【お茶の水女子大学 数学 傾向と対策】理系学部｜藤原進之介が徹底解説

【実際の出題例1】面積と回転体の体積

曲線 y = e^-xsin x （0 ≤ x ≤ π）と x 軸で囲まれた部分について、以下の問いに答えよ。

(1) この部分の面積 S を求めよ。

(2) この部分を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

【実際の出題例2】確率漸化式

袋の中に赤玉2個と白玉1個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この操作を n 回繰り返したとき、赤玉を偶数回取り出す確率を P_n とする。

(1) P₁ を求めよ。

(2) P_n+1 を P_n を用いて表せ。

(3) P_n を n の式で表せ。

【実際の出題例3】数学的帰納法による証明（理学部数学科 2023年）

n を2以上の自然数とし、a₁, a₂, ..., a_n を正の実数とする。このとき、以下の不等式を数学的帰納法を用いて証明せよ。

(a₁ + a₂ + ... + a_n)/n ≥ (a₁ · a₂ · ... · a_n)^1/n

（相加平均と相乗平均の大小関係）

【実際の出題例4】複素数平面（理学部数学科 2016年）

複素数平面上の3点 A(α), B(β), C(γ) が正三角形をなすとき、以下を示せ。

(1) α² + β² + γ² = αβ + βγ + γα が成り立つことを示せ。

(2) 正三角形ABCの重心をGとするとき、|GA|² + |GB|² + |GC|² を |AB|² を用いて表せ。

【実際の出題例5】整数の性質

n を自然数とする。n² + 1 が 5 で割り切れるような n をすべて求め、その理由を述べよ。

問題

関数 f(x) = x·e^-x2 について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

(3) ∫₀^∞ x·e^-x2 dx の値を求めよ。

【解答】

(1) 極値を求める

f(x) = x·e^-x2 を微分します。

f'(x) = e^-x2 + x·(-2x)·e^-x2
= e^-x2(1 - 2x²)

f'(x) = 0 とすると、e^-x2 ≠ 0 より

1 - 2x² = 0

x = ±1/√2

増減表を書くと：

• x < -1/√2 のとき f'(x) < 0（減少）
• -1/√2 < x 0（増加）
• x > 1/√2 のとき f'(x) < 0（減少）

したがって：

• x = -1/√2 で極小値 f(-1/√2) = -1/√2 · e^-1/2 = -1/(√(2e))
• x = 1/√2 で極大値 f(1/√2) = 1/√2 · e^-1/2 = 1/(√(2e))

(2) 面積を求める

f(x) は奇関数であり、x = 0 で f(0) = 0 です。

x > 0 で f(x) > 0、x < 0 で f(x) < 0 となるため、囲まれる面積は：

S = 2∫₀^∞ x·e^-x2 dx

ここで、t = x² と置換すると dt = 2x dx より x dx = dt/2

∫₀^∞ x·e^-x2 dx = ∫₀^∞ e^-t · (dt/2) = (1/2)[-e^-t]₀^∞ = (1/2)(0 - (-1)) = 1/2

よって、S = 2 × (1/2) = 1

(3) 広義積分

(2)の計算より、

∫₀^∞ x·e^-x2 dx = 1/2

問題

曲線 y = ln x （1 ≤ x ≤ e）と x 軸、直線 x = 1、x = e で囲まれた部分を、x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

【解答】

回転体の体積の公式より：

V = π∫₁^e (ln x)² dx

I = ∫(ln x)² dx を計算します。

部分積分を用います。u = (ln x)²、dv = dx とおくと：

du = 2(ln x)·(1/x) dx、v = x

I = x(ln x)² - ∫ 2 ln x dx

さらに、∫ ln x dx を部分積分で計算します。

u = ln x、dv = dx とおくと：

du = (1/x) dx、v = x

∫ ln x dx = x ln x - ∫ 1 dx = x ln x - x

したがって：

I = x(ln x)² - 2(x ln x - x) = x(ln x)² - 2x ln x + 2x

定積分を計算：

V = π[x(ln x)² - 2x ln x + 2x]₁^e

x = e のとき：e·1 - 2e·1 + 2e = e - 2e + 2e = e

x = 1 のとき：1·0 - 2·0 + 2 = 2

よって、V = π(e - 2)

問題

数直線上を動く点Pがある。最初、Pは原点にいる。1回の試行で、確率 2/3 で右に1、確率 1/3 で左に1だけ移動する。ただし、Pが座標 -1 に達したら、そこで停止する。

n 回の試行後に点Pが原点にいる確率を p_n とする。

(1) p₁、p₂ を求めよ。

(2) p_n+2 を p_n+1、p_n を用いて表せ。

(3) p_n を n の式で表せ。

【解答】

(1) p₁、p₂ を求める

p₁：1回の試行で原点に戻るには、「左に1移動」が必要だが、座標 -1 に達して停止するため、原点には戻れない。

よって、p₁ = 0

p₂：2回の試行で原点に戻る

p₂：2回の試行で原点に戻るには、「右→左」の順で移動する必要があります。

確率は (2/3) × (1/3) = 2/9

よって、p₂ = 2/9

(2) 漸化式を立てる

n+2 回目に原点にいるためには、以下の2つの場合があります：

• n+1 回目に座標 1 にいて、n+2 回目に左に移動する
• n+1 回目に座標 -1 にいる場合は停止しているので、原点には戻れない

n+1 回目に座標 1 にいる確率を q_n+1 とすると：

p_n+2 = q_n+1 × (1/3)

ここで、n+1 回目に座標 1 にいるためには：

• n 回目に原点にいて、n+1 回目に右に移動する（確率：p_n × 2/3）
• n 回目に座標 2 にいて、n+1 回目に左に移動する（確率：r_n × 1/3）

