青山学院大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！数強塾・日本数学塾で講師を務めている藤原進之介です。

今回は、青山学院大学 2013年度の数学入試問題を徹底解説していきます。青山学院大学（青学）はMARCHの一角として人気が高く、毎年多くの受験生がチャレンジする難関私立大学です。数学の問題は標準的なレベルが中心ですが、計算量が多く、時間配分と正確性が求められます。

この記事では、2013年度に出題された問題を大問ごとに丁寧に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習まで網羅的にお伝えします。青学合格を目指す皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2013年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

2013年度の全体講評

2013年度の青山学院大学数学入試は、全体的に標準レベルの出題でした。奇問・難問は少なく、教科書レベルの基本事項をしっかり理解し、典型問題を繰り返し練習してきた受験生にとっては取り組みやすい内容だったと言えます。

特に以下の分野からの出題が目立ちました：

• 二次関数（最大・最小、グラフの移動）
• 確率（場合の数との融合）
• 三角関数（加法定理、合成）
• 微分・積分（接線、面積計算）
• 数列（等差・等比数列、漸化式）
• ベクトル（平面・空間）

難易度としては、偏差値55〜60程度の実力があれば7割以上の得点が狙えるレベルです。ただし、計算ミスをすると連鎖的に失点するマーク式の特性上、正確な計算力が合否を分けるポイントとなりました。

合格に必要な目安得点

2013年度の各学部における数学の目標得点率は以下の通りです（全学部日程の場合）：

• 経済学部：75〜80%（75点〜80点/100点）
• 経営学部：70〜75%（70点〜75点/100点）
• 法学部：70〜75%（70点〜75点/100点）
• 理工学部：65〜70%（98点〜105点/150点）

数学で高得点を取れると、他教科の負担が軽減され、合格可能性が大きく上がります。しっかり対策していきましょう！

大問1：小問集合（二次関数・三角比・確率・整数）

問題

解説・解法のポイント

(1) 二次関数のグラフの平行移動

【解法】

まず、元の二次関数を標準形に変形します。

y = x² - 4x + 3
= (x - 2)² - 4 + 3
= (x - 2)² - 1

これは頂点が (2, -1) の放物線です。

グラフを x軸方向に a、y軸方向に b だけ平行移動するとき、式は次のように変換されます：

y - b = f(x - a) すなわち y = f(x - a) + b

今回は a = 2, b = -1 なので：

y = (x - 2 - 2)² - 1 + (-1)
= (x - 4)² - 2

展開形に直すと：

y = x² - 8x + 14

【ポイント】平行移動の問題では、まず標準形（頂点の形）に変形してから移動させると、計算ミスを防げます。

(2) 三角関数の対称式

【解法】

sin θ + cos θ = 1/2 の両辺を2乗します。

(sin θ + cos θ)² = (1/2)²
sin²θ + 2sin θ cos θ + cos²θ = 1/4

sin²θ + cos²θ = 1 を用いて：

1 + 2sin θ cos θ = 1/4
2sin θ cos θ = -3/4
sin θ cos θ = -3/8

次に sin³θ + cos³θ を求めます。因数分解の公式 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) を使います。

sin³θ + cos³θ = (sin θ + cos θ)(sin²θ - sin θ cos θ + cos²θ)
= (sin θ + cos θ)(1 - sin θ cos θ)
= (1/2)(1 - (-3/8))
= (1/2)(11/8)
= 11/16

【ポイント】sin θ + cos θ と sin θ cos θ は対称式の基本です。一方が分かればもう一方も計算できます。3乗の和の公式も頻出なので必ず覚えておきましょう。

(3) 確率（場合の数）

【解法】

全体の球の数：4 + 3 + 2 = 9個

9個から3個を選ぶ総数：

₉C₃ = 9!/(3!×6!) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84通り

3色すべてが含まれる場合：白1個、赤1個、青1個を選ぶ

₄C₁ × ₃C₁ × ₂C₁ = 4 × 3 × 2 = 24通り

よって求める確率は：

24/84 = 2/7

【ポイント】「同時に取り出す」は順序を考えない組合せの問題です。条件に合う場合の数を、それぞれの色から1個ずつ選ぶ積の法則で求めます。

(4) 整数の性質

【解法】

2桁の正の整数 n を n = 10a + b（a: 十の位、b: 一の位、1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9）とおきます。

