青山学院大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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こんにちは！数強塾・日本数学塾講師の藤原進之介です。

今回は、青山学院大学 2017年度 数学入試問題を徹底解説していきます。MARCHの中でも人気の高い青学の数学は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、確実に得点するためには正確な計算力と幅広い分野の知識が必要です。

この記事では、2017年度の各大問を詳しく解説し、解法のポイントや時間配分のコツ、そして効果的な対策法までお伝えします。青山学院大学を目指す受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2017年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

項目	全学部日程（文系）	経済学部（個別日程）	理工学部
試験時間	60分	90分	100分
配点	100点	100点	150点
出題形式	マーク式（空欄補充）	マーク式＋記述式	記述式中心
大問数	4題	5題	4〜5題
出題範囲	数学Ⅰ・A・Ⅱ・B	数学Ⅰ・A・Ⅱ・B	数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ

2017年度の全体講評

2017年度の青山学院大学数学入試は、全体的に標準レベルの出題でした。特筆すべき点として以下が挙げられます：

• 複素数の計算問題が出題され、計算力が問われた
• 積分と関数の決定を組み合わせた融合問題が登場
• 2次方程式の解の条件に関する問題が頻出
• 全学部日程では時間的余裕があり、丁寧に解けば高得点が狙える
• 経済学部では計算量がやや多めで、効率的な処理が求められた

難易度評価：★★★☆☆（標準）

基礎をしっかり固めていれば、7割以上の得点は十分に可能な年度でした。ただし、計算ミスが命取りになるため、見直しの時間を確保することが重要です。

合格のための目標得点

• 全学部日程（文系学部）：80点以上（80%）を目標に
• 経済学部A・B方式：75点以上（75%）を確保
• 理工学部：110点以上（約73%）で安全圏

大問1：複素数の計算

問題

解説・解法のポイント

この問題は、複素数の累乗計算を確実にこなせるかを問う基本問題です。解法は大きく分けて2通りあります。

【解法1】直接展開する方法

Step 1：まず (2 + i)² を計算する

(2 + i)² = 4 + 4i + i²
        = 4 + 4i + (−1)
        = 3 + 4i

Step 2：(2 + i)⁴ = {(2 + i)²}² を計算する

(2 + i)⁴ = (3 + 4i)²
        = 9 + 24i + 16i²
        = 9 + 24i + 16(−1)
        = 9 + 24i − 16
        = −7 + 24i

Step 3：同様に (2 − i)⁴ を計算する

(2 − i)² = 4 − 4i + i² = 3 − 4i
(2 − i)⁴ = (3 − 4i)² = 9 − 24i + 16i² = −7 − 24i

Step 4：両者を足し合わせる

(2 + i)⁴ + (2 − i)⁴ = (−7 + 24i) + (−7 − 24i)
                      = −7 − 7 + 24i − 24i
                      = −14

別解・発展

【解法2】共役複素数の性質を利用する方法

2 + i と 2 − i は共役複素数の関係にあります。一般に、複素数 z = a + bi に対して、その共役複素数を z̄ = a − bi と書くと、次の重要な性質があります：

• z̄ⁿ = (zⁿ)̄（共役をとる操作と累乗は交換可能）
• z + z̄ = 2a（実部の2倍、つまり実数になる）

したがって、(2 + i)⁴ + (2 − i)⁴ は必ず実数になることが最初からわかります。

この性質を知っていると、計算の途中で虚部が打ち消し合うことを予測でき、検算にも役立ちます。

【解法3】二項定理を使う方法

二項定理 (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ を利用することもできます。

(2 + i)⁴ = 2⁴ + 4·2³·i + 6·2²·i² + 4·2·i³ + i⁴
        = 16 + 32i + 24(−1) + 8(−i) + 1
        = 16 + 32i − 24 − 8i + 1
        = −7 + 24i

同様に (2 − i)⁴ = −7 − 24i となり、和は −14 です。

藤原先生のワンポイントアドバイス

大問2：積分方程式（関数の決定）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、微分積分学の基本定理（微積分の逆演算）を使う典型問題です。青山学院大学では頻出のパターンなので、確実にマスターしましょう。

