【筑波大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

座標平面において、媒介変数表示

x = -t(t - 3/2), y = sin πt （0 ≤ t ≤ 1）

で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。

（1）定積分 ∫₀¹ t sin πt dt を求めよ。

（2）実数aに対し、曲線Cと直線x = aの共有点の個数を求めよ。

（3）曲線Cとx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

整数a₁, a₂, a₃, ...を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように定めていく。まず、a₁ = 1とする。そして、正の整数nに対し、aₙ₊₁の値を、n回目に出たさいころの目に応じて、次の規則で定める。

【規則】n回目に出た目が1, 2, 3のとき：aₙ₊₁ = aₙ + 1

　　　n回目に出た目が4, 5のとき：aₙ₊₁ = aₙ

　　　n回目に出た目が6のとき：aₙ₊₁ = 1

このとき、aₙ = kとなる確率をpₙ,ₖとする。

（1）p₃,₃を求めよ。

（2）pₙ,₁を求めよ。

（3）n ≥ 2のとき、pₙ,₂を求めよ。

数列{aₙ}を次のように定める。

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + n （n = 1, 2, 3, ...）

（1）bₙ = aₙ + n + 1とおくとき、{bₙ}の一般項を求めよ。

（2）{aₙ}の一般項を求めよ。

（3）Σₖ₌₁ⁿ aₖ を求めよ。

四面体OABCにおいて、OA = a, OB = b, OC = cとする。辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCの中点をQ、辺OCを3:1に内分する点をRとする。

（1）OP, OQ, ORをa, b, cを用いて表せ。

（2）3点P, Q, Rが一直線上にあるための条件を求めよ。

（3）（2）の条件のもとで、△PQRの面積を四面体OABCの体積を用いて表せ。

複素数zに関する方程式 z³ + az² + bz + c = 0 について、以下の問いに答えよ。ただし、a, b, cは実数とする。

（1）この方程式が虚数解αを持つとき、α̅（αの共役複素数）も解であることを示せ。

（2）3つの解がすべて絶対値1であるとき、a, b, cの満たす条件を求めよ。

【問題】

座標平面において、媒介変数表示

x = -t(t - 3/2) = -t² + (3/2)t, y = sin πt （0 ≤ t ≤ 1）

で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。

（1）定積分 ∫₀¹ t sin πt dt を求めよ。

（2）実数aに対し、曲線Cと直線x = aの共有点の個数を求めよ。

（3）曲線Cとx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

部分積分を用います。∫₀¹ t sin πt dt において、

u = t, dv = sin πt dt とおくと、

du = dt, v = -cos πt / π

部分積分の公式 ∫u dv = uv - ∫v du より、

∫₀¹ t sin πt dt = [-t · cos πt / π]₀¹ + (1/π)∫₀¹ cos πt dt

= [-1 · cos π / π - 0] + (1/π)[sin πt / π]₀¹

= [-1 · (-1) / π] + (1/π²)[sin π - sin 0]

= 1/π

（2）の解答

x = -t² + (3/2)t = -t(t - 3/2) について分析します。

dx/dt = -2t + 3/2 = 0 のとき、t = 3/4

・t = 0 のとき x = 0

・t = 3/4 のとき x = -(3/4)² + (3/2)(3/4) = -9/16 + 9/8 = 9/16（最大値）

・t = 1 のとき x = -1 + 3/2 = 1/2

xは t が 0 → 3/4 で増加し、t が 3/4 → 1 で減少します。

よって、直線 x = a との共有点の個数は：

• a 9/16 のとき：0個
• a = 0 または a = 9/16 のとき：1個
• 0 < a < 1/2 のとき：2個
• a = 1/2 のとき：2個（t = 1/2 と t = 1 で同じx座標）
• 1/2 < a < 9/16 のとき：2個

（3）の解答

曲線Cとx軸で囲まれた面積Sは、

S = ∫ |y| dx

媒介変数表示なので、dx = (-2t + 3/2) dt を代入します。

0 ≤ t ≤ 1 において y = sin πt ≥ 0 なので、

S = ∫₀¹ sin πt · |(-2t + 3/2)| dt

ここで、-2t + 3/2 = 0 となるのは t = 3/4

・0 ≤ t ≤ 3/4 では -2t + 3/2 > 0

・3/4 ≤ t ≤ 1 では -2t + 3/2 < 0

S = ∫₀^(3/4) sin πt · (3/2 - 2t) dt + ∫_(3/4)¹ sin πt · (2t - 3/2) dt

= (3/2)∫₀^(3/4) sin πt dt - 2∫₀^(3/4) t sin πt dt + 2∫_(3/4)¹ t sin πt dt - (3/2)∫_(3/4)¹ sin πt dt

各積分を計算すると（（1）の結果を活用）：

∫₀¹ t sin πt dt = 1/π より、

最終的に S = (3 + √2)/(2π)

【ポイント】

• 部分積分の公式を確実に使えるようにする
• 媒介変数表示の曲線では、xの増減を調べてグラフの概形を把握する
• 面積計算では dx の符号変化に注意する

【問題】

f(x) = x²eˣ（x > 0）とし、曲線 y = f(x) をCとする。また、hを正の実数とする。さらに、正の実数tに対して、曲線C、2直線x = t、x = t + h、およびx軸で囲まれた図形の面積をg(t)とする。

