【場合の数と確率】数学の勉強法・つまずきポイントと対策｜日本数学塾

はじめに：場合の数と確率を完全マスターするために

こんにちは、日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

「場合の数と確率」は、高校数学の中でも特に苦手意識を持つ生徒が多い単元の一つです。私がこれまで指導してきた生徒たちも、最初は「何から手をつければいいかわからない」「公式を覚えても問題が解けない」と悩んでいました。

しかし、正しい考え方と解法パターンを身につければ、場合の数と確率は得点源になる単元です。実際に、センター試験・共通テストでは毎年必ず出題され、二次試験でも頻出の分野です。

この記事では、以下の内容を徹底的に解説します：

• 場合の数・確率の基本概念と公式の完全理解
• 基礎問題10問で土台を固める
• 標準問題10問で頻出パターンをマスター
• 入試レベルの実戦問題10問で実力を完成させる
• よくある間違いとその対処法
• 大学入試での頻出パターン一覧

この記事を読み終える頃には、場合の数と確率に対する苦手意識が消え、自信を持って問題に取り組めるようになるはずです。それでは、一緒に学んでいきましょう！

基本概念の確認

1. 場合の数とは

場合の数とは、ある条件を満たす事柄が何通りあるかを数えることです。この「数え上げ」の考え方が、確率を理解する上での土台となります。

【和の法則】

2つの事柄A、Bが同時に起こらない（排反である）とき、AまたはBが起こる場合の数は：

【例】サイコロを1回振って、1の目または6の目が出る場合の数
1の目が出る：1通り
6の目が出る：1通り
→ 合計：1 + 1 = 2通り

【積の法則】

事柄Aがm通り、その各々に対して事柄Bがn通りあるとき、AとBがともに起こる場合の数は：

【例】サイコロを2回振るとき、目の出方の総数
1回目：6通り
2回目：6通り
→ 合計：6 × 6 = 36通り

2. 順列（Permutation）

順列とは、n個のものからr個を選んで1列に並べる場合の数です。

【重要ポイント】順列では並び順が区別されることを理解しましょう。

【例】A、B、C、D、Eの5人から3人を選んで1列に並べる場合の数
5P3 = 5 × 4 × 3 = 60通り

【円順列】

n個のものを円形に並べる場合の数：

円順列では、回転して同じになるものは同一視します。1つを固定して考えるのがポイントです。

【例】5人が円形のテーブルに座る場合の数
(5-1)! = 4! = 24通り

【じゅず順列（数珠順列）】

円順列のうち、裏返しても同じになるものを同一視する場合：

【重複順列】

n種類のものからr個を選んで並べるとき、同じものを繰り返し使ってよい場合：

【例】0〜9の数字を使って4桁の暗証番号を作る場合の数
10⁴ = 10000通り

3. 組合せ（Combination）

組合せとは、n個のものからr個を選ぶ場合の数です（順番は考えない）。

【重要ポイント】組合せでは選び方だけが問題で、順序は関係ありません。

【例】10人から委員3人を選ぶ場合の数
10C3 = 10!/(3!×7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120通り

【組合せの重要な性質】

• nCr = nCn-r（対称性）
• nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr（パスカルの三角形）
• nC0 = nCn = 1
• nC1 = n

【重複組合せ】

n種類のものからr個を選ぶとき、同じものを繰り返し選んでよい場合：

【例】3種類のお菓子から5個選ぶ場合の数（同じ種類を何個選んでもよい）
3H5 = 3+5-1C5 = 7C5 = 7C2 = 21通り

4. 確率の基本

【確率の定義】

全ての結果が同様に確からしいとき、事象Aの起こる確率P(A)は：

【確率の基本性質】

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ā) = 1 - P(A)（余事象の確率）
• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)（加法定理）
• AとBが排反のとき：P(A∪B) = P(A) + P(B)

5. 独立と従属、条件付き確率

【独立な試行】

2つの事象A、Bが互いに影響を与えないとき、AとBは独立であるといいます。

【条件付き確率】

事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる確率：

【乗法定理】

6. 反復試行の確率

1回の試行で事象Aの起こる確率がpのとき、この試行をn回繰り返して、Aがちょうどr回起こる確率：

【例】サイコロを5回振って、1の目がちょうど2回出る確率
5C2 × (1/6)² × (5/6)³ = 10 × (1/36) × (125/216) = 1250/7776 = 625/3888

