【大阪公立大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

【問題1】接線と面積

問題：曲線 C: y = e^x 上の点 P(a, e^a) における接線を l とする。接線 l と x 軸との交点を Q、直線 x = a と x 軸との交点を R とするとき、三角形 PQR の面積 S を a を用いて表せ。また、曲線 C と直線 x = a、x 軸で囲まれた部分の面積 T との比 S : T を求めよ。

【解答】

Step 1：接線 l の方程式を求める

y = e^x より y' = e^x

点 P(a, e^a) における接線の傾きは e^a

接線 l の方程式：y - e^a = e^a(x - a)

整理して：y = e^a(x - a + 1)

Step 2：点 Q の座標を求める

接線 l と x 軸（y = 0）の交点を求める。

0 = e^a(x - a + 1)

e^a ≠ 0 より x = a - 1

よって Q(a - 1, 0)

Step 3：三角形 PQR の面積 S を求める

点 P(a, e^a)、Q(a - 1, 0)、R(a, 0)

QR = a - (a - 1) = 1（底辺）

高さ = e^a

S = (1/2) × 1 × e^a = e^a / 2

Step 4：面積 T を求める

T = ∫₀^a e^x dx = [e^x]₀^a = e^a - 1

Step 5：比 S : T を求める

S : T = (e^a / 2) : (e^a - 1) = e^a : 2(e^a - 1) = e^a : (2e^a - 2)

【問題2】定積分と極限の融合

問題：n を正の整数とするとき、I_n = ∫₀^1 x^n e^x dx とおく。

（1）I_{n+1} を I_n を用いて表せ。

（2）lim_{n→∞} n · I_n を求めよ。

【解答】

（1）の解答

部分積分を用いる。

I_{n+1} = ∫₀^1 x^{n+1} e^x dx

= [x^{n+1} e^x]₀^1 - ∫₀^1 (n+1)x^n e^x dx

= e - (n+1)I_n

よって I_{n+1} = e - (n+1)I_n

（2）の解答

0 ≤ x ≤ 1 において 1 ≤ e^x ≤ e より

∫₀^1 x^n dx ≤ I_n ≤ e ∫₀^1 x^n dx

1/(n+1) ≤ I_n ≤ e/(n+1)

両辺に n を掛けて

n/(n+1) ≤ nI_n ≤ en/(n+1)

n → ∞ のとき、n/(n+1) → 1, en/(n+1) → e

はさみうちの原理より lim_{n→∞} nI_n は存在し...

より精密に求めるため、漸化式を変形する。

(n+1)I_n = e - I_{n+1}

n → ∞ のとき I_n → 0（上の評価より）

nI_n = (n/(n+1)) · (n+1)I_n = (n/(n+1))(e - I_{n+1}) → 1 · e = e

よって lim_{n→∞} nI_n = e

【問題3】確率漸化式（ランダムウォーク型）

問題：数直線上を動く点 P がある。最初、P は原点にいる。硬貨を投げて表が出れば +1、裏が出れば -1 移動する。

（1）n 回硬貨を投げた後、P が原点にいる確率 p_n を求めよ。

（2）n 回硬貨を投げた後、P が初めて原点に戻る確率 q_n を求めよ（ただし n ≥ 2）。

【解答】

（1）の解答

n 回のうち表が k 回、裏が n-k 回出たとき、位置は k - (n-k) = 2k - n

原点にいるためには 2k - n = 0、すなわち k = n/2

これは n が偶数のときのみ可能。

n が奇数のとき：p_n = 0

n = 2m（偶数）のとき：

p_{2m} = C(2m, m) × (1/2)^{2m} = C(2m, m) / 4^m

（2）の解答

「初めて原点に戻る」とは、1回目から n-1 回目まで原点を通らず、n 回目に原点に戻ることを意味する。

反射の原理を用いる。

n = 2m のとき、

q_{2m} = (1/m) × C(2m, m) × (1/2)^{2m} = C(2m, m) / (m × 4^m)

n が奇数のとき：q_n = 0

【問題4】条件付き確率

問題：袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。袋から1個ずつ玉を取り出し（取り出した玉は戻さない）、取り出した順に並べる。

