青山学院大学 2020年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾で講師を務めている藤原進之介です。

今回は、青山学院大学 2020年度入試の数学について、徹底的に解説していきます。青学（青山学院大学）は、MARCHの中でも特に人気が高く、数学の出題も標準〜やや難レベルの良問が多いことで知られています。

この記事では、2020年度の入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似の練習問題まで網羅的にお伝えします。青学合格を目指す受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2020年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

2020年度の全体講評

2020年度の青山学院大学数学は、全体的に例年通りの標準レベルでした。ただし、一部の大問では計算量が多く、時間配分に苦労した受験生も多かったようです。

特徴的だったのは以下の点です：

• 3次方程式の因数分解や解の公式を使う問題が出題
• 微分・積分の計算問題は確実に得点したいレベル
• 確率の問題では、場合分けを丁寧に行う必要があった
• ベクトルや数列の融合問題も登場
• 図形と方程式の分野から、軌跡や領域の問題が出題

青学の数学は、「基本をしっかり押さえた上で、計算を正確に遂行する力」が問われます。難問奇問は少なく、教科書レベルの知識を確実に身につけていれば対応できる問題が中心です。しかし、時間との勝負になることも多いため、スピードと正確性の両立が合格の鍵となります。

大問1：3次方程式と因数分解

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次方程式の基本的な解法を問う良問です。因数定理を使って1つの解を見つけ、そこから因数分解していきます。

【(1)の解説】因数分解

Step 1：有理数解の候補を探す

3次方程式 f(x) = x³ − 3x² + x + 2 = 0 において、有理数解が存在するとすれば、それは「定数項の約数 ÷ 最高次係数の約数」の形になります（有理根定理）。

定数項は 2、最高次係数は 1 なので、有理数解の候補は：

x = ±1, ±2

Step 2：候補を代入して確認

• f(1) = 1 − 3 + 1 + 2 = 1 ≠ 0 → ×
• f(−1) = −1 − 3 − 1 + 2 = −3 ≠ 0 → ×
• f(2) = 8 − 12 + 2 + 2 = 0 → ◯

したがって、x = 2 が解であり、(x − 2) が因数です。

Step 3：組立除法（または多項式の割り算）

f(x) を (x − 2) で割ります。組立除法を使うと：

    2 |  1   -3    1    2
      |       2   -2   -2
      |-----------------
         1   -1   -1    0

よって、f(x) = (x − 2)(x² − x − 1)

答：x³ − 3x² + x + 2 = (x − 2)(x² − x − 1)

【(2)の解説】すべての解を求める

因数分解の結果から：

• x − 2 = 0 より、x = 2
• x² − x − 1 = 0 を解の公式で解く

x² − x − 1 = 0 に解の公式を適用：

x = (1 ± √(1 + 4)) / 2 = (1 ± √5) / 2

答：x = 2, (1 + √5)/2, (1 − √5)/2

※ (1 + √5)/2 は「黄金比」として知られる有名な数です！

【(3)の解説】α² + β² + γ² の値

3つの解を α = 2, β = (1 + √5)/2, γ = (1 − √5)/2 とします。

方法1：直接計算

各解の2乗を計算して足し合わせます。

• α² = 4
• β² = ((1 + √5)/2)² = (1 + 2√5 + 5)/4 = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2
• γ² = ((1 − √5)/2)² = (1 − 2√5 + 5)/4 = (6 − 2√5)/4 = (3 − √5)/2

