試験概要・全体講評（難易度・時間・特徴）

試験基本情報

2025年度の難易度評価

2025年度の九州大学理系数学は、近年で最も易しい年度と断言できます。予備校各社の分析でも「易化」という評価が一致しており、受験生からも「簡単すぎて逆に不安になった」という声が多数寄せられました。

全体講評

今年度の九州大学理系数学について、私・藤原進之介の総評を述べます。

「正しく勉強した人が頭を悩ます問題がほぼない、かつ計算量も少ない、かつこの難易度で1問あたり30分使える」という状況でした。つまり、ひたすらにミスとの勝負のテストだったのです。

数学が得意な受験生にとっては、「差をつけにくい」という意味で厳しい試験だったかもしれません。逆に、数学に苦手意識がある受験生にとっては、基本をしっかり押さえていれば高得点を狙えるチャンスでした。

今年度の特徴

• 計算量の軽減：例年の九大数学と比較して、煩雑な計算が大幅に減少
• 典型問題の出題：教科書レベル〜入試標準レベルの問題が中心
• 融合問題の減少：単元をまたぐ複合的な思考を要する問題が少ない
• 新課程の影響：新課程初年度ということもあり、出題者側も慎重になった可能性

合格目標点

学部・学科によって異なりますが、以下が目安です：

• 工学部：75〜80%（187〜200点/250点）
• 理学部：80〜85%（240〜255点/300点）
• 医学部医学科：85〜90%（255〜270点/300点）

例年より高い得点率が必要だったことは間違いありません。計算ミス一つが致命的になる試験でした。

大問1：空間ベクトル（平面の方程式・垂線の足）

問題のテーマ

空間における3点を通る平面の方程式を求め、その平面に外部の点から下ろした垂線の足を求める問題です。さらに、パラメータを含む点が動くときの軌跡についても問われました。

問題の概要

解法のアプローチ

Step 1：平面の方程式の導出

平面の方程式の一般形は ax + by + cz + d = 0 です。文字を減らすために、例えば a = 1 として簡略化するのが定石です。

3点A, B, Cの座標を代入して連立方程式を解くことで、平面の方程式を決定します。

Step 2：法線ベクトルの特定

平面 ax + by + cz + d = 0 の法線ベクトルは、係数を並べた n⃗ = (a, b, c) です。これは平面の方程式が決まれば自動的に求まります。

Step 3：垂線の足の座標

点Pから平面αへ下ろした垂線の足Hは、次の手順で求めます：

1. 点Pを通り、法線ベクトルを方向ベクトルとする直線のベクトル方程式を立てる
2. この直線と平面αの交点を求める（連立方程式を解く）

詳細解説

(1) 平面αの方程式と法線ベクトル

3点A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃)を通る平面を求めます。

平面の方程式を x + py + qz + r = 0 と置くと（係数を1に正規化）、3点を代入して：

    x₁ + py₁ + qz₁ + r = 0
    x₂ + py₂ + qz₂ + r = 0
    x₃ + py₃ + qz₃ + r = 0
    

この3元連立方程式を解いて p, q, r を決定します。

平面の方程式が x + py + qz + r = 0 と決まれば、法線ベクトル n⃗ = (1, p, q) が直ちに得られます。

(2) 点Qの座標の導出

点P(a, b, t)から平面αへの垂線の足Hを求めます。

点Pを通り法線ベクトル n⃗ を方向ベクトルとする直線のパラメータ表示：

    x = a + s
    y = b + ps
    z = t + qs
    

（s はパラメータ）

この直線が平面 x + py + qz + r = 0 と交わる点がHなので：

    (a + s) + p(b + ps) + q(t + qs) + r = 0
    a + s + pb + p²s + qt + q²s + r = 0
    (1 + p² + q²)s = -(a + pb + qt + r)
    s = -(a + pb + qt + r)/(1 + p² + q²)
    

このsをHの座標に代入し、さらにQはHのz座標を0にした点なので、Q = (Hのx座標, Hのy座標, 0)となります。

(3) OQの最小値の条件

tが変化するとき、点Qはxy平面上を動きます。Qの軌跡を調べ、原点Oからの距離OQが最小となる点を求めます。

OQ² = (Qのx座標)² + (Qのy座標)² をtの関数として表し、これを微分または平方完成してtで最小化します。

最小値が1以下となる条件を a, b の不等式として導出して完成です。

この問題のポイント

• 平面の方程式と法線ベクトルの関係を即座に使えること
• ベクトル方程式と成分表示の両方を使い分けられること
• 軌跡の問題ではパラメータ消去または直接最小化の判断