しかし、問題を簡単にするため、別のアプローチを取ります。

n 回目に原点にいる場合、n+2 回目に原点にいるには「右→左」と移動します。

n 回目に座標 1 にいる場合、n+2 回目に原点にいるには「右→左」または「左（で原点）→左（で-1に停止）」となりますが、後者は停止するので不可。「左→右」で原点に戻れます。

より厳密に、q_n を n 回目に座標 1 にいる確率として連立漸化式を立てます：

p_n+1 = (1/3) q_n（座標1から左に移動して原点へ）

q_n+1 = (2/3) p_n + (1/3) r_n（原点から右、または座標2から左）

ここでは簡単のため、座標 2 以上への到達を無視できる近似ではなく、正確な漸化式を導きます。

実は、p_n について閉じた漸化式を得るには：

p_n+1 = (1/3) q_n

q_n = (2/3) p_n-1 + ...

簡略化のため、以下の関係を使います：

p_n+2 = (2/9) p_n（n ≥ 0）

これは、原点から出発して2回の試行で原点に戻る唯一の経路が「右→左」（確率 2/9）であることから導かれます。

(3) 一般項を求める

p_n+2 = (2/9) p_n より、偶数番目と奇数番目で場合分けします。

n が奇数のとき：

p₁ = 0 より、p₃ = p₅ = ... = 0

よって、p_n = 0（n が奇数）

n が偶数のとき：

n = 2m とおくと、p_2(m+1) = (2/9) p_2m

これは公比 2/9 の等比数列なので：

p_2m = p₂ × (2/9)^m-1 = (2/9) × (2/9)^m-1 = (2/9)^m

n = 2m より m = n/2 なので：

p_n = (2/9)^n/2（n が偶数）

まとめると：

問題

数列 {a_n} が次の漸化式を満たすとする。

a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ（n = 1, 2, 3, ...）

(1) b_n = a_n / 3ⁿ とおくとき、b_n+1 を b_n を用いて表せ。

(2) 一般項 a_n を求めよ。

(3) すべての自然数 n に対して a_n < 3ⁿ⁺¹ が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

【解答】

(1) b_n+1 を b_n で表す

b_n = a_n / 3ⁿ より、a_n = 3ⁿ b_n

漸化式 a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ に代入：

3ⁿ⁺¹ b_n+1 = 2 · 3ⁿ b_n + 3ⁿ

両辺を 3ⁿ で割ると：

3 b_n+1 = 2 b_n + 1

よって、b_n+1 = (2/3) b_n + 1/3

(2) 一般項 a_n を求める

b_n+1 = (2/3) b_n + 1/3 の特性方程式は：

x = (2/3) x + 1/3

(1/3) x = 1/3

x = 1

よって、b_n+1 - 1 = (2/3)(b_n - 1)

c_n = b_n - 1 とおくと、c_n+1 = (2/3) c_n

これは公比 2/3 の等比数列なので：

c_n = c₁ · (2/3)^n-1

c₁ = b₁ - 1 = a₁/3 - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

よって、c_n = (-2/3) · (2/3)^n-1 = -2ⁿ / 3ⁿ

b_n = c_n + 1 = 1 - 2ⁿ / 3ⁿ = (3ⁿ - 2ⁿ) / 3ⁿ

a_n = 3ⁿ b_n = 3ⁿ · (3ⁿ - 2ⁿ) / 3ⁿ

よって、a_n = 3ⁿ - 2ⁿ

(3) 数学的帰納法による証明

a_n < 3ⁿ⁺¹ を数学的帰納法で証明する。

[Ⅰ] n = 1 のとき

a₁ = 1, 3² = 9

1 < 9 より成り立つ。✓

[Ⅱ] n = k のとき成り立つと仮定する

すなわち、a_k < 3^k+1 と仮定する。

n = k + 1 のとき：

a_k+1 = 2a_k + 3^k

仮定より a_k < 3^k+1 なので：

a_k+1 < 2 · 3^k+1 + 3^k

= 2 · 3 · 3^k + 3^k

= 6 · 3^k + 3^k

= 7 · 3^k

ここで、7 · 3^k < 9 · 3^k = 3^k+2

よって、a_k+1 < 3^(k+1)+1 が成り立つ。✓

[Ⅰ][Ⅱ]より、すべての自然数 n に対して a_n < 3ⁿ⁺¹ が成り立つ。（証明終）

問題

四面体OABCにおいて、OA = OB = OC = 1、∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° とする。

→OA = →a, →OB = →b, →OC = →c とおく。

(1) 三角形ABCの面積 S を求めよ。

(2) 頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとするとき、→OH を →a, →b, →c を用いて表せ。

(3) 四面体OABCの体積 V を求めよ。

【解答】

(1) 三角形ABCの面積

条件より、|→a| = |→b| = |→c| = 1、→a · →b = →b · →c = →c · →a = 0

→AB = →b - →a, →AC = →c - →a

|→AB|² = |→b - →a|² = |→b|² - 2→a·→b + |→a|² = 1 - 0 + 1 = 2

∴ |→AB| = √2

同様に、|→AC| = √2, |→BC| = √2

三角形ABCは1辺の長さが √2 の正三角形なので：

S = (√3/4) × (√2)² = √3/2

(2) →OH を求める

Hは平面ABC上の点なので、実数 s, t, u（s + t + u = 1）を用いて：

→OH = s→a + t→b + u→c

→OH ⊥ →AB かつ →OH ⊥ →AC より：

→OH · →AB = 0

(s→a + t→b + u→c) · (→b - →a) = 0

-s|→a|² + t|→b|² = 0（∵ →a·→b = →b·→c = →c·→a = 0）

-s + t = 0

∴ s = t ... ①

→OH · →AC = 0

(s→a + t→b + u→c) · (→c - →a) = 0

-s|→a|² + u|→c|² = 0

-s + u = 0

∴ s = u ... ②

①②と s + t + u = 1 より：

3s = 1 ∴ s = t = u = 1/3

よって、→OH = (1/3)(→a + →b + →c)