したがって：

α² + β² + γ² = 4 + (3 + √5)/2 + (3 − √5)/2 = 4 + 3 = 7

方法2：解と係数の関係を利用（推奨）

3次方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 の3解を α, β, γ とすると：

• α + β + γ = −a
• αβ + βγ + γα = b
• αβγ = −c

今回の方程式 x³ − 3x² + x + 2 = 0 では：

• α + β + γ = 3
• αβ + βγ + γα = 1
• αβγ = −2

ここで、公式 α² + β² + γ² = (α + β + γ)² − 2(αβ + βγ + γα) を使います：

α² + β² + γ² = 3² − 2 × 1 = 9 − 2 = 7

答：α² + β² + γ² = 7

別解・発展

【発展】3次方程式の解の公式（カルダノの公式）

一般の3次方程式には「カルダノの公式」という解の公式が存在します。しかし、この公式は非常に複雑で、入試で直接使うことはまずありません。

入試では今回のように、有理根定理を使って1つの解を見つけ、因数分解する方法が最も実践的です。

【別解】(3)について

β と γ は x² − x − 1 = 0 の2解なので、解と係数の関係より：

• β + γ = 1
• βγ = −1

したがって：

β² + γ² = (β + γ)² − 2βγ = 1 − 2(−1) = 1 + 2 = 3

α² = 4 と合わせて、α² + β² + γ² = 4 + 3 = 7

大問2：微分法の応用（関数の増減と極値）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次関数の微分と極値に関する典型問題です。青学をはじめ、私立大学入試では頻出のパターンなので、確実にマスターしておきましょう。

【(1)の解説】導関数を求める

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2 を微分します：

f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)

答：f'(x) = 3(x − 1)(x − 3) = 3x² − 12x + 9

【(2)の解説】極値を求める

Step 1：f'(x) = 0 となる x を求める

f'(x) = 3(x − 1)(x − 3) = 0 より、x = 1, 3

Step 2：増減表を作成

Step 3：極値を計算

• x = 1 のとき：f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6（極大値）
• x = 3 のとき：f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2（極小値）

答：x = 1 で極大値 6、x = 3 で極小値 2

【(3)の解説】グラフの概形

これまでの情報をまとめると：

• x → −∞ のとき f(x) → −∞
• x → +∞ のとき f(x) → +∞
• x = 1 で極大値 6
• x = 3 で極小値 2
• f(0) = 2（y切片）

これらの情報から、右上がりの3次関数で、x = 1 で山、x = 3 で谷となるグラフが描けます。

【(4)の解説】異なる3実数解の条件

方程式 f(x) = k は、y = f(x) のグラフと直線 y = k の交点の x 座標です。

異なる3つの実数解をもつためには、直線 y = k が極大値と極小値の間を通る必要があります。

極小値 < k < 極大値

すなわち：

答：2 < k < 6

別解・発展

【ポイント】3次方程式の実数解の個数

3次関数 f(x) = ax³ + bx² + cx + d（a > 0）について、方程式 f(x) = k の実数解の個数は：

• k < 極小値 または k > 極大値 → 1個
• k = 極小値 または k = 極大値 → 2個（重解を含む）
• 極小値 < k < 極大値 → 3個

この考え方は、青学だけでなく多くの大学で出題されるので、しっかり覚えておきましょう！

大問3：積分法（面積の計算）

問題

解説・解法のポイント

積分による面積計算は、青学の数学で毎年のように出題される超頻出分野です。1/6公式を使いこなせるかどうかが勝負の分かれ目となります。

【(1)の解説】交点を求める

放物線と直線の方程式を連立します：

x² − 2x = x

整理すると：

x² − 3x = 0
x(x − 3) = 0
x = 0, 3

それぞれの y 座標は：

• x = 0 のとき、y = 0
• x = 3 のとき、y = 3

答：(0, 0) と (3, 3)

【(2)の解説】面積を求める

方法1：定積分による計算

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、直線 y = x が放物線 y = x² − 2x より上にあることを確認します。

