旭川医科大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは、日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です！

今回は、旭川医科大学 2015年度（平成27年度）前期日程の数学を徹底解説していきます。北海道の医学部を目指す受験生にとって、旭川医科大学は非常に重要な選択肢の一つです。本記事では、全4問の入試問題について、問題の背景から解法のポイント、さらには別解まで、私と一緒に完全攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2015年度 旭川医科大学 数学 試験情報

全体講評

2015年度の旭川医科大学の数学は、例年通り4問構成で出題されました。全体的な難易度としては「標準〜やや難」レベルで、医学部入試としては取り組みやすい部類に入ります。

特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問：因数分解と整数に関する等式の証明問題。問1は標準的だが、問2はやや難度が高い
• 第2問：関数の極値・変曲点と面積に関する総合問題。数学Ⅲの微積分の基礎力が問われる
• 第3問：確率と漸化式の融合問題。場合分けと計算力が必要
• 第4問：空間ベクトルと体積計算。図形的センスと計算の正確さが求められる

時間配分としては、各問題に約30分を目安に取り組むことをお勧めします。計算量が多い問題もあるため、日頃から計算スピードを意識した練習が重要です。

合格に必要な得点の目安は、150点満点中100〜110点程度（約65〜75%）と推定されます。確実に取れる問題を落とさないことが合格への第一歩です。

大問1：因数分解と整数に関する等式の証明

問題

解説・解法のポイント

【問1の解説】$x^6 + 1$ の因数分解

この問題は、高次式の因数分解の典型的なパターンです。$x^6 + 1$ を因数分解するには、いくつかのアプローチがあります。

【解法1】和の公式を利用する方法

$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3$ と見なして、三乗の和の公式を適用します。

三乗の和の公式：$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

これを用いると：

$x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$

ここで、$x^2 + 1$ はこれ以上実数の範囲で因数分解できません（判別式 $= -4 < 0$）。

次に、$x^4 - x^2 + 1$ をさらに因数分解できるか検討します。

$x^4 - x^2 + 1$ に $x^2$ を足して引くと：

$x^4 - x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (sqrt{3}x)^2$

これは差の平方の形なので：

$= (x^2 + 1 + sqrt{3}x)(x^2 + 1 - sqrt{3}x)$

$= (x^2 + sqrt{3}x + 1)(x^2 - sqrt{3}x + 1)$

【最終解答】

【検証】 各因子の判別式を確認：

• $x^2 + 1$：判別式 $= 0 - 4 = -4 < 0$ ✓（これ以上因数分解不可）
• $x^2 + sqrt{3}x + 1$：判別式 $= 3 - 4 = -1 < 0$ ✓
• $x^2 - sqrt{3}x + 1$：判別式 $= 3 - 4 = -1 < 0$ ✓

【問2の解説】$3^a - 2^b = 1$ を満たす正の整数の組

この問題は整数問題の典型で、指数型の不定方程式を扱います。

【Step 1】小さな値で探索

まず、小さな正の整数で成り立つ組を探します：

• $a = 1, b = 1$：$3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1$ ✓ 解
• $a = 2, b = 3$：$3^2 - 2^3 = 9 - 8 = 1$ ✓ 解
• $a = 3, b = ?$：$3^3 = 27$ なので $2^b = 26$（整数解なし）
• $a = 4, b = ?$：$3^4 = 81$ なので $2^b = 80$（整数解なし）

【Step 2】$a geq 3$ の場合に解がないことの証明

$a geq 3$ のとき、$3^a - 1 = 2^b$ をmod 8で考えます。

$3^a$ を mod 8 で計算すると：

• $3^1 equiv 3 pmod{8}$
• $3^2 equiv 1 pmod{8}$
• $3^3 equiv 3 pmod{8}$
• $3^4 equiv 1 pmod{8}$

つまり、$3^a equiv begin{cases} 3 pmod{8} & (a text{ が奇数}) \ 1 pmod{8} & (a text{ が偶数}) end{cases}$

したがって：

• $a$ が奇数のとき：$3^a - 1 equiv 2 pmod{8}$
• $a$ が偶数のとき：$3^a - 1 equiv 0 pmod{8}$

一方、$2^b$ について：

• $b = 1$：$2^1 = 2 equiv 2 pmod{8}$
• $b = 2$：$2^2 = 4 equiv 4 pmod{8}$
• $b geq 3$：$2^b equiv 0 pmod{8}$