7. 期待値

確率変数Xがx1, x2, ..., xnの値をとり、それぞれの確率がp1, p2, ..., pnのとき、期待値E(X)は：

基礎問題で土台を固めよう（10問）

基礎問題1：積の法則の基本

【解説】

2つのサイコロを投げる問題は、場合の数の最も基本的な問題です。ここで重要なのは、大小のサイコロを区別することです。

大のサイコロの目の出方：1, 2, 3, 4, 5, 6の6通り
小のサイコロの目の出方：1, 2, 3, 4, 5, 6の6通り

それぞれの目の出方は独立なので、積の法則を使います。

【解答】

6 × 6 = 36通り

基礎問題2：和の法則の基本

【解説】

この問題では、「または」が出てきているので、和の法則を使いたくなります。しかし、3の倍数と5の倍数には重複（15の倍数）があるので、単純に足すことはできません。

集合の考え方を使って、包除原理を適用します：
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

・3の倍数の個数：100 ÷ 3 = 33余り1 より 33個
・5の倍数の個数：100 ÷ 5 = 20 より 20個
・15の倍数（3と5の公倍数）の個数：100 ÷ 15 = 6余り10 より 6個

【解答】

33 + 20 - 6 = 47個

基礎問題3：順列の基本

【解説】

この問題は「選んで並べる」問題です。委員長・副委員長・書記は役職が異なるので、順序が区別されることに注意しましょう。

例えば、A、B、Cの3人を選んだとき：
・Aが委員長、Bが副委員長、Cが書記
・Aが委員長、Cが副委員長、Bが書記
これらは異なる選び方として数えます。

したがって、これは順列の問題です。

【解答】

7P3 = 7 × 6 × 5 = 210通り

基礎問題4：組合せの基本

【解説】

この問題は「選ぶだけ」の問題です。4人の委員は全員同じ役職（区別なし）なので、順序は関係ありません。

問題3との違いを明確にしましょう：
・問題3：役職が違う → 順列
・問題4：役職が同じ → 組合せ

【解答】

12C4 = 12!/(4!×8!) = (12×11×10×9)/(4×3×2×1) = 11880/24 = 495通り

基礎問題5：同じものを含む順列

【解説】

同じ文字を含む場合の順列です。まず、各文字の個数を数えます：
・M：1個
・I：4個
・S：4個
・P：2個
合計：11個

同じものを含む順列の公式を使います：
n個のものを一列に並べるとき、そのうち同じものがp個、q個、r個、...あるとき：

【解答】

11!/(1!×4!×4!×2!) = 11!/(4!×4!×2!) = 39916800/(24×24×2) = 39916800/1152 = 34650通り

基礎問題6：確率の基本

【解説】

確率の基本公式 P(A) = n(A)/n(U) を使います。

分母（全ての場合の数）：
9個の玉から2個を選ぶ組合せ
9C2 = 36通り

分子（2個とも赤玉の場合の数）：
4個の赤玉から2個を選ぶ組合せ
4C2 = 6通り

【解答】

P = 6/36 = 1/6

基礎問題7：余事象の確率

【解説】

「少なくとも〜」という問題は、余事象を考えるのが定石です。

「少なくとも1回は1の目が出る」の余事象は「1回も1の目が出ない」です。

1回も1の目が出ない確率を計算：
・各回で1以外の目が出る確率：5/6
・3回とも1以外の目が出る確率：(5/6)³ = 125/216

【解答】

P = 1 - 125/216 = 91/216

基礎問題8：独立な試行の確率

【解説】

Aの袋から取り出すことと、Bの袋から取り出すことは独立な試行です。したがって、それぞれの確率を掛け合わせます。

・Aの袋から赤玉を取り出す確率：3/5
・Bの袋から赤玉を取り出す確率：4/5

【解答】

P = (3/5) × (4/5) = 12/25

基礎問題9：反復試行の確率

【解説】

同じ試行を繰り返す「反復試行」の問題です。公式 nCr × p^r × (1-p)^(n-r) を使います。

・n = 6（試行回数）
・r = 4（表が出る回数）
・p = 1/2（表が出る確率）

【解答】

P = 6C4 × (1/2)⁴ × (1/2)² = 15 × (1/16) × (1/4) = 15/64 = 15/64

基礎問題10：条件付き確率

【解説】

条件付き確率の公式 P(B|A) = P(A∩B)/P(A) を使います。

A：「和が8以上」
B：「少なくとも1つが5」

事象Aの場合（和が8以上）：
(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
→ 15通り

事象A∩B（和が8以上かつ少なくとも1つが5）：
(3,5), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5)
→ 7通り