（例えば x = 1 で、直線：y = 1、放物線：y = −1 なので、直線が上）

S = ∫₀³ {x − (x² − 2x)} dx = ∫₀³ (3x − x²) dx

計算を進めます：

S = [3x²/2 − x³/3]₀³
= (3 × 9/2 − 27/3) − 0
= 27/2 − 9
= 27/2 − 18/2
= 9/2

方法2：1/6公式の利用（推奨）

放物線 y = ax² + bx + c と直線の交点の x 座標が α, β（α < β）のとき、囲まれた部分の面積は：

S = |a|/6 × (β − α)³

今回の場合：

• 放物線 y = x² − 2x より、a = 1
• 交点は x = 0, 3 なので、α = 0, β = 3

S = 1/6 × (3 − 0)³ = 1/6 × 27 = 9/2

答：S = 9/2

別解・発展

【重要公式】面積公式のまとめ

入試でよく使う面積公式を整理しておきましょう：

これらの公式を使いこなせると、計算時間を大幅に短縮できます！

大問4：確率（条件付き確率）

問題

解説・解法のポイント

この問題は反復試行の確率と条件付き確率の複合問題です。青学では、確率の問題が毎年出題されるので、しっかりと演習を積んでおきましょう。

【基本情報の整理】

• 赤玉が出る確率：p = 3/5
• 白玉が出る確率：q = 2/5
• 復元抽出なので、各回の試行は独立

【(1)の解説】赤玉がちょうど2回出る確率

3回中ちょうど2回赤玉が出る確率は、反復試行の確率の公式を使います：

P(赤が2回) = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹

計算を進めます：

= 3 × 9/25 × 2/5
= 3 × 18/125
= 54/125

答：54/125

【(2)の解説】赤玉が少なくとも1回出る確率

「少なくとも1回」は、余事象を使うと簡単です：

P(赤が少なくとも1回) = 1 − P(赤が0回)

赤が0回（つまり3回とも白）の確率は：

P(赤が0回) = (2/5)³ = 8/125

したがって：

P(赤が少なくとも1回) = 1 − 8/125 = 117/125

答：117/125

【(3)の解説】条件付き確率

条件付き

条件付き確率の公式を使います：

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

ここで：

• 事象B：3回目に赤玉が出る
• 事象A：1回目と2回目で赤玉がちょうど1回出る

Step 1：P(B) を求める

3回目に赤玉が出る確率は、単純に：

P(B) = 3/5

Step 2：P(A∩B) を求める

「1回目と2回目で赤玉がちょうど1回出て、かつ3回目に赤玉が出る」確率です。

1回目と2回目で赤玉がちょうど1回出るパターンは：

• 赤→白：(3/5) × (2/5) = 6/25
• 白→赤：(2/5) × (3/5) = 6/25

合計：6/25 + 6/25 = 12/25

これに3回目が赤である確率を掛けると：

P(A∩B) = 12/25 × 3/5 = 36/125

Step 3：条件付き確率を計算

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (36/125) / (3/5) = (36/125) × (5/3) = 36/75 = 12/25