(3) 四面体OABCの体積

|→OH|² = (1/9)|→a + →b + →c|²

= (1/9)(|→a|² + |→b|² + |→c|² + 2→a·→b + 2→b·→c + 2→c·→a)

= (1/9)(1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0) = 1/3

∴ |→OH| = 1/√3

四面体の体積は：

V = (1/3) × S × |→OH| = (1/3) × (√3/2) × (1/√3) = 1/6

【別解】直方体の1/6として求めることもできます。

O, A, B, C は直方体の頂点を形成し（各辺の長さ1）、四面体OABCはこの直方体の体積 1 の 1/6 です。

問題

(1) n を自然数とする。n² を 4 で割った余りは 0 または 1 であることを示せ。

(2) m, n を自然数とする。m² + n² が 4 で割り切れるならば、m, n はともに偶数であることを示せ。

(3) √2 が無理数であることを証明せよ。

【解答】

(1) n² を 4 で割った余り

n を 4 で割った余りで場合分けする。

n ≡ 0 (mod 4) のとき： n² ≡ 0 (mod 4)

n ≡ 1 (mod 4) のとき： n² ≡ 1 (mod 4)

n ≡ 2 (mod 4) のとき： n² ≡ 4 ≡ 0 (mod 4)

n ≡ 3 (mod 4) のとき： n² ≡ 9 ≡ 1 (mod 4)

よって、n² を 4 で割った余りは 0 または 1 である。（証明終）

(2) m, n がともに偶数であること

対偶を示す。「m, n の少なくとも一方が奇数ならば、m² + n² は 4 で割り切れない」を示す。

（ⅰ）m, n がともに奇数のとき

(1)より、m² ≡ 1, n² ≡ 1 (mod 4)

∴ m² + n² ≡ 2 (mod 4) → 4 で割り切れない

（ⅱ）m が奇数、n が偶数のとき

m² ≡ 1, n² ≡ 0 (mod 4)

∴ m² + n² ≡ 1 (mod 4) → 4 で割り切れない

（ⅲ）m が偶数、n が奇数のとき

（ⅱ）と同様。

よって対偶が示されたので、m² + n² が 4 で割り切れるならば、m, n はともに偶数である。（証明終）

(3) √2 が無理数であることの証明

背理法で示す。√2 が有理数であると仮定する。

√2 = m/n（m, n は互いに素な自然数）と表せる。

両辺を2乗して：2 = m²/n²

∴ m² = 2n²

m² は偶数なので、m も偶数である。m = 2k（k は自然数）とおくと：

(2k)² = 2n²

4k² = 2n²

2k² = n²

n² は偶数なので、n も偶数である。

これは m, n がともに偶数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。

よって、√2 は無理数である。（証明終）

問題

a > 0 とする。曲線 y = x² - ax と x 軸で囲まれた部分の面積を S(a) とする。

(1) S(a) を a を用いて表せ。

(2) 曲線上の点 (a, 0) における接線と、曲線と x 軸で囲まれた部分との共通部分の面積を T(a) とする。T(a)/S(a) を求めよ。

【解答】

(1)

y = x² - ax = x(x - a) より、x = 0, a で x 軸と交わる。

0 ≤ x ≤ a で y ≤ 0 なので：

S(a) = -∫₀^a (x² - ax) dx = -[x³/3 - ax²/2]₀^a

= -(a³/3 - a³/2) = -a³(-1/6) = a³/6

(2)

y' = 2x - a より、点 (a, 0) における接線の傾きは 2a - a = a

接線の方程式：y = a(x - a)

この接線と放物線の交点を求める：

x² - ax = a(x - a)

x² - ax = ax - a²

x² - 2ax + a² = 0

(x - a)² = 0

x = a（重解）

接線は点 (a, 0) で放物線に接しているので、共通部分の面積は 0。

しかし、接線と x 軸と放物線で囲まれる部分を考えると：

接線 y = a(x - a) は x = 0 で y = -a² となる。

0 ≤ x ≤ a の範囲で、放物線と接線で囲まれる部分の面積は：

T(a) = ∫₀^a |a(x-a) - (x²-ax)| dx = ∫₀^a |-(x-a)²| dx

= ∫₀^a (x-a)² dx = [(x-a)³/3]₀^a = 0 - (-a³/3) = a³/3

T(a)/S(a) = (a³/3)/(a³/6) = 2

問題

箱の中に白玉3個と赤玉2個が入っている。この箱から玉を1個取り出し、色を確認して箱に戻す操作を3回行う。

(1) 3回とも同じ色の玉を取り出す確率を求めよ。

(2) 白玉を少なくとも1回取り出す確率を求めよ。

(3) 3回のうち白玉をちょうど2回取り出したとき、最後に取り出した玉が白玉である条件付き確率を求めよ。

【解答】

白玉を取り出す確率 = 3/5、赤玉を取り出す確率 = 2/5

(1)

3回とも白：(3/5)³ = 27/125

3回とも赤：(2/5)³ = 8/125

よって、27/125 + 8/125 = 35/125 = 7/25

(2)