各位の数の和は a + b です。

n を7で割った余りと a + b を7で割った余りが等しい条件：

10a + b ≡ a + b (mod 7)
9a ≡ 0 (mod 7)
2a ≡ 0 (mod 7)　（∵ 9 ≡ 2 (mod 7)）

2と7は互いに素なので、a ≡ 0 (mod 7)

a は1〜9の整数なので、a = 7 のみ。

b は0〜9の10通りがあるので、条件を満たす n は：

70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79

答：10個

【ポイント】合同式（mod）を使うと整数問題がスッキリ解けます。9 ≡ 2 (mod 7) の計算を確実にできるようにしましょう。

別解・発展

(1) の別解：平行移動の公式を直接使う方法もあります。y = f(x) を x軸方向に p、y軸方向に q 平行移動したグラフは y - q = f(x - p) です。これを展開して整理しても同じ結果が得られます。

(2) の発展：sin θ cos θ = -3/8 < 0 から、sin θ と cos θ は異符号であることがわかります。0° ≤ θ ≤ 180° で sin θ ≥ 0 なので cos θ < 0、つまり 90° < θ ≤ 180° とわかります。このような範囲の確認も重要です。

大問2：三角関数（加法定理・合成・方程式）

問題

解説・解法のポイント

(1) 三角関数の合成

【解法】

sin 2x + cos 2x を r sin(2x + α) の形に合成します。

公式：a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) sin(θ + α)

ただし cos α = a/√(a² + b²)、sin α = b/√(a² + b²)

ここで a = 1, b = 1 なので：

r = √(1² + 1²) = √2

また、cos α = 1/√2、sin α = 1/√2 より α = π/4

sin 2x + cos 2x = √2 sin(2x + π/4)

【ポイント】三角関数の合成は頻出中の頻出です。係数からrとαを素早く求められるように練習しましょう。

(2) 三角方程式

【解法】

(1)の結果を用いて：

√2 sin(2x + π/4) = 1
sin(2x + π/4) = 1/√2 = √2/2

0 ≤ x < 2π のとき、π/4 ≤ 2x + π/4 < 4π + π/4 = 17π/4

sin θ = √2/2 となる θ は θ = π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4, ... なので：

2x + π/4 = π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4

これを解くと：

2x = 0, π/2, 2π, 5π/2
x = 0, π/4, π, 5π/4

x = 0, π/4, π, 5π/4

【ポイント】三角方程式では、変数の範囲を新しい変数（この場合 2x + π/4）に変換したときの範囲を正しく設定することが重要です。

(3) 三角関数の最大・最小

【解法】

まず、y = sin 2x + cos 2x - 2sin x cos x を整理します。

2sin x cos x = sin 2x なので：

y = sin 2x + cos 2x - sin 2x = cos 2x

したがって、0 ≤ x < 2π のとき、0 ≤ 2x < 4π

cos 2x の値域は -1 ≤ cos 2x ≤ 1 なので：

最大値：1、最小値：-1

最大値1をとるのは 2x = 0, 2π のとき、すなわち x = 0, π

最小値-1をとるのは 2x = π, 3π のとき、すなわち x = π/2, 3π/2

【ポイント】一見複雑に見える式も、2倍角の公式を使って整理すると非常にシンプルになります。式変形の力が試される問題です。

別解・発展

(1) の別解：cos の形に合成することもできます。sin 2x + cos 2x = √2 cos(2x - π/4) となります。sin形式とcos形式のどちらでも使いこなせるようにしておきましょう。

発展：合成の際、tanα = b/a という公式も便利です。この場合 tan α = 1/1 = 1 なので α = π/4 と直接求められます。

大問3：微分法と積分法（接線・面積）

問題

解説・解法のポイント

(1) 極値とグラフの概形

【解法】

f(x) = x³ - 3x を微分します。

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x - 1)

f'(x) = 0 となるのは x = -1, 1

増減表を作成します：

極値を計算：

• x = -1 のとき：f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2（極大値）
• x = 1 のとき：f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2（極小値）

