【滋賀医科大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

【実際の出題例：2024年度 前期 大問1より】

座標平面上の3点O(0,0)、P(p,0)、Q(0,q)について、OPとOQを2辺とする長方形Uを考える。ただし、p＞0、q＞0とする。

(1) OPとOQの長さの和 OP + OQ = 4 のとき、Uの面積が最大となるのは OP = OQ のときであることを示せ。

(2) 円 x² + y² = 2 と直線 x + y = a が2点で交わるとする。交点を通り座標軸に平行な直線が作る長方形を考え、その面積をaで表せ。

【実際の出題例：2024年度 前期 大問3より】

0でない複素数zに対して、w = (2z + 3/z)²とおく。

(1) 点zが原点を中心とする半径√6/2の円上を動くとき、点wはある線分を描くことを示し、その線分の両端の点を求めよ。

(2) 点zが原点を中心とする半径1の円上を動くとき、点wはある楕円を描くことを示し、その楕円の焦点を求めよ。

【実際の出題例：2023年度 前期 大問2より】

空間において、4点A、B、C、Dが同一平面上にないとき、四面体ABCDを考える。辺AB上の点Pと辺CD上の点Qについて、PQ⊥AB かつ PQ⊥CD となる条件を、ベクトルを用いて求めよ。また、このときのPQの長さの最小値を求めよ。

【実際の出題例：2022年度 前期より】

袋の中に白玉と赤玉が合計n個入っている。袋から玉を1個取り出して色を確認し、白玉なら袋に戻し、赤玉なら取り除く操作を繰り返す。k回目の操作後に袋の中に残っている白玉の個数をXkとするとき、Xkの期待値をnとkで表せ。

【実際の出題例】

数列{an}が a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + n を満たすとき、一般項aₙを求めよ。また、Σ(k=1 to n) aₖを求めよ。

【問題】

曲線 C: y = x³ - 3x² + 2x と x軸で囲まれた部分をDとする。

(1) Dの面積Sを求めよ。

(2) Dをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

(3) Dをy軸の周りに1回転させてできる立体の体積Wを求めよ。

【解答】

(1) 面積Sの計算

まず、曲線とx軸の交点を求めます。

y = x³ - 3x² + 2x = x(x² - 3x + 2) = x(x-1)(x-2) = 0

より、x = 0, 1, 2

0 ≤ x ≤ 1 では y ≥ 0、1 ≤ x ≤ 2 では y ≤ 0 なので、

S = ∫₀¹ (x³ - 3x² + 2x) dx - ∫₁² (x³ - 3x² + 2x) dx

= [x⁴/4 - x³ + x²]₀¹ - [x⁴/4 - x³ + x²]₁²

= (1/4 - 1 + 1) - 0 - {(4 - 8 + 4) - (1/4 - 1 + 1)}

= 1/4 - (0 - 1/4)

= 1/4 + 1/4 = 1/2

(2) x軸周りの回転体の体積V

V = π∫₀² y² dx = π∫₀² (x³ - 3x² + 2x)² dx

展開すると：

(x³ - 3x² + 2x)² = x⁶ - 6x⁵ + 13x⁴ - 12x³ + 4x²

V = π[x⁷/7 - x⁶ + 13x⁵/5 - 3x⁴ + 4x³/3]₀²

= π(128/7 - 64 + 416/5 - 48 + 32/3)

= π × (128/7 - 64 + 416/5 - 48 + 32/3)

