高知大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は高知大学 2013年度（平成25年度）前期日程の数学を徹底解説します。高知大学の数学は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、計算量が多く、時間配分が合否を分けるポイントになります。この記事では、各大問を丁寧に解説し、効率的な解法と得点アップのコツをお伝えします。

受験生の皆さん、一緒に完全攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2013年度 高知大学 前期日程 数学 試験概要

全体講評

2013年度の高知大学数学は、全体的に標準レベルの出題でした。計算力と基本的な定理・公式の理解がしっかりしていれば、高得点を狙える年度と言えます。

難易度評価：★★★☆☆（標準）

特徴的な出題：

• 大問1：3次関数の増減・極値（微分法の基本）
• 大問2：円に内接する四角形（図形と三角比の融合）
• 大問3：確率と漸化式（場合の数・確率）
• 大問4：空間ベクトルと体積（ベクトルの応用）

2013年度は、微分法・三角比・確率・ベクトルという王道の分野からバランスよく出題されました。特に大問2の円に内接する四角形の問題は、トレミーの定理や余弦定理を使いこなせるかがポイントでした。

高知大学を目指す受験生は、まずこの年度の問題を通して基礎固めをしっかり行い、その上で応用力を身につけていくことをおすすめします。

大問1：3次関数の増減と極値

問題

解説・解法のポイント

■ (1) 増減表と極値の座標

【Step 1】導関数を求める

まず、f(x) = x³ - 6x + 3 を x で微分します。

【Step 2】f'(x) = 0 となる x を求める

f'(x) = 0 より、x = -√2, √2

【Step 3】増減表を作成

【Step 4】極値を計算

極大値（x = -√2 のとき）：

f(-√2) = (-√2)³ - 6(-√2) + 3
= -2√2 + 6√2 + 3
= 4√2 + 3

極小値（x = √2 のとき）：

f(√2) = (√2)³ - 6(√2) + 3
= 2√2 - 6√2 + 3
= -4√2 + 3

■ (2) 点Aにおける接線の方程式

【ポイント】極大点・極小点では f'(x) = 0 なので、接線の傾きは 0 です！

点 A(-√2, 4√2 + 3) における接線は、傾きが f'(-√2) = 0 の水平線になります。

■ (3) 接線と曲線で囲まれる部分の面積

【Step 1】交点を求める

f(x) = 4√2 + 3 を解きます。

x³ - 6x + 3 = 4√2 + 3
x³ - 6x - 4√2 = 0
x³ - 6x - 4√2 = 0

x = -√2 は重解（接点）であることがわかっているので、因数分解すると：

(x + √2)²(x - 2√2) = 0

よって、交点の x 座標は x = -√2（重解）と x = 2√2

【Step 2】面積を積分で計算

接線 y = 4√2 + 3 が上、曲線 y = f(x) が下なので：

【Step 3】1/6公式の活用

ここで、被積分関数は -(x + √2)²(x - 2√2) と因数分解できるので、1/6公式（または1/12公式）が使えます。

3次関数と接線で囲まれる面積の公式：

ここで、α = -√2, β = 2√2, a = -1 より：

β - α = 2√2 - (-√2) = 3√2

S = -(-1)/12 × (3√2)⁴ = 1/12 × 81 × 4 = 1/12 × 324 = 27

別解・発展

【別解】直接積分する方法

公式を使わずに、地道に積分する方法も確認しておきましょう。

S = ∫_-√2^2√2 (-x³ + 6x + 4√2) dx

= [-x⁴/4 + 3x² + 4√2 x]_-√2^2√2

x = 2√2 のとき：

= -(2√2)⁴/4 + 3(2√2)² + 4√2(2√2)
= -16 + 24 + 16 = 24

x = -√2 のとき：

= -(-√2)⁴/4 + 3(-√2)² + 4√2(-√2)
= -1 + 6 - 8 = -3

S = 24 - (-3) = 27 ✓

【発展】3次関数の面積公式のまとめ

入試頻出の面積公式を整理しておきましょう：

• 1/6公式：放物線と直線で囲まれる面積 S = |a|/6 (β - α)³
• 1/12公式：3次関数と接線で囲まれる面積 S = |a|/12 (β - α)⁴
• 1/3公式：3次関数と2つの接線で囲まれる面積