極大値：2（x = -1）、極小値：-2（x = 1）

【ポイント】3次関数の極値問題は頻出です。微分して因数分解し、増減表を正確に書けるようにしましょう。

(2) 接線の方程式

【解法】

接点が (2, 2) であることを確認：f(2) = 8 - 6 = 2 ✓

接線の傾きは f'(2)：

f'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9

接線の方程式（点 (2, 2) を通り傾き 9）：

y - 2 = 9(x - 2)
y = 9x - 18 + 2

y = 9x - 16

【ポイント】接線の公式 y - f(a) = f'(a)(x - a) を使います。計算は単純ですが、符号ミスに注意しましょう。

(3) 面積の計算

【解法】

曲線と接線の交点を求めます。

x³ - 3x = 9x - 16
x³ - 12x + 16 = 0

x = 2 が接点なので、(x - 2) が因数に含まれます。また、接線なので (x - 2)² が因数になります。

x³ - 12x + 16 = (x - 2)²(x + 4)

（確認：展開すると (x² - 4x + 4)(x + 4) = x³ + 4x² - 4x² - 16x + 4x + 16 = x³ - 12x + 16 ✓）

交点は x = -4 と x = 2（重解）

面積を計算（接線が曲線の上側にある区間 -4 ≤ x ≤ 2）：

S = ∫₋₄² {(9x - 16) - (x³ - 3x)} dx
= ∫₋₄² (-x³ + 12x - 16) dx
= ∫₋₄² -(x - 2)²(x + 4) dx

ここで、1/6公式を使います。曲線と接線で囲まれた面積は：

S = (1/12)|a|·|β - α|⁴　（y = ax³ + ... と接線の場合）

今回 a = 1（x³の係数）、α = -4、β = 2 なので：

S = (1/12) × 1 × |2 - (-4)|⁴
= (1/12) × 6⁴
= (1/12) × 1296
= 108

面積：108

【ポイント】3次関数と接線の面積問題では、交点を求めた後に1/12公式を使うと計算が楽になります。この公式は青学で頻出です。もちろん、直接積分しても同じ結果が得られます。

別解・発展

直接積分による別解：

S = ∫₋₄² (-x³ + 12x - 16) dx
= [-x⁴/4 + 6x² - 16x]₋₄²
= (-4 + 24 - 32) - (-64 + 96 + 64)
= -12 - 96
= -108

面積は正の値なので S = 108

発展：3次関数と直線で囲まれる面積の公式として、交点が α, β（α < β）のとき：

【面積公式】
・3次関数と接線：S = (|a|/12)(β - α)⁴
・3次関数と直線（異なる2交点）：S = (|a|/12)(β - α)⁴ は使えない。この場合は直接積分か、1/6公式の応用

大問4：数列（等差・等比数列、漸化式）

問題

解説・解法のポイント

(1) 等差数列の基本

【解法】

等差数列の一般項の公式：aₙ = a₁ + (n-1)d

初項 a₁ = 3、公差 d = 4 なので：

aₙ = 3 + (n-1) × 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1

一般項：aₙ = 4n - 1

等差数列の和の公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 または Sₙ = n{2a₁ + (n-1)d}/2

Sₙ = n(3 + 4n - 1)/2 = n(4n + 2)/2 = n(2n + 1) = 2n² + n

和：Sₙ = 2n² + n

【ポイント】等差数列は最も基本的な数列です。公式を正確に覚え、素早く計算できるようにしましょう。

(2) 漸化式（aₙ₊₁ = paₙ + q 型）

【解法】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 を特性方程式で解きます。

特性方程式：α = 2α + 3 を解くと α = -3

漸化式を変形：

aₙ₊₁ - (-3) = 2(aₙ - (-3))
aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)

bₙ = aₙ + 3 とおくと、bₙ₊₁ = 2bₙ（等比数列）

b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

よって bₙ = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2² · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

aₙ = bₙ - 3 なので：

aₙ = 2ⁿ⁺¹ - 3

【検算】

• n = 1：a₁ = 2² - 3 = 4 - 3 = 1 ✓
• n = 2：a₂ = 2³ - 3 = 8 - 3 = 5、また a₂ = 2a₁ + 3 = 2 + 3 = 5 ✓

【ポイント】aₙ₊₁ = paₙ + q 型の漸化式は、特性方程式 α = pα + q を解いて α を求め、aₙ - α が等比数列になることを利用します。この解法パターンは必須です。

(3) 等比数列の和

【解法】

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (2ᵏ⁺¹ - 3)
= Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ⁺¹ - 3n
= 2Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ - 3n
= 2 · (2(2ⁿ - 1))/(2 - 1) - 3n
= 2 · 2(2ⁿ - 1) - 3n
= 4(2ⁿ - 1) - 3n
= 2ⁿ⁺² - 4 - 3n