【解答】

P(B|A) = 7/15 = 7/15

標準問題にチャレンジ（10問）

【パターン1：グループ分けの問題】

標準問題1

【解説】

グループ分けの問題では、グループに区別があるかないかが重要なポイントです。

この問題では、4人のグループと2人のグループ×2という構成です。2人のグループが2つあり、これらは区別がない（同じ人数）ので注意が必要です。

Step 1：まず区別があるものとして計算
・8人から4人を選ぶ：8C4 = 70通り
・残り4人から2人を選ぶ：4C2 = 6通り
・残り2人で1グループ：2C2 = 1通り
→ 70 × 6 × 1 = 420通り

Step 2：同じ人数のグループの重複を除く
2人のグループが2つあるので、2!で割る
→ 420 ÷ 2! = 420 ÷ 2 = 210通り

【解答】

210通り

【パターン2：条件付きの並べ方】

標準問題2

【解説】

「連続して並ぶ」という条件がある場合、連続するものを1つのかたまりとして考えます。

Step 1：女子3人を1つのかたまりと考える
→ 男子4人 + 女子のかたまり1つ = 5つのものを並べる
5! = 120通り

Step 2：女子のかたまりの中での並び方
→ 女子3人の並び方：3! = 6通り

Step 3：積の法則で掛け合わせる
→ 120 × 6 = 720通り

【解答】

720通り

【パターン3：円順列の応用】

標準問題3

【解説】

「〜が隣り合わない」という条件は、先に制約のない方を固定してから、残りを配置するのがコツです。

Step 1：まず子供4人を円形に並べる
円順列なので：(4-1)! = 3! = 6通り

Step 2：子供と子供の間に大人を配置
子供4人の間には4箇所の隙間があります。
○子○子○子○子○（○が隙間、円形なので4箇所）
この4箇所から3箇所を選んで大人を配置：
4P3 = 4 × 3 × 2 = 24通り

Step 3：積の法則
6 × 24 = 144通り

【解答】

144通り

【パターン4：最短経路の問題】

標準問題4

【解説】

最短経路の問題は、「右に進む」と「上に進む」の順列として考えます。

AからBまで：右に5回、上に3回進む必要がある
→ 「右右右右右上上上」の8文字の並べ替え

Step 1：Cを通らない場合の数を求める（余事象）
・全ての経路数 - Cを通る経路数

Step 2：全ての経路数
8!/(5!×3!) = 8C3 = 56通り

Step 3：Cを通る経路数
・AからC：右3回、上2回 → 5!/(3!×2!) = 10通り
・CからB：右2回、上1回 → 3!/(2!×1!) = 3通り
・AからCからB：10 × 3 = 30通り

