【名古屋大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

【出題例：2024年 第1問】

関数 f(x) = e^x のグラフ上の点における接線と、その接線が x 軸と交わる点に関する問題。接点の x 座標を a とおき、接線の方程式を立式し、点Pの通過条件を処理して a の方程式を立式。最終的に a の方程式の解の個数問題（整数解の個数）に帰着させる。

この問題は標準的な難易度であり、基本的な微分の知識と方程式の解の配置問題の理解があれば完答できる問題でした。

【出題例：2024年 第2問】

3次方程式の複素数解について考察する問題。

(1) 因数定理を使い、c に依存しない z を c の恒等式と見なして探す

(2) 方程式 Q(z)=0 を満たす複素数 z のうち実部が最大のものを求める

(3) 2つの方程式 P(z)=0, Q(z)=0 が共通解 β を持つときの c の値と β を求める

一見複雑な3次方程式に見えますが、因数定理と恒等式の発想を組み合わせることで解決できます。

【出題例：2024年 第3問】

空間ベクトルの問題。平面のベクトル方程式と垂線の足、最短距離を求める問題。

(1) A～Cの座標から全て計算

(2) Hの方程式を作ることでHの法線ベクトルを求め、OQベクトルはこの法線ベクトルの定数倍になることを利用。QがH上の点であることからQの座標を求める

座標設定から計算の流れを丁寧に追うことで、空間図形の本質がつかめる問題です。

【出題例：2006年 工学部後期】

マルコフ過程に関する確率漸化式の問題。状態を整理し、n回目の操作後の状態から(n+1)回目の状態への推移を漸化式で表現する。

この種の問題は「確率漸化式」と呼ばれ、名大では定番の出題パターンです。

【出題例：典型パターン】

漸化式 a_n+1 = pa_n + q（p, q は定数）で定義される数列 {a_n} について、一般項を求め、さらに lim(n→∞) a_n を求める問題。

特性方程式を利用した解法や、数学的帰納法による証明が求められます。

問題

曲線 C: y = x³ - 3x 上の点 P(a, a³ - 3a) における接線を ℓ とする。

(1) 接線 ℓ の方程式を a を用いて表せ。

(2) 接線 ℓ が曲線 C と P 以外の点 Q で交わるとき、Q の座標を a を用いて表せ。

(3) 曲線 C と接線 ℓ で囲まれる部分の面積 S を a を用いて表せ。

【解答・解説】

(1) 接線の方程式

y = x³ - 3x より、y' = 3x² - 3

点 P(a, a³ - 3a) における接線の傾きは 3a² - 3

よって、接線 ℓ の方程式は：

y - (a³ - 3a) = (3a² - 3)(x - a)

y = (3a² - 3)x - 3a³ + 3a + a³ - 3a

y = (3a² - 3)x - 2a³

(2) 交点 Q の座標

曲線 C と接線 ℓ の交点を求める：

x³ - 3x = (3a² - 3)x - 2a³

x³ - 3x - (3a² - 3)x + 2a³ = 0

x³ - 3a²x + 2a³ = 0

x = a は重解なので、(x - a)² で割り切れる

(x - a)²(x + 2a) = 0

よって、Q の x 座標は x = -2a

y = (-2a)³ - 3(-2a) = -8a³ + 6a

Q(-2a, -8a³ + 6a)

(3) 面積 S

面積は定積分で求める。P と Q の x 座標の間（a > 0 の場合、-2a から a まで）で積分：

S = ∫_-2a^a |x³ - 3x - {(3a² - 3)x - 2a³}| dx

= ∫_-2a^a |x³ - 3a²x + 2a³| dx

= ∫_-2a^a |(x - a)²(x + 2a)| dx

-2a ≤ x ≤ a のとき、(x - a)² ≥ 0 かつ (x + 2a) ≥ 0（a > 0 の場合）なので：

S = ∫_-2a^a (x - a)²(x + 2a) dx

ここで、いわゆる「1/12公式」を利用：

∫_α^β (x - α)²(x - β) dx = -1/12 (β - α)⁴

本問では α = -2a, β = a より：

S = 1/12 × (a - (-2a))⁴ = 1/12 × (3a)⁴ = 27a⁴/4

問題

曲線 y = sin x (0 ≤ x ≤ π) と x 軸で囲まれた部分を y 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

【解答・解説】

y 軸まわりの回転体なので、バウムクーヘン積分（円筒殻法）を用いる。

V = 2π ∫₀^π x · sin x dx

部分積分を適用：

∫ x · sin x dx において、

u = x → du = dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫ x · sin x dx = -x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

