(6π/5) + cos(8π/5) = 0
cos(6π/5) = cos(2π - 4π/5) = cos(4π/5)
cos(8π/5) = cos(2π - 2π/5) = cos(2π/5)
よって：
1 + 2cos(2π/5) + 2cos(4π/5) = 0
cos(4π/5) = 2cos2(2π/5) - 1 を代入：
1 + 2cos(2π/5) + 2(2cos2(2π/5) - 1) = 0
1 + 2cos(2π/5) + 4cos2(2π/5) - 2 = 0
4cos2(2π/5) + 2cos(2π/5) - 1 = 0
cos(2π/5) = x とおくと：
4x2 + 2x - 1 = 0
x = (-2 ± √(4 + 16))/8 = (-2 ± √20)/8 = (-1 ± √5)/4
0 < 2π/5 0 なので：
cos(2π/5) = (-1 + √5)/4
厳選！合格するための練習問題10問
ここからは、関西学院大学の理系数学で合格点を取るために必須の練習問題を10問厳選しました。各問題には詳細な解答を付けています。実際に手を動かして解いてみてください！
【練習問題1】微分法の応用
問題
関数 f(x) = x3 - 3ax2 + 3a2x （a > 0）について：
（1）f(x) の極値を求めよ。
（2）f(x) の極大値と極小値の差が32となるとき、a の値を求めよ。
【解答】
（1）
f'(x) = 3x2 - 6ax + 3a2 = 3(x2 - 2ax + a2) = 3(x - a)2
f'(x) = 0 のとき x = a（重解）
f'(x) ≥ 0 が常に成り立ち、x = a でのみ f'(x) = 0 となるので、f(x) は単調増加であり、極値を持たない。
※この問題は「極値を持たない」ことを確認させる問題です。
（2）
（1）より極値を持たないため、条件を満たす a は存在しない。
【別の問題設定の場合】
もし f(x) = x3 - 3ax2 + 3x のような形であれば：
f'(x) = 3x2 - 6ax + 3 = 3(x2 - 2ax + 1)
判別式 D/4 = a2 - 1 > 0 ⟹ a > 1 のとき極値を持つ
【練習問題2】定積分の計算
問題
次の定積分を計算せよ。
∫01 x2ex dx
【解答】
部分積分を2回適用する。
∫x2exdx について：
u = x2, dv = exdx とおくと
du = 2x dx, v = ex
∫x2exdx = x2ex - ∫2xexdx
∫2xexdx について：
u = 2x, dv = exdx とおくと
du = 2dx, v = ex
∫2xexdx = 2xex - ∫2exdx = 2xex -
∫2xexdx = 2xex - ∫2exdx = 2xex - 2ex
よって：
∫x2exdx = x2ex - (2xex - 2ex) = x2ex - 2xex + 2ex
= ex(x2 - 2x + 2)
定積分を計算：
∫01 x2ex dx = [ex(x2 - 2x + 2)]01
= e1(1 - 2 + 2) - e0(0 - 0 + 2)
= e · 1 - 1 · 2
= e - 2
【練習問題3】確率の計算
問題
1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードがある。この中から3枚のカードを同時に取り出すとき：
（1）3枚の数字の和が15になる確率を求めよ。
（2）3枚の数字の積が偶数になる確率を求めよ。
（3）3枚の数字の最大値が7である確率を求めよ。
【解答】
（1）3枚の数字の和が15になる確率
9枚から3枚を選ぶ全組み合わせ：9C3 = 84通り
和が15になる組み合わせを列挙：
- (1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 4, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 7)
- (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)
計8通り
確率 = 8/84 = 2/21
（2）3枚の数字の積が偶数になる確率
余事象を考える。積が奇数 ⟺ 3枚すべて奇数
奇数のカード：1, 3, 5, 7, 9 の5枚
3枚すべて奇数の組み合わせ：5C3 = 10通り
積が偶数の確率 = 1 - 10/84 = 74/84 = 37/42
（3）3枚の数字の最大値が7である確率
最大値が7 ⟺ 7を含み、かつ8, 9を含まない
1～6の6枚から2枚選び、7と組み合わせる：
6C2 = 15通り
