金沢工業大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事を読めば得られる3つの価値

金沢工業大学 2012年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、2012年度（平成24年度）金沢工業大学の数学入試問題を、基礎から丁寧に・全問完全解説します。

この記事を読むことで：
- ✅ 金沢工業大学の数学の出題傾向と対策が丸ごとわかる
- ✅ 積分・空間図形・対数・数列という4大テーマの解法を基礎から理解できる
- ✅ 合否を分けた問題のポイントと、部分点を最大化する答案の書き方がわかる

👨‍🏫 藤原先生より一言：「金沢工業大学の数学は、奇をてらった問題は少なく、基本的な概念をしっかり理解しているかが問われます。『なぜそうなるのか』を一緒に考えながら、完全制覇していきましょう！」

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セクション2：金沢工業大学の数学｜入試の全体像と傾向分析

試験形式と基本情報

項目	内容
試験時間	120分
大問数	4問
配点	各大問の配点率は同一
解答形式	記述式（解答用紙4枚）
難易度	標準レベル（偏差値帯：45〜55程度）

金沢工業大学は工学系の総合大学であり、数学の試験も工学的思考力・論理的計算力を問う内容が中心です。試験時間は120分で大問4問という構成は、1問あたり約30分を割り当てられる余裕のある設定です。ただし、各小問がつながった構造になっているため、序盤でつまずくと後の小問に響きます。

偏差値帯と求められる数学レベル

金沢工業大学工学系学部の数学は、教科書レベルの基礎〜標準レベルが中心です。難関国立大のような高度な問題は出題されませんが、計算量が多い問題や、複数の単元を横断する複合問題が出題されることが特徴です。「青チャート（チャート式 基礎からの数学）」（数研出版）の例題レベルが確実に解ければ、十分に対応可能です。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

金沢工業大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

頻出順位	単元	出題頻度
1位	積分（定積分・面積・置換積分）	ほぼ毎年
2位	数列（漸化式・等比・等差）	ほぼ毎年
3位	微分（最大最小・増減表）	毎年
4位	空間図形・ベクトル	頻出
5位	対数・指数	頻出
6位	確率	隔年程度

工学系大学らしく、積分と微分は最重要単元です。また、2012年度のように空間図形とベクトルを組み合わせた問題、数列の漸化式を扱う問題など、複数の知識を組み合わせる問題が特徴的です。

他大学との違い・特徴

東大や京大は「なぜそうなるか」の論述能力が問われますが、金沢工業大学は「正確に計算して正しい答えを出せるか」に重点が置かれています。センター試験（現共通テスト）に近い感覚で、手を動かして計算する力が大切です。一方で、大問[2]のようなベクトルと空間の融合問題では、図を描いて関係を整理する空間把握能力も問われます。

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🧑 生徒：「金沢工業大学の数学って、どんな単元を重点的に勉強すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「一番重要なのは積分法だよ。特に定積分を使った面積計算と、置換積分・部分積分は必須。次に数列の漸化式、特に$a_{n+2} = pa_{n+1} - a_n$のような3項間漸化式の解法。それから空間ベクトルもよく出るから、$\vec{PK_1} \perp \vec{AB}$のような垂直条件の処理にも慣れておこう。「青チャート」や「フォーカスゴールド」でこれらの単元を徹底的に固めるのが最短ルートだよ！」

金沢工業大学の数学は、「基礎を完璧に仕上げた人が勝つ」試験です。一緒に固めていきましょう！

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セクション3：2012年度 出題テーマ速報と分析

2012年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	難易度	時間配分の目安
[1]	定積分・面積・最大値（三角関数）	★★★☆☆	30分
[2]	空間図形・ベクトル・面積比	★★★★☆	35分
[3]	定積分・対数関数	★★★☆☆	25分
[4]	数列（漸化式・3の倍数の和）	★★★★☆	30分

難易度評価と分析

• 大問[1]（★★★☆☆）：三角関数の交点を求め、面積を計算し、パラメータ$k$について最大値を求める。各小問がきれいにつながる構造で、(1)→(2)→(3)と順番に解けば自然に答えが出てくる。定石的な問題。
• 大問[2]（★★★★☆）：空間図形とベクトルの融合。図を正確に描けるかが勝負。(2)の証明問題は論述力が問われる。この年度のなかで最も差がつく問題。
• 大問[3]（★★★☆☆）：定積分の計算と対数関数の処理。部分積分の計算が正確にできれば解ける。計算ミスに注意。
• 大問[4]（★★★★☆）：3項間漸化式の証明から始まり、$p$と$r$の値の決定、3の倍数の和という難問。(3)は特に計算量が多く、黄金比（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）が登場するユニークな問題。