よって：

V = 2π [-x cos x + sin x]₀^π

= 2π {(-π · cos π + sin π) - (0 + 0)}

= 2π {(-π · (-1) + 0)}

= 2π · π

V = 2π²

問題

1から6までの目が等確率で出るサイコロを繰り返し投げる。n回投げた後の出た目の和を S_n とする。S_n が3の倍数である確率を p_n とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) p₁ を求めよ。

(2) p_n+1 を p_n を用いて表せ。

(3) p_n を求めよ。

【解答・解説】

(1) p₁ の計算

1回投げて3の倍数になるのは、目が3または6のとき

p₁ = 2/6 = 1/3

(2) 漸化式の導出

S_n を3で割った余りによって状態を分類する：

• 状態A：S_n ≡ 0 (mod 3) ← この確率が p_n
• 状態B：S_n ≡ 1 (mod 3) ← この確率を q_n とする
• 状態C：S_n ≡ 2 (mod 3) ← この確率を r_n とする

サイコロの目を3で割った余りの分布：

• 余り0（目が3,6）：確率 2/6 = 1/3
• 余り1（目が1,4）：確率 2/6 = 1/3
• 余り2（目が2,5）：確率 2/6 = 1/3

状態遷移を考える：

n+1回目で状態Aになるのは：

• 状態Aから余り0が出る：p_n × 1/3
• 状態Bから余り2が出る：q_n × 1/3
• 状態Cから余り1が出る：r_n × 1/3

よって：p_n+1 = (p_n + q_n + r_n) × 1/3

ここで、p_n + q_n + r_n = 1 より：

p_n+1 = 1/3

...と思いきや、これは n ≥ 1 のときの話。実は対称性から q_n = r_n であることを利用して別のアプローチも可能。

対称性より q_n = r_n = (1 - p_n)/2

状態Aに留まる・戻る確率を考えると：

p_n+1 = p_n · (1/3) + q_n · (1/3) + r_n · (1/3)

= (1/3)(p_n + q_n + r_n)

= 1/3

しかし、これは n ≥ 1 での漸化式。より精密に：

p_n+1 = (1/3)p_n + (1/3)q_n + (1/3)r_n = 1/3

(3) 一般項

n ≥ 2 のとき p_n = 1/3

p₁ = 1/3 より、p_n = 1/3（n ≥ 1）

問題

袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を繰り返す。n回目に取り出した玉が赤である確率を p_n とする。ただし、取り出した玉が赤のとき、その玉と白玉1個を袋に戻し、白のときはその玉だけを袋に戻す。

(1) p₂ を求めよ。

(2) p_n を求めよ。

【解答・解説】

状態の整理

袋の中の玉の構成を追跡する。初期状態：赤3、白2（計5個）

• 赤を取り出す → 赤3、白3になる（計6個）
• 白を取り出す → 赤3、白2のまま（計5個）

(1) p₂ の計算

p₁ = 3/5（初期状態で赤を引く確率）

2回目に赤を引く確率：

= P(1回目赤) × P(2回目赤|1回目赤) + P(1回目白) × P(2回目赤|1回目白)

= (3/5) × (3/6) + (2/5) × (3/5)

= (3/5) × (1/2) + (2/5) × (3/5)

= 3/10 + 6/25

= 15/50 + 12/50

p₂ = 27/50

(2) 漸化式の導出と一般項

状態S：赤3白2（計5個）、状態T：赤3白3（計6個）とする

n回目終了後に状態Sである確率を s_n、状態Tである確率を t_n とする

状態遷移：

• S → S：白を引く確率 2/5
• S → T：赤を引く確率 3/5
• T → S：白を引く確率 3/6 = 1/2
• T → T：赤を引く確率 3/6 = 1/2

漸化式：

s_n+1 = (2/5)s_n + (1/2)t_n

t_n+1 = (3/5)s_n + (1/2)t_n

s_n + t_n = 1 を用いて：

s_n+1 = (2/5)s_n + (1/2)(1 -

s_n+1 = (2/5)s_n + (1/2)(1 - s_n)

s_n+1 = (2/5)s_n + 1/2 - (1/2)s_n

s_n+1 = -(1/10)s_n + 1/2

特性方程式：α = -(1/10)α + 1/2 より α = 5/11

s_n+1 - 5/11 = -(1/10)(s_n - 5/11)

