【一次変換】北海道から学ぶ数学｜日本数学塾

はじめに：一次変換とはどんな単元か

一次変換は、高校数学の中でも「急に難しくなる」と感じられる分野です。北海道在住の方でも全国オンラインで受講可能ですので、この記事を通じて一次変換の本質をつかみ、大学受験に向けた準備を進めていただきたいと思います。

一次変換は、平面上の点を別の点に移す操作を「行列」を用いて表現する分野です。見た目は難しく感じられますが、実は「座標をどう変える？」という非常にシンプルな問題を、体系的に扱おうとしているだけです。この記事では、一次変換の見方、解法の進め方、そしてよくある誤りを丁寧に解説します。

一次変換の出題傾向と大学入試での位置づけ

一次変換は、大学入試（特に二次試験）で頻出する分野です。多くの受験生が「行列の計算はできるのに、図形的な意味がわからない」という悩みを抱えています。

出題のパターンは大きく分けて4つあります：

• 点や図形が一次変換によってどこに移るか求める
• 与えられた変換を行列で表現する
• 複合変換（複数の変換を組み合わせた場合）を扱う
• 逆行列を用いて、変換後の点から元の点を求める

特に3番目の「複合変換」と4番目の「逆行列の応用」は、受験生の正答率が低い傾向にあります。これは「行列の計算」と「幾何学的イメージ」の両方が必要だからです。

一次変換は「線形代数」の入口であり、大学の数学でも頻出です。高校段階でしっかり理解しておくと、大学進学後の数学もスムーズに学べるようになります。

一次変換の基本概念：何が「一次」か

行列による点の移動

一次変換の定義から始めましょう。平面上の点 P(x, y) を別の点 P'(x', y') に移す変換を考えます。このとき、

x' = ax + by
y' = cx + dy

という関係が成り立つ場合、この変換を「一次変換」と呼びます。ここで a, b, c, d は実数です。

これを行列で表現すると、

[x'] = [a b] [x]
[y'] [c d] [y]

となります。ここで行列 [a b; c d] を「変換行列」と呼びます。「一次」という名称は、x' と y' が x と y の「一次式」で表されていることに由来します。

重要：零ベクトルへの対応

一次変換には重要な性質があります。原点 O(0, 0) は常に原点に移ります。

x' = a・0 + b・0 = 0
y' = c・0 + d・0 = 0

このため、一次変換は「原点を固定する変換」です。これは見た目は小さなことですが、変換の性質を制限する大きな条件になります。

代表的な一次変換を図形で理解する

1. 回転変換

原点を中心に、反時計回りに角度 θ だけ回転させる変換を考えます。変換行列は

R(θ) = [cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ]

です。例えば θ = 90° の場合、cosθ = 0, sinθ = 1 なので

R(90°) = [0 -1]
[1 0]

点 (1, 0) を変換すると、

[x'] = [0 -1] [1] = [0]
[y'] [1 0] [0] [1]

つまり (1, 0) → (0, 1) に移ります。これは確かに 90° 反時計回りの回転です。

2. 対称移動（x軸対称）

x軸に関して対称移動させる変換は、

[1 0]
[0 -1]

点 (x, y) は (x, -y) に移ります。図形的には、y座標の符号が反転します。

3. 拡大縮小

すべての方向に一定の倍率 k で拡大する変換（または縮小）は、

[k 0]
[0 k]

点 (x, y) は (kx, ky) に移ります。

4. せん断（shear）変換

一見複雑に見える変換に「せん断」があります。例えば

[1 a]
[0 1]

は、y座標は変わらず、x座標が y の値に応じて変わる変換です。点 (x, y) は (x + ay, y) に移ります。正方形を平行四辺形に「ずらす」ような変換です。

解法 step by step：一次変換の計算手順

【基本型】点の移動を求める問題

問題例：行列 A = [1 2; 2 1] が表す一次変換により、点 P(3, 1) はどこに移るか。

Step 1：問題の整理

求めるのは「点 P がどこに移るか」です。変換行列 A が与えられているので、行列計算で直接求められます。

Step 2：行列計算の実行

[x'] = [1 2] [3] = [1・3 + 2・1] = [5]
[y'] [2 1] [1] [2・3 + 1・1] [7]

したがって、P(3, 1) は P'(5, 7) に移ります。

Step 3：検算

計算が正しいか確認するために、成分ごとに確認します：

• 1 × 3 + 2 × 1 = 3 + 2 = 5 ✓
• 2 × 3 + 1 × 1 = 6 + 1 = 7 ✓

【応用型】図形の移動

問題例：一次変換 A = [0 -1; 1 0] によって、三角形 OAB（O は原点、A(1, 0), B(0, 1)）はどのように移るか。頂点をすべて求めよ。

Step 1：分析——何が問われているか

3つの頂点それぞれがどこに移るかを求める必要があります。

Step 2：各頂点の変換

原点 O(0, 0) は O'(0, 0) に移ります。

A(1, 0) について：

[x'] = [0 -1] [1] = [0]
[y'] [1 0] [0] [1]

