【類題1】関数の凸性と不等式（第1問対応）

問題：

関数 f(x) = e^x について、以下の問いに答えよ。

1. 任意の実数 a, b に対して、f((a+b)/2) ≤ (f(a) + f(b))/2 が成り立つことを示せ。
2. 正の実数 x₁, x₂, ..., xₙ に対して、(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n ≥ ⁿ√(x₁x₂...xₙ) が成り立つことを、(1)の結果を用いて示せ。

【類題1 解答】

(1) の解答：

f(x) = e^x について、f''(x) = e^x > 0 なので f は下に凸。

凸関数の定義より、任意の a, b と t ∈ [0, 1] に対して

f(ta + (1-t)b) ≤ tf(a) + (1-t)f(b)

t = 1/2 を代入すると

f((a+b)/2) ≤ (f(a) + f(b))/2

よって示された。

(2) の解答：

xᵢ > 0 に対し、yᵢ = log xᵢ とおく。(1)より

e^((y₁+y₂+...+yₙ)/n) ≤ (e^(y₁) + e^(y₂) + ... + e^(yₙ))/n

左辺 = e^(log(x₁x₂...xₙ)/n) = ⁿ√(x₁x₂...xₙ)

右辺 = (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n

よって (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n ≥ ⁿ√(x₁x₂...xₙ)（相加相乗平均の不等式）が示された。

【類題2】整数の平方差（第2問対応）

問題：

正の整数 a, b が a > b を満たすとする。

1. a² - b² = 100 を満たす正の整数の組 (a, b) をすべて求めよ。
2. p を奇素数とする。a² - b² = p² を満たす正の整数の組 (a, b) をすべて求めよ。
3. a² - b² = 2025 を満たす正の整数の組 (a, b) の個数を求めよ。

【類題2 解答】

(1) の解答：

a² - b² = (a+b)(a-b) = 100 = 2² × 5²

a + b = s, a - b = t とおくと、st = 100, s > t > 0, s と t は同じ偶奇。

100 の約数のペア (s, t) で両方偶数のもの：

• (50, 2): a = 26, b = 24 ✓
• (10, 10): s > t を満たさない ✗

両方奇数のペアはない（100 = 偶数なので、s, t が両方奇数だと積は奇数になり矛盾）

答：(a, b) = (26, 24)

(2) の解答：

(a+b)(a-b) = p²。p² の約数は 1, p, p²。

(s, t) = (p², 1) のとき：s, t は両方奇数（p は奇素数より p² も奇数）
a = (p² + 1)/2, b = (p² - 1)/2

(s, t) = (p, p) のとき：s > t を満たさない ✗

答：(a, b) = ((p² + 1)/2, (p² - 1)/2)

(3) の解答：

2025 = 81 × 25 = 3⁴ × 5² の約数は (4+1)(2+1) = 15 個。

約数のペア (s, t) で s > t となるものは (15-1)/2 = 7 組。

2025 は奇数なので、すべての約数は奇数。よってすべてのペアで s, t は同じ偶奇（奇数）。

7組すべてが条件を満たす。

答：7組

【類題3】回転体の体積（第3問対応）

問題：

xy 平面上で、点 A(2, 0) を中心とする半径 1 の円を C とする。C を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

【類題3 解答】

円 C の方程式は (x - 2)² + y² = 1、すなわち -1 ≤ y ≤ 1。

高さ y における断面を考える。x 座標は 2 - √(1 - y²) ≤ x ≤ 2 + √(1 - y²) の範囲。

y 軸周りの回転体の断面積 S(y) は、外円の面積から内円の面積を引いたもの：

S(y) = π(2 + √(1 - y²))² - π(2 - √(1 - y²))²

= π × 4 × 2√(1 - y²) × 2 = 8π√(1 - y²)

（展開すると (a+b)² - (a-b)² = 4ab を利用）

体積 V は：

V = ∫₋₁¹ S(y) dy = ∫₋₁¹ 8π√(1 - y²) dy

∫₋₁¹ √(1 - y²) dy は半径1の半円の面積なので π/2。

V = 8π × (π/2) = 4π²

【別解：パップス・ギュルダンの定理】
円板の面積 S = π × 1² = π
重心の y 軸からの距離 = 2
回転体の体積 V = S × 2π × 2 = 4π²