【解法】微分積分学の基本定理を利用

Step 1：等式の両辺を x で微分する

微分積分学の基本定理より、
d/dx ∫<sub>a</sub><sup>x</sup> f(t) dt = f(x)
が成り立ちます。

右辺を微分すると：
d/dx (x² − 5x + 6) = 2x − 5

したがって、f(x) = 2x − 5 が得られます。

Step 2：定数 a の値を求める

元の等式に x = a を代入すると、左辺は：
∫<sub>a</sub><sup>a</sup> f(t) dt = 0

右辺は：
a² − 5a + 6 = (a − 2)(a − 3)

よって、0 = (a − 2)(a − 3) より、a = 2 または a = 3

別解・発展

確認：答えが正しいか検算してみよう

a = 2 のとき：
∫<sub>2</sub><sup>x</sup> (2t − 5) dt = [t² − 5t]<sub>2</sub><sup>x</sup>
= (x² − 5x) − (4 − 10)
= x² − 5x + 6 ✓

a = 3 のとき：
∫<sub>3</sub><sup>x</sup> (2t − 5) dt = [t² − 5t]<sub>3</sub><sup>x</sup>
= (x² − 5x) − (9 − 15)
= x² − 5x + 6 ✓

どちらも正しいことが確認できました。

発展：なぜ a の値が2つあるのか？

これは、右辺の x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) が x = 2 と x = 3 で 0 になることに対応しています。定積分の下端 a が変わっても、積分する関数 f(x) = 2x − 5 は変わりません。

藤原先生のワンポイントアドバイス

大問3：2次方程式と解の条件

問題

解説・解法のポイント

この問題は、解と係数の関係を活用する典型問題です。2つの条件を順番に処理していきましょう。

【解法】解と係数の関係を利用

Step 1：1つ目の方程式から a, b を k で表す

x² + ax + b = 0 の2解が k と k + 4 なので、解と係数の関係より：

解の和：k + (k + 4) = −a
2k + 4 = −a
∴ a = −2k − 4

解の積：k(k + 4) = b
∴ b = k² + 4k

Step 2：2つ目の方程式の条件を確認

x² + bx + a = 0、すなわち x² + (k² + 4k)x + (−2k − 4) = 0 が少なくとも1つの正の実数解をもつ条件を考えます。

この方程式に a, b の値を代入して整理すると：
x² + (k² + 4k)x − (2k + 4) = 0

k が自然数（k ≧ 1）のとき：

• k² + 4k > 0（係数は正）
• −(2k + 4) < 0（定数項は負）

定数項が負ということは、f(0) = −(2k + 4) < 0 です。また f(x) = x² + (k² + 4k)x − (2k + 4) は下に凸の放物線で、x → ∞ のとき f(x) → ∞ です。

したがって、必ず正の解を1つもちます。（中間値の定理より）

別解・発展

グラフを使った視覚的理解

f(x) = x² + (k² + 4k)x − (2k + 4) のグラフを考えると：

• f(0) = −(2k + 4) < 0（y切片が負）
• 軸は x = −(k² + 4k)/2 < 0（軸は負の領域）
• 下に凸の放物線

これらの条件から、グラフは必ず x 軸の正の部分と交わることがわかります。

具体例で確認

k = 1 のとき：
a = −2(1) − 4 = −6
b = 1² + 4(1) = 5

1つ目の方程式：x² − 6x + 5 = 0 → (x − 1)(x − 5) = 0 → x = 1, 5 ✓（k = 1, k + 4 = 5）

2つ目の方程式：x² + 5x − 6 = 0 → (x + 6)(x − 1) = 0 → x = −6, 1
x = 1 > 0 なので、正の実数解をもつ ✓

藤原先生のワンポイントアドバイス

大問4：三角関数と図形

問題

解説・解法のポイント

三角形の辺の長さから角度や面積を求める問題は、青山学院大学の定番です。余弦定理と面積公式を正確に使いこなしましょう。

【解法】

(1) cos A の値を求める

余弦定理より、BC² = AB² + CA² − 2·AB·CA·cos A

7² = 5² + 8² − 2·5·8·cos A
49 = 25 + 64 − 80 cos A
49 = 89 − 80 cos A
80 cos A = 40
cos A = 1/2