Case 1：$a$ が奇数で $a geq 3$ の場合

$3^a - 1 equiv 2 pmod{8}$ となるので、$2^b equiv 2 pmod{8}$

これを満たすのは $b = 1$ のみ。しかし $a geq 3$ で $3^a - 1 geq 26 > 2$ なので矛盾。

Case 2：$a$ が偶数で $a geq 4$ の場合

$a = 2m$（$m geq 2$）とおくと、$3^{2m} - 1 = (3^m - 1)(3^m + 1) = 2^b$

$3^m - 1$ と $3^m + 1$ は差が2の連続する偶数です。$m geq 2$ のとき：

• $gcd(3^m - 1, 3^m + 1) = 2$
• $3^m - 1$ と $3^m + 1$ の両方が $2^b$ の因数となるためには、一方が2で他方が $2^{b-1}$ でなければならない

$3^m + 1 = 2$ となるのは $m = 0$ のみで、$m geq 2$ では成り立たない。

$3^m - 1 = 2$ となるのは $m = 1$ のみで、$m geq 2$ では成り立たない。

よって、$a geq 3$ では解なし。

【最終解答】

別解・発展

【問1の別解】複素数を利用する方法

$x^6 + 1 = 0$ の解は $x^6 = -1 = e^{ipi}$ より：

$x = e^{ifrac{(2k+1)pi}{6}}$ （$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$）

これらの解を共役ペアでまとめることで、実係数の二次式の積が得られます。

【問2の発展：カタラン予想（ミハイレスク定理）】

問2は、有名なカタラン予想（2002年にミハイレスクが証明）の特殊ケースです。カタラン予想は「$x^p - y^q = 1$ を満たす2以上の整数 $x, y, p, q$ の組は $(x, y, p, q) = (3, 2, 2, 3)$ のみ」という定理です。

大問2：関数の極値・変曲点と面積

問題

解説・解法のポイント

【問1の解説】極大値・極小値

【Step 1】導関数を求める

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

【Step 2】$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める

$3x(x - 2) = 0$ より $x = 0, 2$

【Step 3】増減表を作成

【Step 4】極値を計算

• 極大値：$f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$
• 極小値：$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$

【問2の解説】変曲点

【Step 1】二階導関数を求める

$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$

【Step 2】$f''(x) = 0$ となる点を求める

$6(x - 1) = 0$ より $x = 1$

【Step 3】$x = 1$ の前後で $f''(x)$ の符号が変わることを確認

• $x < 1$ のとき：$f''(x) < 0$（上に凸）
• $x > 1$ のとき：$f''(x) > 0$（下に凸）

確かに符号が変わるので、$x = 1$ は変曲点です。

【Step 4】変曲点の $y$ 座標を計算

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

【問3の解説】面積

【Step 1】$f(x) = 0$ の解を求める

$x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

$x = 1$ が解であることは問2から分かっているので、$(x - 1)$ で割ります：

$x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ を解くと：

$x = frac{2 pm sqrt{4 + 8}}{2} = frac{2 pm 2sqrt{3}}{2} = 1 pm sqrt{3}$

したがって、$x$ 軸との交点は $x = 1 - sqrt{3}, 1, 1 + sqrt{3}$

【Step 2】面積を計算

グラフの概形から：

• $1 - sqrt{3} leq x leq 1$ では $f(x) geq 0$
• $1 leq x leq 1 + sqrt{3}$ では $f(x) leq 0$

面積 $S$ は：

$S = int_{1-sqrt{3}}^{1} f(x) dx - int_{1}^{1+sqrt{3}} f(x) dx$

$f(x) = (x-1)(x^2 - 2x - 2)$ を展開して積分するか、あるいは対称性を利用します。

変曲点 $(1, 0)$ に関する点対称性に注目すると、計算が簡略化できます。

$g(t) = f(1 + t) = (1+t)^3 - 3(1+t)^2 + 2$ を計算すると：

$g(t) = t^3 - 3t$

これは奇関数なので、$g(-t) = -g(t)$ が成り立ちます。

よって：

$S = 2int_{0}^{sqrt{3}} |t^3 - 3t| dt = 2int_{0}^{sqrt{3}} (3t - t^3) dt$

（$0 leq t leq sqrt{3}$ で $t^3 - 3t leq 0$ なので絶対値を外すと符号が変わる）

$= 2left[frac{3t^2}{2} - frac{t^4}{4}right]_{0}^{sqrt{3}}$

$= 2left(frac{3 cdot 3}{2} - frac{9}{4}right)$

$= 2left(frac{9}{2} - frac{9}{4}right) = 2 cdot frac{9}{4} = frac{9}{2}$

【問4の解説】区分求積法

与えられた極限は区分求積法の形です。

$displaystylelim_{n to infty} sum_{k=1}^{n} frac{1}{n} fleft(frac{2k}{n}right) = lim_{n to infty} frac{2}{n} sum_{k=1}^{n} fleft(frac{2k}{n}right) cdot frac{1}{2}$