合格ラインと得点戦略

各大問の配点率は同一（各25点相当）と考えると、合格ラインは約60〜65点（60〜65%）程度が目安です。大問[1][3]を完答し、大問[2][4]で部分点を確実に取るという戦略が有効です。特に大問[1]は全小問が比較的解きやすいため、ここを確実に満点近く取ることが合格への近道です。

2012年度は[1]と[3]が比較的取り組みやすく、全体としてバランスの良い出題でした。しっかり準備すれば高得点が狙えますよ！

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セクション4：全大問 完全解説

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大問[1]：三角関数の交点と面積・最大値（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$k$ は正の実数とする。$xy$平面において、$x$軸および2つの曲線

で囲まれた図形の面積を $S(k)$ とする。

(1) $C_1$ と $C_2$ の交点の$x$座標を $\alpha$ とするとき、$\cos\alpha$ および $\sin\alpha$ を $k$ を用いて表せ。

(2) $S(k)$ を $k$ を用いて表せ。

(3) $k$ が $k > 0$ の範囲を動くとき、$S(k)$ の最大値を求めよ。

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小問(1)の解説：交点の座標を求める

【使う公式・定理】

公式名	内容
ピタゴラスの恒等式	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
三角関数の比の関係	$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

【解法ステップ】

• ステップ① 交点の条件を立式する：$C_1$ と $C_2$ が交わるとき $y$ 座標が等しいから、

• ステップ② 整理する：両辺に $k$ をかけると、

• ステップ③ ピタゴラスの恒等式に代入する：$\sin\alpha = k^2\cos\alpha$ を $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ に代入すると、

• ステップ④ $\cos\alpha$ を求める：$0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ より $\cos\alpha \geq 0$ だから、

• ステップ⑤ $\sin\alpha$ を求める：$\sin\alpha = k^2\cos\alpha$ より、

⚠️ 補足：解答OCRには $(k^2+1)$ と記述されていますが、正確に計算すると $(k^4+1)$ となります。$\sin\alpha = k^2\cos\alpha$ より $\sin^2\alpha = k^4\cos^2\alpha$ ですので、$k^4\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = (k^4+1)\cos^2\alpha = 1$ が正しい式です。

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小問(2)の解説：面積 $S(k)$ を求める

【使う公式・定理】

公式名	内容
定積分による面積	$S = \int_a^b f(x)\,dx$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + C$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x + C$

【解法ステップ】

グラフの形を把握することが最重要です。$C_1: y = k\cos x$ は $x=0$ で $y=k$、$x=\frac{\pi}{2}$ で $y=0$ の減少曲線。$C_2: y = \frac{1}{k}\sin x$ は $x=0$ で $y=0$、$x=\frac{\pi}{2}$ で $y=\frac{1}{k}$ の増加曲線。これらは $x=\alpha$ で交差します。

• ステップ① $0 \leq x \leq \alpha$ では $C_2 \geq C_1$ だから（$\sin x$ の方が $k\cos x$ より大きい）、この部分の面積は：

• ステップ② $\alpha \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ では $C_1 \geq C_2$ だから：

方針の整理：問題の図形は $x$軸、$C_1$、$C_2$ で囲まれた領域。解答では以下のように変形しています（x軸より上の部分を $C_2$ で $0$ から $\alpha$ まで、$C_1$ で $\alpha$ から $\frac{\pi}{2}$ まで積分）：

• ステップ③ 解答の方針に従って整理すると：

• ステップ④ 各積分を計算する：

• ステップ⑤ (1)の結果を代入する：

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小問(3)の解説：$S(k)$ の最大値を求める

【使う公式・定理】

公式名	内容
相加平均・相乗平均の不等式	$k + \frac{1}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$（等号は $k=1$ のとき）
合成関数の微分	$\frac{d}{dk}\sqrt{f(k)} = \frac{f'(k)}{2\sqrt{f(k)}}$

【解法ステップ】

• ステップ① $t = k + \frac{1}{k}$（$t \geq 2$）とおく。相加平均・相乗平均の不等式より $k + \frac{1}{k} \geq 2$（等号は $k=1$）。

• ステップ② $k^4 + 1 = \left(k^2 + \frac{1}{k^2}\right) \cdot k^2$ の関係を整理する。$k^2 + \frac{1}{k^2} = \left(k + \frac{1}{k}\right)^2 - 2 = t^2 - 2$

• ステップ③ $S(k)$ を $t$ で表す：

• ステップ④ $g(t) = t - \sqrt{t^2-2}$（$t \geq 2$）の最大値を求める：

$t \geq 2$ のとき $t^2 > t^2 - 2$（$t > 0$ より）、すなわち $t > \sqrt{t^2-2}$ だから、

• ステップ⑤ $g(t)$ は $t \geq 2$ で単調減少。最大値は $t = 2$（$k = 1$）のとき：

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【藤原先生の解説】

この問題は「パラメータを含む面積の最大値」という定番テーマです。例えるなら、ゴムの輪を2本の曲線の間に張ったとき、そのゴムの囲む面積を最大にするゴムの硬さ（$k$）を求めるイメージです。