(2) △ABC の面積 S を求める

cos A = 1/2 より、0° < A < 180° なので A = 60°
したがって、sin A = √3/2

S = (1/2)·AB·CA·sin A
  = (1/2)·5·8·(√3/2)
  = (1/2)·40·(√3/2)
  = 10√3

(3) 内接円の半径 r を求める

内接円の半径と三角形の面積には、次の関係があります：
S = (1/2)·r·(a + b + c)
（a, b, c は三角形の3辺の長さ）

10√3 = (1/2)·r·(5 + 7 + 8)
10√3 = (1/2)·r·20
10√3 = 10r
r = √3

別解・発展

ヘロンの公式を使った面積計算

辺の長さだけから面積を求めるヘロンの公式も有効です：

s = (a + b + c)/2 = (5 + 7 + 8)/2 = 10（半周長）
S = √{s(s−a)(s−b)(s−c)}
  = √{10·(10−5)·(10−7)·(10−8)}
  = √{10·5·3·2}
  = √300
  = 10√3 ✓

藤原先生のワンポイントアドバイス

大問5：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、非同次線形漸化式の典型パターンです。右辺に aₙ の定数倍だけでなく 2ⁿ という項があるため、工夫が必要です。

【解法】両辺を 2ⁿ⁺¹ で割る方法

Step 1：漸化式を変形する

aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ の両辺を 2ⁿ⁺¹ で割ります：

aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = 3aₙ/2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ/2ⁿ⁺¹
aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = (3/2)·(aₙ/2ⁿ) + 1/2

Step 2：bₙ = aₙ/2ⁿ とおく

新しい数列 {bₙ} を定義すると：
bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

Step 3：特性方程式を解く

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2 の特性方程式は：
α = (3/2)α + 1/2
α − (3/2)α = 1/2
−(1/2)α = 1/2
α = −1

Step 4：bₙ − α の漸化式を作る

bₙ₊₁ − (−1) = (3/2){bₙ − (−1)}
bₙ₊₁ + 1 = (3/2)(bₙ + 1)

cₙ = bₙ + 1 とおくと、cₙ₊₁ = (3/2)cₙ

これは等比数列です！

Step 5：初項を求める

b₁ = a₁/2¹ = 2/2 = 1
c₁ = b₁ + 1 = 1 + 1 = 2

Step 6：cₙ の一般項を求める

cₙ = c₁·(3/2)ⁿ⁻¹ = 2·(3/2)ⁿ⁻¹
   = 2·3ⁿ⁻¹/2ⁿ⁻¹
   = 3ⁿ⁻¹/2ⁿ⁻²
   = 4·3ⁿ⁻¹/2ⁿ

Step 7：bₙ、次に aₙ を求める

bₙ = cₙ − 1 = 4·3ⁿ⁻¹/2ⁿ − 1

aₙ = 2ⁿ·bₙ = 2ⁿ·(4·3ⁿ⁻¹/2ⁿ − 1)
   = 4·3ⁿ⁻¹ − 2ⁿ
   = (4/3)·3ⁿ − 2ⁿ

別解・発展

【別解】特殊解を推測する方法

aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ において、右辺の 2ⁿ に着目し、特殊解として aₙ = k·2ⁿ の形を仮定します。

k·2ⁿ⁺¹ = 3·k·2ⁿ + 2ⁿ
2k·2ⁿ = 3k·2ⁿ + 2ⁿ
2k = 3k + 1
−k = 1
k = −1

したがって、特殊解は aₙ = −2ⁿ

一般解は、同次方程式 aₙ₊₁ = 3aₙ の解 aₙ = C·3ⁿ と特殊解の和：
aₙ = C·3ⁿ − 2ⁿ

初期条件 a₁ = 2 より：
2 = C·3 − 2
C = 4/3

よって、aₙ = (4/3)·3ⁿ − 2ⁿ

検算

a₁ = (4/3)·3 − 2 = 4 − 2 = 2 ✓
a₂ = (4/3)·9 − 4 = 12 − 4 = 8

漸化式で確認：a₂ = 3a₁ + 2¹ = 3·2 + 2 = 8 ✓

藤原先生のワンポイントアドバイス

大問6：ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

ベクトルの問題は、基本ベクトルで表すことと内積の計算が鍵です。

【解法】

(1) 内積 OA→·OB→ の値

OA→·OB→ = |OA→||OB→|cos∠AOB
          = 3·4·cos 60°
          = 12·(1/2)
          = 6

(2) OP→ を表す

点 P は辺 AB を 2:1 に内分するので、内分点の公式より：

OP→ = (1·OA→ + 2·OB→)/(2 + 1)
    = (OA→ + 2OB→)/3
    = (1/3)OA→ + (2/3)OB→

(3) OQ→ を表す

Q は直線 OP 上の点なので、実数 s を用いて：
OQ→ = sOP→ = s{(1/3)OA→ + (2/3)OB→} = (s/3)OA→ + (2s/3)OB→ ... ①