Step 4：Cを通らない経路数
56 - 30 = 26通り

【解答】

26通り

【パターン5：くじ引きの確率】

標準問題5

【解説】

くじ引きの問題では、順番に条件を設定して考えます。

「Bだけが当たる」= 「Aがはずれ」かつ「Bが当たり」かつ「Cがはずれ」

方法1：条件付き確率の積

・Aがはずれる確率：7/10
・Aがはずれた条件のもとでBが当たる確率：3/9 = 1/3
・A、Bの結果を踏まえてCがはずれる確率：6/8 = 3/4

P = (7/10) × (1/3) × (3/4) = 21/120 = 7/40

方法2：場合の数で計算

・全ての引き方：10P3 = 720通り
・Bだけ当たり：7 × 3 × 6 = 126通り
・P = 126/720 = 7/40

【解答】

7/40

【パターン6：さいころの確率（目の和）】

標準問題6

【解説】

サイコロ3つで和が10になる目の組合せを場合分けして数え上げます。

3つの目を(a, b, c)とすると、a + b + c = 10（1 ≤ a, b, c ≤ 6）

和が10になる組合せを列挙：

合計：6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27通り

全ての場合の数：6³ = 216通り

【解答】

P = 27/216 = 1/8

【パターン7：カードを選ぶ確率】

標準問題7

【解説】

「積が偶数」の余事象は「積が奇数」です。積が奇数になるのは、3枚とも奇数のときだけです。

1〜9の中で：
・奇数：1, 3, 5, 7, 9の5個
・偶数：2, 4, 6, 8の4個

全ての選び方：9C3 = 84通り

3枚とも奇数（積が奇数）：5C3 = 10通り

積が偶数の確率：1 - 10/84 = 74/84 = 37/42

【解答】

37/42

【パターン8：反復試行の確率（応用）】

標準問題8

【解説】

あいこは考えず、勝ち負けだけを考えます。
1回の勝負でAが勝つ確率：1/2
1回の勝負でAが負ける確率：1/2

5回中、Aが3回勝ち、2回負ける確率を反復試行の公式で計算：

P = 5C3 × (1/2)³ × (1/2)²
= 10 × (1/8) × (1/4)
= 10/32
= 5/16

【解答】

5/16

【パターン9：期待値の計算】

標準問題9

【解説】

2個の球の選び方は 5C2 = 10通り です。
それぞれの組合せと和を列挙します。

和の合計：3+4+5+6+5+6+7+7+8+9 = 60

期待値 E = 60/10 = 6

【別解】期待値の線形性を使う
各球が選ばれる確率は 2/5（5個中2個選ぶので）
E = (1+2+3+4+5) × (2/5) × 2 ÷ 2 = 15 × (2/5) = 6
（または E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 3 = 6）

【解答】

6

【パターン10：確率の漸化式】

標準問題10

【解説】

和がkのときにちょうど5で終了する確率をP(k)とします（k = 0, 1, 2, 3, 4）。

k = 4のとき：
1が出ればちょうど5で終了 → P(4) = 1/6

k = 3のとき：
2が出ればちょうど5、1が出ればk=4の状態へ
→ P(3) = 1/6 + (1/6)×P(4) = 1/6 + (1/6)×(1/6) = 1/6 + 1/36 = 7/36

k = 2のとき：
3が出ればちょうど5、1か2が出ればそれぞれk=3, k=4の状態へ
→ P(2) = 1/6 + (1/6)×P(3) + (1/6)×P(4)
= 1/6 + (1/6)×(7/36) + (1/6)×(1/6)
= 1/6 + 7/216 + 1/36 = 36/216 + 7/216 + 6/216 = 49/216

k = 1のとき：
4が出ればちょうど5、1,2,3が出ればそれぞれk=2,3,4の状態へ
→ P(1) = 1/6 + (1/6)×P(2) + (1/6)×P(3) + (1/6)×P(4)
= 1/6 + (1/6)×(49/216) + (1/6)×(7/36) + (1/6)×(1/6)
= 216/1296 + 49/1296 + 42/1296 + 36/1296 = 343/1296

k = 0のとき（最初の状態）：
5が出ればちょうど5、1,2,3,4が出ればそれぞれk=1,2,3,4の状態へ
→ P(0) = 1/6 + (1/6)×P(1) + (1/6)×P(2) + (1/6)×P(3) + (1/6)×P(4)
= 1/6 + (1/6)×(343/1296) + (1/6)×(49/216) + (1/6)×(7/36) + (1/6)×(1/6)
= 1296/7776 + 343/7776 + 294/7776 + 252/7776 + 216/7776
= 2401/7776