答：12/25

別解・発展

【別解】(3)を樹形図で考える

3回目が赤であることが分かっている状況で、1・2回目の出方を考えます。

3回目が赤のときの、1・2回目のパターンと確率（相対的な割合）：

合計は 25/25 = 1 なので、この中で赤が1回のパターンの割合は：

(6/25 + 6/25) / 1 = 12/25

【発展】ベイズの定理

条件付き確率の問題では、ベイズの定理を使うこともあります：

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

大学によっては、ベイズの定理を直接問う問題も出題されるので、余裕があれば学習しておきましょう。

大問5：ベクトル（空間ベクトル）

問題

解説・解法のポイント

空間ベクトルの問題は、青学理工学部をはじめ多くの学部で出題されます。内分点の公式をしっかり使いこなせるようにしましょう。

【(1)の解説】OP⃗ を求める

点Pは辺ABを 2:1 に内分する点なので、内分点の公式を使います：

OP⃗ = (1 × OA⃗ + 2 × OB⃗) / (2 + 1) = (a⃗ + 2b⃗) / 3

答：OP⃗ = (a⃗ + 2b⃗) / 3

【(2)の解説】OQ⃗ を求める

点Qは辺OCの中点なので：

OQ⃗ = c⃗ / 2

答：OQ⃗ = c⃗ / 2

【(3)の解説】OM⃗ を求める

点MはPQの中点なので：

OM⃗ = (OP⃗ + OQ⃗) / 2

(1)(2)の結果を代入：

OM⃗ = {(a⃗ + 2b⃗)/3 + c⃗/2} / 2
= (a⃗ + 2b⃗) / 6 + c⃗ / 4
= a⃗/6 + b⃗/3 + c⃗/4

答：OM⃗ = a⃗/6 + b⃗/3 + c⃗/4

【(4)の解説】|PM⃗|² を求める

Step 1：PM⃗ を求める

PM⃗ = OM⃗ − OP⃗
= (a⃗/6 + b⃗/3 + c⃗/4) − (a⃗ + 2b⃗)/3
= a⃗/6 + b⃗/3 + c⃗/4 − a⃗/3 − 2b⃗/3
= −a⃗/6 − b⃗/3 + c⃗/4

Step 2：|PM⃗|² を計算

|PM⃗|² = PM⃗ · PM⃗ = (−a⃗/6 − b⃗/3 + c⃗/4) · (−a⃗/6 − b⃗/3 + c⃗/4)

展開すると：

= |a⃗|²/36 + |b⃗|²/9 + |c⃗|²/16 + 2·(a⃗/6)·(b⃗/3) − 2·(a⃗/6)·(c⃗/4) − 2·(b⃗/3)·(c⃗/4)
= |a⃗|²/36 + |b⃗|²/9 + |c⃗|²/16 + (a⃗·b⃗)/9 − (a⃗·c⃗)/12 − (b⃗·c⃗)/6

Step 3：数値を代入

与えられた値：|a⃗| = 3, |b⃗| = 2, |c⃗| = 4, a⃗·b⃗ = 2, b⃗·c⃗ = 0, c⃗·a⃗ = 6

|PM⃗|² = 9/36 + 4/9 + 16/16 + 2/9 − 6/12 − 0/6
= 1/4 + 4/9 + 1 + 2/9 − 1/2
= 1/4 + 6/9 + 1 − 1/2
= 1/4 + 2/3 + 1 − 1/2

通分して計算（分母を12に統一）：

= 3/12 + 8/12 + 12/12 − 6/12
= (3 + 8 + 12 − 6)/12
= 17/12

答：|PM⃗|² = 17/12

別解・発展

【ポイント】ベクトルの内積計算のコツ

|pa⃗ + qb⃗ + rc⃗|² を計算するときは、以下の公式を使います：

|pa⃗ + qb⃗ + rc⃗|² = p²|a⃗|² + q²|b⃗|² + r²|c⃗|² + 2pq(a⃗·b⃗) + 2qr(b⃗·c⃗) + 2rp(c⃗·a⃗)

この公式を覚えておくと、展開の手間が省けます。

大問6：数列（漸化式）

問題

解説・解法のポイント

この問題は階差型漸化式の典型パターンです。特性方程式を使って等比数列に帰着させる方法をマスターしましょう。

【(1)の解説】α の値を求める

bₙ = aₙ + α とおくと、aₙ = bₙ − α

元の漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 に代入：

bₙ₊₁ − α = 2(bₙ − α) + 3
bₙ₊₁ = 2bₙ − 2α + α + 3
bₙ₊₁ = 2bₙ − α + 3

{bₙ} が等比数列（公比2）となるためには、定数項が消える必要があります：

−α + 3 = 0
α = 3

答：α = 3

【(2)の解説】一般項を求める

α = 3 より、bₙ = aₙ + 3 は公比2の等比数列です。

初項を求めます：

b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

したがって：

bₙ = 4 × 2ⁿ⁻¹ = 2² × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

よって：

aₙ = bₙ − 3 = 2ⁿ⁺¹ − 3

答：aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3

【検算】

• a₁ = 2² − 3 = 4 − 3 = 1 ✓
• a₂ = 2³ − 3 = 8 − 3 = 5（漸化式から：2×1+3=5）✓
• a₃ = 2⁴ − 3 = 16 − 3 = 13（漸化式から：2×5+3=13）✓