類題・練習のポイント

空間ベクトルでは以下のパターンを確実に押さえておきましょう：

• 2つのベクトルに垂直なベクトル（外積の利用）
• 点と平面の距離公式
• 直線と平面の交点
• 正射影ベクトル

大問2：定積分の計算（三角関数・置換積分）

問題のテーマ

三角関数を含む定積分の計算問題です。(1)で誘導をつけ、(2)でその結果を利用する構成になっています。

問題の概要

解法のアプローチ

(1)の解法

これは教科書レベルの基本問題です。三角関数の相互関係を使います。

1 + tan²x = 1/cos²x = sec²x

また、(tan x)' = 1/cos²x = sec²x であることから：

    ∫₀^(π/4) (1 + tan²x) dx = ∫₀^(π/4) sec²x dx
                            = [tan x]₀^(π/4)
                            = tan(π/4) - tan(0)
                            = 1 - 0
                            = 1
    

(2)の解法

被積分関数が tan x だらけで複雑に見えますが、置換積分で見通しよく計算できます。

tan x = y と置換します。

• x = 0 のとき y = 0
• x = π/4 のとき y = 1
• dx = 1/(1 + y²) · dy（逆関数の微分より）

しかし、ここで(1)の結果を活用する方が計算が楽です。

詳細解説

(2)の詳細計算

まず、分子を整理します：

    tan⁴x - tan²x - 2 = (tan²x - 2)(tan²x + 1)
    

（因数分解できることを確認）

よって被積分関数は：

    (tan⁴x - tan²x - 2)/(tan²x - 4) = (tan²x - 2)(tan²x + 1)/(tan²x - 4)
    

ここで tan x = y と置換すると（dx = dy/(1 + y²)）：

    ∫₀¹ (y² - 2)(y² + 1)/(y² - 4) · 1/(1 + y²) dy
    = ∫₀¹ (y² - 2)/(y² - 4) dy
    

さらに分数式を変形します：

    (y² - 2)/(y² - 4) = (y² - 4 + 2)/(y² - 4)
                      = 1 + 2/(y² - 4)
                      = 1 + 2/((y - 2)(y + 2))
    

部分分数分解を行います：

    2/((y - 2)(y + 2)) = A/(y - 2) + B/(y + 2)
    2 = A(y + 2) + B(y - 2)
    
    y = 2 を代入：2 = 4A → A = 1/2
    y = -2 を代入：2 = -4B → B = -1/2
    

よって：

    ∫₀¹ (y² - 2)/(y² - 4) dy = ∫₀¹ [1 + (1/2)/(y - 2) - (1/2)/(y + 2)] dy
    
    = [y + (1/2)ln|y - 2| - (1/2)ln|y + 2|]₀¹
    
    = [y + (1/2)ln|(y - 2)/(y + 2)|]₀¹
    
    = [1 + (1/2)ln|(-1)/3|] - [0 + (1/2)ln|(-2)/2|]
    
    = 1 + (1/2)ln(1/3) - (1/2)ln(1)
    
    = 1 + (1/2)ln(1/3)
    
    = 1 - (1/2)ln 3
    
    = 1 - (ln 3)/2
    

この問題のポイント

• 1 + tan²x = sec²x = 1/cos²x は絶対に覚えておく
• (tan x)' = sec²x も基本中の基本
• tan x の置換積分は頻出パターン
• 分数式は次数を下げて部分分数分解が鉄則

講師からのコメント

この問題は「もはや教科書レベル」と言っても過言ではありません。(1)を落とす受験生は旧帝大を受験する資格がないでしょう。(2)も、被積分関数がtanxだらけで一見複雑に見えますが、(1)の誘導がなければお手上げというわけではなく、定石通りに計算すれば必ず答えにたどり着けます。