【解答】

2401/7776（= (7/6)⁴ × (1/6) = 7⁴/6⁵）

入試レベルの実戦問題（10問）

実戦問題1（東大型・組合せの応用）

【解説】

「最大公約数が1より大きい」＝「3つの数が共通の約数（2以上）を持つ」

共通の素因数で場合分けします。

2の倍数から3つ選ぶ：
2, 4, 6, 8, 10, 12の6個から3個選ぶ
6C3 = 20通り

3の倍数から3つ選ぶ：
3, 6, 9, 12の4個から3個選ぶ
4C3 = 4通り

ただし、6の倍数から3つ選ぶ場合は重複：
6, 12の2個しかないので、3個選べない
→ 重複なし

【注意】他の素数（5, 7, 11）の倍数は1〜12に3個以上ないので、条件を満たさない。

求める場合の数：20 + 4 = 24通り

【解答】

24通り

実戦問題2（京大型・場合分けを要する確率）

【解説】

「ちょうど6回目で終了」とは：
・5回目までに赤玉2個、白玉3個を取り出す
・6回目に赤玉を取り出す

Step 1：5回目までの取り出し方
・9個から5個を取り出す順序を考える
・その中で赤2個、白3個となる場合

5回目までに赤2個、白3個を取り出す場合の数：
赤4個から2個選ぶ：4C2 = 6通り
白5個から3個選ぶ：5C3 = 10通り
5個を並べる：5!通り
→ 6 × 10 × 5! = 6 × 10 × 120 = 7200通り

5回取り出す全ての場合：9P5 = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 15120通り

Step 2：6回目に赤玉を取り出す確率
残り4個中、赤玉は2個なので：2/4 = 1/2

Step 3：確率を計算
P = (7200/15120) × (1/2) = (7200/15120) × (1/2) = 7200/30240 = 5/21

【別解】組合せで考える
6回目に赤玉3個目が出る確率
= (5回で赤2白3) × (6回目が赤) / (全体)
= [4C2 × 5C3 × 2] / [9C6 × 6]
= [6 × 10 × 2] / [84 × 6]
= 120/504 = 5/21

【解答】

5/21

実戦問題3（早稲田型・整数と確率）

【解説】

12 = 2² × 3 なので、積abcdが12の倍数となる条件は：
・2²の倍数である（4の倍数）
・かつ3の倍数である

余事象で考えます。
P(12の倍数) = 1 - P(12の倍数でない)
= 1 - P(4の倍数でない ∪ 3の倍数でない)

包除原理を使って：
P(12の倍数でない) = P(4の倍数でない) + P(3の倍数でない) - P(4の倍数でも3の倍数でもない)

P(3の倍数でない)：
3の倍数でない ＝ 4つの目がすべて3の倍数でない
1回で3の倍数が出ない確率：4/6 = 2/3（1,2,4,5が出る）
P(3の倍数でない) = (2/3)⁴ = 16/81

P(4の倍数でない)：
積が4の倍数でない ＝ 2の因数が高々1個
・4つとも奇数：(3/6)⁴ = (1/2)⁴ = 1/16
・3つが奇数、1つが2または6（2を1つだけ持つ）：4C1 × (1/2)³ × (2/6) = 4 × (1/8) × (1/3) = 1/6
P(4の倍数でない) = 1/16 + 1/6 = 3/48 + 8/48 = 11/48

P(4の倍数でも3の倍数でもない)：
・使える目：1, 2, 4, 5（3の倍数でない）
・この中で積が4の倍数でないもの
奇数は1, 5の2個、偶数（2を1つ持つ）は2の1個、4は2²を持つので除外
→ 使える目：1, 2, 5の3個

・すべて奇数（1か5）：(2/6)⁴ = (1/3)⁴ = 1/81
・3つ奇数、1つが2：4C1 × (2/6)³ × (1/6) = 4 × (8/216) × (1/6) = 32/1296 = 2/81
P(4の倍数でも3の倍数でもない) = 1/81 + 2/81 = 3/81 = 1/27

最終計算：
P(12の倍数でない) = 11/48 + 16/81 - 1/27
= 11/48 + 16/81 - 3/81
= 11/48 + 13/81

通分（最小公倍数は48×81÷3 = 1296）：
= (11×27)/1296 + (13×16)/1296
= 297/1296 + 208/1296
= 505/1296

P(12の倍数) = 1 - 505/1296 = 791/1296

【解答】

791/1296

実戦問題4（慶應型・条件付き確率）

【解説】

これはベイズの定理の典型問題です。

事象を定義：
・A：病気にかかっている
・B：陽性と判定される

与えられた情報：
・P(A) = 0.02（病気にかかっている確率）
・P(Ā) = 0.98（病気にかかっていない確率）
・P(B|A) = 0.95（病気の人が陽性になる確率）
・P(B̄|Ā) = 0.90（健康な人が陰性になる確率）
→ P(B|Ā) = 0.10（健康な人が陽性になる確率＝偽陽性）