（1）3番目に取り出した玉が赤である確率を求めよ。

（2）3番目に取り出した玉が赤であったとき、1番目に取り出した玉も赤である条件付き確率を求めよ。

【解答】

（1）の解答

5個の玉を一列に並べると考える。3番目の位置に赤玉がくる確率は、対称性より

P(3番目が赤) = 3/5 = 3/5

（2）の解答

条件付き確率の公式より

P(1番目赤 | 3番目赤) = P(1番目赤 かつ 3番目赤) / P(3番目赤)

P(1番目赤 かつ 3番目赤) = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10

P(3番目赤) = 3/5

P(1番目赤 | 3番目赤) = (3/10) / (3/5) = (3/10) × (5/3) = 1/2

【問題5】3項間漸化式

問題：数列 {a_n} が a_1 = 1, a_2 = 5, a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n を満たすとき、一般項 a_n を求めよ。

【解答】

Step 1：特性方程式を立てる

x² = 4x - 3

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1, 3

Step 2：一般解を求める

a_n = A × 1^n + B × 3^n = A + B × 3^n

Step 3：初期条件から A, B を決定

a_1 = 1：A + 3B = 1 ... ①

a_2 = 5：A + 9B = 5 ... ②

② - ①：6B = 4 より B = 2/3

① より A = 1 - 2 = -1

答え：a_n = -1 + (2/3) × 3^n = 2 × 3^{n-1} - 1

【問題6】漸化式と帰納法

問題：数列 {a_n} を a_1 = 1, a_{n+1} = (a_n)/(1 + a_n) で定める。

（1）a_n > 0 (n = 1, 2, 3, ...) を示せ。

（2）一般項 a_n を求めよ。

【解答】

（1）の解答

数学的帰納法で示す。

[1] n = 1 のとき、a_1 = 1 > 0 で成立。

[2] n = k で a_k > 0 と仮定する。

a_{k+1} = a_k / (1 + a_k)

仮定より a_k > 0 なので 1 + a_k > 1 > 0

よって a_{k+1} > 0

[1][2]より、すべての自然数 n で a_n > 0 が成立。 ■

（2）の解答

a_{n+1} = a_n / (1 + a_n) の両辺の逆数を取る。

1/a_{n+1} = (1 + a_n)/a_n = 1/a_n + 1

b_n = 1/a_n とおくと

b_{n+1} = b_n + 1, b_1 = 1

これは等差数列で b_n = 1 + (n-1) × 1 = n

よって 1/a_n = n

a_n = 1/n

【問題7】空間ベクトルと垂直条件

問題：四面体 OABC において、OA = (1, 0, 0), OB = (0,続きを作成します。

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問題：四面体 OABC において、OA = (1, 0, 0), OB = (0, 2, 0), OC = (0, 0, 3) とする。辺 AB を s : (1-s) に内分する点を P、辺 OC を t : (1-t) に内分する点を Q とする（0 < s < 1, 0 < t < 1）。

（1）ベクトル OP, OQ を s, t を用いて表せ。

（2）直線 PQ が辺 AB に垂直であるための条件を求めよ。

（3）直線 PQ が辺 AB, OC の両方に垂直であるような s, t の値を求めよ。

【解答】

（1）の解答

点 P は辺 AB を s : (1-s) に内分するので

OP = (1-s)OA + sOB = (1-s)(1, 0, 0) + s(0, 2, 0) = (1-s, 2s, 0)

点 Q は辺 OC を t : (1-t) に内分するので

OQ = tOC = t(0, 0, 3) = (0, 0, 3t)

（2）の解答

ベクトル PQ = OQ - OP = (0, 0, 3t) - (1-s, 2s, 0) = (s-1, -2s, 3t)

ベクトル AB = OB - OA = (0, 2, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 2, 0)

PQ ⊥ AB の条件は PQ · AB = 0

(s-1, -2s, 3t) · (-1, 2, 0) = -(s-1) + (-2s) × 2 + 3t × 0

= -s + 1 - 4s = 1 - 5s = 0

よって s = 1/5

（3）の解答

（2）より s = 1/5

さらに PQ ⊥ OC の条件を考える。

ベクトル OC = (0, 0, 3)