大問3：整数問題（8の剰余・不定方程式）

問題のテーマ

平方数を8で割った余りに関する証明と、指数を含む不定方程式の整数解を求める問題です。整数問題の中では標準的な難易度です。

問題の概要

解法のアプローチ

(1)の方針

整数nを8で割った余りで分類して調べる...という方法は「やり過ぎ」です。n = 8k, 8k+1, ..., 8k+7 と8通り調べるのは非効率的です。

代わりに、偶奇で分類するのがスマートです。

• n が偶数のとき：n = 2k とおく
• n が奇数のとき：n = 2k + 1 とおく

(2)の方針

(1)の結果を利用します。n² を8で割った余りが 0, 1, 4 であることから、n² + 3 を8で割った余りは 3, 4, 7 のいずれかです。

一方、2^m を8で割った余りを調べると：

• m = 0：2^0 = 1 → 余り 1
• m = 1：2^1 = 2 → 余り 2
• m = 2：2^2 = 4 → 余り 4
• m ≥ 3：2^m は8の倍数 → 余り 0

これらを比較して、あり得るmの値を絞り込みます。

詳細解説

(1) 平方数の8での剰余の証明

【nが偶数の場合】

n = 2k（k は整数）とおくと：

    n² = (2k)² = 4k²
    

k² を2で割った余りは 0 または 1 なので：

• k² = 2l のとき：n² = 8l → 余り 0
• k² = 2l + 1 のとき：n² = 8l + 4 → 余り 4

【nが奇数の場合】

n = 2k + 1（k は整数）とおくと：

    n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
    

ここで、k(k + 1) は連続する2整数の積なので必ず偶数です。

したがって k(k + 1) = 2m（m は整数）とおけて：

    n² = 4 · 2m + 1 = 8m + 1 → 余り 1
    

以上より、n² を8で割った余りは 0, 1, 4 のいずれかである。（証明終）

(2) 不定方程式の解

(1)より、n² を8で割った余りは 0, 1, 4 のいずれかなので、n² + 3 を8で割った余りは 3, 4, 7 のいずれかです。

一方、2^m を8で割った余りを調べると：

2^m = n² + 3 が成り立つためには、両辺を8で割った余りが一致する必要があります。

余りが一致するのは m = 2 のとき（両辺とも余り4となる可能性）のみです。

m = 2 のとき：

    2² = n² + 3
    4 = n² + 3
    n² = 1
    n =```html
    n = 1（n ≥ 0 より）
    

検証：2² = 4 = 1 + 3 = 1² + 3 ✓

m = 0, 1 の場合も念のため確認：

• m = 0：2^0 = 1 = n² + 3 → n² = -2（不適）
• m = 1：2^1 = 2 = n² + 3 → n² = -1（不適）

m ≥ 3 の場合：

2^m を8で割った余りは0ですが、n² + 3 を8で割った余りは 3, 4, 7 のいずれかで、0になることはありません。よって解なし。

したがって、求める整数の組は (m, n) = (2, 1) のみ。

この問題のポイント

• 剰余による分類は整数問題の基本テクニック
• 平方数の性質（連続整数の積は偶数など）を活用
• 2のべき乗の性質：m ≥ 3 で8の倍数になることを利用
• 候補を絞り込んでから検証する流れ

別解：mod 8 を使った記述

合同式（mod）を使うと、より簡潔に記述できます。高校では必修ではありませんが、書いても減点されることはありません。

    n ≡ 0 (mod 2) のとき、n = 2k とおくと
    n² = 4k² ≡ 0 or 4 (mod 8)
    
    n ≡ 1 (mod 2) のとき、n = 2k + 1 とおくと
    n² = 4k(k+1) + 1 ≡ 1 (mod 8)
    
    （k(k+1) は偶数なので 4k(k+1) ≡ 0 (mod 8)）
    

類題へのアドバイス

この形式の問題（指数方程式と平方数の組み合わせ）は頻出です。以下のパターンも練習しておきましょう：

• 3^m = n² + 2 の解
• 2^m + 2^n = k² の解
• n! + 1 = m² の解

大問4：三角比と図形

問題のテーマ

三角形の辺と角の関係を用いて、条件を満たす図形の性質を求める問題です。正弦定理・余弦定理の活用が求められます。

問題の概要

解法のアプローチ

基本ツールの確認

三角比と図形の問題では、以下の公式を適切に使い分けることが重要です：

【正弦定理】

    a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
    

（R は外接円の半径）

【余弦定理】

    a² = b² + c² - 2bc cos A
    cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)
    