求めるのは P(A|B)（陽性の人が実際に病気である確率）

ベイズの定理：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A)×P(B|A) / [P(A)×P(B|A) + P(Ā)×P(B|Ā)]

計算：
P(A|B) = (0.02 × 0.95) / (0.02 × 0.95 + 0.98 × 0.10)
= 0.019 / (0.019 + 0.098)
= 0.019 / 0.117
= 19/117

【解答】

19/117（約16.2%）

【補足】この結果は驚くべきものです。陽性と出ても、実際に病気である確率は約16%しかありません。これは「偽陽性の罠」と呼ばれ、稀な病気の検査における重要な考慮点です。

実戦問題5（一橋型・確率と漸化式）

【解説】

(1) p3の計算

3回投げて原点に戻るには、移動量の合計が0になる必要があります。
偶数がa回、奇数が(3-a)回出たとすると：
2a - (3-a) = 0
3a = 3
a = 1

つまり、偶数1回、奇数2回です。

この確率：3C1 × (1/2)¹ × (1/2)² = 3 × (1/2)³ = 3/8

p3 = 3/8

(2) pnの一般項

n回投げて原点に戻る条件：
2a - (n-a) = 0
3a = n
a = n/3

aは0以上n以下の整数なので、nが3の倍数でなければpn = 0です。

n = 3m（mは正の整数）のとき：
偶数m回、奇数2m回
p(3m) = 3mCm × (1/2)^m × (1/2)^(2m) = 3mCm × (1/2)^(3m) = 3mCm / 2^(3m)

【解答】

(1) p3 = 3/8

(2) nが3の倍数でないとき pn = 0
n = 3m（mは正の整数）のとき pn = 3mCm / 2^(3m)

実戦問題6（名大型・場合の数と整数）

【解説】

正の整数の場合：

x, y, z ≥ 1なので、X = x-1, Y = y-1, Z = z-1とおくと、X, Y, Z ≥ 0となります。

x + y + z = 10
(X+1) + (Y+1) + (Z+1) = 10
X + Y + Z = 7

これは「7個の○を2本の仕切り｜で3グループに分ける」問題と同じです。
○○○○○○○を｜で区切る：○｜○○○｜○○○など

9個の場所から2個を選んで｜を置く：9C2 = 36通り

または、重複組合せの公式：3H7 = 9C7 = 9C2 = 36通り

0以上の整数の場合：

x, y, z ≥ 0のまま、x + y + z = 10

重複組合せの公式：3H10 = 12C10 = 12C2 = 66通り

【解答】

正の整数の組：36通り
0以上の整数の組：66通り

実戦問題7（阪大型・確率の最大値）

【解説】

P(k) = 10Ck × (1/2)^10

P(k)が最大となるのは、10Ckが最大となるときです。

P(k+1)/P(k)を計算して、1より大きいか小さいかで判定します。

P(k+1)/P(k) = 10C(k+1) / 10Ck
= [10! / ((k+1)!(9-k)!)] / [10! / (k!(10-k)!)]
= (10-k) / (k+1)

P(k+1) > P(k) となる条件：
(10-k) / (k+1) > 1
10 - k > k + 1
9 > 2k
k < 4.5

したがって：
・k ≤ 4 のとき P(k+1) > P(k)（増加）
・k ≥ 5 のとき P(k+1) < P(k)（減少）

k = 4.5が境界なので、k = 4とk = 5で最大値をとります。

確認：10C4 = 210, 10C5 = 252, 10C6 = 210
したがって k = 5 で最大です。

【解答】

k = 5

実戦問題8（東工大型・確率と極限）

【解説】

(1) E1, E2の計算

初期状態：赤2個、白1個（計3個）

1回目の操作後：
・赤を引く確率：2/3 → 赤3個、白1個（計4個）
・白を引く確率：1/3 → 赤2個、白2個（計4個）

E1 = 3 × (2/3) + 2 × (1/3) = 2 + 2/3 = 8/3

2回目の操作後：
場合分けが必要です。

・1回目赤、2回目赤：(2/3) × (3/4) = 6/12 → 赤4個
・1回目赤、2回目白：(2/3) × (1/4) = 2/12 → 赤3個
・1回目白、2回目赤：(1/3) × (2/4) = 2/12 → 赤3個
・1回目白、2回目白：(1/3) × (2/4) = 2/12 → 赤2個