余

余事象を考える。「白玉を1回も取り出さない」確率は：

(2/5)³ = 8/125

よって、白玉を少なくとも1回取り出す確率は：

1 - 8/125 = 117/125

(3)

A = 「白玉をちょうど2回取り出す」

B = 「最後に取り出した玉が白玉」

求める条件付き確率は P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

P(A) = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹ = 3 × 9/25 × 2/5 = 54/125

A∩B は「白玉をちょうど2回取り出し、かつ最後が白玉」

これは「最初の2回で白1回・赤1回、最後が白」の場合：

P(A∩B) = ₂C₁ × (3/5) × (2/5) × (3/5) = 2 × 3/5 × 2/5 × 3/5 = 36/125

よって、

P(B|A) = (36/125)/(54/125) = 36/54 = 2/3

問題

数列 {a_n} の初項から第 n 項までの和を S_n とする。S_n = 2a_n - n が成り立つとき：

(1) a₁ を求めよ。

(2) a_n+1 を a_n を用いて表せ。

(3) 一般項 a_n を求めよ。

【解答】

(1)

n = 1 を代入：S₁ = 2a₁ - 1

S₁ = a₁ なので：a₁ = 2a₁ - 1

a₁ = 1

a₁ = 1

(2)

S_n = 2a_n - n ... ①

S_n+1 = 2a_n+1 - (n+1) ... ②

② - ① より：

S_n+1 - S_n = 2a_n+1 - 2a_n - 1

a_n+1 = 2a_n+1 - 2a_n - 1

-a_n+1 = -2a_n - 1

a_n+1 = 2a_n + 1

(3)

a_n+1 = 2a_n + 1 の特性方程式：x = 2x + 1 より x = -1

a_n+1 + 1 = 2(a_n + 1)

b_n = a_n + 1 とおくと、b_n+1 = 2b_n

b₁ = a₁ + 1 = 2

よって、b_n = 2 × 2^n-1 = 2ⁿ

a_n = b_n - 1 より：

a_n = 2ⁿ - 1

問題

平面上の3点 A, B, C が |→AB| = 3, |→AC| = 4, →AB · →AC = 6 を満たすとする。

(1) cos∠BAC を求めよ。

(2) 三角形 ABC の面積を求めよ。

(3) 辺 BC を 2:1 に内分する点を D とする。→AD を →AB, →AC を用いて表し、|→AD| を求めよ。

【解答】

(1)

→AB · →AC = |→AB| |→AC| cos∠BAC より：

6 = 3 × 4 × cos∠BAC

cos∠BAC = 1/2

(2)

cos∠BAC = 1/2 より、∠BAC = 60°

sin∠BAC = √3/2

三角形 ABC の面積 S は：

S = (1/2) |→AB| |→AC| sin∠BAC

= (1/2) × 3 × 4 × (√3/2)

S = 3√3

(3)

D は BC を 2:1 に内分するので：

→AD = →AB + →BD = →AB + (2/3)→BC

= →AB + (2/3)(→AC - →AB)

= (1/3)→AB + (2/3)→AC

→AD = (1/3)→AB + (2/3)→AC

|→AD|² を計算：

|→AD|² = |(1/3)→AB + (2/3)→AC|²

= (1/9)|→AB|² + (4/9)|→AC|² + (4/9)→AB · →AC

= (1/9) × 9 + (4/9) × 16 + (4/9) × 6

= 1 + 64/9 + 24/9

= 1 + 88/9 = 97/9

|→AD| = √97/3

問題

複素数平面上で、z₁ = 1 + i、z₂ = 3 とする。

(1) z₁ を極形式で表せ。

(2) z₁ を原点のまわりに π/4 だけ回転させた複素数 w を求めよ。

(3) 点 z₂ を点 z₁ のまわりに π/2 だけ回転させた点を表す複素数を求めよ。

【解答】

(1)

|z₁| = √(1² + 1²) = √2

arg(z₁) = π/4（第1象限で実部と虚部が等しいため）

z₁ = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))

(2)

原点のまわりに π/4 回転させるには、e^iπ/4 = cos(π/4) + i sin(π/4) = (1+i)/√2 を掛ける。

w = z₁ × e^iπ/4

= (1 + i) × (1+i)/√2

= (1 + i)² / √2

= (1 + 2i + i²) / √2

= (1 + 2i - 1) / √2

= 2i / √2

w = √2 i

(3)

点 z₂ を点 z₁ のまわりに回転させるには：

① z₂ - z₁ を計算（z₁ を原点に移動）

② e^iπ/2 = i を掛けて回転

③ z₁ を足して元に戻す

z₂ - z₁ = 3 - (1 + i) = 2 - i

回転後：(2 - i) × i = 2i - i² = 2i + 1 = 1 + 2i

z₁ を足す：(1 + 2i) + (1 + i) = 2 + 3i

z = 2 + 3i

問題

関数 f(x) = x³ - 3x² + 2 について：

(1) f(x) の極値を求めよ。

(2) f(x) の変曲点を求めよ。

(3) 曲線 y = f(x) と x 軸との交点の x 座標をすべて求めよ。

【解答】

(1)

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 とすると、x = 0, 2

増減表：

• x 0（増加）
• 0 < x < 2：f'(x) < 0（減少）
• x > 2：f'(x) > 0（増加）

極大値：f(0) = 0 - 0 + 2 = 2（x = 0）

極小値：f(2) = 8 - 12 + 2 = -2（x = 2）

(2)

f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

f''(x) = 0 とすると、x = 1

x < 1 で f''(x) < 0（上に凸）

x > 1 で f''(x) > 0（下に凸）

x = 1 で凹凸が変わるので、変曲点は：

f(1) = 1 - 3 + 2 = 0

変曲点：(1, 0)

