立命館大学 2025年度 数学｜理系・全問詳細解説｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

第1問：三角比と微分法（三角形の面積最大値）

【問題のテーマ】

三角形の辺の長さに関する条件（例えば、二辺の和や差が一定など）の下で、三角形の面積の最大値を求める問題です。三角比の公式を用いて面積を表し、微分法によって最大値を求めるという、数学I・IIの融合問題となっています。

【問題の概要】

【解法のアプローチ】

ステップ1：面積の公式を適用

三角形の面積公式 S = (1/2)bc sin A を用いて、面積を表します。

ステップ2：条件を用いた変数の整理

与えられた条件（例：b + c = k）を用いて、変数を1つに絞ります。b + c = k のとき、c = k - b と置換できます。

ステップ3：最大値の導出（微分法または相加相乗平均）

面積を1変数の関数として表し、微分して増減を調べるか、相加相乗平均の不等式を用いて最大値を求めます。

【詳細解説】

【基本的な考え方】

三角形ABCにおいて、面積 S は次の公式で表されます：

S = (1/2) × AB × AC × sin∠BAC = (1/2)bc sin A

ここで、b + c = k（定数）という条件が与えられている場合を考えます。

【解法1：微分法を用いる方法】

角 A が固定されている場合、sin A は定数となるため、bc を最大化すればよいことになります。

b + c = k のとき、c = k - b より

bc = b(k - b) = kb - b²

f(b) = kb - b² とおくと、

f'(b) = k - 2b

f'(b) = 0 とすると、b = k/2

このとき c = k - k/2 = k/2 となり、b = c、すなわち二等辺三角形のとき面積が最大となります。

bc の最大値は：

bc = (k/2) × (k/2) = k²/4

したがって、面積の最大値は：

S_max = (1/2) × (k²/4) × sin A = (k² sin A)/8

【解法2：相加相乗平均を用いる方法】

相加相乗平均の不等式より、a + b ≥ 2√(ab)（等号成立は a = b のとき）

b + c = k のとき、

k = b + c ≥ 2√(bc)

k/2 ≥ √(bc)

k²/4 ≥ bc

等号は b = c のとき成立。

したがって、bc は b = c = k/2 のとき最大値 k²/4 をとる。

【角度も変数の場合】

もし角 A も変化する場合、S = (1/2)bc sin A の sin A の部分も考慮が必要です。

0 < A < π のとき、sin A は A = π/2（90°）で最大値 1 をとります。

したがって、面積が最大となるのは A = 90°かつ b = c のとき、すなわち直角二等辺三角形の場合です。

【この問題のポイント】

• 誘導に従うこと：問題文で面積を表す式を求める誘導があれば、その式を素直に書き下すこと。
• 変数を絞ること：条件式を使って、できるだけ変数を少なくすること。
• 計算ミスに注意：微分や代入計算でのミスが失点につながりやすい。
• 幾何的直感：「二等辺三角形」「直角三角形」など、特殊な形状で最大・最小になることが多いと知っておく。

【類題・練習問題】

第2問：確率と漸化式

【問題のテーマ】

確率と漸化式の融合問題は、立命館大学理系数学の頻出テーマです。コインを投げる試行や、状態が確率的に遷移する問題において、n回後の確率を漸化式で表し、それを解いて一般項を求めるという流れが定番となっています。

【問題の概要】

【解法のアプローチ】

ステップ1：状態の定義

「どのような状態にあるか」を明確に定義します。上の例では「原点にいる」「原点にいない」という状態を考えます。

ステップ2：遷移の分析

各状態から次の状態への遷移確率を分析します。

ステップ3：漸化式の導出

「n+1 回後に特定の状態にいる確率」を「n 回後の状態」から表す漸化式を立てます。

ステップ4：漸化式を解く

特性方程式や等比数列への帰着により、一般項を求めます。

【詳細解説】

【典型的な問題パターン】

ここでは、より一般的な「確率漸化式」の解法を詳しく解説します。

例題：状態A、状態Bの2つの状態があり、各ステップで状態が確率的に遷移する。状態Aから状態Aへは確率 p、状態Aから状態Bへは確率 1-p、状態Bから状態Aへは確率 q、状態Bから状態Bへは確率 1-q で遷移する。初め状態Aにいるとき、n ステップ後に状態Aにいる確率を a_n とする。

