横浜国立大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で君は変わる！
横浜国立大学 2015年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。
この記事では、横浜国立大学の2015年度（平成27年度）数学の問題を完全解説します。この1記事で得られる価値は次の3つです。
- ✅ 各大問の解法の本質が理解でき、類題にも応用できる
- ✅ 横浜国立大学の出題傾向と頻出単元が一目でわかる
- ✅ 合否を分けたポイントと得点戦略が明確になる
藤原先生から一言！横浜国大の数学は「計算力×論述力」が同時に問われる良問揃いです。「解き方を知っている」だけでなく「なぜそうするのか」を理解することが合格への近道。焦らず、一緒にじっくり攻略していきましょう！
セクション2：横浜国立大学の数学 入試の全体像
試験形式と基本情報
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 120分 |
| 大問数 | 理工系：5問程度 |
| 解答形式 | 記述式（論述答案） |
| 難易度 | 標準〜やや難（偏差値58〜65帯） |
横浜国立大学の数学は、記述式の論述答案が求められます。単に答えを出すだけでなく、「なぜそうなるのか」という論理の流れを丁寧に書くことが採点者に伝わる答案の条件です。
偏差値帯と求められる数学レベル
横浜国立大学の理工系学部は偏差値57〜63程度（河合塾基準）。数学に求められるレベルは、青チャートの例題をほぼ完璧にこなせる力＋標準的な入試問題で論述できる力です。満点ではなく、確実に取れる問題で落とさない戦略が最重要です。
過去5年の頻出単元ランキング（理工系）
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分 | ほぼ毎年 |
| 2位 | 確率・数列 | ほぼ毎年 |
| 3位 | ベクトル・空間図形 | ほぼ毎年 |
| 4位 | 場合の数・整数問題 | 隔年程度 |
| 5位 | 軌跡・領域 | 隔年程度 |
他大学との違い・特徴
東大は「思考力・発想力」重視で、問題の設定自体が斬新なことが多いのに対し、横浜国立大学は「標準的な解法の正確な実行力」が問われます。つまり、「この公式、この解法」がわかっていれば解ける問題が多い。だからこそ、丁寧に標準問題を固めることが最短ルートです。阪大・名大のような難問奇問はほとんど出ず、東工大ほど計算が複雑でもない。「知っているか・できるか」が問われる、ある意味で正直な試験といえます。
会話①
🧑 生徒：「横浜国大の数学って、どの単元を最優先で勉強すればいいですか？」
👨🏫 藤原先生：「ズバリ言うと、微分・積分と確率を最優先にしてほしいんだ。たとえば積分なら置換積分法や部分積分法、確率なら条件付き確率や漸化式を使った確率計算 $P_{n+1} = p \cdot P_n + q(1-P_n)$ の形が頻出だよ。どちらも計算量が多いから、正確に素早く計算できる訓練が必要。そのためには青チャートやフォーカスゴールドでまず典型解法を固めて、1対1対応の演習で入試レベルに引き上げる流れが王道だよ！」
横浜国大の数学の本質は「基礎の完成度×論述の丁寧さ」。これを肝に銘じて対策を進めていこう！
セクション3：2015年度 出題テーマ速報と分析
2015年度 大問別テーマ一覧
今回解説するのは指定された2大問ですが、2015年度の全体像も把握しておきましょう。
| 大問 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|
| 大問1-[1] | 確率（さいころ×放物線の交点） | ★★★☆☆ |
| 大問1-[2] | 積分方程式（2次関数の決定） | ★★★★☆ |
| 大問2-1 | 置換積分（三角置換） | ★★★☆☆ |
| 大問2-1 | 不等式の証明（微分の応用） | ★★★★☆ |
| 大問2-[2] | ベクトル（円に内接する三角形） | ★★★★☆ |
| 大問2-[3] | 放物線の通過領域 | ★★★☆☆ |
| 大問2-[4] | 整数問題（連続自然数の和） | ★★★★★ |
| 大問2-[5] | 積分と確率の融合 | ★★★★★ |
難易度評価と合格ライン
2015年度は全体的に標準〜やや難の構成。特に大問2の[4]（整数）と[5]（積分×確率の融合）は高難度で、この2問を完答できた受験生は少なかったと思われます。合格ラインの目安は全体の6割程度。基本〜標準問題を確実に得点し、難問では部分点を積み上げる戦略が有効です。
前年度との傾向変化
2015年度の特徴として、積分を絡めた複合問題（大問2-[5]の $\int_0^\pi \cos ax \cos bx \cos cx\, dx$ と確率の融合）が出題されました。また整数論的な問題（[4]）も出て、幅広い分野への対応力が試された年です。
合格に必要なのは難問を全問解くことではなく、「取れる問題を確実に取る」こと。作戦を立てて試験に臨もう！
セクション4：全大問 問題・解説
大問1-[1]：確率×放物線の交点条件（難易度★★★☆☆）
【問題文】
大小2つのさいころを投げ、大きいさいころの出た目を $a$、小さいさいころの出た目を $b$ とする。$a, b$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = x^2 - ax$ を $C$ とし、$C$ を $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した曲線を $D$ とする。次の問いに答えよ。
(1) $C$ と $D$ が異なる2点で交わる確率を求めよ。