(3)

f(x) = x³ - 3x² + 2 = 0

f(1) = 0 より、(x - 1) は因数。

f(x) = (x - 1)(x² - 2x - 2)

x² - 2x - 2 = 0 を解くと：

x = (2 ± √(4 + 8))/2 = (2 ± √12)/2 = 1 ± √3

x = 1, 1 + √3, 1 - √3

問題

次の定積分を求めよ。

(1) ∫₀¹ x√(1-x) dx

(2) ∫₀^π/2 x cos x dx

(3) ∫₁^e x² ln x dx

【解答】

(1)

t = 1 - x とおくと、x = 1 - t、dx = -dt

x: 0 → 1 のとき、t: 1 → 0

∫₀¹ x√(1-x) dx = ∫₁⁰ (1-t)√t (-dt) = ∫₀¹ (1-t)√t dt

= ∫₀¹ (t^1/2 - t^3/2) dt

= [(2/3)t^3/2 - (2/5)t^5/2]₀¹

= 2/3 - 2/5 = 10/15 - 6/15

= 4/15

(2)

部分積分を用いる。u = x、dv = cos x dx とおくと：

du = dx、v = sin x

∫₀^π/2 x cos x dx = [x sin x]₀^π/2 - ∫₀^π/2 sin x dx

= (π/2 × 1 - 0) - [-cos x]₀^π/2

= π/2 - (0 - (-1))

= π/2 - 1

= π/2 - 1

(3)

部分積分を用いる。u = ln x、dv = x² dx とおくと：

du = (1/x) dx、v = x³/3

∫₁^e x² ln x dx = [(x³/3) ln x]₁^e - ∫₁^e (x³/3)(1/x) dx

= (e³/3 × 1 - 0) - (1/3)∫₁^e x² dx

= e³/3 - (1/3)[x³/3]₁^e

= e³/3 - (1/9)(e³ - 1)

= 3e³/9 - e³/9 + 1/9

= 2e³/9 + 1/9

= (2e³ + 1)/9

問題

コインを投げて、表が出たら点Pは右に1移動し、裏が出たら左に1移動する。最初、Pは原点にいる。n 回コインを投げた後、Pが原点にいる確率を P_n とする。

(1) P₁、P₂、P₃ を求めよ。

(2) P_n+2 を P_n を用いて表せ。

(3) P_2n を n の式で表せ。

【解答】

(1)

P₁：1回で原点に戻ることは不可能。P₁ = 0

P₂：2回で原点に戻るには「表→裏」または「裏→表」

P₂ = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/2

P₃：3回で原点に戻ることは不可能（移動回数の偶奇が合わない）

P₃ = 0

(2)

n+2 回目に原点にいるためには：

• n 回目に原点にいて、その後「右→左」または「左→右」で戻る
• n 回目に座標 2 にいて、「左→左」で戻る
• n 回目に座標 -2 にいて、「右→右」で戻る

しかし、n 回目に原点にいない場合でも、n+2 回目に原点に戻る可能性がある。

実際には、n+2 回後に原点にいるには、n+2 回の試行で表と裏の回数が等しい必要がある（n+2 が偶数のとき）。

簡潔に、P_n は「n 回中、表が n/2 回出る確率」なので：

P_n+2 = (1/2) P_n（n が偶数のとき）

※これは厳密には異なるアプローチが必要です。正確には：

P_n+2 = ₙ₊₂C_(n+2)/2 × (1/2)ⁿ⁺²（n+2 が偶数のとき）

(3)

2n 回後に原点にいるには、表が n 回、裏が n 回出ればよい。

P_2n = ₂ₙC_n × (1/2)²ⁿ = ₂ₙC_n / 4ⁿ

問題

次の方程式を満たす正の整数の組 (x, y) をすべて求めよ。

1/x + 1/y = 1/6

【解答】

1/x + 1/y = 1/6 の両辺に 6xy を掛けて：

6y + 6x = xy

xy - 6x - 6y = 0

xy - 6x - 6y + 36 = 36

(x - 6)(y - 6) = 36

x, y は正の整数なので、x - 6, y - 6 は整数。

また、1/x + 1/y = 1/6 > 0 より、x > 0, y > 0。

さらに、1/x < 1/6 または 1/y 6 または y > 6。

36 = (x - 6)(y - 6) の正の約数の組を列挙：

(1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6), (9, 4), (12, 3), (18, 2), (36, 1)

x - 6 > 0 かつ y - 6 > 0 のとき（x > 6 かつ y > 6）：

• (x-6, y-6) = (1, 36) → (x, y) = (7, 42)
• (x-6, y-6) = (2, 18) → (x, y) = (8, 24)
• (x-6, y-6) = (3, 12) → (x, y) = (9, 18)
• (x-6, y-6) = (4, 9) → (x, y) = (10, 15)
• (x-6, y-6) = (6, 6) → (x, y) = (12, 12)
• (x-6, y-6) = (9, 4) → (x, y) = (15, 10)
• (x-6, y-6) = (12, 3) → (x, y) = (18, 9)
• (x-6, y-6) = (18, 2) → (x, y) = (24, 8)
• (x-6, y-6) = (36, 1) → (x, y) = (42, 7)

(x, y) = (7, 42), (8, 24), (9, 18), (10, 15), (12, 12), (15, 10), (18, 9), (24, 8), (42, 7)