これは $displaystyleint_{0}^{2} f(x) dx$ に対応します（実際には少し調整が必要）。

より正確には、$t = frac{k}{n}$ とおくと $frac{2k}{n} = 2t$ で、$k$ が $1$ から $n$ まで動くとき $t$ は $frac{1}{n}$ から $1$ まで動きます。

$displaystylelim_{n to infty} sum_{k=1}^{n} frac{1}{n} fleft(frac{2k}{n}right) = int_{0}^{1} f(2t) cdot 2 dt cdot frac{1}{2} = int_{0}^{2} f(x) cdot frac{dx}{2}$

ここで、$u = 2t$ と置換すると $du = 2dt$、$t: 0 to 1$ のとき $u: 0 to 2$

$= int_{0}^{2} f(u) frac{du}{2} = frac{1}{2}int_{0}^{2} (u^3 - 3u^2 + 2) du$

$= frac{1}{2}left[frac{u^4}{4} - u^3 + 2uright]_{0}^{2}$

$= frac{1}{2}left(4 - 8 + 4right) = frac{1}{2} cdot 0 = 0$

別解・発展

【面積の別解】1/6公式の応用

三次関数と接線で囲まれた面積には1/6公式が使えることがあります。

$y = f(x) = (x - alpha)(x - beta)(x - gamma)$ と $x$ 軸で囲まれた面積は、いくつかの公式で求められます。今回は変曲点を利用した対称性による計算が最も効率的でした。

大問3：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【問1の解説】$n

【問1の解説】$n$ 回後に原点にいる確率

$n$ 回の試行で原点に戻るためには、$+1$ の移動回数と $-1$ の移動回数が等しくなければなりません。

【Step 1】条件の確認

• $n$ が奇数のとき：$+1$ と $-1$ の回数を等しくできないので、$p_n = 0$
• $n$ が偶数のとき：$n = 2m$ とすると、$+1$ が $m$ 回、$-1$ が $m$ 回必要

【Step 2】確率の計算（$n = 2m$ の場合）

$2m$ 回の試行で $+1$ が $m$ 回出る組合せの数は ${}_{2m}C_m$ 通り。

各試行は独立で確率 $frac{1}{2}$ なので：

$p_{2m} = {}_{2m}C_m left(frac{1}{2}right)^{2m} = frac{{}_{2m}C_m}{4^m}$

【問2の解説】初めて原点に戻る確率

「$n$ 回目に初めて原点に戻る」という条件が重要です。

【Step 1】$n$ が奇数の場合

原点に戻ること自体ができないので、$q_n = 0$

【Step 2】$n = 2m$（$m geq 1$）の場合

$n$ 回目に原点にいる確率 $p_n$ と、初めて原点に戻る確率 $q_n$ の関係を考えます。

$n$ 回目に原点にいる事象は、以下のように分解できます：

• $2$ 回目に初めて戻り、その後 $n-2$ 回で原点に戻る
• $4$ 回目に初めて戻り、その後 $n-4$ 回で原点に戻る
• …
• $n$ 回目に初めて戻る

これを式で表すと：

$p_{2m} = q_2 p_{2m-2} + q_4 p_{2m-4} + cdots + q_{2m-2} p_2 + q_{2m} p_0$

ここで $p_0 = 1$（最初は原点にいる）です。

母関数を用いて解くと、$q_{2m}$ の一般項が得られます。

【Step 3】反射原理を用いた導出

初めて原点に戻る経路の数は、反射原理（鏡像法）を用いて計算できます。

$2m$ 回目に初めて原点に戻る経路の数は：

$frac{1}{m} {}_{2m-2}C_{m-1}$

これはカタラン数と関連しています。

より具体的には、1回目に $+1$ に移動し、$2m$ 回目に初めて原点に戻る経路を数えます：

$q_{2m} = frac{1}{2} cdot frac{1}{m} {}_{2m-2}C_{m-1} cdot left(frac{1}{2}right)^{2m-2} cdot 2$