初期条件：s₀ = 1（最初は状態S）より

s_n - 5/11 = (-1/10)ⁿ(1 - 5/11) = (6/11)(-1/10)ⁿ

s_n = 5/11 + (6/11)(-1/10)ⁿ

n回目に赤を引く確率 p_n は：

p_n = (3/5)s_n-1 + (1/2)t_n-1

= (3/5)s_n-1 + (1/2)(1 - s_n-1)

= (1/10)s_n-1 + 1/2

s_n-1 = 5/11 + (6/11)(-1/10)^n-1 を代入：

p_n = (1/10){5/11 + (6/11)(-1/10)^n-1} + 1/2

= 1/22 + (6/110)(-1/10)^n-1 + 1/2

= 1/22 + 11/22 + (3/55)(-1/10)^n-1

p_n = 6/11 + (3/55)(-1/10)^n-1

（検算：p₁ = 6/11 + 3/55 = 30/55 + 3/55 = 33/55 = 3/5 ✓）

問題

数列 {a_n} が a₁ = 1, a₂ = 2, a_n+2 = 4a_n+1 - 3a_n (n ≥ 1) を満たすとき、一般項 a_n を求めよ。

【解答・解説】

特性方程式を立てる

x² = 4x - 3

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1, 3

漸化式を変形

a_n+2 - a_n+1 = 3(a_n+1 - a_n) ...①

a_n+2 - 3a_n+1 = a_n+1 - 3a_n ...②

①より

b_n = a_n+1 - a_n とおくと、b_n+1 = 3b_n

b₁ = a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1

b_n = 3^n-1

よって、a_n+1 - a_n = 3^n-1

②より

c_n = a_n+1 - 3a_n とおくと、c_n+1 = c_n（定数列）

c₁ = a₂ - 3a₁ = 2 - 3 = -1

c_n = -1

よって、a_n+1 - 3a_n = -1

連立方程式を解く

a_n+1 - a_n = 3^n-1

a_n+1 - 3a_n = -1

辺々引いて：2a_n = 3^n-1 + 1

a_n = (3^n-1 + 1)/2

（検算：a₁ = (1+1)/2 = 1 ✓, a₂ = (3+1)/2 = 2 ✓）

問題

a₁ = 1, a_n+1 = a_n + 1/a_n (n ≥ 1) で定義される数列 {a_n} について

(1) すべての自然数 n に対して a_n > 0 を示せ。

(2) √(2n-1) ≤ a_n < √(3n-2) (n ≥ 1) を示せ。

(3) lim(n→∞) a_n/√n を求めよ。

【解答・解説】

(1) a_n > 0 の証明

数学的帰納法による。

[i] n = 1 のとき：a₁ = 1 > 0 ✓

[ii] n = k で a_k > 0 と仮定すると

a_k+1 = a_k + 1/a_k > 0 + 0 = 0（∵ a_k > 0）

よって n = k+1 でも成立。

[i][ii]より、すべての自然数 n で a_n > 0 □

(2) 不等式の証明

まず a_n² の漸化式を考える。

a_n+1² = (a_n + 1/a_n)² = a_n² + 2 + 1/a_n²

下界の証明：a_n² ≥ 2n - 1

数学的帰納法による。

[i] n = 1：a₁² = 1 ≥ 2·1 - 1 = 1 ✓

[ii] n = k で a_k² ≥ 2k - 1 と仮定

a_k+1² = a_k² + 2 + 1/a_k² ≥ (2k-1) + 2 + 0 = 2k + 1 = 2(k+1) - 1 ✓

上界の証明：a_n² < 3n - 2

[i] n = 1：a₁² = 1 < 3·1 - 2 = 1 は不成立...

n = 1 では等号成立。n ≥ 2 で厳密な不等号を示す。

a₂ = 1 + 1 = 2, a₂² = 4 < 3·2 - 2 = 4 も等号...

より精密に：a_n² ≤ 3n - 2 を示す。

[ii] a_k² < 3k - 2 と仮定（k ≥ 2）

a_k+1² = a_k² + 2 + 1/a_k²

a_k² ≥ 2k - 1 より 1/a_k² ≤ 1/(2k-1)

a_k+1² < (3k-2) + 2 + 1/(2k-1) = 3k + 1/(2k-1)

3k + 1/(2k-1) ≤ 3(k+1) - 2 = 3k + 1 となることを示す

1/(2k-1) ≤ 1 ⟺ 2k - 1 ≥ 1 ⟺ k ≥ 1 ✓

よって √(2n-1) ≤ a_n < √(3n-2)（n ≥ 2では厳密、n=1で等号）□

(3) 極限の計算

√(2n-1) ≤ a_n < √(3n-2) の各辺を √n で割る：

√((2n-1)/n) ≤ a_n/√n < √((3n-2)/n)