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = 2ⁿ⁺² - 3n - 4

【ポイント】等比数列の和の公式 Σₖ₌₁ⁿ rᵏ = r(rⁿ - 1)/(r - 1) を正確に使えるようにしましょう。

(4) Σ k · rᵏ 型の計算

【解法】

bₖ = aₖ · 2ᵏ = (2ᵏ⁺¹ - 3) · 2ᵏ = 2²ᵏ⁺¹ - 3 · 2ᵏ

Σₖ₌₁ⁿ bₖ = Σₖ₌₁ⁿ (2²ᵏ⁺¹ - 3 · 2ᵏ)
= Σₖ₌₁ⁿ 2²ᵏ⁺¹ - 3Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ

第1項：Σₖ₌₁ⁿ 2²ᵏ⁺¹ = 2³ + 2⁵ + 2⁷ + ... + 2²ⁿ⁺¹

これは初項 8、公比 4 の等比数列の和：

= 8 · (4ⁿ - 1)/(4 - 1) = (8/3)(4ⁿ - 1) = (8/3)(2²ⁿ - 1)

第2項：3Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ = 3 · 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 6(2ⁿ - 1)

よって：

Σₖ₌₁ⁿ bₖ = (8/3)(2²ⁿ - 1) - 6(2ⁿ - 1)
= (8/3) · 2²ⁿ - 8/3 - 6 · 2ⁿ + 6
= (8/3) · 4ⁿ - 6 · 2ⁿ + 10/3

Σₖ₌₁ⁿ bₖ = (8 · 4ⁿ - 18 · 2ⁿ + 10)/3

【ポイント】複雑な和も、まず展開して既知の等比数列の和に帰着させることが大切です。計算量が多いので、丁寧に進めましょう。

別解・発展

(2) の別解：階差を取る方法もあります。aₙ₊₁ - aₙ = 2aₙ + 3 - aₙ = aₙ + 3 となり、階差数列を考えることもできます。

発展：漸化式には様々なパターンがあります。aₙ₊₁ = paₙ + q 型のほかに、aₙ₊₁ = paₙ + f(n) 型や、分数型の漸化式なども練習しておきましょう。

大問5：ベクトル（平面ベクトル・内積・面積）

問題

解説・解法のポイント

(1) 内積の計算

【解法】

内積の定義：OA→ · OB→ = |OA→| · |OB→| · cos∠AOB

OA→ · OB→ = 3 × 4 × cos 60°
= 12 × (1/2)
= 6

OA→ · OB→ = 6

【ポイント】内積の定義式は最も基本的な公式です。cos の値を正確に代入しましょう。

(2) 線分 PQ の長さ

【解法】

P は OA を 2:1 に内分するので：OP→ = (2/3)OA→

Q は OB を 1:3 に内分するので：OQ→ = (1/4)OB→

PQ→ = OQ→ - OP→ = (1/4)OB→ - (2/3)OA→

|PQ→|² を計算：

|PQ→|² = |(1/4)OB→ - (2/3)OA→|²
= (1/4)²|OB→|² - 2 · (1/4) · (2/3) · OA→ · OB→ + (2/3)²|OA→|²
= (1/16) × 16 - (1/3) × 6 + (4/9) × 9
= 1 - 2 + 4
= 3

PQ = √3

【ポイント】ベクトルの大きさを求めるときは、|a→|² = a→ · a→ を利用します。内積の展開公式を正確に使いましょう。

(3) 三角形 OPQ の面積

【解法】

三角形の面積公式：S = (1/2)|a→||b→|sin θ

または、S = (1/2)√(|a→|²|b→|² - (a→ · b→)²)