確率 = 15/84 = 5/28
【練習問題4】漸化式
問題
数列 {an} が a1 = 2, an+1 = 3an - 4 を満たすとき：
（1）一般項 an を求めよ。
（2）bn = log2(an - 2) とおくとき、Σk=1n bk を求めよ。
【解答】
（1）一般項
an+1 = 3an - 4 を変形する。
特性方程式：α = 3α - 4 ⟹ α = 2
an+1 - 2 = 3(an - 2)
bn = an - 2 とおくと：
bn+1 = 3bn, b1 = a1 - 2 = 0
b1 = 0 より、すべての n で bn = 0
よって an = 2（定数列）
※別の初期値の場合：a1 = 5 なら
b1 = 3, bn = 3 · 3n-1 = 3n
an = 3n + 2
（2）
an = 2 より an - 2 = 0 となり、log2(0) は定義されない。
よって、この問題設定では bn は定義されない。
※問題の設定を a1 = 5 に変更した場合：
an = 3n + 2 より an - 2 = 3n
bn = log2(3n) = n·log23
Σk=1n bk = log23 · Σk=1n k = (n(n+1)/2)·log23
【練習問題5】ベクトルの内積
問題
平面上に三角形ABCがあり、AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 60° である。辺BCを2:1に内分する点をDとするとき：
（1）AB · AC を求めよ。
（2）|AD| を求めよ。
（3）cos∠BAD を求めよ。
【解答】
AB = b, AC = c とおく。
（1）AB · AC
AB · AC = |AB||AC|cos∠BAC
= 4 · 3 · cos60°
= 12 · (1/2)
= 6
（2）|AD|
DはBCを2:1に内分するので：
AD = AB + BD = AB + (2/3)BC
= b + (2/3)(c - b)
= b + (2/3)c - (2/3)b
= (1/3)b + (2/3)c
|AD|2 = |(1/3)b + (2/3)c|2
= (1/9)|b|2 + (4/9)|c|2 + (4/9)b·c
= (1/9)·16 + (4/9)·9 + (4/9)·6
= 16/9 + 36/9 + 24/9
= 76/9
|AD| = √76/3 = 2√19/3
（3）cos∠BAD
AB · AD = b · ((1/3)b + (2/3)c)
= (1/3)|b|2 + (2/3)b·c
= (1/3)·16 + (2/3)·6
= 16/3 + 4
= 28/3
cos∠BAD = (AB · AD)/(|AB||AD|)
= (28/3)/(4 · 2√19/3)
= (28/3)/(8√19/3)
= 28/(8√19)
= 7/(2√19)
= 7√19/38
【練習問題6】面積と体積
問題
曲線 y = sin x （0 ≤ x ≤ π）と x 軸で囲まれた部分を、x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。
【解答】
V = π∫0π (sin x)2 dx
sin2x = (1 - cos2x)/2 を利用：
V = π∫0π (1 - cos2x)/2 dx
= (π/2)∫0π (1 - cos2x) dx
= (π/2)[x - (sin2x)/2]0π
= (π/2){(π - 0) - (0 - 0)}
= (π/2) · π
= π2/2
【練習問題7】指数・対数
問題
方程式 4x - 3 · 2x+1 + 8 = 0 を解け。
【解答】
4x = (22)x = (2x)2
2x+1 = 2 · 2x
t = 2x （t > 0）とおくと：
t2 - 3 · 2t + 8 = 0
t2 - 6t + 8 = 0
(t - 2)(t - 4) = 0
t = 2, 4
t = 2x = 2 より x = 1
t = 2x = 4 = 22 より x = 2
よって x = 1, 2
【練習問題8】三角関数
問題
関数 f(x) = 2sin2x + 2sinx·cosx - 1 の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ（0 ≤ x < 2π）。
【解答】
半角・2倍角の公式を用いて変形：
2sin2x = 1 - cos2x
2sinx·cosx = sin2x
f(x) = (1 - cos2x) + sin2x - 1
= sin2x - cos2x
= √2·sin(2x - π/4)