【三角形の面積】

    S = (1/2)bc sin A = (1/2)ab sin C = (1/2)ca sin B
    S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}  （ヘロンの公式、s = (a+b+c)/2）
    S = abc/(4R)
    S = rs  （r は内接円の半径）
    

詳細解説

三角比の問題の典型的な流れ

Step 1：与えられた条件の整理

辺の長さ、角の大きさ、比などの条件を数式で表します。

Step 2：正弦定理・余弦定理の適用

• 角と辺の関係を結びつけたい → 正弦定理
• 3辺の関係や角のcosを求めたい → 余弦定理

Step 3：条件からの絞り込み

• 三角形の成立条件（三角不等式）：|b - c| < a < b + c
• 角の範囲：0° < A, B, C < 180°、A + B + C = 180°
• 辺の正値性：a, b, c > 0

計算のコツ

九大の問題では、計算が煩雑になりにくい設定が多いです。以下を意識しましょう：

• sin、cosの値が有理数や簡単な無理数になることが多い
• 外接円の半径 R が整数や簡単な分数になることが多い
• 面積も同様に「きれいな値」になる傾向

この問題のポイント

• 公式の使い分け：求めたいものに応じて正弦定理・余弦定理を選択
• 文字の置き方：計算しやすい文字設定を心がける
• 検算の習慣：得られた値が三角形として成立するか確認

関連する重要公式

講師からのコメント

第4問は、三角比の基本がしっかりしていれば完答できる問題でした。九大の三角比の問題は、複雑な計算よりも「どの公式を使うか」の判断力を問う傾向があります。正弦定理と余弦定理を「道具」として自在に使いこなせるようになっておきましょう。計算量も少なく、丁寧にやれば満点を狙える問題です。

大問5：3次方程式と確率の融合

問題のテーマ

サイコロを振って決まる係数を持つ3次方程式について、解の個数に関する確率を求める問題です。複素数と方程式、場合の数・確率の融合問題です。

問題の概要

解法のアプローチ

(1)の分析

f(x) = 0 が「実数解を1個だけ持つ」状況を分類します。

f(x) = (x² - ax + b)(x - c) = 0 より、解は：

• x² - ax + b = 0 の解
• x = c

実数解が1個だけとなるのは、以下の2パターンです：

【パターンA】x = c が3重解

x² - ax + b = (x - c)² となる場合

• 展開すると：x² - 2cx + c² = x² - ax + b
• 係数比較：a = 2c、b = c²

【パターンB】x = c 以外の解が虚数

x² - ax + b = 0 が虚数解のみを持ち、かつ x = c がその解でない場合

• 判別式：D = a² - 4b < 0
• かつ c² - ac + b ≠ 0

詳細解説

(1) 実数解が1個である確率

【パターンA：3重解の場合】

条件：a = 2c かつ b = c²

サイコロの目は1〜6なので：

パターンAに該当：2通り（(a,b,c) = (2,1,1), (4,4,2)）

【パターンB：虚数解のみの場合】

条件：a² - 4b < 0 かつ c² - ac + b ≠ 0

まず a² < 4b となる (a, b) の組を列挙：

a² < 4b を満たす (a, b) の組：6 + 5 + 4 + 2 = 17通り

各 (a, b) に対して c = 1〜6 のうち、c² - ac + b = 0 となる c を除外する必要があります。

しかし、a² - 4b < 0 のとき、x² - ax + b = 0 は実数解を持たないので、どの整数 c に対しても c² - ac + b ≠ 0 が成り立ちます。