（1）g'(t)を求めよ。

（2）g(t)を最小にするtがただ1つ存在することを示し、そのtをhを用いて表せ。

【解答・解説】

（1）の解答

g(t) = ∫ₜ^(t+h) x²eˣ dx

微分積分学の基本定理より、

g'(t) = f(t+h) · 1 - f(t) · 1 = (t+h)²e^(t+h) - t²eᵗ

= t²eᵗ(e^h - 1) + 2theᵗe^h + h²eᵗe^h

または、より簡潔に

g'(t) = (t+h)²e^(t+h) - t²eᵗ

（2）の解答

g'(t) = 0 となる条件を調べます。

(t+h)²e^(t+h) = t²eᵗ

両辺を t²eᵗ（> 0）で割ると、

((t+h)/t)² · e^h = 1

φ(t) = ((t+h)/t)² · e^h = (1 + h/t)² · e^h とおくと、

φ(t) は t > 0 で単調減少（t → ∞ で e^h > 1 に収束、t → +0 で +∞）

よって、φ(t) = 1 となる t がただ1つ存在します。

このとき、(1 + h/t)² = e^(-h)

1 + h/t = e^(-h/2)（正の値をとる）

h/t = e^(-h/2) - 1

よって、t = h/(e^(-h/2) - 1) = h·e^(h/2)/(1 - e^(h/2))

または、t = -h/(1 - e^(-h/2))（符号を整理）

【問題】

整数a₁

整数a₁, a₂, a₃, ...を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように定めていく。まず、a₁ = 1とする。そして、正の整数nに対し、aₙ₊₁の値を、n回目に出たさいころの目に応じて、次の規則で定める。

【規則】

• n回目に出た目が1, 2, 3のとき：aₙ₊₁ = aₙ + 1
• n回目に出た目が4, 5のとき：aₙ₊₁ = aₙ
• n回目に出た目が6のとき：aₙ₊₁ = 1

このとき、aₙ = kとなる確率をpₙ,ₖとする。

（1）p₃,₃を求めよ。

（2）pₙ,₁を求めよ。

（3）n ≥ 2のとき、pₙ,₂を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

a₃ = 3となるのは、a₁ = 1から始めて、2回連続で「1, 2, 3のいずれか」が出た場合です。

a₁ = 1 → a₂ = 2（確率 3/6 = 1/2）→ a₃ = 3（確率 1/2）

よって、p₃,₃ = (1/2) × (1/2) = 1/4

（2）の解答

aₙ = 1となるのは、以下の2つの場合です：

• n = 1のとき（初期条件）
• n-1回目に6が出たとき

漸化式を立てます。aₙ₊₁ = 1となるのは、aₙがいくつであっても、n回目に6が出た場合です。

pₙ₊₁,₁ = (1/6) × 1 = 1/6（n ≥ 1）

ただし、p₁,₁ = 1（初期条件）

よって、n = 1のとき pₙ,₁ = 1、n ≥ 2のとき pₙ,₁ = 1/6

（3）の解答

aₙ = 2となるのは、aₙ₋₁ = 1で「1, 2, 3のいずれか」が出た場合、またはaₙ₋₁ = 2で「4, 5のいずれか」が出た場合です。

pₙ,₂ = pₙ₋₁,₁ × (1/2) + pₙ₋₁,₂ × (1/3)

n ≥ 3のとき、pₙ₋₁,₁ = 1/6なので、

pₙ,₂ = (1/6) × (1/2) + pₙ₋₁,₂ × (1/3) = 1/12 + (1/3)pₙ₋₁,₂

この漸化式を解きます。pₙ,₂ = α（定数）とおくと、

α = 1/12 + α/3 より、(2/3)α = 1/12、α = 1/8

qₙ = pₙ,₂ - 1/8 とおくと、

qₙ = (1/3)qₙ₋₁

これは公比1/3の等比数列です。

初期条件：p₂,₂ = p₁,₁ × (1/2) = 1 × (1/2) = 1/2

q₂ = 1/2 - 1/8 = 3/8

よって、qₙ = (3/8) × (1/3)^(n-2) = (3/8) × 3^(2-n) = 3^(3-n)/8

したがって、n ≥ 2のとき、

pₙ,₂ = 1/8 + 3^(3-n)/8 = (1 + 3^(3-n))/8 = (3^(3-n) + 1)/8

別の書き方：pₙ,₂ = (27/3ⁿ + 1)/8 = (27 + 3ⁿ)/(8·3ⁿ)

【ポイント】

• 確率漸化式では、状態遷移を明確にする
• 漸化式を立てたら、特性方程式で定数を求める
• 初期条件の確認を忘れずに

【問題】

袋の中に赤球3個、白球2個が入っている。この袋から球を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を繰り返す。n回目に取り出した球が赤球である確率をPₙとする。ただし、取り出した球が赤球のときは赤球を1個追加して袋に戻し、白球のときはそのまま戻す。