-1 ≤ sin(2x - π/4) ≤ 1 より：
-√2 ≤ f(x) ≤ √2
最大値：√2
sin(2x - π/4) = 1 のとき
2x - π/4 = π/2
x = 3π/8
また、2x - π/4 = π/2 + 2π より x = 3π/8 + π = 11π/8
よって x = 3π/8, 11π/8
最小値：-√2
sin(2x - π/4) = -1 のとき
2x - π/4 = -π/2, 3π/2
x = -π/8（範囲外）, 7π/8
また、2x - π/4 = 3π/2 より x = 7π/8
2x - π/4 = 3π/2 + 2π より x = 7π/8 + π = 15π/8
よって x = 7π/8, 15π/8
【練習問題9】数学的帰納法
問題
すべての自然数 n に対して、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
2n > n
【解答】
(Ⅰ) n = 1 のとき
左辺 = 21 = 2
右辺 = 1
2 > 1 より成立。
(Ⅱ) n = k（k ≥ 1）で成立すると仮定
すなわち 2k > k ⋯① と仮定する。
n = k + 1 のとき：
2k+1 = 2 · 2k > 2k （①より）
ここで、k ≥ 1 より 2k ≥ 2 > 1 なので：
2k = k + k ≥ k + 1
よって：
2k+1 > 2k ≥ k + 1
∴ 2k+1 > k + 1
n = k + 1 のときも成立。
(Ⅰ)(Ⅱ)より、すべての自然数 n に対して 2n > n が成り立つ。■
【練習問題10】総合問題（微積分と極限）
問題
関数 f(x) = (ex - 1)/x （x ≠ 0）について：
（1）limx→0 f(x) を求めよ。
（2）g(x) = ∫0x et dt とするとき、limx→0 g(x)/x2 を求めよ。
（3）limx→0 (ex - 1 - x)/x2 を求めよ。
【解答】
（1）limx→0 (ex - 1)/x
これは ex の x = 0 における微分係数の定義：
limx→0 (ex - e0)/x = (ex)'|x=0 = e0 = 1
または、ex = 1 + x + x2/2! + ⋯ より：
(ex - 1)/x = 1 + x/2! + x2/3! + ⋯ → 1 （x → 0）
（2）limx→0 g(x)/x2
g(x) = ∫0x et dt = [et]0x = ex - 1
limx→0 (ex - 1)/x2
x → 0 のとき、分子 → 0、分母 → 0 なので、ロピタルの定理を適用：
= limx→0 ex/(2x)
これも 0/0 の不定形なので、もう一度ロピタル：
= limx→0 ex/2 = 1/2
よって 1/2
【別解】テイラー展開を用いて：
ex - 1 = x + x2/2 + x3/6 + ⋯
(ex - 1)/x2 = 1/x + 1/2 + x/6 + ⋯
x → 0 で発散するので、この極限は存在しない。
※問題の解釈による。g(x) = ∫0x et dt = ex - 1 の場合は発散。
（3）limx→0 (ex - 1 - x)/x2
テイラー展開より：
ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + ⋯
ex - 1 - x = x2/2 + x3/6 + ⋯
(ex - 1 - x)/x2 = 1/2 + x/6 + ⋯
x → 0 のとき 1/2
【ロピタルの定理による別解】
limx→0 (ex - 1 - x)/x2（0/0 型）
= limx→0 (ex - 1)/(2x)（0/0 型）
= limx→0 ex/2
= 1/2
年間学習ロードマップ
関西学院大学の理系数学で合格点を取るための、1年間の学習計画を提案します。高校3年生の4月スタートを想定していますが、スタート時期に応じて調整してください。
【4月〜6月】基礎固め期
目標：教科書レベルの完全理解
学習内容：
- 数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bの教科書例題・練習問題の総復習
- 数学Ⅲの微分法・積分法の基礎を固める
- 公式の暗記ではなく「なぜその公式が成り立つか」を理解
- 計算力向上のため、毎日15分の計算練習
使用教材：教科書、教科書傍用問題集（4STEP、サクシードなど）
【7月〜8月】標準問題演習期
目標：入試標準レベルの問題を解けるようにする
学習内容：
- 青チャートまたは基礎問題精講で典型問題の解法パターンを習得
- 数学Ⅲの積分（面積・体積）を重点的に
- 確率・場合の数の問題を毎日1題解く