√(2 - 1/n) ≤ a_n/√n < √(3 - 2/n)

n → ∞ のとき、左辺 → √2, 右辺 → √3

はさみうちの原理より...(これでは極限が定まらない)

より精密な評価が必要。実は a_n² ～ 2n（n → ∞）となることを示す。

a_n+1² - a_n² = 2 + 1/a_n² → 2（n → ∞）

Cesàro平均の考え方より、a_n²/n → 2

よって a_n/√n → √2

問題（2024年 第3問タイプ）

座標空間において、A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) とする。

(1) 3点 A, B, C を通る平面 H の方程式を求めよ。

(2) 原点 O から平面 H に下ろした垂線の足 Q の座標を求めよ。

(3) 点 O と平面 H の距離を求めよ。

【解答・解説】

(1) 平面の方程式

平面 H 上の点を P(x, y, z) とすると、

ベクトル AP = (x-1, y, z)

ベクトル AB = (-1, 2, 0)

ベクトル AC = (-1, 0, 3)

法線ベクトル n = AB × AC を計算：

n = (2·3 - 0·0, 0·(-1) - (-1)·3, (-1)·0 - 2·(-1))

n = (6, 3, 2)

平面の方程式：6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0

6x + 3y + 2z = 6（または 6x + 3y + 2z - 6 = 0）

（検算：A(1,0,0): 6·1 = 6 ✓, B(0,2,0): 3·2 = 6 ✓, C(0,0,3): 2·3 = 6 ✓）

(2) 垂線の足 Q の座標

O から H への垂線は、法線ベクトル n = (6, 3, 2) の方向

直線 OQ のパラメータ表示：(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)

Q は平面 H 上にあるので：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

Q = (36/49, 18/49, 12/49)

(3) 距離の計算

OQ = |t| · |n| = (6/49) · √(36 + 9 + 4) = (6/49) · √49 = (6/49) · 7 = 6/7

（別解：点と平面の距離公式より）

d = |6·0 + 3·0 + 2·0 - 6| / √(36 + 9 + 4) = 6/7 ✓

問題

四面体 OABC において、OA = OB = OC = 1, ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = θ (0 < θ < 2π/3) とする。

(1) OA · OB + OB · OC + OC · OA を θ を用いて表せ。

(2) 四面体 OABC の体積 V を θ を用いて表せ。

【解答・解説】

(1) 内積の和

OA · OB = |OA||OB|cos θ = 1·1·cos θ = cos θ

同様に、OB · OC = cos θ, OC · OA = cos θ

OA · OB + OB · OC + OC · OA = 3cos θ

(2) 体積の計算

OA = a, OB = b, OC = c とおく。

体積 V = (1/6)|a · (b × c)|

|a · (b × c)|² = (a · (b × c))² を計算する。

スカラー三重積の公式：

(a · (b × c))² = det(G) ただし G は Gram行列

G = |a·a  a·b  a·c|   |1      cos θ  cos θ|
    |b·a  b·b  b·c| = |cos θ  1      cos θ|
    |c·a  c·b  c·c|   |cos θ  cos θ  1    |

det(G) を計算：

= 1(1 - cos²θ) - cos θ(cos θ - cos²θ) + cos θ(cos²θ - cos θ)

= 1 - cos²θ - cos²θ + cos³θ + cos³θ - cos²θ

= 1 - 3cos²θ + 2cos³θ

= (1 - cos θ)²(1 + 2cos θ)

0 < θ 0

|a · (b × c)| = √{(1 - cos θ)²(1 + 2cos θ)} = (1 - cos θ)√(1 + 2cos θ)

V = (1/6)(1 - cos θ)√(1 + 2cos θ)

問題（2024年 第1問タイプ）

方程式 x³ - 3x = k が異なる3つの整数解をもつような整数 k をすべて求めよ。

【解答・解説】

f(x) = x³ - 3x とおく。

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)

