【大問1】3元の文字式・3次方程式・因数分解

問題のテーマ

大問1は、3元の文字式を用いた計算問題を中心に、3次方程式の解と係数の関係、因数分解など、計算力と基礎知識を問う小問集合でした。

出題内容の概要

具体的には以下のような内容が出題されました：

• (1) 対称式・交代式の計算（基本対称式を用いた式の値）
• (2) 3次方程式の解と係数の関係
• (3) 因数分解（3次式の因数分解）
• (4) 式の値の計算（与えられた条件から導出）

解法のアプローチ

【対称式の計算の基本戦略】

3つの変数 α, β, γ を解とする3次方程式において、基本対称式は以下のように定義されます：

3次方程式 x³ + px² + qx + r = 0 の解が α, β, γ のとき：

• s₁ = α + β + γ = -p
• s₂ = αβ + βγ + γα = q
• s₃ = αβγ = -r

詳細解説

【例題形式での解説】

例えば、3次方程式 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 の3つの解を α, β, γ とするとき、α² + β² + γ² の値を求めよ、という問題を考えます。

解法：

Step 1: 解と係数の関係より

• α + β + γ = 6
• αβ + βγ + γα = 11
• αβγ = 6

Step 2: 求める式を変形

α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)

= 6² - 2 × 11

= 36 - 22

= 14

【3次式の因数分解のポイント】

3次式 f(x) = ax³ + bx² + cx + d の因数分解では：

1. 因数定理を活用：f(α) = 0 となる α を見つける
2. 整数解の候補：±（d の約数）÷（a の約数）
3. 組立除法で商を求める

例えば、x³ - 6x² + 11x - 6 を因数分解する場合：

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 より、(x - 1) が因数

組立除法により：

x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x² - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

本問のポイント

類題・練習問題

以下の問題で類似のパターンを練習しましょう：

• チャート式（青）：例題95〜100（対称式と解と係数の関係）
• Focus Gold：第2章 複素数と方程式 演習問題
• 1対1対応の演習：数学Ⅱ 第2章

【大問2】複素数の方程式

問題のテーマ

大問2では、複素数に関する方程式が出題されました。具体的には：

解法のアプローチ

【複素数の方程式の基本戦略】

複素数 z を z = x + yi（x, y は実数）とおき、方程式に代入して実部と虚部を比較する方法が基本です。

ただし、この問題のような形式では、平方完成を用いる方法も有効です。

詳細解説

【方法1：平方完成による解法】

方程式 z² - 4iz = 4√3 i を変形します。

z² - 4iz = 4√3 i

左辺を平方完成するために、(z - 2i)² を考えます：

(z - 2i)² = z² - 4iz + (2i)² = z² - 4iz - 4

したがって：

z² - 4iz = (z - 2i)² + 4

元の方程式に代入：

(z - 2i)² + 4 = 4√3 i

(z - 2i)² = 4√3 i - 4

(z - 2i)² = -4 + 4√3 i

(z - 2i)² = 4(-1 + √3 i)

ここで、-1 + √3 i を極形式に変換します：

|-1 + √3 i| = √(1 + 3) = 2

偏角を θ とすると：

cos θ = -1/2, sin θ = √3/2

θ = 2π/3

したがって：

-1 + √3 i = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))

(z - 2i)² = 8(cos(2π/3) + i sin(2π/3))

z - 2i の平方根を求めると：

z - 2i = ±√8 (cos(π/3) + i sin(π/3)) または ±√8 (cos(π/3 + π) + i sin(π/3 + π))

= ±2√2 (1/2 + (√3/2)i) または ±2√2 (-1/2 - (√3/2)i)

= ±(√2 + √6 i) または ±(-√2 - √6 i)