また、M は OB の中点なので OM→ = (1/2)OB→

Q は直線 AM 上の点でもあるので、実数 t を用いて：
AQ→ = t·AM→
OQ→ − OA→ = t(OM→ − OA→)
OQ→ = OA→ + t{(1/2)OB→ − OA→}
OQ→ = (1 − t)OA→ + (t/2)OB→ ... ②

①と②の係数を比較：
s/3 = 1 − t ... (ア)
2s/3 = t/2 ... (イ)

(イ)より t = 4s/3

(ア)に代入：
s/3 = 1 − 4s/3
s/3 + 4s/3 = 1
5s/3 = 1
s = 3/5

したがって：
OQ→ = (s/3)OA→ + (2s/3)OB→
    = (1/5)OA→ + (2/5)OB→

別解・発展

メネラウスの定理による確認

△OAB と直線 PMQ について、メネラウスの定理を適用して検算することもできます。この方法は、ベクトルを使わずに比を求める際に有効です。

藤原先生のワンポイントアドバイス

この年度の重要テーマと対策

2017年度の出題傾向分析

2017年度の青山学院大学数学入試を振り返ると、以下の傾向が見られました：

分野	出題頻度	難易度	配点目安
複素数の計算	★★★	標準	10〜15点
積分と関数決定	★★★★	標準	15〜20点
2次方程式・解と係数の関係	★★★★★	標準	15〜20点
三角関数・図形	★★★★	やや易	20〜25点
数列・漸化式	★★★★	やや難	15〜20点
ベクトル	★★★★★	標準	15〜20点

青山学院大学 数学の特徴

効果的な対策法

📚 おすすめの学習ステップ

Step 1：基礎固め（〜夏休み）

• 教科書の例題・練習問題を完璧に
• 『チャート式（黄色または青）』で典型問題を網羅
• 公式は導出過程から理解する

Step 2：標準問題演習（夏〜秋）

• 『数学 標準問題精講』で応用力を養成
• 苦手分野を集中的に強化
• 計算スピードを意識した演習

Step 3：過去問演習（秋〜直前期）

• 過去問を最低5年分は解く
• 時間を計って本番形式で練習
• 間違えた問題はノートにまとめて復習

⏰ 時間配分の目安（全学部日程 60分の場合）

大問	目安時間	ポイント
大問1（小問集合）	15分	確実に得点。ミスに注意
大問2	12分	典型問題なら速めに
大問3	12分	計算量を見て判断
大問4	12分	部分点狙いも視野に
見直し	9分	計算ミスのチェック

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2017年度の出題傾向を踏まえ、類似の練習問題を用意しました。実際に解いて、理解度をチェックしましょう！

【練習問題1】複素数の計算

▶ 解答・解説を見る

【解法】

Step 1：(1 + i)² を計算

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i

Step 2：(1 + i)⁶ を計算

(1 + i)⁶ = {(1 + i)²}³ = (2i)³ = 8i³ = 8(−i) = −8i

Step 3：(1 − i)⁶ を計算

(1 − i)² = 1 − 2i + i² = −2i
(1 − i)⁶ = (−2i)³ = −8i³ = −8(−i) = 8i

Step 4：和を求める

(1 + i)⁶ + (1 − i)⁶ = −8i + 8i = 0

【答え】0

ポイント：共役複素数の偶数乗の和は実数、奇数乗の和は純虚数になります。ここでは6乗（偶数）なので実数ですが、たまたま0になりました。

【練習問題2】積分方程式

▶ 解答・解説を見る

【解法】

Step 1：両辺を x で微分

f(x) = d/dx(x³ − 3x² + 2x) = 3x² − 6x + 2

Step 2：x = a を代入して a を求める

左辺：∫<sub>a</sub><sup>a</sup> f(t) dt = 0

右辺：a³ − 3a² + 2a = a(a² − 3a + 2) = a(a − 1)(a − 2)