- 苦手分野の洗い出しと克服
使用教材：青チャート、基礎問題精講、標準問題精講
【9月〜10月】応用力養成期
目標：複合問題・応用問題への対応力をつける
学習内容：
- 関関同立レベルの問題集に取り組む
- 複数分野の融合問題（確率×漸化式、ベクトル×図形など）の演習
- 記述式答案の書き方を意識した学習
- 時間を測っての演習（1題20分目安）
使用教材：理系数学の良問プラチカ、関関同立の数学
【11月〜12月】過去問演習期
目標：関学の出題傾向に完全対応
学習内容：
- 関西学院大学の過去問を最低5年分解く
- 本番同様の90分で解く練習
- 間違えた問題の徹底分析と類題演習
- 頻出分野（微積分、確率、ベクトル、数列）の総仕上げ
使用教材：関西学院大学過去問（赤本）、数強塾過去問解説
【1月】直前対策期
目標：本番で実力を100%発揮できる状態に
学習内容：
- 共通テスト対策と並行して関学対策を継続
- 過去問の2周目（特に間違えた問題）
- 頻出公式・解法パターンの最終確認
- 本番のシミュレーション（時間配分、解く順番の確認）
心構え：新しい問題集には手を出さず、これまでの復習に集中！
【学習時間の目安】
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時期 平日 休日 数学の比重 4月〜6月 2〜3時間 4〜5時間 全体の30% 7月〜8月 3〜4時間 6〜8時間 全体の35% 9月〜10月 3〜4時間 5〜6時間 全体の30% 11月〜12月 4〜5時間 6〜8時間 全体の35% 1月 5〜6時間 8〜10時間 全体の30% 【週間スケジュール例（9月〜10月）】
曜日 学習内容 時間 月曜 微分・積分（数Ⅲ）の演習 1.5時間 火曜 確率・場合の数の演習 1.5時間 水曜 数列・漸化式の演習 1.5時間 木曜 ベクトル・図形の演習 1.5時間 金曜 複合問題・応用問題 1.5時間 土曜 模擬試験形式の演習（90分）+ 復習 3時間 日曜 週の復習・苦手分野の克服 2時間 藤原おすすめ参考書ランキング
関西学院大学の理系数学対策に最適な参考書を、レベル別・目的別にランキング形式でご紹介します。すべて私が実際に使用して効果を確認したものです。
【基礎固め部門】TOP3
🥇 第1位：青チャート（数研出版）
対象：基礎〜標準レベル
おすすめポイント：
- 網羅性が非常に高く、関学で出題される典型問題はほぼカバー
- 例題→練習→演習の3段階構成で着実にレベルアップ
- 解説が詳しく、独学でも理解しやすい
使い方：例題を完璧にすることを目標に。練習問題は例題が解けてから取り組む。
藤原コメント：「関学対策の王道。これ1冊を完璧にすれば、合格点は十分に狙えます！」
🥈 第2位：基礎問題精講（旺文社）
対象：基礎レベル
おすすめポイント：
- 問題数が絞られており、効率的に学習できる
- 「精講」で解法の考え方を丁寧に解説
- 数Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲと分冊になっており、苦手分野だけ購入可能
使い方：青チャートが重いと感じる人はこちらから始める。2周以上するのが効果的。
藤原コメント：「時間がない受験生や、数学が苦手な人に特におすすめ！」
🥉 第3位：白チャート（数研出版）
対象：基礎レベル（数学が苦手な人向け）
おすすめポイント：
- 教科書レベルから丁寧に解説
- 数学に苦手意識がある人でも取り組みやすい
- 基礎の基礎から確認したい人に最適
使い方：白チャート→青チャートとステップアップするのが理想的。
藤原コメント：「数学嫌いを克服するならまずこれから。焦らず着実に！」
【標準〜応用部門】TOP3
🥇 第1位：標準問題精講（旺文社）
対象：標準〜やや難レベル
おすすめポイント：
- 入試頻出の良問を厳選
- 「精講」で問題へのアプローチ方法を詳しく解説
- 関学の記述式問題対策に最適
使い方：基礎問題精講の後に取り組む。1題にじっくり時間をかけて考える。
藤原コメント：「これが解ければ関学は余裕！難しいと感じたら基礎に戻ろう。」
🥈 第2位：理系数学の良問プラチカ（河合出版）
対象：標準〜難レベル
おすすめポイント：
- 入試で差がつく良問を収録
- 数学Ⅲの問題が充実
- 解説が詳しく、別解も豊富
使い方：時間を測って解く。解けなくても30分は粘ってから解説を見る。
藤原コメント：「関学で高得点を狙うならぜひ取り組んでほしい1冊！」
🥉 第3位：文系の数学 重要事項完全習得編 / 実戦力向上編（河合出版）
対象：数学Ⅰ・A・Ⅱ・B対策
おすすめポイント：
- 数Ⅲ以外の分野を効率的に強化できる
- 関学の空所補充問題対策に効果的
- コンパクトにまとまっており、短期間で仕上げられる