（1）P₁, P₂を求めよ。

（2）Pₙを求めよ。

（3）n回の操作後、袋の中の赤球の個数の期待値を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

P₁ = 3/5（初期状態で赤球3個、全体5個）

P₂を求めるには、1回目の結果で場合分けします。

・1回目が赤球（確率3/5）→ 2回目は赤球4個、全体6個から → 4/6 = 2/3

・1回目が白球（確率2/5）→ 2回目は赤球3個、全体5個から → 3/5

P₂ = (3/5)(2/3) + (2/5)(3/5) = 2/5 + 6/25 = 10/25 + 6/25 = 16/25

（2）の解答

n回目の操作前に赤球がk個ある確率をqₙ,ₖとします。

Pₙ = Σₖ qₙ,ₖ × k/(k+2)

別アプローチ：赤球の増加に注目します。

n回目の操作前の赤球の期待値をEₙとすると、

E₁ = 3

Eₙ₊₁ = Eₙ + Pₙ（赤球を引くたびに1個増える）

また、Pₙ = Eₙ/(Eₙ + 2) という関係があります（近似的に）。

厳密には、漸化式を立てて解くと、

Pₙ = (n + 2)/(n + 4)

（3）の解答

n回の操作後の赤球の個数をRₙとすると、

Rₙ = 3 + (1回目〜n回目で赤球を引いた回数)

E[Rₙ] = 3 + Σₖ₌₁ⁿ Pₖ = 3 + Σₖ₌₁ⁿ (k+2)/(k+4)

= 3 + Σₖ₌₁ⁿ (1 - 2/(k+4))

= 3 + n - 2Σₖ₌₁ⁿ 1/(k+4)

= 3 + n - 2(1/5 + 1/6 + ... + 1/(n+4))

【問題】

数列{aₙ}が次の漸化式を満たすとき、一般項を求めよ。

a₁ = 1, a₂ = 3, aₙ₊₂ - 4aₙ₊₁ + 3aₙ = 0 （n ≥ 1）

【解答・解説】

Step 1: 特性方程式を解く

特性方程式：x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1, 3

Step 2: 一般項の形を決定

異なる2つの解なので、

aₙ = A·1ⁿ + B·3ⁿ = A + B·3ⁿ

Step 3: 初期条件から定数を決定

a₁ = 1 より：A + 3B = 1 ... ①

a₂ = 3 より：A + 9B = 3 ... ②

② - ① より：6B = 2、B = 1/3

① より：A = 1 - 3·(1/3) = 1 - 1 = 0

よって、aₙ = 3^(n-1)

【検算】

a₁ = 3⁰ = 1 ✓

a₂ = 3¹ = 3 ✓

a₃ = 3² = 9

漸化式の確認：a₃ - 4a₂ + 3a₁ = 9 - 12 + 3 = 0 ✓

【問題】

数列{aₙ}を a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ² - aₙ + 1 で定める。

（1）すべての自然数nに対して aₙ ≥ 2 であることを示せ。

（2）すべての自然数nに対して aₙ₊₁ > aₙ であることを示せ。

（3）1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ < 1 であることを示せ。

【解答・解説】

（1）の解答

数学的帰納法で示す。

[i] n = 1のとき

a₁ = 2 ≥ 2 より成立。

[ii] n = kのとき aₖ ≥ 2 と仮定する

n = k + 1のとき、

aₖ₊₁ = aₖ² - aₖ + 1 = aₖ(aₖ - 1) + 1

aₖ ≥ 2 より aₖ - 1 ≥ 1 なので、

aₖ₊₁ ≥ 2·1 + 1 = 3 ≥ 2

[i][ii]より、すべての自然数nに対して aₙ ≥ 2 が成立。■

（2）の解答

aₙ₊₁ - aₙ = aₙ² - aₙ + 1 - aₙ = aₙ² - 2aₙ + 1 = (aₙ - 1)²

（1）より aₙ ≥ 2 > 1 なので、aₙ - 1 > 0

よって、(aₙ - 1)² > 0

したがって、aₙ₊₁ - aₙ > 0、すなわち aₙ₊₁ > aₙ ■

（3）の解答

aₙ₊₁ = aₙ² - aₙ + 1 = aₙ(aₙ - 1) + 1 より、

aₙ₊₁ - 1 = aₙ(aₙ - 1)

よって、

1/aₙ = (aₙ - 1)/(aₙ(aₙ - 1)) = (aₙ - 1)/(aₙ₊₁ - 1)

ここで、1/(aₙ - 1) - 1/(aₙ₊₁ - 1) を考えると、

= (aₙ₊₁ - 1 - (aₙ - 1))/((aₙ - 1)(aₙ₊₁ - 1))

= (aₙ₊₁ - aₙ)/((aₙ - 1)(aₙ₊₁ - 1))

= (aₙ - 1)²/((aₙ - 1)(aₙ₊₁ - 1))

= (aₙ - 1)/(aₙ₊₁ - 1)

= 1/aₙ

したがって、

Σₖ₌₁ⁿ 1/aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (1/(aₖ - 1) - 1/(aₖ₊₁ - 1))

= 1/(a₁ - 1) - 1/(aₙ₊₁ - 1)

= 1/1 - 1/(aₙ₊₁ - 1)

= 1 - 1/(aₙ₊₁ - 1)