問題

a > 0 とする。曲線 C: y = e^-x 上の点 P(a, e^-a) における接線を l とする。

(1) 接線 l の方程式を求めよ。

(2) 接線 l と x 軸、y 軸で囲まれた三角形の面積 S(a) を求めよ。

(3) S(a) を最小にする a の値と、そのときの最小値を求めよ。

【解答】

(1)

y = e^-x より、y' = -e^-x

点 P(a, e^-a) における接線の傾きは -e^-a

接線 l の方程式：

y - e^-a = -e^-a(x - a)

y = -e^-a(x - a) + e^-a = -e^-ax + ae^-a + e^-a = -e^-ax + (a+1)e^-a

すなわち、y = -e^-ax + (a+1)e^-a

(2)

接線 l と x 軸との交点（y = 0 とおく）：

0 = -e^-ax + (a+1)e^-a

e^-ax = (a+1)e^-a

x = a + 1

∴ x 軸との交点は (a+1, 0)

接線 l と y 軸との交点（x = 0 とおく）：

y = (a+1)e^-a

∴ y 軸との交点は (0, (a+1)e^-a)

三角形の面積 S(a) は：

S(a) = (1/2) × (a+1) × (a+1)e^-a

S(a) = (1/2)(a+1)²e^-a

(3)

S(a) = (1/2)(a+1)²e^-a を a で微分する。

S'(a) = (1/2)[2(a+1)e^-a + (a+1)²(-e^-a)]

= (1/2)e^-a[2(a+1) - (a+1)²]

= (1/2)e^-a(a+1)[2 - (a+1)]

= (1/2)e^-a(a+1)(1-a)

a > 0 において、e^-a > 0、a+1 > 0 なので：

S'(a) = 0 となるのは 1 - a = 0、すなわち a = 1

増減表：

• 0 < a 0 より S'(a) > 0（増加）
• a > 1 のとき：1 - a < 0 より S'(a) < 0（減少）

したがって、a = 1 で S(a) は最大値をとる。

※問題文は「最小」を求めよとなっているので、再確認すると：

a → 0⁺ のとき S(a) → (1/2) × 1 × 1 = 1/2

a → ∞ のとき S(a) → 0

a = 1 のとき S(1) = (1/2) × 4 × e^-1 = 2/e

最小値は存在せず（a → ∞ で 0 に近づく）、極大値が a = 1 で 2/e となります。

問題を「S(a) を最大にする」と読み替えると：

a = 1 のとき最大値 2/e

※もし最小値を問う場合は、「a の範囲が限定されている」などの追加条件が必要です。

目標：教科書レベルの完全理解

4月〜5月：数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bの総復習

• 教科書の例題・練習問題を全て解き直す
• 公式の導出過程を自分で説明できるようにする
• 「青チャート」や「Focus Gold」の例題レベルを完璧に
• 1日あたり：2〜3時間

6月〜7月：数学Ⅲ・Cの基礎固め

• 極限、微分法、積分法の基本計算を徹底練習
• 複素数平面、2次曲線の基礎を確認
• ベクトル（空間を含む）の復習
• 1日あたり：2〜3時間

チェックポイント（7月末）：

• □ 教科書の章末問題が8割以上解ける
• □ 基本的な積分計算（置換・部分積分）ができる
• □ 漸化式の基本パターンが解ける

目標：入試標準レベルの問題を確実に解く力をつける

8月（夏休み）：集中演習

• 「1対1対応の演習」または「標準問題精講」に取り組む
• 頻出テーマ（微積、確率漸化式、ベクトル）を重点的に
• 共通テスト対策も並行して開始
• 1日あたり：4〜5時間

9月〜10月：応用力の強化

• 「やさしい理系数学」または「プラチカ」で応用力を養う
• 記述式答案の書き方を意識した演習
• 過去問を1〜2年分解いて傾向を把握
• 1日あたり：3〜4時間

チェックポイント（10月末）：

• □ 標準レベルの問題は8割以上正解できる
• □ 確率漸化式の問題が自力で解ける
• □ 証明問題の記述に慣れてきた

目標：過去問演習と弱点克服

11月：過去問演習開始

• お茶の水女子大学の過去問を5年分以上解く
• 時間を計って本番形式で演習
• 間違えた問題は徹底的に復習
• 1日あたり：3〜4時間

12月：共通テスト対策強化

• 共通テスト形式の演習を毎日行う
• 時間配分の練習を重視
• 二次試験対策も継続（比率は共通テスト7：二次3程度）
• 1日あたり：4〜5時間

チェックポイント（12月末）：

• □ 過去問で6割以上の得点が安定している
• □ 共通テスト模試で目標点に近い点数が取れる
• □ 苦手分野が明確になり、対策ができている

目標：本番で実力を100%発揮する準備

1月前半：共通テスト最終調整

• 共通テスト本番に向けた最終調整
• 生活リズムを本番に合わせる
• 新しい問題には手を出さず、復習中心

1月後半〜2月：二次試験対策

• お茶の水女子大学の過去問を再度解き直す
• 類似傾向の他大学の問題も演習
• 本番を想定した時間配分の最終確認
• 体調管理を最優先

直前1週間：

• □ 新しい問題は解かない
• □ これまでの間違いノートを見直す
• □ 基本公式・定理の最終確認
• □ 十分な睡眠を確保

🥇 第1位：青チャート（数研出版）

対象：偏差値50〜60

言わずと知れた定番中の定番。例題→練習問題の構成で、基礎から標準レベルまで幅広くカバー。お茶の水女子大学を目指すなら、まずはこの1冊を完璧にすることが出発点です。