増減表：

x	...	-1	...	1	...
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大2	↘	極小-2	↗

y = f(x) と y = k が3点で交わる条件：-2 < k < 2

整数 k は k = -1, 0, 1

k = 0 のとき：x³ - 3x = 0 ⟺ x(x² - 3) = 0

x = 0, ±√3 → 整数解は x = 0 のみ（1個）→ 不適

k = 1 のとき：x³ - 3x - 1 = 0

有理数解の候補は ±1（有理根定理より）

f(1) = 1 - 3 - 1 = -3 ≠ 0, f(-1) = -1 + 3 - 1 = 1 ≠ 0

整数解なし → 不適

k = -1 のとき：x³ - 3x + 1 = 0

f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 ≠ 0, f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 ≠ 0

整数解なし → 不適

k = -2 のとき：x³ - 3x + 2 = 0 ⟺ (x-1)²(x+2) = 0

x = 1（重解）, -2 → 異なる3解ではない → 不適

k = 2 のとき：x³ - 3x - 2 = 0 ⟺ (x+1)²(x-2) = 0

x = -1（重解）, 2 → 異なる3解ではない → 不適

結論：条件を満たす整数 k は存在しない

問題

n を正の整数とする。n² + 1 が 5 で割り切れるための必要十分条件を求めよ。

【解答・解説】

n を 5 で割った余りで分類する。n ≡ r (mod 5), r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

n (mod 5)	n²(mod 5)	n² + 1 (mod 5)
0	0	1
1	1	2
2	4	0 ✓
3	9 ≡ 4	0 ✓
4	16 ≡ 1	2

よって、n² + 1 が 5 で割り切れる ⟺ n ≡ 2 or 3 (mod 5)

n ≡ ±2 (mod 5)（つまり n を 5 で割った余りが 2 または 3）

問題

曲線 C: y = x² と直線 ℓ: y = 2x + a が異なる2点 P, Q で交わるとする。

(1) a の取りうる値の範囲を求めよ。

(2) 線分 PQ の中点 M の軌跡を求めよ。

(3) C と ℓ で囲まれる部分の面積 S を a を用いて表せ。

【解答】

(1) x² = 2x + a より x² - 2x - a = 0

判別式 D = 4 + 4a > 0 より a > -1

(2) P, Q の x 座標を α, β とすると

α + β = 2, αβ = -a（解と係数の関係）

中点 M の x 座標：x_M = (α + β)/2 = 1

中点 M の y 座標：y_M

中点 M の y 座標：y_M = 2·1 + a = 2 + a

a > -1 より y_M > 1

軌跡：直線 x = 1 (y > 1 の部分)

(3) α, β を解として（α < β とする）

S = ∫_α^β {(2x + a) - x²} dx

= ∫_α^β {-(x - α)(x - β)} dx

= (1/6)(β - α)³ （1/6公式）

β - α = √{(α + β)² - 4αβ} = √(4 + 4a) = 2√(1 + a)

S = (1/6) · 8(1 + a)^(3/2) = (4/3)(1 + a)^(3/2)

問題

複素数 z が |z| = 1 を満たしながら動くとき、w = z + 1/z で表される点 w の軌跡を求めよ。

【解答】

|z| = 1 より z = cos θ + i sin θ = e^(iθ) とおける（0 ≤ θ < 2π）

1/z = e^(-iθ) = cos θ - i sin θ

w = z + 1/z = (cos θ + i sin θ) + (cos θ - i sin θ)

= 2cos θ

-1 ≤ cos θ ≤ 1 より -2 ≤ 2cos θ ≤ 2

軌跡：実軸上の線分 -2 ≤ w ≤ 2（すなわち -2 ≤ x ≤ 2, y = 0）

問題

数直線上を動く点 P がある。最初 P は原点にいる。コインを投げて表が出れば +1、裏が出れば -1 移動する。n 回コインを投げた後、P が原点にいる確率を p_n とする。

(1) p₁, p₂, p₃ を求めよ。

(2) p_n を n を用いて表せ。

【解答】

(1)

p₁ = 0（1回では原点に戻れない）

p₂ = (1/2)·(1/2) + (1/2)·(1/2) = 1/2（表裏または裏表）

より正確に：2回で原点に戻る = (+1,-1) または (-1,+1) = 2通り / 4通り = 1/2

p₃ = 0（奇数回では原点に戻れない）

(2)

n が奇数のとき：p_n = 0

n = 2m（偶数）のとき：

2m 回のうち m 回表、m 回裏が出る確率

p_2m = _2mC_m · (1/2)^(2m) = _2mC_m / 4^m

まとめると：

p_n = { _nC_n/2 / 2^n （n が偶数のとき）, 0 （n が奇数のとき）}

問題

四面体 OABC において、OA = a, OB = b, OC = c とする。辺 OA を 2:1 に内分する点を P、辺 BC の中点を M とする。

(1) OP, OM を a, b, c で表せ。

(2) 線分 PM の中点 N の位置ベクトル ON を a, b, c で表せ。

(3) 直線 AN と平面 OBC の交点 Q の位置ベクトル OQ を b, c で表せ。

【解答】

(1)