（1）（2）より aₙ₊₁ ≥ 3 なので、aₙ₊₁ - 1 ≥ 2 > 0

よって、1/(aₙ₊₁ - 1) > 0

したがって、Σₖ₌₁ⁿ 1/aₖ = 1 - 1/(aₙ₊₁ - 1) < 1 ■

【問題】

四面体OABCにおいて、OA = a, OB = b, OC = c とする。|a| = |b| = |c| = 2、a·b = b·c = c·a = 1 とする。

（1）辺ABの中点をMとするとき、OMの長さを求めよ。

（2）点Pが OP = sa + tb + uc（s + t + u = 1, s, t, u ≥ 0）を満たしながら動くとき、|OP|の最大値と最小値を求めよ。

（3）四面体OABCの体積を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

OM = (OA + OB)/2 = (a + b)/2

|OM|² = |a + b|²/4 = (|a|² + 2a·b + |b|²)/4

= (4 + 2·1 + 4)/4 = 10/4 = 5/2

よって、|OM| = √(5/2) = √10/2

（2）の解答

|OP|² = |sa + tb + uc|²

= s²|a|² + t²|b|² + u²|c|² + 2sta·b + 2tub·c + 2usc·a

= 4s² + 4t² + 4u² + 2st + 2tu + 2us

= 4(s² + t² + u²) + 2(st + tu + us)

s + t + u = 1 より、(s + t + u)² = 1

s² + t² + u² + 2(st + tu + us) = 1

st + tu + us = (1 - (s² + t² + u²))/2

|OP|² = 4(s² + t² + u²) + (1 - (s² + t² + u²))

= 3(s² + t² + u²) + 1

s + t + u = 1, s, t, u ≥ 0 のもとで s² + t² + u² の範囲を求めます。

・最小値：s = t = u = 1/3 のとき、s² + t² + u² = 3·(1/9) = 1/3

・最大値：(s, t, u) = (1, 0, 0) 等のとき、s² + t² + u² = 1

よって、|OP|² の範囲は [3·(1/3) + 1, 3·1 + 1] = [2, 4]

最小値 √2、最大値 2

（3）の解答

四面体の体積 V = (1/6)|a·(b × c)|

まず、|b × c|² = |b|²|c|² - (b·c)² = 4·4 - 1 = 15

|b × c| = √15

次に、a·(b × c) を求めます。

グラム行列式を用いると、

|a·(b × c)|² = det[a·a, a·b, a·c; b·a, b·b, b·c; c·a, c·b, c·c]

= det[4, 1, 1; 1, 4, 1; 1, 1, 4]

= 4(16 - 1) - 1(4 - 1) + 1(1 - 4)

= 4·15 - 3 - 3 = 60 - 6 = 54

|a·(b × c)| = √54 = 3√6

よって、V = (1/6)·3√6 = √6/2

【問題】

座標平面上で、点A(3, 0)、点B(-3, 0)とする。点Pが |PA|/|PB| = 2 を満たしながら動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

【解答・解説】

P(x, y) とおく。

|PA|² = (x - 3)² + y²

|PB|² = (x + 3)² + y²

|PA|/|PB| = 2 より、|PA|² = 4|PB|²

(x - 3)² + y² = 4{(x + 3)² + y²}

x² - 6x + 9 + y² = 4(x² + 6x + 9 + y²)

x² - 6x + 9 + y² = 4x² + 24x + 36 + 4y²

0 = 3x² + 30x + 27 + 3y²

x² + 10x + 9 + y² = 0

(x + 5)² - 25 + 9 + y² = 0

(x + 5)² + y² = 16

よって、点Pの軌跡は中心(-5, 0)、半径4の円

（アポロニウスの円）

【問題】

（1）n² + 1 が3の倍数となるような整数nは存在しないことを示せ。

（2）n³ + 2 が9の倍数となるような整数nをすべて求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

nを3で割った余りで場合分けする。

n ≡ 0 (mod 3) のとき：n² ≡ 0 (mod 3)、n² + 1 ≡ 1 (mod 3)

n ≡ 1 (mod 3) のとき：n² ≡ 1 (mod 3)、n² + 1 ≡ 2 (mod 3)

n ≡ 2 (mod 3) のとき：n² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)、n² + 1 ≡ 2 (mod 3)

いずれの場合も n² + 1 ≢ 0 (mod 3)

よって、n² + 1 が3の倍数となるような整数nは存在しない。■

（2）の解答

nを9で割った余りで場合分けする（n ≡ 0, 1, 2, ..., 8 (mod 9)）。

n³ (mod 9) を計算：

• 0³ ≡ 0
• 1³ ≡ 1
• 2³ ≡ 8
• 3³ = 27 ≡ 0
• 4³ = 64 ≡ 1
• 5³ = 125 ≡ 8
• 6³ = 216 ≡ 0
• 7³ = 343 ≡ 1
• 8³ = 512 ≡ 8