使い方：数Ⅰ・A・Ⅱ・Bの弱点補強に活用。
藤原コメント：「理系でも数Ⅰ・A・Ⅱ・Bの穴があると致命的。これで埋めよう！」
【過去問・直前対策部門】TOP3
🥇 第1位：関西学院大学 過去問（赤本）
対象：関学志望者必須
おすすめポイント：
- 過去数年分の問題と解答・解説を収録
- 出題傾向の分析や対策アドバイスも掲載
- 本番の雰囲気を知るために必須
使い方：11月以降に本番同様の時間で解く。最低3周はする。
藤原コメント：「過去問は最高の教材。傾向を知り、弱点を知り、本番に備えよう！」
🥈 第2位：関関同立の数学（河合出版）
対象：関関同立志望者
おすすめポイント：
- 関関同立4大学の良問を分野別に収録
- 関学だけでなく、併願校対策にも使える
- 難易度・出題傾向が近い問題で演習できる
使い方：過去問と並行して、分野別の強化に使用。
藤原コメント：「関学以外の関関同立も受けるなら必携の1冊！」
🥉 第3位：数強塾オリジナル過去問解説
対象：関学対策を徹底したい人
おすすめポイント：
- 赤本より詳しい解説
- 類題や関連知識の補足も充実
- 映像解説と組み合わせて効果的に学習可能
使い方：数強塾の授業と併用して、過去問を徹底分析。
藤原コメント：「独学では気づきにくいポイントも、プロの解説で完璧に！」
【分野別おすすめ】
分野 おすすめ参考書 理由 微分・積分（数Ⅲ） 微積分 基礎の極意（東京出版） 計算テクニックと典型問題を網羅 確率 合格る確率（文英堂） 確率の考え方が根本から理解できる ベクトル ベクトル＜平面・空間＞（東京出版） 空間ベクトルまで徹底対策 数列 青チャートの数列分野 漸化式のパターンを網羅 計算力強化 合格る計算（文英堂） 計算ミス撲滅に効果的 日本数学塾・数強塾で関西学院大学合格を目指そう
ここまで読んでいただき、ありがとうございます！関西学院大学の理系数学の傾向と対策について、かなり詳しくお伝えしてきました。
しかし、独学で対策を進めるのは簡単ではありません。特に以下のような悩みを抱えている方も多いのではないでしょうか？
こんな悩みはありませんか？
- 参考書を読んでも、なぜその解法になるのか理解できない
- 自分の弱点がどこなのか、客観的に分析できない
- 勉強しているのに成績が伸びない
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🌸 2024年度 合格実績（一部抜粋）
- 関西学院大学 理学部・工学部・建築学部 多数合格！
- 同志社大学 理工学部 合格
- 立命館大学 理工学部 合格
- 関西大学 システム理工学部 合格
- その他、国公立大学・難関私立大学に多数合格！
受講生の声
Aさん（関西学院大学 理学部 合格）
「高3の夏まで数学の偏差値は50前後でした。数強塾で基礎から徹底的にやり直し、秋には偏差値60を超えました。特に苦手だった微積分が得意分野になり、本番では8割以上取れました！藤原先生の解説は本当に分かりやすかったです。」
Bさん（関西学院大学 工学部 合格）
「独学で数学を勉強していましたが、応用問題になると全く解けませんでした。数強塾で『なぜその解法を使うのか』から教えてもらい、初見の問題にも対応できるようになりました。オンラインで自宅から受講できたのも良かったです。」
Cさん（関西学院大学 生命環境学部 合格）
「数学が大の苦手で、正直諦めかけていました。でも数強塾の先生方が根気強く教えてくださり、少しずつ自信がついていきました。合格発表の日は本当に嬉しくて泣きました。ありがとうございました！」
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まとめ
最後に、関西学院大学の理系数学対策のポイントをまとめます。
📌 関学理系数学 攻略のポイント
- 試験形式を把握する：90分で大問4題、空所補充3題＋記述1題
- 頻出分野を重点対策：微積分、確率、数列、ベクトルは必須
- 基礎を完璧にする：典型問題の解法パターンを身体で覚える
- 計算力を鍛える：ケアレスミス1つが命取りになる
- 時間配分を意識する：本番と同じ90分で過去問演習
- 記述力を磨く：大問4の記述式で差がつく
- 過去問を徹底分析：最低5年分、できれば10年分
- 合格点は55〜60%：70%以上を目標に
関西学院大学の理系数学は、正しい方法で対策すれば必ず合格点が取れる試験です。
この記事で紹介した内容を参考に、計画的に学習を進めてください。そして、もし一人での対策に限界を感じたら、ぜひ日本数学塾・数強塾の門を叩いてください。私たちが全力でサポートします！
関西学院大学の合格を目指すあなたを、心から応援しています。
数強塾 講師 藤原進之介