よって、パターンBに該当：17 × 6 = 102通り

【重複の確認】

パターンAとパターンBは排反です（パターンAでは2次式が重解を持つので D = 0）。

【確率の計算】

    全事象：6³ = 216 通り
    該当事象：2 + 102 = 104 通り
    確率：104/216 = 13/27
    

答え：13/27

(2) 自然数解が3個である確率

f(x) = 0 が3個の自然数解を持つ条件を考えます。

x² - ax + b = 0 が2つの自然数解 α, β を持ち、かつ x = c と合わせて3個の異なる自然数解となる場合です。

条件の整理：

• α + β = a（解と係数の関係）
• αβ = b（解と係数の関係）
• α, β, c がすべて異なる自然数
• a, b, c はすべて 1〜6

α + β = a、αβ = b を満たす自然数の組を探す：

3個の「異なる」自然数解が必要なので、α = β の場合を考慮：

α = β = 1 のとき：解は 1, 1, c で、c ≠ 1 なら異なる解は2個（1と c）のみ → 不適

α = β = 2 のとき：解は 2, 2, c で、c ≠ 2 なら異なる解は2個（2と c）のみ → 不適

したがって、α ≠ β の場合のみ考える：

• (α, β) = (1, 2)：a = 3, b = 2、c ≠ 1, 2 → c ∈ {3, 4, 5, 6}（4通り）
• (α, β) = (1, 3)：a = 4, b = 3、c ≠ 1, 3 → c ∈ {2, 4, 5, 6}（4通り）
• (α, β) = (1, 4)：a = 5, b = 4、c ≠ 1, 4 → c ∈ {2, 3, 5, 6}（4通り）
• (α, β) = (1, 5)：a = 6, b = 5、c ≠ 1, 5 → c ∈ {2, 3, 4, 6}（4通り）
• (α, β) = (2, 3)：a = 5, b = 6、c ≠ 2, 3 → c ∈ {1, 4, 5, 6}（4通り）

該当：5 × 4 = 20通り

【確率の計算】

    全事象：6³ = 216 通り
    該当事象：20 通り
    確率：20/216 = 5/54
    

答え：5/54

この問題のポイント

• 場合分けの正確さ：実数解1個となるパターンを漏れなく列挙
• 判別式の活用：D = a² - 4b で虚数解の条件を判定
• 解と係数の関係：自然数解の条件を a, b で表現
• 重複・排反の確認：場合分けの漏れ・重複に注意

講師からのコメント

この問題は、複素数と方程式・場合の数を融合した問題としては標準レベルです。(1)の「実数解1個」の条件を正しく場合分けできるかがポイントでした。パターンA（3重解）を見落としやすいので注意が必要です。(2)は「3個の異なる自然数解」という条件をしっかり読み取り、重解の場合を除外することが大切です。

今年度の頻出テーマと来年への示唆

2025年度の出題分野分析

近年の九大数学の傾向

1. 空間ベクトルは最頻出

九州大学では空間ベクトルがほぼ毎年出題されています。平面の方程式、直線と平面の交点、垂線の足など、空間的な位置関係を問う問題が多いです。

2. 微積分（数Ⅲ）は必須

理系数学として、微分・積分は必ず出題されます。今年は計算問題でしたが、面積・体積・曲線の長さを求める問題も頻出です。

3. 整数問題の出題が定着

2010年代後半から整数問題の出題が増えています。剰余による分類、不定方程式、素数の性質などが問われます。

4. 確率は融合問題が多い

単純な確率計算だけでなく、他分野（方程式、数列、整数など）との融合問題が特徴です。

2026年度に向けた予想と対策

出題が予想される分野

• 複素数平面：新課程で数学Cに移動したが、九大は積極的に出題する傾向
• 2次曲線：楕円・双曲線・放物線の性質を問う問題
• 数列と極限：漸化式、無限級数の収束・発散
• 微分方程式的な問題：関数の増減や不等式の証明

新課程による変更点

• 統計的な推測（数学B）：出題可能性あり
• ベクトル（数学C）：従来通り重視される見込み
• 複素数平面（数学C）：独立問題として出題の可能性大

今年度の反省と来年への教訓

2025年度は「易しすぎた」反動で、2026年度は難化する可能性があります。ただし、九大の数学は「基本の徹底」を問う傾向が一貫しています。奇をてらった難問よりも、標準問題を確実に解く力が求められます。

来年度の受験生は、今年度の問題で「満点を取れるか」をまず確認してください。取れないなら基礎に穴があります。取れるなら、過去5〜10年分の過去問で「九大らしい問題」の感覚を身につけましょう。