OP = (2/3)a

OM = (b + c)/2

(2)

ON = (OP + OM)/2 = {(2/3)a + (b + c)/2}/2

ON = (1/3)a + (1/4)b + (1/4)c

(3)

直線 AN 上の点：OX = OA + t(ON - OA) = a + t{(1/3)a + (1/4)b + (1/4)c - a}

= a + t{-(2/3)a + (1/4)b + (1/4)c}

= (1 - 2t/3)a + (t/4)b + (t/4)c

Q が平面 OBC 上 ⟺ a の係数 = 0

1 - 2t/3 = 0 より t = 3/2

OQ = (3/8)b + (3/8)c

OQ = (3/8)(b + c)

問題

数列 {a_n} を a₁ = 2, a_n+1 = √(2a_n) (n ≥ 1) で定める。

(1) b_n = log₂ a_n とおくとき、b_n を n で表せ。

(2) a_n を n で表せ。

(3) lim(n→∞) a_n を求めよ。

【解答】

(1)

a_n+1 = √(2a_n) = (2a_n)^(1/2)

両辺の log₂ をとる：

b_n+1 = (1/2)(1 + b_n) = (1/2)b_n + 1/2

特性方程式：α = (1/2)α + 1/2 より α = 1

b_n+1 - 1 = (1/2)(b_n - 1)

b₁ = log₂ 2 = 1 より b₁ - 1 = 0

b_n - 1 = 0 · (1/2)^(n-1) = 0

b_n = 1

(2)

log₂ a_n = 1 より

a_n = 2（すべての n で定数）

(3)

lim(n→∞) a_n = 2

（別解で検算：a₁ = 2, a₂ = √4 = 2, a₃ = √4 = 2, ... 確かに定数列）

問題

n を正の整数とする。I_n = ∫₀^π/2 sin^n x dx とおく。

(1) I_n と I_n-2 の間に成り立つ漸化式を求めよ。

(2) I_n+1 ≤ I_n を示せ。

(3) lim(n→∞) (I_n+1/I_n) を求めよ。

【解答】

(1)

I_n = ∫₀^π/2 sin^(n-1) x · sin x dx

部分積分（u = sin^(n-1) x, v' = sin x）：

= [-sin^(n-1) x · cos x]₀^π/2 + ∫₀^π/2 (n-1)sin^(n-2) x · cos²x dx

= 0 + (n-1)∫₀^π/2 sin^(n-2) x (1 - sin²x) dx

= (n-1)I_n-2 - (n-1)I_n

I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_n-2

I_n = ((n-1)/n) I_n-2

(2)

0 ≤ x ≤ π/2 で 0 ≤ sin x ≤ 1 より sin^(n+1) x ≤ sin^n x

よって ∫₀^π/2 sin^(n+1) x dx ≤ ∫₀^π/2 sin^n x dx

I_n+1 ≤ I_n □

(3)

(2)より I_n+2 ≤ I_n+1 ≤ I_n

I_n+2 = (n+1)/(n+2) · I_n より

(n+1)/(n+2) · I_n ≤ I_n+1 ≤ I_n

I_n > 0 で割る：

(n+1)/(n+2) ≤ I_n+1/I_n ≤ 1

n → ∞ で (n+1)/(n+2) → 1

はさみうちの原理より lim(n→∞) I_n+1/I_n = 1

問題

n を正の整数とする。n³ + 2n が 3 で割り切れることを証明せよ。

【解答】

方法1：因数分解

n³ + 2n = n(n² + 2) = n(n² - 1 + 3) = n(n-1)(n+1) + 3n

= (n-1)n(n+1) + 3n

(n-1)n(n+1) は連続する3整数の積なので 3 の倍数

3n も 3 の倍数

よって n³ + 2n は 3 の倍数 □

方法2：合同式

n ≡ 0 (mod 3) のとき：n³ + 2n ≡ 0 + 0 = 0

n ≡ 1 (mod 3) のとき：n³ + 2n ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0

n ≡ 2 (mod 3) のとき：n³ + 2n ≡ 8 + 4 = 12 ≡ 0

すべての場合で 3 で割り切れる □

問題

関数 f(x) が f(x) = e^x + ∫₀^x f(t) dt を満たすとき、f(x) を求めよ。

【解答】

与式の両辺を x で微分する：

f'(x) = e^x + f(x)