ポイントは(3)の変数変換。$k + \frac{1}{k} = t$ とおくことで、複雑な$k$の式が$t$のシンプルな形になります。相加平均・相乗平均の不等式は「$k$が1に近いほど$t$が小さい」ことを示しており、$g(t)$の単調減少性から$k=1$が最大値を与えることがわかります。

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🧑 生徒：「大問1で、$S(k)$を$t = k + \frac{1}{k}$で置き換えるのはどうしてですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「それは$S(k) = k + \frac{1}{k} - \frac{\sqrt{k^4+1}}{k}$という式を見たとき、$k$と$\frac{1}{k}$の組み合わせが多いから、対称性を感じるからだよ。$\frac{\sqrt{k^4+1}}{k} = \sqrt{k^2 + \frac{1}{k^2}}$に変形できて、さらに$k^2 + \frac{1}{k^2} = \left(k+\frac{1}{k}\right)^2 - 2 = t^2 - 2$という二乗の公式の逆利用でつながるんだ。こういう変数変換は、式の中に似たパターンを見つけたときに試してみるのがコツだよ！」

大問[1]は全体の得点の基盤！丁寧に計算して確実に満点を目指しましょう！

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大問[2]：空間図形・ベクトルと面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

空間内に四面体 $PABC$ がある。$\triangle ABC$ は $xy$平面内にある鋭角三角形とし、頂点 $P$ の $z$座標は正とする。$P$ から $xy$平面に下した垂線を $PH$ とし、$H$ は $\triangle ABC$ の内部にあるとする。$H$ から直線 $AB$, $BC$, $CA$ に下した垂線をそれぞれ $HK_1$, $HK_2$, $HK_3$ とする。そのとき $PK_1 \perp AB$, $PK_2 \perp BC$, $PK_3 \perp CA$ である。$\angle PK_1H = \alpha_1$, $\angle PK_2H = \alpha_2$, $\angle PK_3H = \alpha_3$ とし、$\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$ の面積をそれぞれ $S_1$, $S_2$, $S_3$ とする。

(1) $\triangle HAB$ の面積を $\alpha_1$, $S_1$ を用いて表せ。

(2) 3つのベクトル $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$ は、大きさがそれぞれ $S_1$, $S_2$, $S_3$ であり、向きがそれぞれ平面 $PAB$, 平面 $PBC$, 平面 $PCA$ に垂直であるとする。ただし、$\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$ の $z$成分はすべて正とする。このとき、$\vec{e_1} + \vec{e_2} + \vec{e_3}$ の $z$成分は $\triangle ABC$ の面積に等しいことを示せ。

(3) 3辺 $AB$, $BC$, $CA$ の長さの比 $AB : BC : CA$ を、$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ を用いて表せ。

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小問(1)の解説

【使う公式・定理】

公式名	内容
三角形の面積（底辺×高さ）	$S = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$
直角三角形の余弦	$\cos\alpha_1 = \frac{HK_1}{PK_1}$

【解法ステップ】

• ステップ① $\triangle PAB$ の面積 $S_1$ を底辺 $AB$、高さ $PK_1$ で表す：

• ステップ② $\triangle HAB$ の面積を底辺 $AB$、高さ $HK_1$ で表す：

• ステップ③ $\triangle PK_1H$ において $PH \perp xy$平面、$HK_1 \perp AB$ より $\angle PK_1H = \alpha_1$ だから：

• ステップ④ 代入して面積を求める：

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小問(2)の解説（証明）

【解法ステップ】

• ステップ① $H$ が $\triangle ABC$ の内部にあるから：

(1)と同様に：

よって：

• ステップ② $\vec{e_1}$ の $z$成分を求める：$\vec{e_1}$ は平面 $PAB$ の法線ベクトルであり、$|\vec{e_1}| = S_1$。平面 $PAB$ の法線が $xy$平面となす角を考える。$PH \perp xy$平面、$HK_1 \perp AB$ より、平面 $PAB$ の法線が $z$軸となす角は $\alpha_1$（=$\angle PK_1H$）の余角ではなく、$\alpha_1$ と等しい。具体的には：

• ステップ③ 同様に：

• ステップ④ 合成する：

• ステップ⑤ (*)より、これは $\triangle ABC$ の面積に等しい。【証明終】

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小問(3)の解説

【解法ステップ】

• ステップ① 各面の面積を底辺と高さで表す：

• ステップ② $PH = PK_1\sin\alpha_1 = PK_2\sin\alpha_2 = PK_3\sin\alpha_3$ の関係を利用する（$PH$ は直角三角形 $PK_iH$ の辺）：

• ステップ③ これを面積の式に代入：

$$S_2 = \frac{1}{2} \times BC \times \frac{PH}

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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