岩手県立大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、岩手県立大学 2019年度（平成31年度）数学の過去問を徹底解説していきます！岩手県立大学は、ソフトウェア情報学部・総合政策学部を中心に、数学を重視した入試を実施している公立大学です。この記事では、出題傾向を踏まえた各大問の詳細解説と、合格に向けた具体的な対策法をお伝えします。

「数学が苦手で不安…」という受験生も、「得点源にしたい！」という受験生も、この記事を最後まで読めば、岩手県立大学の数学攻略法がきっと見えてくるはずです。一緒に頑張りましょう！

試験概要・難易度

2019年度入試の基本情報

全体講評と難易度分析

2019年度の岩手県立大学数学は、全体的に標準レベルの出題でした。教科書の例題や章末問題をしっかりマスターしていれば十分に対応できる問題が中心で、奇をてらった難問は見られませんでした。

特徴的だったのは以下の3点です：

• 基本公式の理解を問う問題が多く、計算力と正確性が重視されている
• 微分・積分とベクトルが例年通り出題の中心
• 確率や数列など、数学Aと数学Bからバランスよく出題

難易度の目安としては、以下のように分類できます：

• 基本問題：約40%（確実に得点したい）
• 標準問題：約45%（合否を分ける）
• やや発展的な問題：約15%（差がつく）

目標得点としては、合格ラインを考慮すると6〜7割（120〜140点）を確保したいところです。基本・標準問題で取りこぼしをしないことが、合格への最短ルートになります。

大問1：二次関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

二次関数の最大・最小問題は、岩手県立大学では頻出中の頻出です。まずは基本に忠実に、平方完成から始めましょう。

【(1) の解説】

Step 1：平方完成を行う

f(x) = -x² + 4x + a

= -(x² - 4x) + a

= -{(x - 2)² - 4} + a

= -(x - 2)² + 4 + a

Step 2：グラフの特徴を把握する

この関数は上に凸の放物線で、頂点は (2, 4 + a) です。

Step 3：定義域との関係を確認する

定義域は 0 ≤ x ≤ 3 で、頂点の x 座標 x = 2 はこの範囲内に含まれています。

上に凸の放物線なので、頂点で最大値をとります。

答え：最大値は 4 + a（x = 2 のとき）

【(2) の解説】

Step 1：最小値の候補を考える

上に凸の放物線で、頂点が定義域内にある場合、最小値は定義域の端点でとります。

端点での値を計算：

• f(0) = -0² + 4·0 + a = a
• f(3) = -3² + 4·3 + a = -9 + 12 + a = 3 + a

Step 2：どちらが小さいか比較する

a と 3 + a を比較すると、明らかに a < 3 + a です。

したがって、最小値は x = 0 のとき f(0) = a です。

Step 3：条件から a を求める

最小値が -5 なので、a = -5

答え：a = -5

【(3) の解説】

Step 1：条件を言い換える

「f(x) ≥ 0 が常に成り立つ」とは、「定義域内での最小値が 0 以上」ということです。

Step 2：(2) の結果を活用する

(2) より、定義域 0 ≤ x ≤ 3 での最小値は f(0) = a です。

Step 3：不等式を立てて解く

a ≥ 0

答え：a ≥ 0

別解・発展

【別解：グラフを用いた視覚的アプローチ】

(3) については、y = f(x) のグラフ全体が x 軸より上（または x 軸上）にあるための条件と考えることもできます。ただし、定義域が限定されているため、「定義域内で」という条件を忘れないようにしましょう。

【発展：定義域に文字が含まれる場合】

岩手県立大学では、定義域が 0 ≤ x ≤ k のように文字を含む問題も出題されます。その場合は、頂点の位置と定義域の位置関係で場合分けが必要になります。典型的には3〜4パターンに分かれるので、事前に練習しておきましょう。

大問2：三角関数

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】

Step 1：置き換えを行う

cosθ = t とおくと、-1 ≤ t ≤ 1 で、

2t² - 3t + 1 = 0

Step 2：因数分解する

(2t - 1)(t - 1) = 0

t = 1/2 または t = 1

Step 3：θ を求める

cosθ = 1/2 のとき：θ = π/3, 5π/3

cosθ = 1 のとき：θ = 0

答え：θ = 0, π/3, 5π/3

【(2) の解説】

Step 1：置き換えを行う

sinθ = t とおくと、-1 ≤ t ≤ 1 で、

2t² + t - 1 < 0

Step 2：因数分解して解の範囲を求める

(2t - 1)(t + 1) < 0

-1 < t < 1/2

Step 3：sinθ の範囲から θ を求める

sinθ の範囲が -1 ≤ sinθ ≤ 1 なので、条件 -1 < sinθ < 1/2 を満たす θ を求めます。

sinθ = -1 となる θ = 3π/2 は含まず

sinθ = 1/2 となる θ = π/6, 5π/6 は含まず

単位円を考えると：

答え：0 ≤ θ < π/6, 5π/6 < θ < 3π/2, 3π/2 < θ < 2π

【(3) の解説】

Step 1：三角関数の合成を行う

sin2θ + cos2θ = √2 sin(2θ + π/4)

（ここで、1·sin2θ + 1·cos2θ を合成）

Step 2：方程式を解く

√2 sin(2θ + π/4) = 1

sin(2θ + π/4) = 1/√2 = √2/2

Step 3：2θ + π/4 の範囲を確認して解く

0 ≤ θ < 2π より、π/4 ≤ 2θ + π/4 < 4π + π/4

sin(2θ + π/4) = √2/2 となるのは、2θ + π/4 = π/4, 3π/4, 2π + π/4, 2π + 3π/4, 4π + π/4（範囲外）