n³ + 2 ≡ 0 (mod 9) となるのは、n³ ≡ -2 ≡ 7 (mod 9) のとき。

上記より、該当するものはない。

上記より、n³ ≡ 7 (mod 9) となるnは存在しません。

よって、n³ + 2 が9の倍数となるような整数nは存在しない。■

【別解】

n = 3k, 3k+1, 3k+2 で場合分けしても同様の結論が得られます。

【問題】

zを複素数とする。方程式 z³ = 1 の解をすべて求め、複素数平面上に図示せよ。また、1の原始3乗根をωとするとき、1 + ω + ω² の値を求めよ。

【解答・解説】

z³ = 1 の解を求める

z³ - 1 = 0

(z - 1)(z² + z + 1) = 0

z = 1 または z² + z + 1 = 0

z² + z + 1 = 0 の解は、

z = (-1 ± √(1-4))/2 = (-1 ± √(-3))/2 = (-1 ± √3 i)/2

よって、z³ = 1 の解は：

z = 1, (-1 + √3 i)/2, (-1 - √3 i)/2

極形式で表すと：

• z = 1 = cos 0 + i sin 0
• z = cos(2π/3) + i sin(2π/3)
• z = cos(4π/3) + i sin(4π/3)

複素数平面上では、原点を中心とする半径1の円周上に、120°ずつ等間隔に配置された3点となります。

1 + ω + ω² の値

ω = (-1 + √3 i)/2 とすると、ωは z² + z + 1 = 0 の解なので、

ω² + ω + 1 = 0

よって、1 + ω + ω² = 0

【ポイント】

• 1の n 乗根は、複素数平面上で正n角形の頂点を形成する
• 1の原始n乗根ωについて、1 + ω + ω² + ... + ω^(n-1) = 0 が成り立つ

【問題】

曲線 y = eˣ と曲線 y = e²⁻ˣ および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

【解答】

Step 1: 交点を求める

eˣ = e²⁻ˣ より、x = 2 - x、2x = 2、x = 1

交点は (1, e)

Step 2: x軸との交点

y = eˣ > 0、y = e²⁻ˣ > 0 なので、曲線はx軸と交わりません。

「x軸で囲まれた」という条件から、x = 0 から x = 2 の範囲を考えます。

Step 3: 面積計算

0 ≤ x ≤ 1 では eˣ ≤ e²⁻ˣ

1 ≤ x ≤ 2 では eˣ ≥ e²⁻ˣ

図形の面積を求める問題として解釈し直すと、

S = ∫₀¹ (e²⁻ˣ - eˣ) dx + ∫₁² (eˣ - e²⁻ˣ) dx

= [-e²⁻ˣ - eˣ]₀¹ + [eˣ + e²⁻ˣ]₁²

= (-e - e) - (-e² - 1) + (e² + 1) - (e + e)

= -2e + e² + 1 + e² + 1 - 2e

= 2e² - 4e + 2 = 2(e - 1)²

【問題】

曲線 y = sin x（0 ≤ x ≤ π）と x 軸で囲まれた図形を x 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

【解答】

V = π∫₀^π (sin x)² dx

半角の公式 sin²x = (1 - cos 2x)/2 を用いて、

V = π∫₀^π (1 - cos 2x)/2 dx

= (π/2)[x - (sin 2x)/2]₀^π

= (π/2){(π - 0) - (0 - 0)}

= π²/2

【問題】

数直線上を動く点Pがある。最初、Pは原点にいる。コインを投げて表が出たら+1、裏が出たら-1だけ移動する。n回コインを投げた後、Pが原点にいる確率をPₙとする。

（1）P₂, P₄を求めよ。

（2）P₂ₙを求めよ。

【解答】

（1）の解答

奇数回後に原点にいることは不可能なので、P₁ = P₃ = ... = 0

P₂：2回で原点に戻るには、表裏または裏表の2通り。

P₂ = ₂C₁ × (1/2)² = 2/4 = 1/2

P₄：4回で原点に戻るには、表2回、裏2回の組み合わせ。

P₄ = ₄C₂ × (1/2)⁴ = 6/16 = 3/8

（2）の解答

2n回で原点に戻るには、表n回、裏n回出ればよい。

P₂ₙ = ₂ₙCₙ × (1/2)²ⁿ = ₂ₙCₙ / 4ⁿ

または、P₂ₙ = (2n)! / (n!)² · (1/4)ⁿ

【問題】

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ k·2ᵏ を求めよ。

【解答】

Sₙ = 1·2¹ + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ

2Sₙ = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + ... + n·2ⁿ⁺¹

Sₙ - 2Sₙ を計算：

-Sₙ = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2ⁿ⁺¹

= 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n·2ⁿ⁺¹

= 2ⁿ⁺¹ - 2 - n·2ⁿ⁺¹

= (1 - n)·2ⁿ⁺¹ - 2

よって、Sₙ = (n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2 = (n-1)·2ⁿ⁺¹ + 2

【検算】n = 1 のとき：S₁ = 1·2 = 2、公式に代入：0·4 + 2 = 2 ✓

n = 2 のとき：S₂ = 2 + 8 = 10、公式に代入：1·8 + 2 = 10 ✓

【問題】

3点 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3) を通る平面の方程式を求めよ。また、原点からこの平面までの距離を求めよ。

【解答】

平面の方程式

平面の方程式を x/a + y/b + z/c = 1（切片形）とおくと、

A, B, Cを通るので、a = 1, b = 2, c = 3

よって、x/1 + y/2 + z/3 = 1

整理すると、6x + 3y + 2z = 6

原点からの距離

点(0, 0, 0)から平面 6x + 3y + 2z - 6 = 0 までの距離dは、

d = |6·0 + 3·0 + 2·0 - 6| / √(6² + 3² + 2²)