【漸化式の導出】

n+1 ステップ後に状態Aにいるのは、次の2つの場合：

• n ステップ後に状態Aにいて（確率 a_n）、次も状態Aに留まる（確率 p）
• n ステップ後に状態Bにいて（確率 1 - a_n）、次に状態Aに移る（確率 q）

したがって：

a_{n+1} = p × a_n + q × (1 - a_n) = (p - q) a_n + q

【漸化式の解法】

この漸化式は「a_{n+1} = ra_n + s」の形（一次分数型漸化式）です。

r = p - q, s = q とおくと、a_{n+1} = ra_n + s

特性方程式：

α = rα + s を解くと、α = s/(1-r) = q/(1-(p-q)) = q/(1-p+q)

変形：

a_{n+1} - α = r(a_n - α)

これは公比 r = p - q の等比数列なので：

a_n - α = (a_1 - α) × r^{n-1} = (a_1 - α) × (p-q)^{n-1}

a_n = α + (a_1 - α)(p-q)^{n-1}

【極限の計算】

|p - q| < 1 のとき（多くの場合これが成り立つ）：

lim_{n→∞} a_n = α = q/(1-p+q)

これは「定常分布」と呼ばれ、十分長い時間が経つと各状態にいる確率が一定値に収束することを意味します。

【コイン投げの問題での具体例】

コインを投げて表なら +1、裏なら -1 移動する問題で、「偶数の位置にいる」確率を p_n とすると：

• 偶数の位置から偶数の位置へ：0（1回で偶奇が変わる）
• 偶数の位置から奇数の位置へ：1
• 奇数の位置から偶数の位置へ：1
• 奇数の位置から奇数の位置へ：0

この場合、p_{n+1} = 1 - p_n となり、p_n は 1, 0, 1, 0, ... と振動します。

【原点に戻る確率の場合】

より複雑に「原点にいる確率」を求める場合は、組合せ論的アプローチも有効です：

n 回中、表が k 回、裏が n-k 回出て原点にいるには k = n-k、すなわち n が偶数で k = n/2 が必要。

p_n = C(n, n/2) × (1/2)^n （n が偶数のとき）

p_n = 0 （n が奇数のとき）

【この問題のポイント】

• 状態を正確に定義すること：「何をもって状態Aとするか」を明確にする。
• 遷移確率を正確に書き出すこと：状態遷移図を描くと整理しやすい。
• 漸化式の型を見抜くこと：一次分数型、二項間、三項間など、型を見抜いて適切な解法を選ぶ。
• 初期条件を忘れないこと：a_1（または a_0）の値を正確に求める。

【類題・練習問題】

第3問：数学III 微分積分（面積・体積）

【問題のテーマ】

数学IIIの微分積分は、立命館大学理系数学において最も重要な分野です。曲線で囲まれた図形の面積や、回転体の体積を求める問題が頻出であり、2025年度も例外ではありませんでした。計算量が多くなりがちなので、効率的な計算方法の習得が不可欠です。

【問題の概要】

【解法のアプローチ】

ステップ1：交点の計算

f(x) = ax + b を解いて、囲まれる区間を確定します。

ステップ2：面積の計算

S = ∫[α,β]```html

ステップ2：面積の計算

S = ∫[α,β] |f(x) - (ax + b)| dx を計算します。上下関係を正しく把握することが重要です。

ステップ3：体積の計算

x軸回転なら V = π∫[α,β] {f(x)}² dx、y軸回転ならバウムクーヘン積分 V = 2π∫[α,β] x|f(x)| dx などを用います。

【詳細解説】

【面積計算の基本公式】

2つの曲線 y = f(x) と y = g(x) で囲まれた部分の面積は：

S = ∫[α,β] |f(x) - g(x)| dx

ここで α, β は2曲線の交点の x 座標です。

区間 [α, β] で常に f(x) ≥ g(x) ならば：

S = ∫[α,β] {f(x) - g(x)} dx

【具体例：放物線と直線】

曲線 C: y = x² と直線 L: y = x + 2 で囲まれた部分の面積を求めます。

Step 1: 交点を求める

x² = x + 2 より x² - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0 より x = -1, 2