OP→ = (2/3)OA→、OQ→ = (1/4)OB→ なので：

|OP→| = (2/3) × 3 = 2
|OQ→| = (1/4) × 4 = 1
OP→ · OQ→ = (2/3) × (1/4) × OA→ · OB→ = (1/6) × 6 = 1

∠POQ = ∠AOB = 60° なので：

S = (1/2) × 2 × 1 × sin 60°
= (1/2) × 2 × (√3/2)
= √3/2

面積 = √3/2

【別解】面積公式 S = (1/2)√(|OP→|²|OQ→|² - (OP→ · OQ→)²) を使うと：

S = (1/2)√(4 × 1 - 1²) = (1/2)√3 = √3/2

(4) 交点の位置ベクトル

【解法】

直線 AQ 上の点 R：OR→ = (1-s)OA→ + s·OQ→ = (1-s)OA→ + (s/4)OB→ （s は実数）

直線 BP 上の点 R：OR→ = (1-t)OB→ + t·OP→ = (2t/3)OA→ + (1-t)OB→ （t は実数）

OA→ と OB→ は一次独立なので、係数を比較：

1 - s = 2t/3 ... ①
s/4 = 1 - t ... ②

②より s = 4(1 - t) = 4 - 4t

①に代入：1 - (4 - 4t) = 2t/3

-3 + 4t = 2t/3
-9 + 12t = 2t
10t = 9
t = 9/10

s = 4 - 4 × (9/10) = 4 - 18/5 = 2/5

直線 BP の式に代入：

OR→ = (2/3) × (9/10) OA→ + (1 - 9/10) OB→
= (3/5) OA→ + (1/10) OB→

OR→ = (3/5)OA→ + (1/10)OB→

【ポイント】2直線の交点を求める問題では、それぞれの直線上の点をパラメータで表し、係数比較で連立方程式を解きます。チェバの定理やメネラウスの定理を使う別解もあります。

別解・発展

(4) の別解（チェバの定理を利用）：

三角形 OAB において、頂点からの直線 AQ, BP, OR' が1点で交わるとき、チェバの定理より：

(AP/PO) × (OQ/QB) × (BR'/R'A) = 1

この関係式を用いて R の位置を特定することもできます。

この年度の重要テーマと対策

2013年度で特に重要だったテーマ

2013年度の青山学院大学数学入試を振り返ると、以下のテーマが特に重要でした：

1. 三角関数の合成と方程式

大問2で出題された三角関数の問題は、青学で毎年のように出題される頻出テーマです。

• a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) sin(θ + α) の合成公式
• 三角方程式を解く際の変数範囲の変換
• 2倍角の公式を使った式の簡略化

対策：三角関数の合成は、sin形式・cos形式の両方で練習しておきましょう。また、方程式を解くときは、新しい変数の範囲を正確に設定することが重要です。

2. 微分・積分と面積計算

3次関数の接線と面積の問題は、青学だけでなくMARCH全体で頻出です。

• 3次関数の極値（増減表の作成）
• 接線の方程式
• 曲線と接線で囲まれた面積（1/12公式）

対策：面積公式（1/6公式、1/12公式など）は絶対に覚えておきましょう。直接積分でも解けますが、時間短縮には公式の活用が不可欠です。

3. 漸化式と数列の和

aₙ₊₁ = paₙ + q 型の漸化式は、特性方程式を使って等比数列に帰着させる解法が定番です。

• 特性方程式 α = pα + q の利用
• 等比数列の和の公式
• 複数の数列の和を分解して計算

対策：漸化式の様々なパターン（階差型、分数型、対数型など）を一通り練習しておきましょう。また、Σ計算の公式は確実に使えるようにしておくことが大切です。

4. 平面ベクトル

内積・長さ・面積・直線の交点といったベクトルの基本事項が問われました。

• 内積の定義と計算
• ベクトルの大きさの2乗の展開
• 2直線の交点（パラメータ表示と係数比較）

対策：ベクトルは計算量が多くなりがちです。内積の展開公式 |a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² などを使いこなせるようにしましょう。

青学数学攻略の3つの鉄則

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2013年度の出題傾向に沿った練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、ぜひチャレンジしてみてください！

【練習問題1】三角関数の合成と最大・最小

解答・解説

【解法】

三角関数の合成を行います。

y = 3sin x + 4cos x = r sin(x + α)

r = √(3² + 4²) = √25 = 5

cos α = 3/5、sin α = 4/5 となる α を求めます。

よって：

y = 5sin(x + α)　（ただし cos α = 3/5, sin α = 4/5）

sin の値域は -1 ≤ sin(x + α) ≤ 1 なので：

最大値：5（x + α = π/2 のとき、つまり x = π/2 - α）
最小値：-5（x + α = 3π/2 のとき、つまり x = 3π/2 - α）

ここで α = arctan(4/3) ≈ 0.927 rad（約53.1°）

【ポイント】3-4-5 の直角三角形を思い出せば、r = 5 はすぐにわかります。有名な比率なので覚えておきましょう。

【練習問題2】微分と面積

解答・解説

【(1) の解法】

f(x) を微分します。

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 となるのは x = 1, 3

増減表：

極値を計算：

• f(1) = 1 - 6 + 9 = 4（極大値）
• f(3) = 27 - 54 + 27 = 0（極小値）

極大値：4（x = 1）、極小値：0（x = 3）

【(2) の解法】

まず、f(x) = 0 の解を求めます。

x³ - 6x² + 9x = 0
x(x² - 6x + 9) = 0
x(x - 3)² = 0

x = 0, 3（重解）

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で f(x) ≥ 0 なので（極大値4、極小値0より）：