（最初に $+1$ または $-1$ に行く2通り、それぞれ対称）

整理すると：

$q_{2m} = frac{1}{m} {}_{2m-2}C_{m-1} cdot left(frac{1}{2}right)^{2m-1} = frac{{}_{2m-2}C_{m-1}}{m cdot 2^{2m-1}}$

これは次のようにも書けます：

$q_{2m} = frac{1}{2m-1} {}_{2m}C_m cdot frac{1}{4^m} = frac{p_{2m}}{2m-1}$

【問3の解説】無限級数の計算

$displaystylesum_{n=1}^{infty} q_{2n}$ を計算します。

【母関数を用いた解法】

$P(x) = sum_{n=0}^{infty} p_{2n} x^n$ と $Q(x) = sum_{n=1}^{infty} q_{2n} x^n$ とおくと、

問2で示した漸化式より：$P(x) = 1 + P(x) Q(x)$

これを解くと：$Q(x) = 1 - frac{1}{P(x)}$

ここで $p_{2n} = frac{{}_{2n}C_n}{4^n}$ より：

$P(x) = sum_{n=0}^{infty} {}_{2n}C_n left(frac{x}{4}right)^n = frac{1}{sqrt{1-x}}$

（これは $(1-x)^{-1/2}$ のマクローリン展開から得られます）

したがって：

$Q(x) = 1 - sqrt{1-x}$

$x = 1$ を代入すると：

$sum_{n=1}^{infty} q_{2n} = Q(1) = 1 - sqrt{1-1} = 1 - 0 = 1$

【この結果の解釈】

この結果は「ランダムウォークは確率1で原点に戻る」ことを意味しています。つまり、いつかは必ず原点に戻るということです。これは1次元ランダムウォークの有名な性質です。

別解・発展

【発展】高次元への一般化

1次元と2次元のランダムウォークでは確率1で原点に戻りますが、3次元以上では原点に戻る確率は1未満になります。これはポリアの定理として知られています。

大問4：空間ベクトルと体積

問題

解説・解法のポイント

【問1の解説】中点ベクトルとその大きさ

【Step 1】$overrightarrow{OM}$ を求める

Mは辺ABの中点なので：

$overrightarrow{OM} = frac{overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}}{2} = frac{vec{a} + vec{b}}{2}$

【Step 2】$|overrightarrow{OM}|$ を計算

$|overrightarrow{OM}|^2 = left|frac{vec{a} + vec{b}}{2}right|^2 = frac{1}{4}|vec{a} + vec{b}|^2$

$= frac{1}{4}(|vec{a}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2)$

$= frac{1}{4}(4 + 2 cdot 1 + 4) = frac{1}{4} cdot 10 = frac{10}{4} = frac{5}{2}$

$|overrightarrow{OM}| = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$

【問2の解説】三角形ABCの面積

【Step 1】$overrightarrow{AB}$ と $overrightarrow{AC}$ を求める

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$、$overrightarrow{AC} = vec{c} - vec{a}$

【Step 2】外積の大きさを計算（または面積公式を使用）

三角形の面積公式：$S = frac{1}{2}sqrt{|overrightarrow{AB}|^2 |overrightarrow{AC}|^2 - (overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC})^2}$

各値を計算：

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2 = 4 - 2 + 4 = 6$

$|overrightarrow{AC}|^2 = |vec{c} - vec{a}|^2 = |vec{c}|^2 - 2vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2 = 4 - 2 + 4 = 6$

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = (vec{b} - vec{a}) cdot (vec{c} - vec{a})$

$= vec{b} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{a} - vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2$

$= 1 - 1 - 1 + 4 = 3$

【Step 3】面積を計算

$S = frac{1}{2}sqrt{6 cdot 6 - 3^2} = frac{1}{2}sqrt{36 - 9} = frac{1}{2}sqrt{27} = frac{3sqrt{3}}{2}$

【問3の解説】四面体の体積

四面体OABCの体積は、スカラー三重積を用いて計算できます。

$V = frac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}| = frac{1}{6}sqrt{|vec{a} times vec{b}|^2 - ((vec{a} times vec{b}) cdot vec{c})の展開}$