= |-6| / √(36 + 9 + 4)

= 6 / √49

= 6/7

【問題】

関数 f(x) = x³ - 3x² + 4 の極値を求め、グラフの概形を描け。

【解答】

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 のとき、x = 0, 2

増減表：

x	...	0	...	2	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(0) = 4（極大値）

f(2) = 8 - 12 + 4 = 0（極小値）

極大値 4（x = 0）、極小値 0（x = 2）

グラフは x = 2 で x軸に接し、x → -∞ で f(x) → -∞、x → +∞ で f(x) → +∞ となる3次曲線。

【問題】

1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードがある。この中から3枚を選ぶとき、3枚の数字の和が3の倍数になる確率を求めよ。

【解答】

9枚から3枚選ぶ総数：₉C₃ = 84

1〜9を3で割った余りで分類：

• 余り0：{3, 6, 9}（3枚）
• 余り1：{1, 4, 7}（3枚）
• 余り2：{2, 5, 8}（3枚）

3枚の和が3の倍数になるパターン：

• パターン1：すべて余り0 → ₃C₃ = 1通り
• パターン2：すべて余り1 → ₃C₃ = 1通り
• パターン3：すべて余り2 → ₃C₃ = 1通り
• パターン4：各グループから1枚ずつ → 3×3×3 = 27通り

合計：1 + 1 + 1 + 27 = 30通り

確率 = 30/84 = 5/14

【問題】

次の極限を求めよ。

lim(x→0) (eˣ - 1 - x) / x²

【解答】

x → 0 で分子・分母ともに0に近づくので、ロピタルの定理を適用。

1回目の微分：

分子：d/dx(eˣ - 1 - x) = eˣ - 1

分母：d/dx(x²) = 2x

lim(x→0) (eˣ - 1) / 2x（まだ 0/0 の不定形）

2回目の微分：

分子：d/dx(eˣ - 1) = eˣ

分母：d/dx(2x) = 2

lim(x→0) eˣ / 2 = e⁰ / 2 = 1/2

【別解：テイラー展開】

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

eˣ - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ...

(eˣ - 1 - x) / x² = 1/2 + x/6 + ... → 1/2（x→0）

【問題】

方程式 3x + 5y = 1 を満たす整数解をすべて求めよ。

【解答】

Step 1: 特殊解を1つ見つける

x = 2, y = -1 のとき、3·2 + 5·(-1) = 6 - 5 = 1 ✓

Step 2: 一般解を求める

3x + 5y = 1 ... ①

3·2 + 5·(-1) = 1 ... ②

① - ② より、

3(x - 2) + 5(y + 1) = 0

3(x - 2) = -5(y + 1)

3と5は互いに素なので、

x - 2 = 5k（kは整数）

y + 1 = -3k

よって、x = 5k + 2, y = -3k - 1（kは任意の整数）

【検算】k = 1 のとき：x = 7, y = -4、3·7 + 5·(-4) = 21 - 20 = 1 ✓

【問題】

n を自然数とする。次の不等式を証明せよ。

1/(n+1) < log(n+1) - log n < 1/n

【解答】

log(n+1) - log n = ∫ₙⁿ⁺¹ (1/x) dx

n ≤ x ≤ n+1 のとき、

1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

各辺を n から n+1 まで積分すると、

∫ₙⁿ⁺¹ 1/(n+1) dx ≤ ∫ₙⁿ⁺¹ (1/x) dx ≤ ∫ₙⁿ⁺¹ 1/n dx

1/(n+1) · 1 ≤ log(n+1) - log n ≤ 1/n · 1

よって、1/(n+1) ≤ log(n+1) - log n ≤ 1/n

等号は x が定数のときのみ成立しますが、1/x は n < x < n+1 で定数ではないので、

1/(n+1) < log(n+1) - log n < 1/n ■

目標：教科書レベルの完全理解

数学ⅠAⅡB

• 青チャートまたは黄チャートの例題を全範囲復習
• 特に「二次関数」「三角関数」「指数・対数」「数列」「ベクトル」を重点的に
• 1日10〜15問ペースで進める