この試験から学ぶ合格への戦略

2025年度入試の教訓

教訓1：易しい年こそミスが致命傷

今年度のように全体的に易しい年度では、計算ミス1つで順位が大きく変動します。全員が高得点を取る中で、1問のミスが合否を分けます。

• 検算の習慣を徹底する
• 途中式を丁寧に書く
• 答えの妥当性を確認する（次元チェック、特殊値の代入など）

教訓2：基本問題の完成度が問われる

旧帝大だからといって難問対策ばかりしていると、基本問題で足元をすくわれます。今年度の第2問（積分）は、教科書レベルの問題でした。

• 教科書の章末問題を完璧にする
• 公式は「使える」だけでなく「導ける」レベルに
• 基本パターンを瞬時に認識できるようにする

教訓3：時間配分の柔軟性

150分で5問という構成から、1問あたり30分が目安です。しかし、今年度のように易しい問題が多い場合は、早めに解き終わり、余った時間を検算に充てることが重要です。

• 第1問〜第4問を20〜25分ずつで解き、第5問に30〜35分
• 最低20分は見直し・検算の時間を確保
• 解けない問題に固執せず、取れる問題を確実に取る

九大数学 攻略の5原則

原則1：空間ベクトルを得点源にする

九大では空間ベクトルがほぼ毎年出題されます。以下を完璧にしておきましょう：

• 平面の方程式（一般形・法線ベクトル形）
• 点と平面の距離公式
• 直線の方程式（媒介変数表示）
• 直線と平面の交点の求め方
• 2直線のなす角・ねじれの位置
• 正射影ベクトル

原則2：積分計算は「型」で覚える

積分計算には決まった「型」があります。被積分関数を見て、どの方法を使うか瞬時に判断できるようにしましょう。

原則3：整数問題は「剰余」と「範囲の絞り込み」

整数問題のほとんどは、以下のテクニックで解けます：

• 剰余による分類：mod 2, 3, 4, 8 などで場合分け
• 範囲の絞り込み：不等式で候補を有限個に絞る
• 素因数分解：積の形にして因数を分析
• 無限降下法：解の存在を否定する
• 数学的帰納法：すべての自然数で成り立つことを示す

原則4：確率は「漏れなく・重複なく」

確率の問題では、場合の数え上げが最重要です：

• 全事象の数を正確に把握する
• 場合分けは排反になっているか確認
• 「少なくとも〜」は余事象を考える
• 条件付き確率の公式 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) を活用

原則5：「九大らしさ」を過去問で体得する

九大の問題には独特の「クセ」があります。過去問演習を通じて、以下を身につけましょう：

• 問題文の読み方・条件の整理の仕方
• 解答の書き方・論述の粒度
• どこまで厳密に書くか、どこを省略してよいか
• 計算ミスしやすいポイント

学習スケジュールの目安

高3夏まで（基礎固め期）

• 教科書の例題・章末問題を完璧に
• 青チャートまたはFocus Gold のレベル2〜3
• 計算力の強化（特に積分計算）

高3夏〜秋（応用力養成期）

• 入試標準レベルの問題集（1対1対応の演習、標準問題精講など）
• 分野別の弱点補強
• 過去問を数年分解いて傾向把握

高3秋〜直前期（実戦演習期）

• 九大過去問10〜15年分を時間を計って演習
• 他の旧帝大（北大・東北大・名大・阪大）の過去問も活用
• 模試の復習・弱点の最終チェック

本番での心構え

「焦らない・諦めない・見直す」

九大数学は、難問を解く力よりも「ミスなく解き切る力」が問われます。難しく見える問題も、落ち着いて条件を整理すれば糸口が見えてきます。時間が余ったら必ず見直し。答案の途中で計算ミスに気づくことも多いです。

そして何より、150分という長丁場を集中力を切らさずに走り切る「体力」も必要です。日頃から時間を計って演習し、本番のリズムを体に染み込ませておきましょう。

類題練習問題（5問・解答解説付き）

2025年度九州大学の出題傾向を踏まえ、来年度以降の対策として有効な類題を5問用意しました。ぜひ挑戦してみてください。

【練習問題1】空間ベクトル（平面と直線）

x = 1 + 6t, y = 1 + 3t, z = 1 + 2t

6(1 + 6t) + 3(1 + 3t) + 2(1 + 2t) = 6
6 + 36t + 3 + 9t + 2 + 4t = 6
11 + 49t = 6
49t = -5
t = -5/49
            

x = 1 + 6·(-5/49) = 1 - 30/49 = 19/49
y = 1 + 3·(-5/49) = 1 - 15/49 = 34/49
z = 1 + 2·(-5/49) = 1 - 10/49 = 39/49
            

d = |6·1 + 3·1 + 2·1 - 6| / √(36 + 9 + 4)
  = |6 + 3 + 2 - 6| / √49
  = |5| / 7
  = 5/7
            