A' = (0, 1)

B(0, 1) について：

[x'] = [0 -1] [0] = [-1]
[y'] [1 0] [1] [0]

B' = (-1, 0)

Step 3：図形の理解

元の三角形 OAB は O(0,0), A(1,0), B(0,1) の直角三角形です。変換後は O'(0,0), A'(0,1), B'(-1,0) となります。

変換行列が [0 -1; 1 0] であることから、これは 90° 反時計回りの回転変換です。したがって、三角形の形と大きさは保たれ、向きが 90° 回転します。

【発展型】変換を表す行列を求める

問題例：原点を中心に時計回りに 45° 回転させる一次変換を表す行列を求めよ。

Step 1：方針の立て方

一次変換行列 A = [a b; c d] の要素 a, b, c, d を求めるには、「基本となる点がどこに移るか」を知ることが有効です。特に、単位ベクトル (1, 0) と (0, 1) がどこに移るかを調べます。

Step 2：基本ベクトルの移動を計算

時計回りに 45° 回転は、反時計回りに -45° 回転と同じです。したがって θ = -45° の回転行列を用います：

cos(-45°) = cos(45°) = √2/2
sin(-45°) = -sin(45°) = -√2/2

R(-45°) = [√2/2 √2/2]
[-√2/2 √2/2]

Step 3：確認

ベクトル (1, 0) を時計回りに 45° 回転すると、

[x'] = [√2/2 √2/2] [1] = [√2/2]
[y'] [-√2/2 √2/2] [0] [-√2/2]

これは確かに、(1, 0) を時計回りに 45° 回転した結果（x座標が正、y座標が負）と一致します。

【重要型】複合変換

問題例：まず行列 A = [1 1; 0 1] で変換し、その後、行列 B = [0 -1; 1 0] で変換する。この複合変換を表す行列を求めよ。

Step 1：順序の確認が最重要

複合変換では「順序」が非常に重要です。最初に A で変換し、その結果に B を適用します。数式としては、

v' = B(Av)

ここで v は元の点のベクトル表現です。

Step 2：結合法則を使う

行列の結合法則により、

v' = B(Av) = (BA)v

つまり、複合変換を表す行列は BA です（A を先に適用するので、A が右側に来ます）。

Step 3：行列の積を計算

BA = [0 -1] [1 1] = [0・1 + (-1)・0 0・1 + (-1)・1]
[1 0] [0 1] [1・1 + 0・0 1・1 + 0・1]
= [0 -1]
[1 1]

Step 4：実際に検証

点 (1, 0) で確認します。最初に A で変換：

[1 1] [1] = [1]
[0 1] [0] [0]

(1, 0) → (1, 0)

次に B で変換：

[0 -1] [1] = [0]
[1 0] [0] [1]

(1, 0) → (0, 1)

一方、複合変換行列 BA を使うと：

[0 -1] [1] = [0]
[1 1] [0] [1]

一致します。✓

よくあるつまずきと対策

誤り 1：行列の積の順序を逆にしてしまう

複合変換で「B を先に、A を後に」するはずなのに、AB と計算してしまう受験生が多いです。

回避法：変換式 v' = B(Av) の括弧を常に意識する。「A で変換した結果に、B を適用する」という日本語を、行列の右から左への読み方に対応させるトレーニングをしておくとよい。

誤り 2：行列計算の成分ミス

2×2 行列の積は、4つの成分の計算が必要です。特に「中央の項の足し算」で計算間違いが発生しやすい。

回避法：一つの成分ごとに計算を分離し、次の形で整理する：

(1,1) 成分 = a11・b11 + a12・b21
(1,2) 成分 = a11・b12 + a12・b22
(2,1) 成分 = a21・b11 + a22・b21
(2,2) 成分 = a21・b12 + a22・b22

必ず「行」×「列」の対応を図で確認してから計算に進む習慣をつけるとよい。

誤り 3：図形的イメージの欠落

「行列計算はできたが、答えが幾何学的に何を意味するのか分からない」という悩みが多く聞かれます。

回避法：変換前後の図形を常に描く。特に、基本的な点（(1,0), (0,1), (1,1) など）や図形（単位正方形）がどう移動するかを視覚的に確認する。行列式の値（det A = ad - bc）が 0 でなければ、変換は「可逆」（逆変換が存在する）であることを意識する。

誤り 4：原点以外の点を中心とした変換への混同

一次変換は「原点を中心とした変換」です。点 (2, 1) を中心に回転させるような変換は、一次変換ではなく「アフィン変換」です。

回避法：問題文に「原点を中心に」という記述がなくても、一次変換として扱う場合、それは暗黙的に「原点中心」を意味します。原点以外を中心とする変換が出題された場合は、先に原点に平行移動してから一次変換を適用し、最後に戻す手順が必要になります。