これは1階線形微分方程式。

f'(x) - f(x) = e^x

同次方程式 f'(x) - f(x) = 0 の一般解：f(x) = Ce^x

特殊解を f(x) = Axe^x の形で求める：

f'(x) = Ae^x + Axe^x = Ae^x(1 + x)

f'(x) - f(x) = Ae^x(1 + x) - Axe^x = Ae^x = e^x

よって A = 1

一般解：f(x) = Ce^x + xe^x = (C + x)e^x

初期条件：x = 0 を元の式に代入

f(0) = e^0 + 0 = 1

f(0) = (C + 0)e^0 = C = 1

f(x) = (x + 1)e^x

（検算：∫₀^x (t+1)e^t dt = [te^t]₀^x = xe^x

e^x + xe^x = (x+1)e^x ✓）

問題

1 から 9 までの数字が書かれた 9 枚のカードがある。この中から 3 枚を選ぶとき、

(1) 選び方は全部で何通りあるか。

(2) 3 枚の数字の和が 3 の倍数になる選び方は何通りあるか。

(3) 3 枚の数字の積が 3 の倍数になる確率を求めよ。

【解答】

(1)

₉C₃ = 84 通り

(2)

1〜9 を 3 で割った余りで分類：

• 余り 0：{3, 6, 9} → 3枚
• 余り 1：{1, 4, 7} → 3枚
• 余り 2：{2, 5, 8} → 3枚

3枚の和が 3 の倍数になるパターン：

• (0, 0, 0)：₃C₃ = 1 通り
• (1, 1, 1)：₃C₃ = 1 通り
• (2, 2, 2)：₃C₃ = 1 通り
• (0, 1, 2)：3 × 3 × 3 = 27 通り

合計：1 + 1 + 1 + 27 = 30 通り

(3)

積が 3 の倍数にならない ＝ 3枚とも 3 の倍数でない

3 の倍数でないカード：{1, 2, 4, 5, 7, 8} → 6枚

3枚とも 3 の倍数でない選び方：₆C₃ = 20 通り

積が 3 の倍数になる確率 = 1 - 20/84 = 64/84 = 16/21

問題

xy 平面上の曲線 C: y = x³ - x と直線 ℓ: y = mx について考える。

(1) C と ℓ が原点以外に 2 点で交わるための m の条件を求めよ。

(2) (1)の条件のもと、C と ℓ で囲まれる 2 つの部分の面積の和 S を m で表せ。

(3) S の最小値を求めよ。

【解答】

(1)

x³ - x = mx より x³ - x - mx = 0

x(x² - 1 - m) = 0

x = 0 または x² = 1 + m

原点以外に 2 点で交わる条件：x² = 1 + m が異なる 2 つの実数解をもつ

m > -1

(2)

交点の x 座標：x = 0, ±√(1+m)

α = √(1+m) とおく（α > 0）

対称性より、S = 2 × ∫₀^α |x³ - x - mx| dx

0 < x < α で x³ - x - mx = x(x² - 1 - m) = x(x² - α²) = x(x-α)(x+α) < 0

（∵ x > 0, x - α 0）

S = 2∫₀^α {mx + x - x³} dx

= 2∫₀^α {(m+1)x - x³} dx

= 2[(m+1)x²/2 - x⁴/4]₀^α

= 2{(m+1)α²/2 - α⁴/4}

= (m+1)α² - α⁴/2

α² = 1 + m より：

S = (m+1)(m+1) - (m+1)²/2 = (m+1)² - (m+1)²/2 = (m+1)²/2

S = (m+1)²/2

(3)

m > -1 より m + 1 > 0

S = (m+1)²/2 は m = -1 に近づくほど 0 に近づくが、m = -1 は含まない

よって S に最小値は存在しない。下限は 0（m → -1+ で S → 0+）

ただし、m > -1 の範囲での最小値を問う場合は「最小値なし（下限 0）」

もし「m ≥ 0 のとき」という条件なら：

S = (m+1)²/2 は m = 0 で最小

S_min = 1/2（m = 0 のとき）

おすすめ度：★★★★★

言わずと知れた定番中の定番。名大受験生の8割以上が使用していると言っても過言ではありません。例題をすべて解けるようになれば、名大数学の基礎は完成です。

使い方のコツ：

• 例題を見て、30秒以内に方針が立たなければ解答を見る
• 解答を読んで理解したら、すぐに自力で解き直す
• 1週間後にもう一度解き直し、完璧に解けるまで繰り返す