【(3)の解説】和を求める

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (2ᵏ⁺¹ − 3)
= Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ⁺¹ − 3n
= 2² + 2³ + … + 2ⁿ⁺¹ − 3n

等比数列の和の公式を使います：

2² + 2³ + … + 2ⁿ⁺¹ = 4 × (2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 4(2ⁿ − 1) = 2ⁿ⁺² − 4

したがって：

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = 2ⁿ⁺² − 4 − 3n = 2ⁿ⁺² − 3n − 4

答：Σₖ₌₁ⁿ aₖ = 2ⁿ⁺² − 3n − 4

別解・発展

【別解】特性方程式を使う方法

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 の特性方程式は：

x = 2x + 3
−x = 3
x = −3

この x = −3 を使って、aₙ − (−3) = aₙ + 3 が等比数列になることがわかります。

【発展】3項間漸化式

より難しい問題では、aₙ₊₂ = paₙ₊₁ + qaₙ のような3項間漸化式も出題されます。この場合は特性方程式 x² = px + q を解いて、2つの解を使って一般項を求めます。

この年度の重要テーマと対策

2020年度の出題傾向まとめ

2020年度の青山学院大学数学の特徴を整理すると、以下のようになります：

青学数学攻略のための5つのポイント

① 計算力を徹底的に鍛える

青学の数学は計算量が多いです。日頃から計算ミスをしない訓練を重ね、スピードと正確性を両立させましょう。特に、分数計算や√の計算は確実に！

② 典型問題のパターンを網羅する

青学の問題は、基本〜標準レベルの典型問題が中心です。教科書の例題や章末問題を完璧にマスターしてから、過去問演習に取り組みましょう。

③ 公式は「使える」レベルまで習熟する

1/6公式、解と係数の関係、内分点の公式など、よく使う公式は「見た瞬間に使える」レベルまで練習してください。公式を思い出す時間が命取りになります。

④ 時間配分を意識した演習を

60分で4〜5問を解くためには、1問あたり12〜15分が目安です。難しい問題に時間をかけすぎず、取れる問題を確実に取る戦略が重要です。

⑤ 過去問は最低5年分を解く

青学の出題傾向をつかむために、過去問演習は必須です。時間を計って本番同様に解き、復習まで丁寧に行いましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2020年度の出題傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、ぜひチャレンジしてみてください！

【練習問題1】3次方程式

【解答・解説】

(1) 有理数解

f(x) = x³ − 5x² + 2x + 8 とおき、候補 x = ±1, ±2, ±4, ±8 を調べます。

• f(−1) = −1 − 5 − 2 + 8 = 0 ✓
• f(2) = 8 − 20 + 4 + 8 = 0 ✓
• f(4) = 64 − 80 + 8 + 8 = 0 ✓

答：x = −1, 2, 4

(2) 因数分解

答：x³ − 5x² + 2x + 8 = (x + 1)(x − 2)(x − 4)

(3) (α−1)(β−1)(γ−1) の値

g(x) = f(x + 1) を考えると、g(x) の3つの解は α−1, β−1, γ−1 です。

g(x) = (x+1)³ − 5(x+1)² + 2(x+1) + 8

展開して整理すると：

g(x) = x³ − 2x² − 5x + 6

解と係数の関係より、(α−1)(β−1)(γ−1) = −(定数項) = −6

別解：直接計算すると (−1−1)(2−1)(4−1) = (−2)(1)(3) = −6

答：−6

【練習問題2】微分・積分の融合問題

【解答・解説】

(1) 極値

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1)

f'(x) = 0 より x = −1, 1

• x = −1 のとき：f(−1) = −1 + 3 = 2（極大値）
• x = 1 のとき：f(1) = 1 − 3 = −2（極小値）

答：x = −1 で極大値 2、x = 1 で極小値 −2

(2) 面積の和

f(x) = x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x + √3)(x − √3)