より一般的な公式として：

$V^2 = frac{1}{36}detbegin{pmatrix} |vec{a}|^2 & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{a} cdot vec{b} & |vec{b}|^2 & vec{b} cdot vec{c} \ vec{a} cdot vec{c} & vec{b} cdot vec{c} & |vec{c}|^2 end{pmatrix}$

グラム行列式を計算：

$G = detbegin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \ 1 & 4 & 1 \ 1 & 1 & 4 end{pmatrix}$

第1行で展開：

$G = 4detbegin{pmatrix} 4 & 1 \ 1 & 4 end{pmatrix} - 1detbegin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 4 end{pmatrix} + 1detbegin{pmatrix} 1 & 4 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

$= 4(16 - 1) - 1(4 - 1) + 1(1 - 4)$

$= 4 cdot 15 - 3 - 3 = 60 - 6 = 54$

したがって：

$V = frac{1}{6}sqrt{54} = frac{1}{6} cdot 3sqrt{6} = frac{sqrt{6}}{2}$

【問4の解説】垂線の足H

点Hは平面ABC上にあるので：

$overrightarrow{OH} = svec{a} + tvec{b} + uvec{c}$（$s + t + u = 1$）

また、$overrightarrow{OH} perp$ 平面ABC なので：

• $overrightarrow{OH} perp overrightarrow{AB}$、すなわち $overrightarrow{OH} cdot (vec{b} - vec{a}) = 0$
• $overrightarrow{OH} perp overrightarrow{AC}$、すなわち $overrightarrow{OH} cdot (vec{c} - vec{a}) = 0$

【Step 1】条件式を立てる

$(svec{a} + tvec{b} + uvec{c}) cdot (vec{b} - vec{a}) = 0$

展開すると：

$s(vec{a} cdot vec{b} - |vec{a}|^2) + t(|vec{b}|^2 - vec{a} cdot vec{b}) + u(vec{b} cdot vec{c} - vec{a} cdot vec{c}) = 0$

$s(1 - 4) + t(4 - 1) + u(1 - 1) = 0$

$-3s + 3t = 0$

$s = t$ ... ①

同様に $(svec{a} + tvec{b} + uvec{c}) cdot (vec{c} - vec{a}) = 0$ より：

$s(vec{a} cdot vec{c} - |vec{a}|^2) + t(vec{b} cdot vec{c} - vec{a} cdot vec{b}) + u(|vec{c}|^2 - vec{a} cdot vec{c}) = 0$

$s(1 - 4) + t(1 - 1) + u(4 - 1) = 0$

$-3s + 3u = 0$

$s = u$ ... ②

【Step 2】連立方程式を解く

①、②より $s = t = u$

$s + t + u = 1$ より $3s = 1$、$s = frac{1}{3}$

したがって：

$overrightarrow{OH} = frac{1}{3}vec{a} + frac{1}{3}vec{b} + frac{1}{3}vec{c} = frac{vec{a} + vec{b} + vec{c}}{3}$

【検証】 Hが三角形ABCの重心であることが分かります。これは、四面体OABCが対称的な構造（$|vec{a}| = |vec{b}| = |vec{c}|$ かつ内積がすべて等しい）を持つことと整合します。

別解・発展

【体積の別解】底面積×高さ÷3

体積 $V = frac{1}{3} times S_{ABC} times h$（$h$ は点Oから平面ABCへの距離）

$h = |overrightarrow{OH}|$ を計算：

$|overrightarrow{OH}|^2 = frac{1}{9}|vec{a} + vec{b} + vec{c}|^2$

$= frac{1}{9}(|vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 + |vec{c}|^2 + 2vec{a}cdotvec{b} + 2vec{b}cdotvec{c} + 2vec{c}cdotvec{a})$