したがって：

z = 2i + √2 + √6 i = √2 + (2 + √6)i

z = 2i - √2 - √6 i = -√2 + (2 - √6)i

【方法2：z = x + yi とおく方法】

z = x + yi（x, y は実数）を方程式に代入します。

z² = (x + yi)² = x² - y² + 2xyi

4iz = 4i(x + yi) = 4ix - 4y = -4y + 4xi

z² - 4iz = (x² - y² + 4y) + (2xy - 4x)i

これが 4√3 i = 0 + 4√3 i に等しいので：

実部：x² - y² + 4y = 0 ⋯①

虚部：2xy - 4x = 4√3 ⋯②

②より：2x(y - 2) = 4√3

x(y - 2) = 2√3 ⋯②'

①より：x² = y² - 4y = y(y - 4)

②'を変形して x = 2√3/(y - 2) を①に代入：

12/(y - 2)² = y(y - 4)

12 = y(y - 4)(y - 2)²

この4次方程式を解くことで y の値が求まり、対応する x の値も得られます。

本問のポイント

類題・練習問題

• チャート式（青）：複素数平面 例題（2次方程式の複素数解）
• Focus Gold：数学C 複素数平面の章
• 大学への数学 1対1対応：複素数平面編

【大問3】微分積分（関数の増減・面積）

問題のテーマ

大問3は、数学Ⅲの微分積分からの出題で、関数の増減と面積計算が主なテーマでした。青学理工の数学において、最も差がつく分野の一つです。

出題内容の概要

具体的には以下のような内容が含まれていました：

• (1) 導関数 f'(x)、第2次導関数 f''(x) の計算
• (2) 増減表の作成と極値の決定
• (3) 部分分数分解（恒等式の決定）
• (4) 曲線と x 軸で囲まれた部分の面積

解法のアプローチ

【微分法の基本公式】

詳細解説

【例題】 f(x) = e⁻ˣ sin x について、以下の問いに答えよ。

(1) f'(x) と f''(x) を求めよ。

解答：

f'(x) = (e⁻ˣ)' · sin x + e⁻ˣ · (sin x)'

= -e⁻ˣ sin x + e⁻ˣ cos x

= e⁻ˣ(cos x - sin x)

f''(x) = (e⁻ˣ)'(cos x - sin x) + e⁻ˣ(cos x - sin x)'

= -e⁻ˣ(cos x - sin x) + e⁻ˣ(-sin x - cos x)

= e⁻ˣ(-cos x + sin x - sin x - cos x)

= -2e⁻ˣ cos x

(2) f(x) の 0 ≤ x ≤ 2π における増減を調べ、極値を求めよ。

解答：

f'(x) = 0 となる x を求める：

e⁻ˣ(cos x - sin x) = 0

e⁻ˣ > 0 より、cos x - sin x = 0

tan x = 1

x = π/4, 5π/4（0 ≤ x ≤ 2π において）

増減表：

極大値：f(π/4) = e⁻^(π/4) · sin(π/4) = (√2/2)e⁻^(π/4)

極小値：f(5π/4) = e⁻^(5π/4) · sin(5π/4) = -(√2/2)e⁻^(5π/4)

【部分分数分解のテクニック】

出題された恒等式の問題は以下の形式でした：

解法：

両辺に t²(t - 3) をかけて：

1 = at(t - 3) + b(t - 3) + ct²

特定の値を代入する方法：

• t = 0 を代入：1 = -3b → b = -1/3
• t = 3 を代入：1 = 9c → c = 1/9
• t = 1 を代入：1 = -2a - 2b + c = -2a + 2/3 + 1/9 = -2a + 7/9
• 2/9 = -2a → a = -1/9

【面積計算】

曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積は：

f(x) の符号に注意して、正負で区間を分けて積分します。

本問のポイント

類題・練習問題

• チャート式（青）数学続きを作成します。

  ```html

  • チャート式（青）数学Ⅲ：微分法の応用 例題180〜200
  • Focus Gold 数学Ⅲ：第4章 微分法の応用、第5章 積分法
  • 1対1対応の演習 数学Ⅲ：微分・積分編
  • 標準問題精講 数学Ⅲ：微分積分の章