これらの公式は、計算時間の短縮に非常に有効です。ぜひ使いこなせるようにしておきましょう！

大問2：円に内接する四角形

問題

解説・解法のポイント

■ (1) 対角線 AC の長さ

【重要ポイント】円に内接する四角形の対角の和は180°

∠ABC + ∠ADC = 180° より、cos∠ADC = -cos∠ABC

【Step 1】△ABC に余弦定理を適用

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC
AC² = 1 + 4 - 4cos∠ABC
AC² = 5 - 4cos∠ABC … ①

【Step 2】△ACD に余弦定理を適用

AC² = CD² + DA² - 2·CD·DA·cos∠ADC
AC² = 9 + 16 - 24cos∠ADC
AC² = 25 - 24cos∠ADC

cos∠ADC = -cos∠ABC を代入：

AC² = 25 + 24cos∠ABC … ②

【Step 3】①と②を連立

①と②より：

5 - 4cos∠ABC = 25 + 24cos∠ABC
-20 = 28cos∠ABC
cos∠ABC = -5/7

①に代入：

AC² = 5 - 4(-5/7) = 5 + 20/7 = 55/7

■ (2) sin∠ABC の値

cos∠ABC = -5/7 より、sin²∠ABC + cos²∠ABC = 1 を使います。

sin²∠ABC = 1 - 25/49 = 24/49

0° < ∠ABC 0 なので：

■ (3) 垂線 AE の長さ

点 A から直線 BC に垂線 AE を下ろすと、△ABE において：

AE = AB · sin∠ABE = AB · sin∠ABC
AE = 1 × 2√6/7

別解・発展

【別解】ブラーマグプタの公式を使う方法

円に内接する四角形の面積は、ブラーマグプタの公式で求められます。

4辺が a, b, c, d のとき、s = (a + b + c + d)/2 として：

本問では a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 より s = 5

S = √[(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)] = √[4·3·2·1] = √24 = 2√6

この面積を使って、△ABC の面積から AE を求めることもできます。

【発展】トレミーの定理

円に内接する四角形では、トレミーの定理が成り立ちます：

本問では対角線 BD を求めるときに使えます。これを知っていると、検算にも使えて便利です。

大問3：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

■ (1) P₁, P₂ の計算

P₁ の計算：

S₁ = a₁ が 3 の倍数になるのは、a₁ = 3 または 6 のとき

P₂ の計算：

S₂ = a₁ + a₂ が 3 の倍数になる場合を考えます。

さいころの目を 3 で割った余りで分類すると：

• 余り 0：3, 6 → 2通り
• 余り 1：1, 4 → 2通り
• 余り 2：2, 5 → 2通り

S₂ が 3 の倍数になる組み合わせ：

• (余り0, 余り0)：2 × 2 = 4通り
• (余り1, 余り2)：2 × 2 = 4通り
• (余り2, 余り1)：2 × 2 = 4通り

合計 12通り、全体は 36通りなので：

■ (2) 漸化式の導出

Sₙ を 3 で割った余りに注目します。

Qₙ：Sₙ が 3 で割って余り 1 となる確率
Rₙ：Sₙ が 3 で割って余り 2 となる確率

すると、Pₙ + Qₙ + Rₙ = 1

Pₙ₊₁ の漸化式を立てる：

Sₙ₊₁ が 3 の倍数になるのは：

• Sₙ が 3 の倍数で、aₙ₊₁ が 3 の倍数（確率 2/6 = 1/3）
• Sₙ の余りが 1 で、aₙ₊₁ の余りが 2（確率 1/3）
• Sₙ の余りが 2 で、aₙ₊₁ の余りが 1（確率 1/3）