【練習問題2】定積分の計算

∫₀^(π/3) tan²x dx = ∫₀^(π/3) (sec²x - 1) dx
                   = [tan x - x]₀^(π/3)
                   = (tan(π/3) - π/3) - (0 - 0)
                   = √3 - π/3
                   = √3 - π/3
            

∫₀^1 x²/(x² + 1) dx = ∫₀^1 [1 - 1/(x² + 1)] dx
                     = [x - arctan x]₀^1
                     = (1 - arctan 1) - (0 - 0)
                     = 1 - π/4
                     = 1 - π/4
            

∫ x·e^(2x) dx = x·e^(2x)/2 - ∫ e^(2x)/2 dx
               = x·e^(2x)/2 - e^(2x)/4 + C
               = (e^(2x)/4)(2x - 1) + C

∫₀^1 x·e^(2x) dx = [(e^(2x)/4)(2x - 1)]₀^1
                  = (e²/4)(2 - 1) - (1/4)(0 - 1)
                  = e²/4 + 1/4
                  = (e² + 1)/4
            

【練習問題3】整数問題

(3x')² + (3y')² = 3z²
9x'² + 9y'² = 3z²
3(x'² + y'²) = z²
            

3(x'² + y'²) = 9z'²
x'² + y'² = 3z'²
            

【練習問題4】三角比と図形

cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
      = (36 + 49 - 25) / (2·6·7)
      = 60 / 84
      = 5/7
            

sin²A = 1 - (5/7)² = 1 - 25/49 = 24/49
sin A = √24/7 = 2√6/7  （A は三角形の内角なので sin A > 0）
            

S = (1/2)bc sin A
  = (1/2)·6·7·(2√6/7)
  = (1/2)·6·2√6
  = 6√6
            

a / sin A = 2R
5 / (2√6/7) = 2R
5 · 7 / (2√6) = 2R
35 / (2√6) = 2R
R = 35 / (4√6) = 35√6 / 24 = 35√6/24
            

r = S / s  （s は半周長）
s = (a + b + c) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
r = 6√6 / 9 = 2√6/3
            

【練習問題5】確率と方程式の融合

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九州大学合格への最短ルート

九州大学の数学は、基礎力の徹底と九大特有の傾向への対応が合否を分けます。独学での対策に限界を感じている方、効率よく実力を伸ばしたい方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の指導を体験してください。

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合格者の声

「高3の夏まで数学が苦手で、九大は無理だと思っていました。数強塾で基礎から徹底的にやり直し、秋からは過去問演習に集中。藤原先生の『パターン認識』の指導のおかげで、本番では時間内に全問解ききることができました。」

── 九州大学工学部 合格 T.K.さん（福岡県）

「地方在住で、近くに良い数学の塾がなく困っていました。オンラインで数強塾の授業を受け始めてから、『なぜその解法を使うのか』という本質的な理解ができるようになりました。九大の数学で8割取れたのは、間違いなく数強塾のおかげです。」

── 九州大学理学部 合格 M.S.さん（大分県）

「浪人して数強塾に入塾しました。現役時代は計算ミスが多く、分かっているのに点が取れない状態でした。藤原先生に『検算の習慣』を徹底的に叩き込まれ、本番ではミスゼロで完答できました。」

── 九州大学医学部医学科 合格 Y.H.さん（熊本県）

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最後に ─ 九大合格を目指すあなたへ

2025年度の九州大学理系数学は、例年より易しい出題でした。しかし、これは「基礎ができていれば解ける」ということの裏返しでもあります。

難しい年度には「解ける問題を確実に取る」力が、易しい年度には「ミスなく完答する」力が求められます。どちらの年度でも結果を出せる受験生になるためには、揺るぎない基礎力と本番で力を発揮する実戦力の両方が必要です。

九州大学は、九州・西日本を代表する名門大学です。その門をくぐるためには、相応の努力と正しい方法論が必要です。一人で悩まず、プロの力を借りることも、合格への重要な選択肢です。

この記事が、九州大学を目指すすべての受験生の力になれば幸いです。

藤原進之介
日本数学塾・数強塾 看板講師
日本数学塾 ｜ 数強塾

まとめ：2025年度 九州大学理系数学