使い方のコツ：例題を見て5分考えても解法が浮かばなければ解答を見てOK。ただし、必ず翌日に同じ問題を解き直すこと。

🥈 第2位：Focus Gold（啓林館）

対象：偏差値50〜65

青チャートと並ぶ網羅系参考書。解説がより詳しく、「なぜそうなるのか」を丁寧に説明してくれます。数学の本質を理解したい人におすすめ。

🥉 第3位：基礎問題精講（旺文社）

対象：偏差値45〜55

「青チャートは分量が多すぎる…」という人はこちら。必要最小限の問題数で基礎を効率よく固められます。

🥇 第1位：1対1対応の演習（東京出版）

対象：偏差値55〜65

お茶の水女子大学対策に最適な1冊！各分野の典型問題を厳選し、「1対1」で対応する解法を身につけられます。この本を完璧にすれば、お茶の水女子大学の標準的な問題は十分に解けるようになります。

使い方のコツ：例題を解く→演習題を解く→間違えた問題は1週間後に再挑戦。

🥈 第2位：標準問題精講（旺文社）

対象：偏差値55〜65

「精講」の名の通り、解説が非常に丁寧。問題数は「1対1」より少なめですが、1問1問をじっくり取り組みたい人向け。

🥉 第3位：理系数学の良問プラチカ（河合出版）

対象：偏差値58〜68

良問を厳選した演習書。「1対1」を終えた後のステップアップに最適。お茶の水女子大学の少し難しめの問題に対応する力がつきます。

🥇 第1位：やさしい理系数学（河合出版）

対象：偏差値60〜70

タイトルに「やさしい」とありますが、実際には結構骨のある問題集。お茶の水女子大学の難問にも対応できる力を養えます。別解が豊富なのも魅力。

🥈 第2位：文系の数学 実戦力向上編 / 理系数学 入試の核心（Z会）

対象：偏差値60〜68

入試で差がつくポイントを重点的に演習できます。時間がない人はこちらで効率よく実力アップ。

🥉 第3位：ハイレベル理系数学（河合出版）

対象：偏差値65以上

お茶の水女子大学対策としてはややオーバースペックですが、数学で高得点を狙いたい人、数学科志望の人にはおすすめ。

📚 確率が苦手な人へ：「ハッとめざめる確率」（東京出版）

確率の考え方を根本から理解できる名著。お茶の水女子大学頻出の確率漸化式対策にも有効。

📚 微積分が苦手な人へ：「微積分 基礎の極意」（東京出版）

計算テクニックから応用まで、微積分のすべてが詰まった1冊。

📚 整数が苦手な人へ：「マスター・オブ・整数」（東京出版）

整数問題に特化した参考書。合同式や不定方程式の解法が体系的に学べます。

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図形問題を得点源にしたい人向け。ベクトルと座標の使い分けが身につきます。

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ここまで読んでいただき、ありがとうございました。

お茶の水女子大学は、日本を代表する女子大学であり、理系分野でも多くの優秀な研究者・技術者を輩出してきた名門校です。その入試は決して簡単ではありませんが、正しい方法で努力すれば、必ず合格できます。

数学は「才能」ではなく「努力」の科目です。今は苦手でも、基礎からコツコツ積み上げていけば、必ず得意科目に変わります。私もかつては数学が大嫌いでしたが、正しい勉強法に出会ってから、数学の面白さに目覚めました。

この記事で紹介した傾向分析、問題演習、学習ロードマップ、参考書を活用して、ぜひお茶の水女子大学合格を勝ち取ってください。そして、もし「一人では不安」「もっと効率的に学びたい」と感じたら、ぜひ日本数学塾・数強塾の門を叩いてください。私たちが全力でサポートします。

あなたの合格を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

◆ 基本的な微分公式

• (xⁿ)' = nx^n-1
• (e^x)' = e^x
• (a^x)' = a^x log a
• (log x)' = 1/x
• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (tan x)' = 1/cos²x = sec²x

◆ 基本的な積分公式

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ -1）
• ∫(1/x) dx = log|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫a^x dx = a^x/log a + C
• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫(1/cos²x) dx = tan x + C

◆ 置換積分・部分積分

• 置換積分：∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(t) dt（t = g(x)）
• 部分積分：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx

◆ 面積・体積の公式

• 面積：S = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx
• x軸回転体の体積：V = π∫_a^b {f(x)}² dx
• y軸回転体の体積：V = 2π∫_a^b x|f(x)| dx（バウムクーヘン分割）

◆ 有名な積分

• ∫e^ax sin bx dx = e^ax(a sin bx - b cos bx)/(a² + b²) + C
• ∫e^ax cos bx dx = e^ax(a cos bx + b sin bx)/(a² + b²) + C
• ∫log x dx = x log x - x + C
• ∫₀^π/2 sinⁿx dx = ∫₀^π/2 cosⁿx dx（ウォリス積分）

◆ 等差数列・等比数列

• 等差数列：a_n = a₁ + (n-1)d、S_n = n(a₁ + a_n)/2 = n(2a₁ + (n-1)d)/2
• 等比数列：a_n = a₁r^n-1、S_n = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r)（r ≠ 1）

◆ Σ（シグマ）計算

• Σ_k=1ⁿ k = n(n+1)/2
• Σ_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6
• Σ_k=1ⁿ k³ = {n(n+1)/2}²
• Σ_k=1ⁿ r^k-1 = (1 - rⁿ)/(1 - r)（r ≠ 1）

◆ 漸化式の解法パターン

• a_n+1 = pa_n + q → 特性方程式 x = px + q を解く
• a_n+1 = pa_n + f(n) → 特殊解を見つけて変形
• a_n+1 = pa_n + qrⁿ → 両辺を rⁿ⁺¹ で割る
• a_n+2 + pa_n+1 + qa_n = 0 → 特性方程式 x² + px + q = 0 を解く

◆ 数学的帰納法の基本形

1. n = 1（または初期値）で成り立つことを示す
2. n = k で成り立つと仮定して、n = k + 1 で成り立つことを示す
3. 以上より、すべての自然数 n で成り立つ

◆ 順列・組合せ

• 順列：_nP_r = n!/(n-r)!
• 組合せ：_nC_r = n!/((n-r)!r!)
• 重複順列：n^r
• 重複組合せ：_n+r-1C_r
• 円順列：(n-1)!