PQ · OC = (s-1, -2s, 3t) · (0, 0, 3) = 9t = 0

これは t = 0 を意味するが、0 < t < 1 の条件に反する。

したがって、直線 PQ が AB と OC の両方に垂直となる s, t は存在しない。

【別解・補足】

AB と OC が「ねじれの位置」にある場合、両方に垂直な直線（共通垂線）は存在する。しかし、その共通垂線上の点が P, Q の条件を満たすとは限らない。本問では、P が辺 AB 上、Q が辺 OC 上という制約があるため、解が存在しないケースとなった。

【問題8】平面ベクトルと内積

問題：三角形 ABC において、AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 60° とする。辺 BC を 2:1 に内分する点を D、辺 AC の中点を M とするとき、

（1）ベクトル AD を AB, AC を用いて表せ。

（2）AD · AM を求めよ。

（3）cos∠DAM の値を求めよ。

【解答】

（1）の解答

D は BC を 2:1 に内分するので

AD = AB + BD = AB + (2/3)BC = AB + (2/3)(AC - AB)

= AB + (2/3)AC - (2/3)AB = (1/3)AB + (2/3)AC

AD = (1/3)AB + (2/3)AC

（2）の解答

AM = (1/2)AC

AD · AM = {(1/3)AB + (2/3)AC} · (1/2)AC

= (1/6)(AB · AC) + (1/3)|AC|²

AB · AC = |AB||AC|cos60° = 4 × 3 × (1/2) = 6

|AC|² = 9

AD · AM = (1/6) × 6 + (1/3) × 9 = 1 + 3 = 4

（3）の解答

|AD|² = {(1/3)AB + (2/3)AC}²

= (1/9)|AB|² + (4/9)(AB · AC) + (4/9)|AC|²

= (1/9) × 16 + (4/9) × 6 + (4/9) × 9

= 16/9 + 24/9 + 36/9 = 76/9

|AD| = √(76/9) = (2√19)/3

|AM| = (1/2)|AC| = 3/2

cos∠DAM = (AD · AM) / (|AD||AM|)

= 4 / {(2√19)/3 × (3/2)}

= 4 / √19

= 4√19 / 19

【問題9】整数の証明

問題：n を正の整数とするとき、n³ + 2n は 3 の倍数であることを示せ。

【解答】

方法1：因数分解

n³ + 2n = n(n² + 2) = n(n² - 1 + 3) = n(n² - 1) + 3n

= n(n-1)(n+1) + 3n

= (n-1)n(n+1) + 3n

(n-1)n(n+1) は連続する3整数の積なので、必ず 3 の倍数。

3n も明らかに 3 の倍数。

よって n³ + 2n は 3 の倍数。 ■

方法2：n を 3 で割った余りで場合分け

[1] n = 3k のとき

n³ + 2n = 27k³ + 6k = 3(9k³ + 2k) → 3 の倍数

[2] n = 3k + 1 のとき

n³ + 2n = (3k+1)³ + 2(3k+1)

= 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2

= 27k³ + 27k² + 15k + 3

= 3(9k³ + 9k² + 5k + 1) → 3 の倍数

[3] n = 3k + 2 のとき

n³ + 2n = (3k+2)³ + 2(3k+2)

= 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4

= 27k³ + 54k² + 42k + 12

= 3(9k³ + 18k² + 14k + 4) → 3 の倍数

以上より、すべての正の整数 n に対して n³ + 2n は 3 の倍数。 ■

【問題10】不等式の証明

問題：a > 0, b > 0 のとき、(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4 を示せ。等号成立条件も述べよ。

【解答】

方法1：展開して相加相乗平均

(a + b)(1/a + 1/b) = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + a/b + b/a

相加相乗平均の関係より

a/b + b/a ≥ 2√(a/b × b/a) = 2

よって (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 2 + 2 = 4

等号成立は a/b = b/a、すなわち a = b のとき。 ■

方法2：コーシー・シュワルツの不等式

(a + b)(1/a + 1/b) ≥ (√a · 1/√a + √b · 1/√b)² = (1 + 1)² = 4

等号成立は √a : √b = 1/√a : 1/√b、すなわち a = b のとき。 ■