$= frac{1}{9}(4 + 4 + 4 + 2 + 2 + 2) = frac{18}{9} = 2$

$h = sqrt{2}$

$V = frac{1}{3} times frac{3sqrt{3}}{2} times sqrt{2} = frac{sqrt{6}}{2}$ ✓

この年度の重要テーマと対策

2015年度の出題傾向分析

2015年度の旭川医科大学の数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

旭川医科大学 数学の特徴と傾向

1. 数学Ⅲの微積分が頻出

   毎年、微分・積分の問題は必ず出題されます。極値、変曲点、面積、体積、区分求積法など、幅広い内容を押さえておく必要があります。

2. 空間ベクトルの出題率が高い

   四面体や平面に関する問題が頻出です。スカラー三重積、グラム行列式などを使った体積計算に慣れておきましょう。

3. 確率と漸化式の融合問題

   確率漸化式は医学部入試の定番テーマです。状態を適切に定義し、推移を式で表す練習を積んでください。

4. 整数問題への対応

   mod による議論や、指数を含む不定方程式など、論理的思考力を問う問題が出題されます。

5. 計算量への対応

   試験時間120分で4問を解くため、1問あたり30分が目安です。計算ミスを減らし、効率よく解く訓練が必要です。

効果的な対策法

1. 基礎の徹底

   教科書レベルの問題を完璧にしてから、入試レベルの問題に取り組みましょう。特に数学Ⅲの基本計算（微分・積分）は、素早く正確にできるようになることが必須です。

2. 過去問演習

   旭川医科大学の過去問を最低5年分は解きましょう。出題パターンと難易度の感覚をつかむことが重要です。

3. 類題演習

   他の国公立医学部（特に地方国立大学）の過去問も良い練習になります。札幌医科大学、弘前大学

   他の国公立医学部（特に地方国立大学）の過去問も良い練習になります。札幌医科大学、弘前大学、秋田大学などの問題は難易度が近く、良い演習材料になります。

4. 答案作成力の強化

   記述式試験では、論理的で分かりやすい答案を書く力が求められます。日頃から第三者に添削してもらい、減点されない答案作成を心がけましょう。

5. 時間配分の練習

   本番を意識して、120分で4問を解く練習を繰り返しましょう。難問に固執せず、取れる問題を確実に得点することが合格への近道です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2015年度の旭川医科大学の問題に類似したテーマの練習問題を用意しました。解答・解説付きですので、ぜひチャレンジしてください！

【練習問題1】因数分解と整数（第1問関連）

【解答・解説】

(1) の解答

Step 1： まず差の平方の形で因数分解

$x^8 - 1 = (x^4)^2 - 1^2 = (x^4 + 1)(x^4 - 1)$

Step 2： $x^4 - 1$ をさらに因数分解

$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$

Step 3： $x^4 + 1$ を因数分解

$x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (sqrt{2}x)^2$

$= (x^2 + sqrt{2}x + 1)(x^2 - sqrt{2}x + 1)$

最終解答：

(2) の解答

Step 1： 小さい値で探索

• $a = 1$：$2 + 1 = 3 = 3^1$ より $(a, b) = (1, 1)$ ✓
• $a = 2$：$4 + 1 = 5$（3の累乗でない）
• $a = 3$：$8 + 1 = 9 = 3^2$ より $(a, b) = (3, 2)$ ✓
• $a = 4$：$16 + 1 = 17$（3の累乗でない）
• $a = 5$：$32 + 1 = 33$（3の累乗でない）

Step 2： $a geq 4$ で解がないことを示す

$a geq 4$ のとき、$2^a equiv 0 pmod{16}$ なので $2^a + 1 equiv 1 pmod{16}$

一方、$3^b$ を mod 16 で調べると：

• $3^1 equiv 3$, $3^2 equiv 9$, $3^3 equiv 27 equiv 11$, $3^4 equiv 33 equiv 1 pmod{16}$

周期4で、$3^b equiv 1 pmod{16}$ となるのは $b equiv 0 pmod{4}$ のとき。

$b = 4k$（$k geq 1$）とすると、$3^{4k} = 81^k geq 81$

$2^a + 1 = 81^k$ を満たす $a$ を調べると、$a geq 7$ が必要だが、このとき $2^a + 1$ は $81^k$ の形にならない（詳細な議論により解なし）。

最終解答：

【練習問題2】微分・積分と面積（第2問関連）

【解答・解説】

(1) の解答

Step 1： 導関数を求める

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x + 1)(x - 1)$

Step 2： $f'(x) = 0$ の解

$x = -1, 0, 1$

Step 3： 増減表

Step 4： 極値を計算

• $f(-1) = 1 - 2 = -1$（極小値）
• $f(0) = 0$（極大値）
• $f(1) = 1 - 2 = -1$（極小値）

(2) の解答

Step 1： $f(x) = -1$ の解を求める

$x^4 - 2x^2 = -1$

$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

$(x^2 - 1)^2 = 0$

$x = pm 1$

Step 2： 面積を計算

$-1 leq x leq 1$ で $f(x) geq -1$ なので：

$S = int_{-1}^{1} (f(x) - (-1)) dx = int_{-1}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx$