S = ∫₀³ (x³ - 6x² + 9x) dx
= [x⁴/4 - 2x³ + (9/2)x²]₀³
= (81/4 - 54 + 81/2) - 0
= 81/4 - 54 + 162/4
= 243/4 - 54
= 243/4 - 216/4
= 27/4

面積 = 27/4

【ポイント】f(x) = x(x-3)² の形から、x = 0 と x = 3 が交点であることがすぐにわかります。グラフの概形をイメージしながら積分範囲を設定しましょう。

【練習問題3】漸化式と一般項

解答・解説

【(1) の解法】

特性方程式 α = 3α - 4 を解きます。

α = 3α - 4
-2α = -4
α = 2

漸化式を変形：

aₙ₊₁ - 2 = 3(aₙ - 2)

bₙ = aₙ - 2 とおくと、bₙ₊₁ = 3bₙ（等比数列）

b₁ = a₁ - 2 = 3 - 2 = 1

よって bₙ = 1 × 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹

aₙ = bₙ + 2 なので：

aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 2

【検算】

• n = 1：a₁ = 3⁰ + 2 = 1 + 2 = 3 ✓
• n = 2：a₂ = 3¹ + 2 = 5、また a₂ = 3a₁ - 4 = 9 - 4 = 5 ✓
• n = 3：a₃ = 3² + 2 = 11、また a₃ = 3a₂ - 4 = 15 - 4 = 11 ✓

【(2) の解法】

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ⁻¹ + 2)
= Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ⁻¹ + 2n
= (3ⁿ - 1)/(3 - 1) + 2n
= (3ⁿ - 1)/2 + 2n

Σₖ₌₁ⁿ aₖ = (3ⁿ - 1)/2 + 2n = (3ⁿ + 4n - 1)/2

【(3) の解法】

aₙ > 1000 より：

3ⁿ⁻¹ + 2 > 1000
3ⁿ⁻¹ > 998

3の累乗を計算：

• 3⁶ = 729
• 3⁷ = 2187

729 < 998 998 を満たす最小の n-1 は 7

よって n - 1 = 7、すなわち：

n = 8

【検算】

• a₇ = 3⁶ + 2 = 729 + 2 = 731 < 1000
• a₈ = 3⁷ + 2 = 2187 + 2 = 2189 > 1000 ✓

【ポイント】不等式の問題では、具体的な数値を代入して確認する方法が確実です。対数を使って解くこともできます（n-1 > log₃998 ≈ 6.28）。

青学数学で差がつくポイント総まとめ

ここまで2013年度の問題と類似問題を解説してきましたが、改めて青学数学で高得点を取るためのポイントを整理しておきましょう。

分野別・優先度ランキング

時期別・学習スケジュールの目安

おすすめ参考書・問題集

日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう

ここまで2013年度の青山学院大学数学入試を徹底解説してきましたが、いかがでしたか？

「解説を読めば理解できるけど、自分一人で解けるか不安...」
「どこから手をつければいいかわからない...」
「計算ミスがなかなか減らない...」

そんな悩みを抱えている受験生の皆さん、ぜひ数強塾と日本数学塾にお任せください！

数強塾・日本数学塾の特徴

青学合格者の声

無料体験授業 受付中！

最後に

青山学院大学の数学は、決して難問ぞろいではありません。しかし、だからこそ「取れる問題を確実に取る力」が求められます。基礎を疎かにせず、典型問題を繰り返し練習し、計算力を磨くことが合格への近道です。

この記事で解説した2013年度の問題と練習問題を何度も復習し、解法パターンを自分のものにしてください。そして、過去問演習を通じて青学特有の出題傾向に慣れていきましょう。

皆さんの青学合格を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

※本記事は2013年度の青山学院大学入試問題の傾向に基づいて作成しています。実際の入試問題の詳細については、大学公式サイトや赤本等でご確認ください。
※記事内の問題は、出題傾向を踏まえた類似問題・再構成問題を含みます。