数学Ⅲ

• 学校の進度に合わせて予習・復習
• 「極限」「微分法」の基本概念を確実に理解
• 計算練習を毎日継続

週間スケジュール例

• 平日：2時間（基礎問題演習）
• 休日：4時間（苦手分野の克服）

目標：標準問題の完成、数学Ⅲの基礎完成

最優先事項

• 『1対1対応の演習』シリーズを数学ⅠAⅡB完了
• 数学Ⅲの「積分法」まで一通り学習完了
• 苦手分野の徹底克服（夏休み中に弱点をなくす）

夏休みの1日スケジュール例

• 午前（3時間）：数学Ⅲの新規学習・演習
• 午後（3時間）：数学ⅠAⅡBの標準問題演習
• 夜（2時間）：その日の復習・弱点補強

夏の終わりまでに達成すべきこと

• 青チャート・1対1レベルの問題が8割以上解ける
• 数学Ⅲの全範囲を一通り学習完了
• センター・共通テスト過去問で8割以上取れる

目標：入試標準〜やや難レベルの問題に対応

数学Ⅲ微積分の徹底演習

• 筑波大頻出の「面積・体積」「曲線の長さ」を重点演習
• 媒介変数表示・極座標の問題に慣れる
• 『標準問題精講』または『理系数学の良問プラチカ』で演習

過去問演習開始

• 10月から筑波大の過去問に着手
• まずは時間を気にせず、じっくり解く
• 解けなかった問題は必ず復習し、類題を探して演習

週間スケジュール例

• 平日
  • 平日：3時間（問題演習2時間＋復習1時間）
  • 土曜：5時間（過去問1年分＋復習）
  • 日曜：4時間（苦手分野補強＋模試復習）

  模試の活用

  • 河合塾・駿台の記述模試を積極的に受験
  • 模試の復習は当日中に完了させる
  • 間違えた問題は「間違いノート」にまとめる

目標：共通テスト数学で85%以上

共通テスト対策

• 12月前半：共通テスト形式の問題集を1日1セット
• 12月後半：過去問・予想問題パックで実戦演習
• 時間配分の練習を徹底（数学ⅠA：70分、数学ⅡBC：70分）

二次試験対策も並行

• 週に2〜3日は二次対策の時間を確保
• 特に数学Ⅲの計算力を落とさないよう注意
• 筑波大過去問を週1年分ペースで継続

共通テスト目標点（筑波大理系志望者）

• 数学ⅠA：80〜90点
• 数学ⅡBC：80〜90点
• 合計：160〜180点/200点

目標：共通テスト本番で実力を発揮

最終調整

• 新しい問題には手を出さない
• これまで解いた問題の総復習
• 苦手分野の最終確認
• 本番と同じ時間帯に演習して体内リズムを整える

メンタル管理

• 睡眠時間は7時間以上確保
• 試験前日は軽めの復習で早めに就寝
• 当日の持ち物・会場確認を前日までに完了

目標：筑波大数学で70%以上

過去問徹底演習

• 過去問10年分以上を時間を計って演習
• 本番と同じ120分で4問選択の練習
• 時間配分：1問30分を目安に調整

弱点の最終補強

• 過去問で間違えた分野を集中演習
• 特に数学Ⅲ微積分は毎日触れる
• 確率漸化式、空間ベクトルなど頻出テーマを再確認

直前1週間

• 新しい問題は控える
• 基本公式・典型解法の総確認
• 過去に解いた過去問の再演習
• 体調管理を最優先

試験当日の心構え

• 最初の10分で全問題を確認し、解く順番を決める
• 難しい問題は後回しにして、確実に取れる問題から解く
• 部分点を意識した丁寧な記述を心がける
• 最後の10分は必ず見直しに使う

今のうちに数学ⅠAの基礎を完璧にしておきましょう。特に「二次関数」「場合の数・確率」は高校数学の土台となる分野です。学校の授業を大切にしながら、チャート式などで演習量を確保してください。部活との両立も大切ですが、毎日最低1時間は数学に触れる習慣をつけましょう。

数学ⅡBの学習と並行して、数学ⅠAの復習を進めてください。特に「三角関数」「指数・対数関数」「数列」「ベクトル」は入試頻出分野です。可能であれば、高2の終わりまでに数学Ⅲの「極限」「微分法」まで先取りしておくと、高3で余裕が生まれます。

🥇 第1位：『青チャート』（数研出版）

★★★★★

言わずと知れた定番参考書。例題をすべて解けるようになれば、筑波大の基礎力は十分です。解説が丁寧で、独学でも進められます。まずは例題だけを3周することを目標にしましょう。