Step 2: 上下関係の確認

-1 ≤ x ≤ 2 の範囲で、x + 2 ≥ x²（直線が上）

Step 3: 面積計算

S = ∫[-1,2] {(x + 2) - x²} dx
= ∫[-1,2] (-x² + x + 2) dx
= [-x³/3 + x²/2 + 2x][-1,2]
= (-8/3 + 2 + 4) - (1/3 + 1/2 - 2)
= (-8/3 + 6) - (1/3 + 1/2 - 2)
= 10/3 - (-7/6)
= 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2

【1/6公式の活用】

放物線 y = ax² + bx + c と直線が2点 α, β で交わるとき、囲まれる面積は：

S = |a|/6 × (β - α)³

上の例では、a = 1, β - α = 2 - (-1) = 3 より

S = 1/6 × 3³ = 1/6 × 27 = 9/2 ✓

【回転体の体積】

x軸周りの回転体：

V = π∫[α,β] {f(x)}² dx

2曲線で囲まれた部分のx軸回転（f(x) ≥ g(x) ≥ 0 のとき）：

V = π∫[α,β] [{f(x)}² - {g(x)}²] dx

y軸周りの回転体（バウムクーヘン積分）：

V = 2π∫[α,β] x × f(x) dx

【数学IIIの関数を含む場合】

立命館大学では、指数関数・対数関数・三角関数を含む積分が頻出です。

例：y = e^x と y = e、x軸、y軸で囲まれた部分の面積

y = e^x と y = e の交点は e^x = e より x = 1

S = ∫[0,1] (e - e^x) dx = [ex - e^x][0,1] = (e - e) - (0 - 1) = 1

例：y = sin x と x軸で囲まれた部分（0 ≤ x ≤ π）のx軸回転体積

V = π∫[0,π] sin²x dx = π∫[0,π] (1 - cos2x)/2 dx
= π/2 × [x - sin2x/2][0,π] = π/2 × (π - 0) = π²/2

【媒介変数表示の曲線の面積】

曲線が x = x(t), y = y(t) で表されるとき：

S = ∫[t₁,t₂] y(t) × x'(t) dt（または符号に注意して絶対値）

例：サイクロイド x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) の1周期分の面積

x'(t) = a(1 - cos t) より

S = ∫[0,2π] a(1 - cos t) × a(1 - cos t) dt = a²∫[0,2π] (1 - cos t)² dt

(1 - cos t)² = 1 - 2cos t + cos²t = 1 - 2cos t + (1 + cos 2t)/2 = 3/2 - 2cos t + cos 2t/2

S = a² × [3t/2 - 2sin t + sin 2t/4][0,2π] = a² × 3π = 3πa²

【この問題のポイント】

• 交点の計算を正確に：積分区間を誤ると全ての計算が無駄になる。
• 上下関係・符号の確認：グラフの概形を描いて確認する習慣をつける。
• 公式の活用：1/6公式、1/12公式などを覚えておくと時間短縮になる。
• 計算の工夫：置換積分、部分積分を適切に使い分ける。
• 検算の習慣：次元（単位）の確認、特殊値での確認などを行う。

【類題・練習問題】

第4問：複素数平面（回転と軌跡）

【問題のテーマ】

複素数平面は、2022年度の学習指導要領改訂により数学Cに移行した分野ですが、立命館大学理系では引き続き重要な出題分野となっています。特に「回転」「軌跡」「正多角形」に関連した問題が頻出です。2025年度は正三角形や回転移動を題材にした問題が出題されました。

【問題の概要】

【解法のアプローチ】

ステップ1：回転の公式を活用

点 α を点 β の周りに角 θ だけ回転させた点は：

γ = (α - β) × e^(iθ) + β

ステップ2：正多角形の性質

正三角形では回転角は ±60°（= ±π/3）、正方形では ±90°（= ±π/2）など。

ステップ3：軌跡の導出

z = e^(iθ) などとおいて、w を θ の関数として表し、軌跡を求める。

【詳細解説】

【複素数による回転】

複素数平面において、点 z を原点の周りに角 θ だけ回転させた点は：

z' = z × e^(iθ) = z(cos θ + i sin θ)