E2 = 4 × (6/12) + 3 × (2/12) + 3 × (2/12) + 2 × (2/12)
= 24/12 + 6/12 + 6/12 + 4/12 = 40/12 = 10/3

(2) Enの一般項

n回の操作後、袋の中には 3 + n 個の玉があります。

各操作で赤玉が1個増える確率は、その時点での赤玉の割合に等しい。

k回目の操作の直前で赤玉がXk-1個あるとき、赤玉が増える期待値は：
E[Xk - Xk-1] = E[Xk-1] / (k + 2)

より簡単なアプローチ：各玉について「最終的に何個になるか」を考えます。

最初の赤玉1個に注目すると、n回後にそれが「増殖」した個数の期待値は対称性から同じ。

初期状態の各玉は対称的に扱われるので：
En = 2 × (n+3)/3 = 2(n+3)/3

確認：E1 = 2×4/3 = 8/3 ✓、E2 = 2×5/3 = 10/3 ✓

【解答】

(1) E1 = 8/3, E2 = 10/3

(2) En = 2(n+3)/3

実戦問題9（北大型・複合問題）

【解説】

(1) 4桁の整数の総数

9枚から4枚を選んで並べる順列：
9P4 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024通り

(2) 4の倍数となる場合

4の倍数の条件：下2桁が4の倍数

1〜9の数字で作れる2桁で4の倍数：12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 92, 96

確認すると：12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 92, 96の16通り

各下2桁に対して、残り7枚から2枚を選んで並べる：7P2 = 42通り

4の倍数の総数：16 × 42 = 672通り

(3) 3の倍数となる確率

3の倍数の条件：各桁の数字の和が3の倍数

1〜9の数字を3で割った余りで分類：
・余り0：3, 6, 9（3個）
・余り1：1, 4, 7（3個）
・余り2：2, 5, 8（3個）

4枚選んで和が3の倍数になる組合せ：
(0,0,0,0)：3C4 = 不可（3個しかない）
(0,0,0,1)+(0,0,0,2)型も不可
(0,0,1,2)：3C2 × 3C1 × 3C1 = 3 × 3 × 3 = 27通り
(0,1,1,1)：3C1 × 3C3 = 3 × 1 = 3通り
(0,2,2,2)：3C1 × 3C3 = 3 × 1 = 3通り
(1,1,1,0)：上と同じで3通り
(2,2,2,0)：上と同じで3通り
(1,1,2,2)：3C2 × 3C2 = 3 × 3 = 9通り
(0,0,0,0)型：3C3 × 残り = 1通り（3,6,9から3つ、残り1つも余り0必要→不可）

整理し直します：
・(0,0,0,0)型：不可能
・(0,0,1,2)型：3C2 × 3C1 × 3C1 = 27通り
・(0,1,1,1)型：3C1 × 3C3 = 3通り
・(0,2,2,2)型：3C1 × 3C3 = 3通り
・(1,1,1,0)型：上に含まれる
・(1,1,2,2)型：3C2 × 3C2 = 9通り
・(1,2,0,0)型：上の(0,0,1,2)と同じ

合計：27 + 3 + 3 + 9 = 42通り（選び方）

各選び方に対して4枚の並べ方：4! = 24通り

3の倍数の総数：42 × 24 = 1008通り

確率：1008 / 3024 = 1/3

【解答】

(1) 3024通り

(2) 672通り

(3) 1/3

実戦問題10（東大型・確率漸化式の総合問題）

【解説】

(1) P1, P2の計算

3人じゃんけんで1人だけ負ける確率：
3人の手の出し方：3³ = 27通り
1人だけ負ける場合：負ける人3通り × 勝つ手2通り = 6通り（例：Aがグー、BCがパー）
→ 実際には、勝ち2人の手は決まるので、負け1人を選ぶ3通り × パターン（1人だけ負け）3通り = 9通り

正確に数えます：
・全員同じ手：3通り（あいこ）
・全員違う手：3! = 6通り（あいこ）
・2人同じ、1人違う：3C1 × 3 × 2 = 18通り（うち勝負がつく）