整理すると：

• 2θ + π/4 = π/4 → 2θ = 0 → θ = 0
• 2θ + π/4 = 3π/4 → 2θ = π/2 → θ = π/4
• 2θ + π/4 = 9π/4 → 2θ = 2π → θ = π
• 2θ + π/4 = 11π/4 → 2θ = 5π/2 → θ = 5π/4

答え：θ = 0, π/4, π, 5π/4

別解・発展

【(3) の別解：倍角公式を使わない方法】

sin2θ + cos2θ = 1 の両辺を2乗する方法もあります。

(sin2θ + cos2θ)² = 1

sin²2θ + 2sin2θcos2θ + cos²2θ = 1

1 + sin4θ = 1

sin4θ = 0

ただし、2乗したことで余分な解が含まれる可能性があるため、必ず元の式に代入して検算しましょう。

大問3：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】

Step 1：導関数を求める

f'(x) = 3x² - 6x - 9

= 3(x² - 2x - 3)

= 3(x - 3)(x + 1)

Step 2：f'(x) = 0 となる x を求める

f'(x) = 0 のとき、x = -1, 3

Step 3：増減表を作成する

Step 4：極値を計算する

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10（極大値）

f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22（極小値）

答え：x = -1 で極大値 10、x = 3 で極小値 -22

【(2) の解説】

Step 1：極値の符号を確認する

• 極大値 f(-1) = 10 > 0
• 極小値 f(3) = -22 < 0

Step 2：中間値の定理を適用する

極大値が正、極小値が負なので、グラフは x 軸を3回横切ります。

さらに確認すると：

• x → -∞ のとき f(x) → -∞
• x → +∞ のとき f(x) → +∞

答え：共有点の個数は 3個

【(3) の解説】

Step 1：問題を言い換える

「f(x) = k が異なる3つの実数解をもつ」とは、「y = f(x) のグラフと直線 y = k が異なる3点で交わる」ということです。

Step 2：グラフの形状から条件を導く

(1) の結果より：

• 極大値：10（x = -1）
• 極小値：-22（x = 3）

直線 y = k が3回交わるためには、極小値 < k < 極大値 である必要があります。

答え：-22 < k < 10

別解・発展

【発展：接線の問題への応用】

岩手県立大学では、「曲線上の点における接線の方程式を求めよ」「曲線外の点から引いた接線の本数を求めよ」といった問題も出題されます。(3) の考え方を応用すると、接線の本数問題も解けるようになります。

大問4：積分法と面積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】

Step 1：連立方程式を立てる

x² = x + 2

x² - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

x = -1, 2

Step 2：y 座標を求める

x = -1 のとき：y = (-1)² = 1

x = 2 のとき：y = 2² = 4

答え：(-1, 1) と (2, 4)

【(2) の解説】

Step 1：積分区間と被積分関数を確認する

-1 ≤ x ≤ 2 の範囲で、直線 y = x + 2 が放物線 y = x² の上にあるので：

S = ∫[-1 to 2] {(x + 2) - x²} dx

Step 2：積分を計算する

S = ∫[-1 to 2] (-x² + x + 2) dx

= [-x³/3 + x²/2 + 2x][-1 to 2]

= (-8/3 + 2 + 4) - (1/3 + 1/2 - 2)

= (-8/3 + 6) - (1/3 + 1/2 - 2)

= 10/3 - (-7/6)

= 10/3 + 7/6

= 20/6 + 7/6

= 27/6

= 9/2

【別法：1/6 公式を使う】

放物線と直線で囲まれた面積には、便利な公式があります：

S = |a|/6 × (β - α)³

ここで a は放物線の係数、α, β は交点の x 座標です。

S = 1/6 × {2 - (-1)}³ = 1/6 × 27 = 9/2

答え：S = 9/2

【(3) の解説】

Step 1：座標変換を行う

直線 y = x + 2 のまわりに回転させるため、この直線を新しい軸として考えます。

直線 y = x + 2 に垂直な方向の距離を考えると：

点 (x, x²) から直線 y = x + 2 への距離は：

d = |x² - x - 2| / √2 = |x² - x - 2| / √2

Step 2：回転体の体積を求める

パップス・ギュルダンの定理や、直接の積分計算により：

V = π∫[-1 to 2] {(x + 2 - x²)/√2}² · √2 dx

= π/√2 ∫[-1 to 2] (x + 2 - x²)² dx

(x + 2 - x²)² = (-x² + x + 2)² を展開：

= x⁴ - 2x³ - 3x² + 4x + 4

積分を計算すると：

V = 81π√2/30 = 27π√2/10

答え：V = 27π√2/10

別解・発展

【重要ポイント：面積の公式】

岩手県立大学では、以下の公式を使いこなせると有利です：

• 1/6 公式：放物線と直線で囲まれた面積
• 1/12 公式：放物線と接線で囲まれた面積
• 1/3 公式：2つの放物線で囲まれた面積

大問5：ベクトル

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】

内積の定義を使う

OA→・OB→ = |OA→||OB→|cos∠AOB

= 3 × 4 × cos60°

= 12 × 1/2

= 6

答え：OA→・OB→ = 6

【(2) の解説】

Step 1：P, Q の位置ベクトルを表す

OP→ = (2/3)OA→（OA を 2:1 に内分）

OQ→ = (1/4)OB→（OB を 1:3 に内分）

Step 2