被積分関数は偶関数なので：

$S = 2int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx$

$= 2left[frac{x^5}{5} - frac{2x^3}{3} + xright]_{0}^{1}$

$= 2left(frac{1}{5} - frac{2}{3} + 1right) = 2 cdot frac{3 - 10 + 15}{15} = 2 cdot frac{8}{15} = frac{16}{15}$

(3) の解答

区分求積法により：

$displaystylelim_{n to infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} fleft(frac{k}{n}right) = int_{0}^{1} f(x) dx = int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2) dx$

$= left[frac{x^5}{5} - frac{2x^3}{3}right]_{0}^{1} = frac{1}{5} - frac{2}{3} = frac{3 - 10}{15} = -frac{7}{15}$

【練習問題3】空間ベクトルと体積（第4問関連）

【解答・解説】

(1) の解答

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2 = 16 - 12 + 9 = 13$

$|overrightarrow{AB}| = sqrt{13}$

$|overrightarrow{BC}|^2 = |vec{c} - vec{b}|^2 = |vec{c}|^2 - 2vec{b} cdot vec{c} + |vec{b}|^2 = 25 - 20 + 16 = 21$

$|overrightarrow{BC}| = sqrt{21}$

$|overrightarrow{CA}|^2 = |vec{a} - vec{c}|^2 = |vec{a}|^2 - 2vec{c} cdot vec{a} + |vec{c}|^2 = 9 - 0 + 25 = 34$

$|overrightarrow{CA}| = sqrt{34}$

(2) の解答

グラム行列式を計算：

$G = detbegin{pmatrix} |vec{a}|^2 & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{a} cdot vec{b} & |vec{b}|^2 & vec{b} cdot vec{c} \ vec{a} cdot vec{c} & vec{b} cdot vec{c} & |vec{c}|^2 end{pmatrix} = detbegin{pmatrix} 9 & 6 & 0 \ 6 & 16 & 10 \ 0 & 10 & 25 end{pmatrix}$

第1行で展開：

$G = 9 cdot detbegin{pmatrix} 16 & 10 \ 10 & 25 end{pmatrix} - 6 cdot detbegin{pmatrix} 6 & 10 \ 0 & 25 end{pmatrix} + 0$

$= 9(400 - 100) - 6(150 - 0) = 9 cdot 300 - 6 cdot 150 = 2700 - 900 = 1800$

$V = frac{1}{6}sqrt{G} = frac{1}{6}sqrt{1800} = frac{1}{6} cdot 30sqrt{2} = 5sqrt{2}$

(3) の解答

Step 1： 三角形OBCの面積を求める

$S_{OBC} = frac{1}{2}sqrt{|vec{b}|^2|vec{c}|^2 - (vec{b} cdot vec{c})^2}$

$= frac{1}{2}sqrt{16 cdot 25 - 100} = frac{1}{2}sqrt{400 - 100} = frac{1}{2}sqrt{300} = frac{10sqrt{3}}{2} = 5sqrt{3}$

Step 2： 垂線の長さ $h$ を求める

四面体OABCにおいて、Aから底面OBCへの垂線の長さを $h$ とすると：

$V = frac{1}{3} S_{OBC} cdot h$

$5sqrt{2} = frac{1}{3} cdot 5sqrt{3} cdot h$

$h = frac{3 cdot 5sqrt{2}}{5sqrt{3}} = frac{3sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{3sqrt{2} cdot sqrt{3}}{3} = sqrt{6}$

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ここまで、旭川医科大学2015年度の数学過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

旭川医科大学の数学は、基礎力をしっかり固めた上で、典型問題を確実に解けるようになれば十分に対応できます。しかし、独学での対策には限界があるのも事実です。

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まとめ

旭川医科大学2015年度の数学は、以下の4つの大問で構成されていました：

1. 第1問：因数分解（$x^6 + 1$）と整数の性質（$3^a - 2^b = 1$）
2. 第2問：三次関数の極値・変曲点、面積、区分求積法
3. 第3問：ランダムウォークの確率と漸化式、無限級数
4. 第4問：空間ベクトル、四面体の体積、垂線の足

全体的に「標準〜やや難」レベルで、基礎がしっかりしていれば7割以上の得点は十分可能です。

医学部合格を目指す皆さん、一緒に頑張りましょう！分からないことがあれば、いつでも日本数学塾・数強塾にご相談ください。

藤原進之介