0 = a(a − 1)(a − 2) より、a = 0, 1, 2

【答え】f(x) = 3x² − 6x + 2、a = 0, 1, 2

ポイント：a の値が3つあるのは、右辺が x = 0, 1, 2 で0になるためです。

【練習問題3】ベクトルと内積

▶ 解答・解説を見る

【解法】

(1) OQ→ を表す

Q は AB を 1:2 に内分するので：
OQ→ = (2·OA→ + 1·OB→)/(1 + 2)
    = (2/3)OA→ + (1/3)OB→

(2) |PQ→| を求める

P は OA を 3:1 に内分するので：
OP→ = (3/4)OA→

PQ→ = OQ→ − OP→
    = (2/3)OA→ + (1/3)OB→ − (3/4)OA→
    = (2/3 − 3/4)OA→ + (1/3)OB→
    = (8/12 − 9/12)OA→ + (1/3)OB→
    = −(1/12)OA→ + (1/3)OB→

|PQ→|² = PQ→·PQ→
= {−(1/12)OA→ + (1/3)OB→}·{−(1/12)OA→ + (1/3)OB→}
= (1/144)|OA→|² − 2·(1/12)·(1/3)·OA→·OB→ + (1/9)|OB→|²

ここで、∠AOB = 90° より OA→

ここで、∠AOB = 90° より OA→·OB→ = 0

また、|OA→| = 4、|OB→| = 3 なので：

|PQ→|² = (1/144)·16 − 0 + (1/9)·9
        = 16/144 + 1
        = 1/9 + 1
        = 1/9 + 9/9
        = 10/9

よって、|PQ→| = √(10/9) = √10/3

【答え】

(1) OQ→ = (2/3)OA→ + (1/3)OB→

(2) |PQ→| = √10/3

ポイント：∠AOB = 90° のとき OA→·OB→ = 0 となることを利用すると、計算が大幅に楽になります。内積が0になる条件を見逃さないようにしましょう。

練習問題のまとめ

青山学院大学 数学攻略のための学習計画

時期別学習プラン

🌸 4月〜7月：基礎固め期

優先度	学習内容	使用教材
★★★★★	数学Ⅰ・A の総復習	教科書、黄チャート
★★★★★	数学Ⅱ・B の総復習	教科書、黄チャート
★★★★	計算力強化（毎日30分）	計算問題集
★★★	公式の導出練習	ノートにまとめる

🌻 8月〜9月：実力養成期

優先度	学習内容	使用教材
★★★★★	標準問題の演習	標準問題精講、青チャート
★★★★	苦手分野の克服	分野別問題集
★★★★	MARCH過去問（他大学含む）	過去問題集
★★★	模試の復習	模試の解説

🍂 10月〜12月：過去問演習期

優先度	学習内容	使用教材
★★★★★	青学過去問（5〜10年分）	赤本、東進過去問DB
★★★★★	時間配分の練習	本番形式で演習
★★★★	間違いノートの作成・復習	自作ノート
★★★	類題演習	明治・立教などの過去問

❄️ 1月〜入試直前：仕上げ期

優先度	学習内容	ポイント
★★★★★	直近3年分の過去問を再度演習	時間を計って本番同様に
★★★★★	間違いノートの総復習	同じミスをしないように
★★★★	頻出分野の最終確認	公式・解法の再確認
★★★	体調管理・メンタルケア	十分な睡眠を確保

分野別の重要度と対策

よくある質問（FAQ）

日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう

まとめ

2017年度の青山学院大学数学入試について、詳しく解説してきました。最後に、重要なポイントをまとめます。

青山学院大学の数学は、正しい努力を積み重ねれば必ず結果が出る試験です。この記事で紹介した解法やポイントを参考に、合格に向けて頑張ってください！

分からないことがあれば、数強塾・日本数学塾でいつでもサポートします。一緒に青山学院大学合格を勝ち取りましょう！

藤原進之介
数強塾・日本数学塾 講師

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以上が、青山学院大学 2017年度 数学 過去問解説の記事です。

**文字数：約9,500字**

記事には以下の内容を含めました：

1. **試験概要・難易度**：全学部日程・経済学部・理工学部の形式・配点・難易度評価
2. **大問1〜6の詳細解説**：複素数、積分方程式、2次方程式、三角関数、数列・漸化式、ベクトル
3. **各問題に対する解法のポイント・別解・発展**
4. **この年度の重要テーマと対策**：出題傾向分析、効果的な対策法、時間配分
5. **練習問題3問**（解答・解説付き）
6. **学習計画**：時期別プラン、分野別重要度
7. **FAQ**：よくある質問への回答
8. **日本数学塾・数強塾の案内**：両方のリンクと無料体験案内

検索結果から得られた情報（複素数 (2+i)⁴、積分方程式、経済学部の出題形式など）を活用し、青山学院大学の数学入試の特徴を踏まえた内容となっています。