(2) $C$ と $D$ が異なる2点で交わり、かつ、その2点を通る直線の傾きが正である確率を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 二次方程式の判別式 | $D = b^2 - 4ac > 0$ で異なる2実解 |
| 解と係数の関係（ヴィエタの定理） | $\alpha + \beta = -\frac{b}{a},\quad \alpha\beta = \frac{c}{a}$ |
| 曲線上の2点を結ぶ直線の傾き | 対称式で整理して $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ で表す |
【解法ステップ（1）】
ステップ① 方程式を立てる
曲線 $C$：$y = x^2 - ax$、曲線 $D$：$y = (x-b)^2 - a(x-b)$
※ OCRデータの解答では $y = x^3 - ax$ となっていますが、問題文より $y = x^2 - ax$（2次関数）が正しいです。$D$ は $C$ を $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものなので、
$C$ と $D$ の交点は
これだと交点の条件がおかしくなります。実は問題の平行移動が「$y$ 軸方向」ではなく「$x$ 軸方向」の可能性もありますが、解答を見ると方程式 $3x^2 - 3bx + b^2 - a = 0$ が得られているので、解答に従い問題を再解釈します。
解答より、$C$ と $D$ の交点条件は
ステップ② 異なる2点で交わる条件（判別式）
ステップ③ 条件②を満たす $(a, b)$ の組を数え上げる（$a, b \in \{1,2,3,4,5,6\}$）
| $b$ | $b^2$ | $a > \frac{b^2}{4}$ を満たす $a$ の値 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $a \geq 1$：$a = 1,2,3,4,5,6$（6通り） |
| 2 | 4 | $a > 1$：$a = 2,3,4,5,6$（5通り） |
| 3 | 9 | $a > \frac{9}{4} = 2.25$：$a = 3,4,5,6$（4通り） |
| 4 | 16 | $a > 4$：$a = 5,6$（2通り） |
| 5 | 25 | $a > \frac{25}{4} = 6.25$：なし（0通り） |
| 6 | 36 | $a > 9$：なし（0通り） |
合計：$6 + 5 + 4 + 2 = 17$ 通り
【解法ステップ（2）】
ステップ① 2交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とする
①より、解と係数の関係（ヴィエタの定理）：
ステップ② 2点を通る直線の傾きを計算
曲線 $C$：$y = x^2 - ax$ 上の2点 $A(\alpha,\, \alpha^2 - a\alpha)$、$B(\beta,\, \beta^2 - a\beta)$ を結ぶ直線の傾き $m$ は、
ここで $\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta$ を使って、
ステップ③ 傾きが正になる条件
ステップ④ ②かつ③を同時に満たす $(a, b)$ の組：$b^2 < 4a$（条件②）かつ $a < b^2$（条件③）
つまり $\frac{b^2}{4} < a < b^2$
| $b$ | 条件 | $a$ の値 |
|---|---|---|
| 2 | $1 < a < 4$ | $a = 2, 3$（2通り） |
| 3 | $\frac{9}{4} < a < 9$ | $a = 3,4,5,6$（4通り） |
| 4 | $4 < a < 16$ | $a = 5,6$（2通り） |
合計：$2 + 4 + 2 = 8$ 通り
【藤原先生の解説】
この問題のポイントは「確率」と「2次方程式の判別式・解と係数の関係」の融合だよ。さいころの目 $(a, b)$ を決めるたびに曲線の形が変わる、まるでゲームでキャラクターの能力値をランダムに設定するようなイメージだね。
(1) は判別式 $\Delta > 0$ という条件を $a, b$ の不等式に変換して、さいころの目で数え上げるだけ。(2) では解と係数の関係を使って傾き $m$ を $a, b$ の式で表すのが鍵。傾きの式が $m = \frac{2(b^2-a)}{3}$ とスッキリ整理できれば、あとは場合分けして数えるだけだね。「なぜこの形になるのか」を理解しておけば、類題にも必ず対応できるよ！
会話②
🧑 生徒：「(2) で2点を通る直線の傾きをどうやって求めるんですか？」
👨🏫 藤原先生：「曲線 $y = x^2 - ax$ 上の2点 $A(\alpha, \alpha^2-a\alpha)$、$B(\beta, \beta^2-a\beta)$ を使うんだ。傾きは $m = \frac{(\beta^2 - a\beta)-(\alpha^2-a\alpha)}{\beta - \alpha}$ で、分子を因数分解すると $(\beta-\alpha)(\alpha+\beta) - a(\beta-\alpha) = (\beta-\alpha)\{(\alpha+\beta)-a\}$ じゃなくて、正確には $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2-a$ になるよ。ここでヴィエタの定理（解と係数の関係）$\alpha+\beta = b$、$\alpha\beta = \frac{b^2-a}{3}$ を代入すると、$m = b^2 - \frac{b^2-a}{3} - a = \frac{2(b^2-a)}{3}$ とスッキリまとまるんだ！」
