横浜市立大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

横浜市立大学 2013年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、2013年度の横浜市立大学数学の全大問を徹底解説します。

この記事を読めば、以下の3つが手に入ります：

• ✅ 2013年度 全大問の完全解説（途中計算一切省略なし）
• ✅ 横浜市立大学数学の出題傾向と対策（合格点を取るための戦略）
• ✅ よくある間違いと正しい解法の考え方（なぜそうなるのかを根本から理解）

👨‍🏫 藤原先生より： 横浜市立大学の数学は「標準〜やや難」レベルですが、解法の流れさえしっかり理解すれば必ず点が取れます。丸暗記ではなく「なぜそうなるのか」を一緒に掘り下げていきましょう！

【セクション2】横浜市立大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

横浜市立大学の数学は、試験時間120分で大問2問という構成です。一見少ないように見えますが、各大問に複数の小問があり、それぞれが有機的につながった誘導形式になっています。「前の小問の結果を次の小問で使う」という構造が特徴的で、最初の小問を間違えると連鎖的に失点するリスクがあります。

偏差値帯と求められる数学レベル

• 一般学部（国際教養・理学・データサイエンスなど）：偏差値60〜65、標準的な入試問題の完答力
• 医学部：偏差値68〜72以上、やや難〜難問レベルへの対応力

「青チャート（チャート式 基礎からの数学）」（数研出版）を完璧に仕上げた上で、「1対1対応の演習」（東京出版）レベルの問題演習が最低限必要です。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

横浜市立大学では以下の単元が繰り返し出題されています：

特に「積分×確率×数列」という組み合わせが頻出で、2013年度もこの傾向がはっきり現れています。

他大学との比較

• 東大・京大：純粋な思考力重視、誘導がほとんどない
• 横浜市立大学：誘導形式の論述が中心。小問を積み上げて最終答えに辿り着く構造
• 東北大学：計算量が多い。横浜市立大学はやや論証重視
• 千葉大学：難易度帯が近い。横浜市立大学は確率・積分の融合問題が多い

会話① 入試全体像について

🧑 生徒：「横浜市立大学の数学って、誘導形式と言われますが、具体的にどう活用すればいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！誘導形式の問題では、前の小問の結果を『道具』として次の小問で使うのが基本戦略だよ。例えば今回の大問１では、(1)で導関数 $\sqrt{\frac{x}{x+a}}$ を求めて、(2)の部分積分の証明に使って、(3)の不定積分の最終答えを出す、という3段階の積み上げ構造になっているんだ。だから『(1)が分からなくても(2)は答えられる』ことも多いし、逆に(1)を間違えると(3)まで響く。誘導を読んで『あ、これは次でこう使うんだな』という先読みができると、一気に解きやすくなるよ！」

横浜市立大学の数学は「丁寧な誘導に乗れるか」が合否の鍵。誘導の流れを読む練習を積み重ねよう！

【セクション3】2013年度 出題テーマ速報と分析

2013年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と合格ラインの目安

2013年度の問題は全体的に標準〜やや難のレベルです。大問2の[II]（Legendre多項式）は難問ですが、それ以外は標準的な手法で対応可能です。

合格ラインの目安（一般学部）：
- 大問1・[I]の(1)(2) → 確実に完答
- 大問1・[II]の(1)(2) → 確実に完答
- 大問2・[I]の(1)(2)(5) → 少なくとも3問完答
- 大問2・[III]の(1)(2) → 部分点確保

合格のためには、難問に固執せず「取れる問題を確実に取る」戦略が重要です。

【セクション4】全大問 問題・解説

大問1・[I]：微分と部分積分（難易度★★★☆☆）

問題文

$a, b, c$ は正の実数とする。

(1) 関数

の導関数を求めよ。

(2) 部分積分を用いて

が成り立つことを示せ。

(3) 不定積分 $\int \sqrt{x(2x+1)}\,dx \quad (x>0)$ を求めよ。

使う公式・定理

[I]-(1) の解法ステップ

ステップ① 第1項を微分する

ステップ② 第2項を微分する

対数の中の関数 $h(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+a}$ として、

したがって、

ステップ③ 合わせて計算する

[I]-(2) の解法ステップ

ステップ① 部分積分の「振り分け」を決める

部分積分 $\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx$ において、

と置くと（これが OCR 解答の本質的なアプローチです）、

ステップ② $g'(x)$ を計算する

ステップ③ 部分積分を適用する

（証明終）

[I]-(3) の解法ステップ

$a=1, b=2, c=1$ として(2)を適用する。

ステップ① (2) の公式を使う（$b=2, c=1$）

ステップ② 右辺の積分を(1)で評価する

(1) の結果 $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x(x+a)} - a\log\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+a}\right)\right] = \sqrt{\frac{x}{x+a}}$ を使う。

$a = \frac{1}{2}$ の場合に対応させると：

一方、

なので、

ステップ③ ①に代入して最終答えを出す

なお $\sqrt{x\left(x+\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x(2x+1)}$ であるから、

（$C_1$ は積分定数）

会話② 大問1・[I] について

🧑 生徒：「(2)で部分積分を使うとき、$f'(x)$ と $g(x)$ をどう振り分ければいいか分からなくなります。」

👨‍🏫 藤原先生：「これは料理で言うと『どの食材をどの順番で炒めるか』と同じで、慣れが必要なところだね。部分積分の公式は $\int f'g\,dx = fg - \int f g'\,dx$ だから、積分した後（$f$）に微分した後（$g'$）を掛けた積分が、元より簡単になるように振り分けるのがコツだよ。今回は $f'(x) = x$ と置いて $f(x) = \frac{x^2}{2}$ にすることで、$g'(x)$ の計算で $x^2$ が約分されて $\sqrt{\frac{x}{bx+c}}$ という形がスッキリ出てくる。振り分けの練習は『青チャート』の積分パートを何度も解いて『この形はこう振り分ける』という感覚を体に叩き込もう！」