おすすめ度：★★★★☆

チャート式よりコンパクトで、短期間で基礎を固めたい人に最適。解説が丁寧で、独学でも十分使えます。

使い方のコツ：

• まず「精講」部分を読んで考え方を理解
• 例題を自力で解いてから解答を確認
• 演習問題で定着を図る

おすすめ度：★★★★☆

意外と軽視されがちですが、教科書の例題・章末問題を完璧にすることが合格への第一歩。特に証明問題の論理展開は教科書が最も正確です。

おすすめ度：★★★★★

入試標準レベルの問題を効率よく学べる最高の問題集。例題と演習題がセットになっており、考え方の習得に最適です。名大レベルならこれを完璧にすれば十分戦えます。

使い方のコツ：

• 例題を20分考えて解けなければ解答を見る
• 演習題は必ず自力で解く
• 間違えた問題には印をつけ、1週間後に再挑戦

おすすめ度：★★★★☆

入試標準〜やや難レベルの良問が厳選されています。解説が非常に詳しく、なぜその解法を使うのかが理解できます。

おすすめ度：★★★★☆

タイトルとは裏腹に、かなり歯ごたえのある問題集。複数の解法が示されており、発想力を鍛えられます。名大対策として十分なレベルです。

おすすめ度：★★★★★

名大を含む旧帝大レベルの問題を各単元6〜12問程度収録。各単元の本質的な考え方を深く学べます。医学部志望者にも最適。

使い方のコツ：

• 1問に30分〜1時間かけてじっくり考える
• 解けなくても、どこまで考えたかをノートに記録
• 解答を読んだ後、必ず自力で再現する

おすすめ度：★★★★☆

難関大の良問を集めた問題集。「やさしい理系数学」を終えた人の次のステップとして最適。名大医学部志望者は必須。

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最高難度の問題集。名大工学部・理学部志望なら不要ですが、医学部志望で数学を得点源にしたい人には効果的。

おすすめ度：★★★★★（必須）

最低10年分、できれば15年分は解いておきたい。古い年度から始めて、直近3年分は直前期に取っておく。

活用法：

• 1回目：時間を計って本番形式で解く
• 2回目：解けなかった問題を類題とともに復習
• 3回目：全問を時間内に完答できるか確認

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他の旧帝大（阪大、東北大、九大など）の問題も演習することで、様々なパターンに対応できるようになります。

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配点：数学500点 / 1400点（約36%）

目標点：300〜350点（6〜7割）

重要度：★★★★★

工学部では数学の配点が最も高く、合否を分ける最重要科目です。特に機械・航空宇宙工学科や電気電子情報工学科では、数学で稼ぐ受験生が多いです。微分積分と線形代数（ベクトル・行列）の理解は大学入学後も必須となるため、しっかり学んでおきましょう。

配点：数学500点 / 1400点（約36%）

目標点：320〜380点（6.5〜7.5割）

重要度：★★★★★

数理学科志望者は言うまでもなく、物理学科・化学科志望者にとっても数学は重要です。特に数理学科では、入試の段階から論理的思考力と証明能力が問われます。

配点：数学500点 / 1650点（約30%）

目標点：400点以上（8割以上）

重要度：★★★★★

医学部医学科は全教科で高得点が求められますが、数学で差がつくことが多いです。他の受験生も得点してくる中で、ミスなく8割以上を取ることが合格の条件となります。難問に時間を取られすぎず、確実に解ける問題を落とさない戦略が重要です。

配点：数学500点 / 1400点（約36%）

目標点：280〜330点（5.5〜6.5割）

重要度：★★★★☆

医学科ほどの高得点は必要ありませんが、標準的な問題は確実に解けるようにしておく必要があります。苦手分野を作らないことが大切です。

配点：数学400点 / 1300点（約31%）

目標点：240〜280点（6〜7割）

重要度：★★★★☆

農学部でも数学は重要ですが、理科（特に生物・化学）との総合力で勝負することも可能です。数学が苦手な場合は、理科で挽回する戦略も有効です。

配点：数学500点 / 1400点（約36%）

目標点：320〜380点（6.5〜7.5割）

重要度：★★★★★

情報学部、特にコンピュータ科学科では数学的思考力が必須です。入学後もアルゴリズム、離散数学、線形代数など数学を多用するため、入試の段階でしっかり学んでおくことが大切です。

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