誤り 5：逆行列が存在しない場合の処理

行列式 det(A) = ad - bc = 0 の場合、その行列は逆行列を持ちません。例えば、投影変換（平面を直線に潰す変換）などです。

回避法：「この変換を表す行列を逆変換によって求めよ」という問題が出た場合、まず det(A) を計算して 0 でないことを確認する習慣をつけるとよい。det(A) = 0 の場合は、その旨を述べて、逆変換が存在しないことを明記する。

逆行列と逆変換の実践的な扱い

逆行列の計算方法

2×2 行列 A = [a b; c d] の逆行列は、

A^(-1) = (1/(ad - bc)) [d -b]
[-c a]

ここで、ad - bc を「行列式」（determinant）と呼びます。行列式が 0 でなければ、逆行列が一意に定まります。

逆変換を使う問題の典型例

問題例：一次変換 A = [2 1; 1 1] によって点 P' が (5, 3) に移っている。元の点 P はどこか？

Step 1：何を求めるか明確にする

P' = AP であるから、P = A^(-1) P' を計算すればよい。

Step 2：逆行列を求める

det(A) = 2・1 - 1・1 = 2 - 1 = 1

A^(-1) = (1/1) [1 -1] = [1 -1]
[-1 2] [-1 2]

Step 3：逆変換を適用

[x] = [1 -1] [5] = [1・5 + (-1)・3] = [2]
[y] [-1 2] [3] [(-1)・5 + 2・3] [1]

したがって、元の点は P(2, 1) です。

Step 4：検証

確認として、P(2, 1) を A で変換すると：

[2 1] [2] = [2・2 + 1・1] = [5] ✓
[1 1] [1] [1・2 + 1・1] [3]

P'(5, 3) が得られました。

行列式の図形的な意味

行列式 det(A) = ad - bc は、単なる数値ではなく、「一次変換が図形の面積をどの倍率で変えるか」を表します。

例えば、単位正方形（面積 1）を一次変換すると、その面積は |det(A)| 倍になります。

• det(A) > 0：面積が |det(A)| 倍になり、向きが保たれる（時計・反時計の方向が変わらない）
• det(A) < 0：面積が |det(A)| 倍になり、向きが反転する（鏡像になる）
• det(A) = 0：面積が 0 になる（平面が直線や点に潰れる）

この理解があると、「変換後の図形が何になるか」を直感的に判断できるようになります。

日々の練習法と学習進度の目安

段階的な学習計画

第1段階（1〜2週間）：基本概念と標準計算

まずは「行列とは何か」「点の移動をどう計算するか」を繰り返し練習する。教科書の例題を 10 題以上手で計算して、計算のリズムを体に染み込ませるとよい。

第2段階（2〜3週間）：図形的理解

各種の基本変換（回転、対称、拡大縮小、せん断）を学び、座標平面に図を描いて動作を確認する。特に「どの変換がどの行列か」を瞬時に判断できるレベルまで進める。

第3段階（2〜3週間）：複合変換と逆行列

複合変換の計算順序を完璧にしてから、逆行列の計算と逆変換の応用に進む。ここでの「順序」の理解不足は、後々大きな誤りを招くため、十分に時間をかけるべき。

第4段階（1〜2週間）：過去問と演習

大学別の過去問で、実際の出題形式に慣れる。特に「複合変換 + 逆行列」の融合問題や「図形の面積変化」を扱う問題に重点を置くとよい。

毎日 15〜20 分の反復練習

一次変換は「手を動かす」ことが最重要です。毎日、以下のルーチンを実行するとよい：

• 基本となる行列（回転、対称）を 3〜4 個選び、点の移動を計算する（5分）
• 2×2 行列の積を 2〜3 題計算する（5分）
• 行列式を 2〜3 題計算する（3分）
• 1題の応用問題（複合変換や逆行列）に取り組む（6〜7分）

この反復により、本番試験での「計算ミス」をほぼ排除できます。

図を描く習慣

計算結果が出たら、必ず座標平面に図を描いて、視覚的に妥当性を確認するとよい。例えば、「回転変換により点が 90° 回転しているか」「対称変換により鏡像になっているか」といった確認です。

この習慣により、大きな計算誤りを事前に防ぐことができます。

まとめ：一次変換を得点源に変える

一次変換は「行列計算」と「図形的イメージ」の両立が求められる分野です。最初は複雑に見えますが、基本の考え方と計算手順を確実に理解することで、確実に得点できる単元へと変わります。

特に重要なのは、

• 一次変換の定義（原点を固定し、線形性を持つ）をしっかり頭に入れること
• 複合変換の順序（B(Av) なら BA の計算）を誤らないこと
• 計算ミスを防ぐため、毎日の手計算練習を欠かさないこと
• 計算結果の図形的意味を常に考えること

です。これらを着実に実行すれば、一次変換は大学受験における「安定した得点源」になるといえます。