部分積分の「振り分け」のセンスは繰り返し練習で必ず身につく。焦らず一歩ずつ進もう！

大問1・[II]：確率と期待値の評価（難易度★★★★☆）

問題文（整理版）

$n$ 個のボールと、$1$ から $n$ までの番号が振られた $n$ 個の空の箱がある。$1$ から $n$ の番号が書かれた $n$ 枚のカードが袋に入っている。

手順：袋からカードを無作為に引き、そのカード番号の箱が空なら1個ボールを入れ（手順3へ）、空でなければカードを戻して引き直す。これを繰り返す。

$1 \le k \le n$ に対して、$k-1$ 個目のボールを入れ終えた状態から $k$ 個目のボールを箱に入れるまでにちょうど $i$ 枚目のカードを引く確率 を $P_k(i)$、$i$ 枚引いても $k$ 個目のボールが入らない確率 を $Q_k(i)$（$Q_k(0)=1$）とする。

(1) $n=4$ のとき $P_1(1),\ P_2(2),\ Q_2(2)$ を求めよ。

(2) $Q_k(i)$ を $P_k(i+1), P_k(i+2), \ldots, P_k(k)$（ただし $0 \le i \le k-1$）を用いて表せ。

(3) $k$ 個目のボールを入れるまでのカードを引く枚数の期待値 $E_k$ が $Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots+Q_k(k-1)$ に等しいことを示せ。

(4) 不等式 $E_k \le \dfrac{n}{n-k+1}$ が成り立つことを示せ。

(5) 不等式 $E_1+E_2+\cdots+E_n \le n + n\log n$ が成り立つことを示せ。

使う公式・定理

[II]-(1) の解法ステップ：$n=4$ のとき

ステップ① $P_1(1)$ を求める

$k=1$：最初の状態（0個のボールが入っている）。空の箱は4つ。カードを1枚引いて、それが空の箱（4箱全て空）なら必ず成功。

（最初はどのカードを引いても空の箱なので、1回で確実に入る）

ステップ② $P_2(2)$ を求める

$k=2$：1個のボールが入っている（空の箱3つ、入っている箱1つ）。

• 1回目のカードが空の箱：確率 $\frac{3}{4}$ → 成功（1枚で完了）なので、$i=2$ の場合を考える
• 1回目が失敗（確率 $\frac{1}{4}$）し、2回目が成功（確率 $\frac{3}{4}$）：

ステップ③ $Q_2(2)$ を求める

$Q_2(2)$ は「2回引いても2個目のボールが入らない確率」。

1回目も2回目も失敗（どちらも埋まっている1つの箱のカードを引く）：

[II]-(2) の解法ステップ

ステップ① $Q_k(i)$ の意味を整理する

$Q_k(i)$ = 「$i$ 回引いても $k$ 個目のボールが入らない確率」

これは「$k$ 個目のボールを入れるのに必要な回数 $X$ が $i$ より大きい確率」、すなわち $P(X > i)$。

ステップ② $P_k(j)$ との関係

$P_k(j)$ = 「ちょうど $j$ 回目で $k$ 個目のボールが入る確率」

しかし、$k$ 個目のボールが入るのは高々 $n$ 回目（最悪でも残り $n-k+1$ 個の空き箱のいずれかに入る）という有限回で必ず完了するため、最大値は $k$ 回の試行前後（$P_k(j)=0$ for $j > $ 一定値）。

問題の設定（$0 \le i \le k-1$）より、

※ここで「$k$ 個目のボールが入るのに $k$ 回以内で必ず完了する」という点が重要。$n-k+1$ 個の空き箱があるので、連続で成功しない確率が $\left(\frac{k-1}{n}\right)^i$ となり、$i=k-1$ 以降は確率0ではないが、問題文の設定では $k-1$ までを考える。

[II]-(3) の解法ステップ（期待値の表現）

ステップ① 非負整数値確率変数の期待値公式を適用する

$k$ 個目のボールを入れるのに必要な引く枚数を $X$ とすると、$X$ は正の整数値をとる確率変数。

一般に、正整数値をとる確率変数 $X$ に対し：

ステップ② 有限和への変換

$k-1$ 個の箱にボールが入っている状態では、残り $n-k+1$ 個の空き箱がある。毎回 $\frac{n-k+1}{n}$ の確率で成功するため、$X$ は幾何分布に従い、$P(X > i) = \left(\frac{k-1}{n}\right)^i$。

$Q_k(k) = P(X > k) = 0$（問題設定上 $k$ 回以上かかることも理論上あるが、本問では $0 \le i \le k-1$ の範囲）なので、

（証明終）

[II]-(4) の解法ステップ（不等式評価）

ステップ① $Q_k(i)$ の具体的な値を求める

$k-1$ 個のボールが入っている状態で、空き箱は $n-k+1$ 個。

毎回の試行で失敗する確率は $\frac{k-1}{n}$（埋まっている $k-1$ 箱のカードを引く確率）。

各試行は独立なので：

ステップ② 期待値を計算する

これは初項1、公比 $r = \frac{k-1}{n}$ の等比数列の和：

$k=1$ のとき：

等号成立。✓

$k \ge 2$ のとき（$0 < r = \frac{k-1}{n} < 1$）：

ステップ③ 不等式を示す

$0 < \frac{k-1}{n} < 1$ より $\left(\frac{k-1}{n}\right)^k > 0$ だから：

（証明終）

[II]-(5) の解法ステップ（調和数との比較）

**ステップ① (4) の

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