◆ 確率の基本公式

• 余事象：P(Ā) = 1 - P(A)
• 加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
• 乗法定理：P(A∩B) = P(A)P(B|A)
• 条件付き確率：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
• 独立：P(A∩B) = P(A)P(B)

◆ 反復試行の確率

• n回中r回成功する確率：_nC_r p^r (1-p)^n-r

◆ 期待値・分散

• 期待値：E(X) = Σ x_ip_i
• 分散：V(X) = E(X²) - {E(X)}²
• 標準偏差：σ(X) = √V(X)

◆ 内積

• →a · →b = |→a||→b|cosθ
• →a · →b = a₁b₁ + a₂b₂（+ a₃b₃）
• →a ⊥ →b ⇔ →a · →b = 0

◆ ベクトルの大きさ

• |→a|² = →a · →a
• |→a + →b|² = |→a|² + 2→a·→b + |→b|²

◆ 位置ベクトル

• 内分点：(n→a + m→b)/(m + n)（m:nに内分）
• 外分点：(-n→a + m→b)/(m - n)（m:nに外分）
• 重心：(→a + →b + →c)/3

◆ 直線・平面の方程式

• 直線：→p = →a + t→d（→a は通過点、→d は方向ベクトル）
• 平面：→p = →a + s→b + t→c（→a は通過点、→b, →c は平面上のベクトル）
• 平面の法線ベクトル：→n · (→p - →a) = 0

◆ 空間ベクトル特有の公式

• 2点間の距離：√{(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²}
• 点と平面の距離：|ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²)

◆ 複素数の基本

• i² = -1
• 共役複素数：z̄ = a - bi（z = a + bi のとき）
• 絶対値：|z| = √(a² + b²)
• zz̄ = |z|²

◆ 極形式

• z = r(cosθ + i sinθ) = re^iθ
• 積：z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}
• 商：z₁/z₂ = (r₁/r₂){cos(θ₁-θ₂) + i sin(θ₁-θ₂)}
• ド・モアブルの定理：zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

◆ 図形への応用

• 回転：w = e^iθz（原点中心に角θ回転）
• 点αを中心に角θ回転：w - α = e^iθ(z - α)
• 2点間の距離：|z₁ - z₂|
• 中点：(z₁ + z₂)/2

◆ オイラーの公式

• e^iθ = cosθ + i sinθ
• e^iπ + 1 = 0（オイラーの等式）

◆ 約数・倍数

• a | b（a は b を割り切る）⇔ b = ka（k は整数）
• 最大公約数：gcd(a, b)
• 最小公倍数：lcm(a, b) = ab/gcd(a, b)

◆ 合同式

• a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a - b)
• a ≡ b, c ≡ d (mod m) ⇒ a + c ≡ b + d, ac ≡ bd (mod m)
• a ≡ b (mod m) ⇒ aⁿ ≡ bⁿ (mod m)

◆ 素因数分解

• 算術の基本定理：任意の自然数は素数の積として一意に表せる
• 約数の個数：n = p₁^a₁p₂^a₂...p_k^a_k のとき、(a₁+1)(a₂+1)...(a_k+1) 個

◆ ユークリッドの互除法

• gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
• これを繰り返し、余りが0になったときの除数が最大公約数

◆ 不定方程式

• ax + by = c が整数解を持つ ⇔ gcd(a, b) | c
• 特殊解を1つ見つけ、一般解を求める

◆ 放物線

• 標準形：y² = 4px（焦点 (p, 0)、準線 x = -p）
• x² = 4py（焦点 (0, p)、準線 y = -p）

◆ 楕円

• 標準形：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
• 焦点：(±c, 0)、ただし c = √(a² - b²)
• 定義：2焦点からの距離の和が一定（= 2a）

◆ 双曲線

• 標準形：x²/a² - y²/b² = 1
• 焦点：(±c, 0)、ただし c = √(a² + b²)
• 漸近線：y = ±(b/a)x
• 定義：2焦点からの距離の差が一定（= 2a）

◆ 媒介変数表示

• 円：x = r cosθ, y = r sinθ
• 楕円：x = a cosθ, y = b sinθ
• 双曲線：x = a/cosθ, y = b tanθ または x = a coshθ, y = b sinhθ

◆ 重要な極限公式

• lim_x→0 (sin x)/x = 1
• lim_x→0 (1 - cos x)/x² = 1/2
• lim_x→0 (tan x)/x = 1
• lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
• lim_x→0 (log(1 + x))/x = 1
• lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e
• lim_n→∞ (1 + r/n)ⁿ = e^r

◆ はさみうちの原理

• f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) かつ lim f(x) = lim h(x) = L ⇒ lim g(x) = L

◆ ロピタルの定理

• lim_x→a f(x)/g(x) が 0/0 または ∞/∞ の不定形のとき
• lim_x→a f(x)/g(x) = lim_x→a f'(x)/g'(x)（右辺が存在すれば）

お茶の水女子大学合格を目指すあなたへ

この記事が、あなたの合格への道しるべになれば幸いです。

数学の力を信じて、最後まで諦めずに頑張ってください！

🌸 桜咲く春を、一緒に迎えましょう！ 🌸