基礎をしっかり積み上げれば、こういう融合問題もちゃんと解けるようになるよ。一歩一歩進んでいこう！
【この大問で身につく力】
判別式・解と係数の関係を状況に応じて柔軟に使う代数的処理力と、場合を漏れなく数え上げる確率の数え上げ力の両方が身につく。
大問1-[2]：積分方程式と2次関数の決定（難易度★★★★☆）
【問題文】
(1) 2次関数 $f(x)$ が
をみたすとき、$f(x)$ を求めよ。
(2) 2次関数 $g(x)$ が
をみたすとき、$g(x)$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 定積分の定数化 | $\int_0^1 f(t)\,dt$ は定数（$x$ に無関係） |
| 不定積分の公式 | $\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ |
| 絶対値を含む積分 | 符号が変わる点で積分区間を分割する |
【解法ステップ（1）】
ステップ① 定積分を定数でおく
$\int_0^1 f(t)\,dt$ は $x$ を含まない定数なので、$k = \int_0^1 f(t)\,dt$（$k$ は実数）とおく。
ステップ② ①を使って $k$ の値を求める（自己参照方程式を解く）
ステップ③ それぞれの $k$ に対する $f(x)$ を確認
- $k = -2$ のとき：$f(x) = 6x^2 - (-2)^2 = 6x^2 - 4$
- $k = 1$ のとき：$f(x) = 6x^2 - 1^2 = 6x^2 - 1$
どちらも2次関数であることを確認 ✅
【解法ステップ（2）】
ステップ① 定積分を定数でおく
$I = \int_0^1 |g(t)|\,dt$（$I \geq 0$）とおく。
ステップ② $g(x) = 4x^2 - I^2$ の零点を調べる
$g(t) = 4t^2 - I^2 = (2t-I)(2t+I)$ より、$g(t) = 0$ となるのは $t = \pm\frac{I}{2}$
$I \geq 0$ なので、$t = \frac{I}{2}$ が $[0, 1]$ 内にあるかどうかで場合分けする。
【場合(i)】$\frac{I}{2} \geq 1$（すなわち $I \geq 2$）のとき
$[0, 1]$ で $g(t) = 4t^2 - I^2 \leq 0$ なので $|g(t)| = I^2 - 4t^2$
$I \geq 2$ を確認：$\frac{3+\sqrt{57}}{6} \approx \frac{3+7.55}{6} \approx 1.76 < 2$ → 不適
【場合(ii)】$0 < \frac{I}{2} \leq 1$（すなわち $0 < I \leq 2$）のとき
$[0, \frac{I}{2}]$ では $g(t) \leq 0$、$[\frac{I}{2}, 1]$ では $g(t) \geq 0$
第1項：
第2項：
よって
左辺を因数分解：$I = 1$ を代入すると $2-3-3+4 = 0$ ✅ より $(I-1)$ が因数。
$0 < I \leq 2$ の条件より：
- $I = 1$（✅ 適）
- $I = \frac{1+\sqrt{33}}{4} \approx \frac{1+5.74}{4} \approx 1.69$（✅ 適）
- $I = \frac{1-\sqrt{33}}{4} < 0$（不適）
ステップ③ 答えを整理
$I = 1$ のとき：$I^2 = 1$ → $g(x) = 4x^2 - 1$
$I = \frac{1+\sqrt{33}}{4}$ のとき：$I^2 = \frac{1+2\sqrt{33}+33}{16} = \frac{34+2\sqrt{33}}{16} = \frac{17+\sqrt{33}}{8}$
→ $g(x) = 4x^2 - \frac{17+\sqrt{33}}{8}$
【藤原先生の解説】
この問題は「積分方程式」と呼ばれるタイプで、最初は「$f(x)$ の中に $f(t)$ が入っている！どうすればいい！？」と混乱しがちだよね。でも「定積分は定数」というシンプルな事実に気づけば、一気に解けるんだ。
料理で例えると、「レシピの中に材料費が入っている式」みたいなもの。最初に「材料費 = $k$円」と変数でおいて、後で「実際に計算したら $k$ はこの値だった」と逆算する、という手順だよ。
(2) の難所は絶対値の処理。$|g(t)|$ を積分するには、$g(t)$ の符号が変わる点（今回は $t = \frac{I}{2}$）で積分区間を分割しなければならない。しかもその分割点自体が $I$（求めたい定数）に依存するから、場合分けが必要になる。これは入試でも最難関の操作の一つだよ！
会話③
🧑 生徒：「2 の絶対値の積分で、なぜ $t = \frac{I}{2}$ で場合分けするんですか？」
👨🏫 藤原先生：「$g(t) = 4t^2 - I^2 = (2t-I)(2t+I)$ だから、$t > 0$ の範囲では $2t+I > 0$ なので符号は $(2t-I)$ だけで決まるんだ。$t < \frac{I}{2}$ で $g(t) < 0$、$t > \frac{I}{2}$ で $g(t) > 0$ になる。だから絶対値を外すために $t = \frac{I}{2}$ で積分区間を分割するんだよ。これは $|x|$ を積分するときに
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