Pₙ₊₁ = (1/3)Pₙ + (1/3)Qₙ + (1/3)Rₙ
= (1/3)(Pₙ + Qₙ + Rₙ)
= 1/3

実は、対称性から Pₙ₊₁ = 1/3 が直接導けます。

しかし、より一般的な漸化式として書くと：

■ (3) Pₙ の一般項

(2)より、n ≥ 1 のとき Pₙ₊₁ = 1/3 であり、P₁ = 1/3 なので：

別解・発展

【別解】対称性による直接的な証明

さいころの目を 3 で割った余りは、0, 1, 2 がそれぞれ等確率（各 1/3）で出ます。

n 回投げた後の Sₙ を 3 で割った余りは、対称性により 0, 1, 2 が等確率で現れます。

よって、Pₙ = 1/3（n ≥ 1）が直接導けます。

【発展】確率漸化式のパターン

確率漸化式の問題では、以下のパターンを押さえておきましょう：

1. 状態を定義：問題の条件を状態で分類
2. 遷移を考える：ある状態から別の状態への確率
3. 漸化式を立てる：Pₙ₊₁ を Pₙ で表す
4. 特性方程式で解く：αPₙ₊₁ + β = c(αPₙ + β) の形に変形

大問4：空間ベクトルと体積

問題

問題

解説・解法のポイント

■ (1) 四面体 OABC の体積

【ポイント】3辺が互いに垂直な四面体は「直角四面体」と呼ばれ、体積計算が簡単です。

OA, OB, OC が互いに垂直なので、O を原点とする座標系を設定できます。

O = (0, 0, 0)
A = (3, 0, 0)
B = (0, 4, 0)
C = (0, 0, 5)

四面体 OABC の体積は、3辺が互いに垂直な直方体の 1/6 として：

■ (2) 三角形 PQR の面積

【Step 1】各点の座標を設定

P = (s, 0, 0)　（0 ≤ s ≤ 3）
Q = (0, t, 0)　（0 ≤ t ≤ 4）
R = (0, 0, u)　（0 ≤ u ≤ 5）

【Step 2】ベクトル PQ, PR を求める

PQ = Q - P = (-s, t, 0)
PR = R - P = (-s, 0, u)

【Step 3】外積を計算

PQ × PR = (t·u - 0·0, 0·(-s) - (-s)·u, (-s)·0 - t·(-s))
= (tu, su, st)

【Step 4】外積の大きさを求める

|PQ × PR| = √(t²u² + s²u² + s²t²)

【Step 5】三角形の面積

■ (3) s + t + u = 6 のときの面積の最小値

【Step 1】最小化する関数の設定

S² = (1/4)(s²t² + t²u² + u²s²) を最小化すれば良いので、

f(s, t, u) = s²t² + t²u² + u²s²

を s + t + u = 6 の条件下で最小化します。

【Step 2】対称性を利用

f(s, t, u) は s, t, u について対称なので、最小値は s = t = u のときに達成されると予想できます。

s + t + u = 6 より、s = t = u = 2

【Step 3】s = t = u = 2 のときの面積

f(2, 2, 2) = 2²·2² + 2²·2² + 2²·2² = 16 + 16 + 16 = 48

S = (1/2)√48 = (1/2)·4√3 = 2√3

【Step 4】これが最小値であることの確認（ラグランジュの未定乗数法）

条件付き極値問題として、ラグランジュの未定乗数法を適用します。

L = s²t² + t²u² + u²s² - λ(s + t + u - 6)

各変数で偏微分して 0 とおくと：

∂L/∂s = 2st² + 2su² - λ = 0
∂L/∂t = 2s²t + 2tu² - λ = 0
∂L/∂u = 2t²u + 2s²u - λ = 0

これらを整理すると：

s(t² + u²) = t(s² + u²) = u(t² + s²)

対称性から s = t = u が解の1つであり、s + t + u = 6 より s = t = u = 2

境界での値（例：s = 0 のとき f = t²u² で、t + u = 6 のとき最大で t = u = 3 のとき 81 など）と比較すると、s = t = u = 2 が最小値を与えます。

別解・発展

【別解】相加・相乗平均の不等式を利用

s²t² + t²u² + u²s² の最小値を求めるのに、相加・相乗平均を利用することもできます。

ただし、3変数の対称式の最小値問題では、対称点（s = t = u）で極値を取ることが多いので、まず s = t = u を代入して確認し、その後で境界条件を確認するのが効率的です。

【発展】直角四面体の性質

直角四面体（3辺が互いに垂直）には、以下の性質があります：

• 体積：V = (1/6)abc（a, b, c は垂直な3辺）
• 底面積と高さの関係：斜面 ABC の面積を S とすると、
  S² = S₁² + S₂² + S₃²