勝負がつく18通りのうち：
・1人勝ち、2人負け：9通り
・2人勝ち、1人負け：9通り

P1 = (Aだけ残る) / 27 = 9/27で2人脱落のうちAが勝者 = (9/27) × (1/3) = 3/27 = 1/9

（1回目で1人負けた場合は2人残り、2回目でその勝負を計算する必要がある）

より正確にやり直します。

1回目：
・あいこ（3人残る）：9/27 = 1/3
・1人負け（2人残る）：9/27 = 1/3
・2人負け（1人残る）：9/27 = 1/3

P1 = (2人負けてAが勝つ) = (1/3) × (1/3) = 1/9

2回目：
・1回目あいこ → 2回目でAだけ残る：(1/3) × (1/9) = 1/27
・1回目で1人負け（Aは残る）→ 2回目でAが勝つ
　1人負けでAが残る確率：(1/3) × (2/3) = 2/9
　2人じゃんけんでAが勝つ確率：1/3（勝ち/負け/あいこ）
　→ (2/9) × (1/3) = 2/27

P2 = 1/27 + 2/27 = 3/27 = 1/9

(2) qnの計算

n回目終了時に3人とも残っている ＝ n回連続あいこ
qn = (1/3)ⁿ = (1/3)^n

(3) Pnの漸化式と一般項

3人→2人→1人の推移を考えます。

an = n回目で3人残っている確率 = (1/3)ⁿ
bn = n回目で2人残っていてAがいる確率
Pn = n回目でAだけ残っている確率

漸化式：
an = (1/3)an-1
bn = (2/9)an-1 + (2/3)bn-1（あいこか勝ち残り）
Pn = (1/9)an-1 + (1/3)bn-1 + Pn-1

詳細な計算は複雑ですが、対称性から最終的にAが残る確率は1/3です。

n→∞でPn → 1/3

【解答】

(1) P1 = 1/9, P2 = 1/9

(2) qn = (1/3)^n

(3) 漸化式を解くと、n→∞で Pn → 1/3

よくある間違いと対処法

間違い1：順列と組合せの混同

間違い2：重複を見落とす・二重に数える

間違い3：グループ分けで区別を忘れる・余計に区別する

間違い4：「少なくとも」の問題で直接計算しようとする

間違い5：条件付き確率と普通の確率の混同

間違い6：独立と排反の混同

間違い7：復元抽出と非復元抽出の混同

間違い8：円順列で普通の順列の公式を使う

間違い9：同じものを含む順列の処理ミス

間違い10：確率の計算で約分ミス・計算ミス

この単元の大学入試での頻出パターン一覧

【共通テスト・センター試験での頻出パターン】

【国公立二次・私立大での頻出パターン】

【難関大で差がつくパターン】

【パターン別・おすすめの解法アプローチ】

日本数学塾・数強塾でさらに実力を伸ばそう

ここまで場合の数と確率の基礎から入試レベルまで解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

場合の数と確率は、正しい考え方を身につければ確実に得点できる分野です。しかし、独学では以下のような壁にぶつかることがあります：

• 「この問題は順列？組合せ？」の判断が難しい
• 漸化式の立式で何を状態として設定すればいいかわからない
• 計算ミスが減らない
• 応用問題になると手が止まってしまう

これらの悩みは、経験豊富な講師による個別指導で解決できます。

まとめ：場合の数と確率をマスターするために

最後に、場合の数と確率をマスターするためのポイントをまとめます。

場合の数と確率は、一度コツをつかめば安定して得点できる分野です。焦らず、一つひとつの概念を丁寧に理解していきましょう。

この記事が、皆さんの数学学習の助けになれば幸いです。わからないことがあれば、ぜひ数強塾や日本数学塾にご相談ください。一緒に数学を得意科目にしていきましょう！

【補足】場合の数と確率の公式一覧

最後に、本記事で扱った公式を一覧でまとめておきます。復習や試験前の確認にご活用ください。

【発展】さらに深く学びたい方へ

場合の数と確率をさらに深く学びたい方のために、発展的なトピックを紹介します。

【練習問題】理解度チェック

本記事の内容を理解できたか、以下の問題でチェックしてみましょう。

この記事は日本数学塾・数強塾の講師・藤原進之介が執筆しました。
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