= 16π/105

(3) y軸周りの回転体の体積W（バームクーヘン積分）

W = 2π∫₀² |x · y| dx = 2π∫₀¹ x(x³ - 3x² + 2x) dx - 2π∫₁² x(x³ - 3x² + 2x) dx

= 2π∫₀¹ (x⁴ - 3x³ + 2x²) dx + 2π∫₁² (3x³ - x⁴ - 2x²) dx

（計算を進めて）

= π/5

【問題】

n を自然数とする。Iₙ = ∫₀^(π/2) sinⁿx dx について、以下の問いに答えよ。

(1) Iₙ と Iₙ₋₂ の漸化式を導け（n ≥ 2）。

(2) lim(n→∞) n·Iₙ·Iₙ₋₁ を求めよ。

【解答】

(1) 漸化式の導出

部分積分を用いる。

Iₙ = ∫₀^(π/2) sinⁿx dx = ∫₀^(π/2) sinⁿ⁻¹x · sinx dx

sinⁿ⁻¹x = u, sinx dx = dv とおくと、

du = (n-1)sinⁿ⁻²x · cosx dx, v = -cosx

Iₙ = [-sinⁿ⁻¹x · cosx]₀^(π/2) + (n-1)∫₀^(π/2) sinⁿ⁻²x · cos²x dx

= 0 + (n-1)∫₀^(π/2) sinⁿ⁻²x(1 - sin²x) dx

= (n-1)Iₙ₋₂ - (n-1)Iₙ

よって、nIₙ = (n-1)Iₙ₋₂

Iₙ = (n-1)/n · Iₙ₋₂

(2) 極限の計算

漸化式より、Iₙ · Iₙ₋₁ = (n-1)/n · Iₙ₋₂ · Iₙ₋₁

ウォリスの公式より、

lim(n→∞) (Iₙ/Iₙ₋₁)² · n = π/2

したがって、

lim(n→∞) n·Iₙ·Iₙ₋₁ = π/2

【問題】

1から6までの目が等確率で出るサイコロを繰り返し投げる。出た目の和が初めて6以上になったとき、ちょうど6になる確率を求めよ。

【解答】

出た目の和がkのとき、そこから和がちょうど6になる確率をp(k)とおく（k = 0, 1, 2, 3, 4, 5）。

k = 5のとき：次に1が出ればちょうど6 → p(5) = 1/6

k = 4のとき：次に1が出て和5、または2が出てちょうど6 → p(4) = 1/6 · p(5) + 1/6 = 1/6 · 1/6 + 1/6 = 7/36

k = 3のとき：p(3) = 1/6 · p(4) + 1/6 · p(5) + 1/6 = 1/6 · 7/36 + 1/6 · 1/6 + 1/6 = 7/216 + 1/36 + 1/6 = 49/216

k = 2のとき：p(2) = 1/6(p(3) + p(4) + p(5) + 1) = 1/6(49/216 + 7/36 + 1/6 + 1) = 343/1296

k = 1のとき：p(1) = 1/6(p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + 1) = 1/6(343/1296 + 49/216 + 7/36 + 1/6 + 1) = 2401/7776

k = 0のとき：p(0) = 1/6(p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + 1)

計算を進めると、

p(0) = 4117/15552

【問題】

箱Aには白玉3個と赤玉2個、箱Bには白玉2個と赤玉3個が入っている。まず箱Aから2個の玉を取り出し、それを箱Bに入れる。次に箱Bから2個の玉を取り出す。

(1) 箱Bから取り出した2個がともに白玉である確率を求めよ。

(2) 箱Bから取り出した2個がともに白玉であったとき、箱Aから取り出した2個がともに白玉であった確率を求めよ。

【解答】

(1) 箱Bから2個とも白玉を取り出す確率

箱Aから取り出す組み合わせで場合分け：

• 白2個：確率 ₃C₂/₅C₂ = 3/10、箱Bは白4個赤3個 → 白2個の確率 ₄C₂/₇C₂ = 6/21 = 2/7
• 白1赤1：確率 ₃C₁·₂C₁/₅C₂ = 6/10 = 3/5、箱Bは白3個赤4個 → 白2個の確率 ₃C₂/₇C₂ = 3/21 = 1/7
• 赤2個：確率 ₂C₂/₅C₂ = 1/10、箱Bは白2個赤5個 → 白2個の確率 ₂C₂/₇C₂ = 1/21

P(箱Bから白2個) = 3/10 · 2/7 + 3/5 · 1/7 + 1/10 · 1/21

= 6/70 + 3/35 + 1/210 = 18/210 + 18/210 + 1/210 = 37/210

(2) ベイズの定理による条件付き確率

P(箱Aから白2個 | 箱Bから白2個) = P(箱Aから白2個 かつ 箱Bから白2個) / P(箱Bから白2個)

= (3/10 · 2/7) / (37/210)

= (6/70) / (37/210)

= (6/70) · (210/37)

= 18/37

【問題】

数列{aₙ}は a₁ = 1, a₂ = 3, aₙ₊₂ - 4aₙ₊₁ + 3aₙ = 0 (n ≥ 1) を満たす。

(1) 一般項aₙを求めよ。

(2) Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ を求めよ。

(3) lim(n→∞) aₙ/3ⁿ を求めよ。

【解答】

(1) 一般項の導出

特性方程式 x² - 4x + 3 = 0 を解くと、(x-1)(x-3) = 0 より x = 1, 3

よって aₙ = A·1ⁿ + B·3ⁿ = A + B·3ⁿ と表せる。

初期条件より：

a₁ = A + 3B = 1

a₂ = A + 9B = 3

これを解いて B = 1/3, A = 0

よって aₙ = 3ⁿ⁻¹

(2) 和の計算

Sₙ = Σ(k=1 to n) 3^(k-1) = (3ⁿ - 1)/(3