答：V = 4π²

【類題4】操作を伴う確率（第4問対応）

問題：

4枚のカードに 1, 2, 3, 4 の数字が1つずつ書かれている。最初、カードは 1, 2, 3, 4 の順に並んでいる。以下の操作を繰り返す。

【操作】サイコロを振り、1か2が出たら隣り合う2枚を入れ替える位置を左から順に選ぶ（1-2, 2-3, 3-4のいずれか）。3〜6が出たら何もしない。

1. 2回の操作後、カードが 2, 1, 3, 4 の順になっている確率を求めよ。
2. n回の操作後、元の順序 1, 2, 3, 4 に戻っている確率 Pₙ を求めよ。

【類題4 解答】

(1) の解答：

1回の操作で：

• 確率 1/3 で 1-2 を入れ替え
• 確率 1/3 で 2-3 を入れ替え
• 確率 1/3 で 3-4 を入れ替え

（1, 2 が出る確率 1/3 × 位置選択は等確率と仮定）

ただし問題文の解釈によりますが、サイコロで1,2が出た場合に入れ替え位置を選ぶなら：

• 1,2が出る確率 = 2/6 = 1/3
• 入れ替え位置は3箇所から1つ選ぶ（各1/3）
• 各入れ替えの確率 = 1/3 × 1/3 = 1/9
• 何もしない確率 = 2/3

2, 1, 3, 4 になるには、1-2 の入れ替えが奇数回起きればよい。

2回の操作で 1-2 入れ替えがちょうど1回起きる確率：

= 2 × (1/9) × (1 - 1/9) = 2 × (1/9) × (8/9) = 16/81

答：16/81（問題設定の解釈による）

(2) の解答：

状態を「転倒数」で分類する。転倒数とは、i aⱼ となるペアの数。

• 1,2,3,4 → 転倒数 0
• 2,1,3,4 → 転倒数 1

隣接入れ替えは転倒数を ±1 変化させる。

Pₙ を「n回後に転倒数0である確率」とすると、転倒数の偶奇と状態遷移から漸化式を立てる。

詳細な計算は省略するが、対称性と漸化式から一般項が求まる。

【類題5】総合問題（名大スタイル）

問題：

関数 f(x) = x - sin x について、以下の問いに答えよ。

1. x > 0 のとき f(x) > 0 であることを示せ。
2. 曲線 y = sin x (0 ≤ x ≤ π) と x 軸で囲まれた部分を、x 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
3. ∫₀^π x sin x dx を求めよ。

【類題5 解答】

(1) の解答：

f(x) = x - sin x とおく。f(0) = 0。

f'(x) = 1 - cos x ≥ 0（等号は x = 0, 2π, 4π, ... のとき）

よって f(x) は単調増加。x > 0 のとき f(x) > f(0) = 0。

証明終

(2) の解答：

V = ∫₀^π π(sin x)² dx = π ∫₀^π sin²x dx

sin²x = (1 - cos 2x)/2 より

V = π ∫₀^π (1 - cos 2x)/2 dx = (π/2)[x - (sin 2x)/2]₀^π = (π/2) × π = π²/2

答：V = π²/2

(3) の解答：

部分積分を用いる。

∫₀^π x sin x dx = [-x cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx

= (-π × (-1) - 0) + [sin x]₀^π = π + 0 = π

答：π

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出題傾向

• 関数の増減・極値・凸性に関する証明問題
• 面積・体積の計算（回転体含む）
• パラメータを含む関数の解析
• 不等式の証明への応用

対策のポイント

1. 微分計算を正確に素早く：合成関数、積・商の微分を確実に
2. 増減表を丁寧に書く習慣：答案で減点されないために
3. 積分計算のパターン習得：置換積分、部分積分の使い分け
4. 回転体の公式を両方マスター：x軸回転・y軸回転それぞれ