点 z を点 c の周りに角 θ だけ回転させた点は：

z' = (z - c) × e^(iθ) + c

【正三角形の条件】

3点 A(α), B(β), C(γ) が正三角形の頂点であるための条件：

γ は α を β の周りに ±60° 回転させた点なので：

γ = (α - β) × e^(±iπ/3) + β

e^(iπ/3) = cos(π/3) + i sin(π/3) = 1/2 + (√3/2)i

e^(-iπ/3) = cos(π/3) - i sin(π/3) = 1/2 - (√3/2)i

具体的な計算：

γ = (α - β)(1/2 + (√3/2)i) + β
= α/2 + (√3/2)αi - β/2 - (√3/2)βi + β
= α/2 + β/2 + (√3/2)(α - β)i
= (α + β)/2 + (√3/2)(α - β)i

【正三角形の重要公式】

α, β, γ が正三角形の頂点であるとき：

α² + β² + γ² = αβ + βγ + γα

または、重心を G = (α + β + γ)/3 とすると：

(α - G)³ + (β - G)³ + (γ - G)³ = 0

【軌跡の問題】

点 z が単位円 |z| = 1 上を動くとき、z = e^(iθ) = cos θ + i sin θ とおけます。

例：w = z² の軌跡

z = e^(iθ) のとき、w = e^(2iθ)

|w| = |e^(2iθ)| = 1 より、w も単位円上を動く。

ただし、θ が 0 から 2π まで動くと、2θ は 0 から 4π まで動くので、w は単位円を2周する。

例：w = z + 1/z の軌跡（|z| = r のとき）

z = re^(iθ) とすると、1/z = (1/r)e^(-iθ)

w = re^(iθ) + (1/r)e^(-iθ)
= r(cos θ + i sin θ) + (1/r)(cos θ - i sin θ)
= (r + 1/r)cos θ + i(r - 1/r)sin θ

w = u + iv とすると：

u = (r + 1/r)cos θ, v = (r - 1/r)sin θ

cos²θ + sin²θ = 1 より：

u²/(r + 1/r)² + v²/(r - 1/r)² = 1

これは楕円を表す（r ≠ 1 のとき）。r = 1 のとき v = 0 となり、線分 [-2, 2] となる。

【ド・モアブルの定理の活用】

(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ

これを用いると、cos nθ や sin nθ を cos θ, sin θ の多項式で表せます。

例：cos 3θ の公式

(cos θ + i sin θ)³ = cos 3θ + i sin 3θ

左辺を展開して：

= cos³θ + 3cos²θ(i sin θ) + 3cos θ(i sin θ)² + (i sin θ)³

= cos³θ + 3i cos²θ sin θ - 3cos θ sin²θ - i sin³θ

= (cos³θ - 3cos θ sin²θ) + i(3cos²θ sin θ - sin³θ)

実部を比較して：

cos 3θ = cos³θ - 3cos θ sin²θ = 4cos³θ - 3cos θ

【1のn乗根】

z^n = 1 の解は：

z_k = e^(2πik/n) = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n)　（k = 0, 1, ..., n-1）

これらは複素数平面上で正n角形の頂点を形成する。

【正五角形と黄金比】

1の5乗根のうち、ω = e^(2πi/5) = cos 72° + i sin 72° について：

cos 72° = (√5 - 1)/4 と黄金比 φ = (1 + √5)/2 が関係する。

正五角形の対角線と辺の比は黄金比 φ : 1 となる。

【この問題のポイント】

• 回転の公式を確実に：原点周り、任意の点周りの回転を使い分ける。
• 極形式の活用：z = re^(iθ) とおくと計算が楽になることが多い。
• 共役複素数の利用：|z|² = z × z̄ を利用した計算。
• 図形的イメージ：複素数平面上に図を描いて考える。
• 軌跡の除外点に注意：z の動く範囲の制限から除外される点がないか確認。

【類題・練習問題】

【練習問題1】三角関数と最大・最小

【練習問題2】確率と漸化式

【練習問題3】微分積分（面積と体積）

【練習問題4】複素数平面（回転と正三角形）

【練習問題5】極限と区分求積法