x 軸との交点：x = −√3, 0, √3

面積 S は：

S = ∫_{−√3}^{0}

S = ∫_{−√3}^{0} (x³ − 3x) dx − ∫_{0}^{√3} (x³ − 3x) dx

※ −√3 ≤ x ≤ 0 では f(x) ≥ 0、0 ≤ x ≤ √3 では f(x) ≤ 0 なので、絶対値を考慮します。

対称性を利用すると（f(x) は奇関数なので）、2つの部分の面積は等しくなります：

S = 2 × |∫_{0}^{√3} (x³ − 3x) dx|

積分を計算：

∫_{0}^{√3} (x³ − 3x) dx = [x⁴/4 − 3x²/2]_{0}^{√3}
= (9/4 − 9/2) − 0
= 9/4 − 18/4
= −9/4

したがって：

S = 2 × |−9/4| = 2 × 9/4 = 9/2

答：S = 9/2

【練習問題3】確率と漸化式の融合問題

【解答・解説】

(1) p₁, p₂, p₃

n 回投げて表が a 回、裏が b 回出たとすると：

• a + b = n（投げた回数）
• 2a − b = 0（原点に戻る条件）

この連立方程式から：a = n/3, b = 2n/3

つまり、n が3の倍数のときのみ原点に戻れます。

・p₁ = 0（n=1 は3の倍数でない）
・p₂ = 0（n=2 は3の倍数でない）
・p₃：表1回、裏2回のとき原点に戻る

p₃ = ₃C₁ × (1/2)¹ × (1/2)² = 3 × 1/8 = 3/8

答：p₁ = 0, p₂ = 0, p₃ = 3/8

(2) p₆

n = 6 のとき、a = 6/3 = 2, b = 4

6回中、表が2回出る確率：

p₆ = ₆C₂ × (1/2)² × (1/2)⁴ = 15 × 1/64 = 15/64

答：p₆ = 15/64

(3) 原点に戻れる最小の回数

原点に戻るには 2a − b = 0 かつ a + b = n を満たす必要があります。

a ≥ 1, b ≥ 1 のとき、a = n/3 ≥ 1 より n ≥ 3

答：n = 3

青山学院大学 数学の学部別特徴

青山学院大学では、学部によって数学の出題傾向が異なります。志望学部に合わせた対策を立てましょう。

経済学部・経営学部

対策ポイント：計算のスピードと正確性が求められます。典型問題を素早く解けるように、反復練習を重ねましょう。

理工学部

対策ポイント：数学Ⅲの範囲からの出題が中心です。特に、積分計算（置換積分・部分積分）、極限、曲線の長さなどをしっかり演習してください。記述答案の書き方も重要です。

社会情報学部

対策ポイント：情報系の学部らしく、場合の数・確率の出題が多いです。また、データの分析（分散・標準偏差など）も出題されることがあるので、対策しておきましょう。

合格者の声と学習アドバイス

青学合格者Aさん（経済学部）の体験談

青学合格者Bさん（理工学部）の体験談

藤原先生からのアドバイス

日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう

ここまで、青山学院大学 2020年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

青学の数学は、正しい方法で勉強すれば必ず得点源にできます。しかし、独学では「何をどこまでやればいいか分からない」「自分の解き方が正しいか不安」という壁にぶつかることも多いでしょう。

そんな方には、プロの講師によるマンツーマン指導がおすすめです。

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最後に — 藤原進之介より

青山学院大学は、MARCHの中でも特に人気が高く、競争率も高い大学です。しかし、正しい努力を積み重ねれば、必ず合格を勝ち取ることができます。

数学は「センス」ではなく「努力」で伸びる科目です。今日からでも遅くありません。一歩ずつ、着実に力をつけていきましょう。

皆さんの青学合格を、心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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