おすすめ問題集

• 『数学Ⅲ 重要問題集』（数研出版）
• 『理系数学 入試の核心 標準編』（Z会）
• 『名古屋大学 数学過去問25ヵ年』

出題傾向

• 漸化式を用いる確率
• 条件付き確率
• ゲーム・操作を題材にした問題
• 期待値の計算

対策のポイント

1. 状態遷移図を描く習慣：複雑な問題も整理できる
2. 漸化式の立式パターンを習得：n回目とn+1回目の関係を考える
3. 対称性の活用：状態の分類を減らす
4. 小さい n で検算：n=1, 2, 3 などで答えが合うか確認

おすすめ問題集

• 『ハッとめざめる確率』（東京出版）
• 『合格る確率＋場合の数』（文英堂）
• 『大学への数学 1対1対応の演習』確率分野

出題傾向

• 因数分解を利用した整数方程式
• mod（剰余）による分類
• 数学的帰納法による証明
• 素因数分解の活用

対策のポイント

1. 因数分解の発想を磨く：a² - b² = (a+b)(a-b) など基本形を徹底
2. mod 計算に習熟：mod 2, mod 3, mod 4 などで分類
3. 不定方程式の解法パターン：ユークリッドの互除法など
4. 具体例から一般化：小さい数で実験してパターンを見つける

おすすめ問題集

• 『マスター・オブ・整数』（東京出版）
• 『整数問題が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
• 『大学への数学 整数分野別演習』

出題傾向

• 空間における直線・平面の方程式
• 内積を利用した角度・距離の計算
• 空間座標と積分の融合
• 四面体の体積

対策のポイント

1. 座標設定の工夫：計算が楽になる座標系を選ぶ
2. 内積・外積の公式を確実に：成分計算をミスしない
3. 図を正確に描く訓練：空間把握力を養う
4. 対称性の活用：計算量を減らす

おすすめ問題集

• 『ベクトル〈平面・空間〉が面白いほどわかる本』
• 『数学C 重要問題集』（数研出版）
• 『理系数学の良問プラチカ』ベクトル分野

出題傾向

• 複雑な漸化式の解法
• 数学的帰納法による証明
• Σ計算と極限
• 格子点の個数など組合せとの融合

対策のポイント

1. 漸化式のパターンを網羅：等差・等比・階差・特性方程式型など
2. 数学的帰納法の書き方を練習：減点されない答案を
3. Σ計算の公式を暗記：Σk, Σk², Σk³, Σr^k など
4. 隣接3項間漸化式の解法：特性方程式を使いこなす

おすすめ問題集

• 『数列が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
• 『1対1対応の演習 数学B』数列分野
• 『標準問題精講 数学ⅡB』

目標得点：75〜85%（4問中3完＋部分点多数）

医学部医学科は最も高い数学力が求められます。4問中3問は完答が必要で、残り1問も半分以上の部分点が欲しいところです。

特別な対策ポイント

• 計算ミスを絶対にしない訓練（検算の徹底）
• 時間内に全問に手をつける練習
• 難問でも部分点を取る技術
• 医学部特有の問題（データ分析など）への対応

目標得点：60〜75%（4問中2完〜3完）

理工系学部では、数学は重要な選抜科目です。特に理学部数理学科を目指す場合は、医学科と同等以上の得点が期待されます。

特別な対策ポイント

• 微分積分の計算力を徹底強化
• 空間図形の問題に慣れる
• 物理との関連（微分方程式的思考）を意識
• 証明問題の論理構成を練習

目標得点：55〜65%（4問中2完程度）

これらの学部では、数学で大きく差をつける必要はありませんが、足を引っ張らないレベルは必須です。

特別な対策ポイント

• 基本〜標準問題を確実に得点
• 難問は(1)だけ取って次へ進む戦略
• 他科目（理科・英語）とのバランスを考慮
• 共通テストでの高得点も重要

1. 基礎を完璧に：教科書レベルの公式・定理を穴なく習得
2. 典型問題をパターン化：「見た瞬間に解法が浮かぶ」レベルまで演習
3. 記述答案の書き方を学ぶ：採点者が読みやすい答案を心がける
4. 計算力を鍛える：ミスなく速く計算できる力は必須
5. 過去問で傾向を把握：最低10年分は解く
6. 時間配分を練習：本番と同じ150分で演習
7. プロの指導を受ける：独学では気づけない弱点を克服