  （S₁, S₂, S₃ は各直角面の面積）

• 外接球の中心：斜辺 AB の中点が外接球の中心

この年度の重要テーマと対策

2013年度の出題分析

2013年度の高知大学数学を振り返ると、以下の特徴がありました：

頻出テーマと対策

【1】微分法・積分法

高知大学では、3次関数の増減・極値・グラフは毎年のように出題されます。特に：

• 増減表の作成
• 接線の方程式
• 曲線と直線で囲まれる面積
• 1/6公式・1/12公式の活用

対策：基本的な微分計算を確実にし、面積公式を暗記しておくこと。また、数学Ⅲの積分（置換積分・部分積分）も練習しておきましょう。

【2】図形と計量・三角比

円に内接する四角形は頻出テーマです。以下を押さえましょう：

• 対角の和が180°（円周角の定理）
• 余弦定理・正弦定理の活用
• トレミーの定理
• ブラーマグプタの公式（発展）

対策：基本的な定理を組み合わせる練習をしましょう。特に「円に内接」という条件から何が言えるかを即座に思い出せるようにしておくことが重要です。

【3】確率・場合の数

確率漸化式は中堅国立大学で頻出のテーマです：

• 状態の定義と分類
• 漸化式の立式
• 特性方程式による解法
• 対称性の活用

対策：様々なパターンの確率漸化式を解いて、状態設定のコツを身につけましょう。

【4】ベクトル

空間ベクトルは高知大学で必ず出題される分野です：

• 位置ベクトルの計算
• 内積・外積の利用
• 平面の方程式
• 体積の計算

対策：座標設定を工夫し、計算量を減らすテクニックを身につけましょう。外積を使った面積・体積計算は必須です。

時間配分の目安

120分で4問を解く場合の時間配分：

• 大問1（微分）：25分
• 大問2（図形）：30分
• 大問3（確率）：30分
• 大問4（ベクトル）：30分
• 見直し：5分

ポイント：最初に全問題をざっと見て、得意な問題から解き始めましょう。計算ミスが命取りになるので、検算の時間は必ず確保してください。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2013年度の問題を踏まえて、類似の練習問題を3問用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

【練習問題1】3次関数と面積

【練習問題2】円に内接する四角形

【練習問題3】確率漸化式

日本数学塾・数強塾で高知大学合格を目指そう

ここまで、高知大学 2013年度の数学を徹底解説してきました。いかがでしたか？

高知大学の数学は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、確実に得点するためには：

• ✅ 基本公式・定理の正確な理解
• ✅ 計算力の強化
• ✅ 典型問題のパターン習得
• ✅ 時間配分の練習

が必要です。

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数学の勉強は、正しい方向で努力することが何より大切です。でも、一人で勉強していると：

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まとめ

2013年度の高知大学数学は、標準的な難易度でありながら、基礎力と計算力が試される良問揃いでした。

この記事で解説した4つの大問を振り返ると：

これらは高知大学だけでなく、多くの国公立大学で頻出のテーマです。この年度の問題をしっかりマスターすることで、他大学の対策にもつながります。

合格に向けた学習アドバイス

【Step 1】基礎固め（入試6ヶ月前まで）

• 教科書レベルの例題・練習問題を完璧に
• 公式の導出過程も理解する
• 計算ミスをなくす練習

【Step 2】標準問題演習（入試3ヶ月前まで）

• チャート式や基礎問題精講レベルの問題集を周回
• 典型問題のパターンを身につける
• 時間を計って解く練習を始める

【Step 3】過去問演習（入試直前期）

• 高知大学の過去問を最低5年分
• 時間配分を意識して本番形式で
• 間違えた問題は徹底的に復習

最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

受験生の皆さん、数学の勉強は大変ですよね。私も学生時代、何度も壁にぶつかりました。

でも、数学には「正しく努力すれば必ず伸びる」という素晴らしい特性があります。

今日この記事を読んで、

• 「なるほど、こう解くのか！」
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付録：2013年度 高知大学数学 公式・定理まとめ

この年度の問題を解くために必要な公式・定理をまとめました。復習にお役立てください。

【微分法】

【積分法・面積公式】

【三角比・図形】

【確率】

【ベクトル】

© 日本数学塾・数強塾｜藤原進之介
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