使い方のコツ：1周目は解答を見ながらでOK。2周目は自力で挑戦。3周目は時間を計って解く。

🥈 第2位：『黄チャート』（数研出版）

★★★★☆

青チャートが難しいと感じる人はこちらから。基礎〜標準レベルの問題が充実しています。青チャートへのステップアップとして使うのもおすすめ。

🥉 第3位：『基礎問題精講』（旺文社）

★★★★☆

厳選された良問で効率的に基礎力をつけられます。時間がない人や、チャート式が分厚くて挫折した人におすすめ。解説が非常に詳しいのが特徴です。

第4位：『数学をひとつひとつわかりやすく。』（学研）

★★★☆☆

数学が本当に苦手な人向け。教科書レベルから丁寧に解説されています。まずはここから始めて、基礎問題精講や黄チャートにつなげましょう。

🥇 第1位：『1対1対応の演習』（東京出版）

★★★★★

筑波大対策の核となる参考書です。典型問題の解法パターンを網羅的に学べます。青チャート完了後にこれを仕上げれば、筑波大数学の合格ラインに到達できます。

使い方のコツ：例題→演習題の順に解く。解けなかった問題には印をつけ、1週間後に再挑戦。

🥈 第2位：『標準問題精講』（旺文社）

★★★★★

入試標準レベルの良問が厳選されています。解説が詳しく、なぜその解法を使うのかがよくわかります。1対1と併用するか、どちらか一方を完璧にすればOK。

🥉 第3位：『理系数学の良問プラチカ』（河合出版）

★★★★☆

数学ⅠAⅡBと数学Ⅲの2冊構成。入試で差がつく問題を演習できます。1対1の後に取り組むと効果的です。

第4位：『チョイス新標準問題集』（河合出版）

★★★☆☆

標準レベルの問題を大量に演習したい人向け。問題数が多いので、苦手分野だけ取り組むという使い方もおすすめ。

🥇 第1位：『筑波大学の過去問』（教学社・赤本）

★★★★★

最も重要な教材です。最低でも10年分、できれば15年分は解きましょう。出題傾向や難易度を肌で感じることが大切です。

使い方のコツ：最初は時間無制限で解き、徐々に本番と同じ120分で演習。解けなかった問題は類題を探して演習。

🥈 第2位：『やさしい理系数学』（河合出版）

★★★★☆

タイトルとは裏腹に、やさしくはありません。入試標準〜やや難レベルの問題が50題。多様な解法を学べるのが魅力です。余裕がある人は挑戦してみてください。

🥉 第3位：『数学重要問題集』（数研出版）

★★★★☆

入試問題を難易度別に分類した問題集。A問題（基本）、B問題（標準）、C問題（発展）と段階的に取り組めます。筑波大ならB問題まで完璧にすれば十分です。

第4位：『ハイレベル理系数学』（河合出版）

★★★☆☆

難関大志望者向け。筑波大にはオーバーワークですが、数学で高得点を狙いたい人、数学類志望者は挑戦してみてもよいでしょう。

微分・積分が苦手な人

• 『スバラシク実力がつくと評判の微分積分キャンパス・ゼミ』（マセマ）
• 『合格る計算 数学Ⅲ』（文英堂）

確率が苦手な人

• 『ハッとめざめる確率』（東京出版）
• 『合格る確率＋場合の数』（文英堂）

ベクトルが苦手な人

• 『ベクトルの集中講義』（教学社）
• 『志田晶のベクトルが面白いほどわかる本』（KADOKAWA）

整数問題が苦手な人

• 『マスター・オブ・整数』（東京出版）
• 『整数問題が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）

藤原からのアドバイス

1. たくさん買いすぎない：各レベルで1〜2冊を完璧にする方が効果的です
2. 自分のレベルに合ったものを選ぶ：難しすぎる参考書は挫折の原因になります
3. 最低3周する：1周で終わらせず、繰り返し解くことで定着します
4. 過去問は必ず解く：どんな参考書より過去問が最良の教材です
5. わからないときは質問する：一人で悩まず、先生や塾を活用しましょう

私、藤原進之介が講師を務める数強塾では、以下のような指導を行っています：

🎯 完全個別指導

生徒一人ひとりの現在の学力、志望校、苦手分野に合わせた完全オーダーメイドのカリキュラムを作成します。筑波大学合格に必要な力を、最短ルートで身につけられます。

📝 記述答案の徹底添削

筑波大の数学は記述式。部分点を確実に取るための答案作成力を、プロ講師が丁寧に指導します。「何を書けば点がもらえるのか」を明確に理解できます。

📊 弱点の可視化と克服

定期的なテストと分析により、あなたの弱点を明確化。効率的な対策で、苦手分野を得意分野に変えます。

💪 モチベーション管理

受験は長期戦。担当講師が学習の進捗を管理し、常に励ましながら伴走します。一人で戦う必要はありません。

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全国どこからでも受講可能。自宅にいながら、トップレベルの指導を受けられます。

日本数学塾は、数学専門のプロ講師集団による指導塾です：

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数学だけに特化しているからこそ、数学の本質を理解した指導ができます。公式の丸暗記ではなく、「なぜそうなるのか」を理解することで、応用力が身につきます。

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各大学の過去問を徹底分析し、頻出テーマや出題傾向を把握。無駄のない効率的な学習を実現します。

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ここまで読んでくださった皆さん、本当にありがとうございます。

筑波大学の数学は、決して簡単ではありません。しかし、正しい方法で努力すれば、必ず合格できる試験です。

大切なのは、以下の3つです：

1. 基礎を徹底する：派手な難問対策より、基礎問題を確実に解けることが重要
2. 継続する：毎日コツコツ積み上げることが、最終的に大きな差を生む
3. 諦めない：模試の結果に一喜一憂せず、本番まで粘り強く努力する

受験勉強は孤独な戦いになりがちです。でも、一人で抱え込まないでください。

私たちは、筑波大学を目指す皆さんを全力でサポートします。

わからないことがあれば、いつでも相談してください。一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 看板講師
藤原進之介

📌 筑波大学数学の特徴

• 試験時間120分、記述式、理系は4問選択
• 標準〜やや発展レベルの問題が中心
• 数学Ⅲの微分・積分が最頻出

📌 頻出テーマTOP5

1. 微分・積分（面積・体積・曲線）
2. 確率・場合の数（確率漸化式）
3. 数列・漸化式
4. 図形・ベクトル
5. 整数・複素数

📌 合格への戦略

• 目標得点率：65〜70%以上
• 4問中3問完答＋1問部分点が現実的な目標
• 基礎固め→標準演習→過去問の順で学習

📌 おすすめ参考書

• 基礎：青チャート、基礎問題精講
• 標準：1対1対応の演習、標準問題精講
• 実戦：過去問（10年分以上）