奈良県立医科大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾・日本数学塾講師の藤原進之介です。

今回は、奈良県立医科大学 2017年度 数学の過去問を徹底解説していきます。奈良県立医科大学（通称「奈良医大」「奈県医」）は、西日本を代表する公立医科大学として知られ、その入試数学は高度な思考力と計算力を問う良問が揃っています。

2017年度の数学は、微分方程式、整数論、幾何学、確率など多岐にわたる分野から出題されており、医学部志望者にとって非常に良い練習題材となります。それでは、一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

試験形式

2017年度の難易度評価

2017年度の奈良県立医科大学数学は、全体として「やや難～難」レベルでした。特に後期日程では、微分方程式やペル方程式に関連する整数問題など、高度な数学的思考を要求する問題が出題されました。

難易度の特徴：

• 🔴 第1問（微分方程式）：難度B～C　※積分方程式の処理が鍵
• 🟡 第2問（整数・論証）：難度B　※ペル方程式の背景知識があると有利
• 🟡 第3問（幾何）：難度B　※円周と正n角形の性質を利用
• 🟢 第4問（確率）：難度A～B　※丁寧な場合分けが重要

奈良医大の数学は、単なる計算力だけでなく、論理的思考力と数学的発想力を重視しています。特に後期日程は受験者のレベルも高いため、差がつきやすい問題構成となっています。

合格に必要な得点目安

2017年度の合格最低点から逆算すると、数学では得点率60～70%を目標にしたいところです。ただし、他科目との兼ね合いもあるため、得意な受験生は75%以上を狙いましょう。

大問1：微分方程式（積分方程式）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、積分方程式から関数を決定する典型的な問題です。ポイントは、積分の変数と被積分関数の両方にxが含まれている点です。

【STEP 1】問題の構造を理解する

左辺の積分をよく見てみましょう：

∫₀ˣ eᵗ f(x-t) dt

ここで、積分区間の上端がxで、被積分関数にもf(x-t)という形でxが含まれています。このような場合、両辺をxで微分することで式を簡単にするのが定石です。

【STEP 2】置換積分で式を整理

まず、u = x - t と置換します。このとき：

• t = 0 のとき u = x
• t = x のとき u = 0
• dt = -du
• eᵗ = eˣ⁻ᵘ = eˣ · e⁻ᵘ

よって、左辺は：

∫₀ˣ eᵗ f(x-t) dt = ∫ₓ⁰ eˣ⁻ᵘ f(u) · (-du) = eˣ ∫₀ˣ e⁻ᵘ f(u) du

したがって、与式は：

eˣ ∫₀ˣ e⁻ᵘ f(u) du = f(x) - eˣ

【STEP 3】両辺をxで微分

G(x) = ∫₀ˣ e⁻ᵘ f(u) du とおくと、与式は：

eˣ G(x) = f(x) - eˣ

両辺をxで微分すると：

eˣ G(x) + eˣ G'(x) = f'(x) - eˣ

ここで、G'(x) = e⁻ˣ f(x) より：

eˣ G(x) + eˣ · e⁻ˣ f(x) = f'(x) - eˣ

eˣ G(x) + f(x) = f'(x) - eˣ

また、eˣ G(x) = f(x) - eˣ を代入すると：

(f(x) - eˣ) + f(x) = f'(x) - eˣ

2f(x) = f'(x)

【STEP 4】微分方程式を解く

f'(x) = 2f(x) は変数分離型の微分方程式です。

df/f = 2dx

ln|f| = 2x + C₁

f(x) = Ae²ˣ （A は定数）

【STEP 5】初期条件から定数を決定

元の式に x = 0 を代入すると：

∫₀⁰ eᵗ f(-t) dt = f(0) - e⁰

0 = f(0) - 1

f(0) = 1

f(x) = Ae²ˣ より、f(0) = A = 1

答：f(x) = e²ˣ

【検算】

念のため、f(x) = e²ˣ を元の式に代入して確認しましょう：

左辺 = ∫₀ˣ eᵗ · e²⁽ˣ⁻ᵗ⁾ dt = e²ˣ ∫₀ˣ e⁻ᵗ dt = e²ˣ [-e⁻ᵗ]₀ˣ = e²ˣ (1 - e⁻ˣ) = e²ˣ - eˣ

右辺 = f(x) - eˣ = e²ˣ - eˣ

確かに左辺 = 右辺 ✓

別解・発展

【別解：ライプニッツの積分公式を直接適用】

両辺を直接xで微分する方法もあります。積分の微分に関するライプニッツの公式：

d/dx ∫ₐ⁽ˣ⁾ᵇ⁽ˣ⁾ F(x,t) dt = F(x, b(x))·b'(x) - F(x, a(x))·a'(x) + ∫ₐ⁽ˣ⁾ᵇ⁽ˣ⁾ ∂F/∂x dt

を用いると、左辺の微分は：

d/dx ∫₀ˣ eᵗ f(x-t) dt = eˣ f(0) + ∫₀ˣ eᵗ f'(x-t) dt

この方法でも同じ結果に到達しますが、計算がやや複雑になります。

【発展：ラプラス変換による解法】

大学数学を先取りしている受験生であれば、ラプラス変換を使った解法も考えられます。畳み込み積分の性質を利用すると、より見通しの良い解法が得られますが、入試では上記の初等的な方法で十分です。

大問2：整数・論証（ペル方程式関連）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、ペル方程式（x² - Dy² = 1 の形の不定方程式）に関連する美しい整数論の問題です。√2 を含む数の「ノルム」の性質を調べていきます。

【(1) の解答】

z = a + b√2, w = c + d√2（a, b, c, d は整数）とおきます。

Step 1：積 zw を計算

zw = (a + b√2)(c + d√2) = ac + ad√2 + bc√2 + bd·2 = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2

Step 2：N(zw) を計算

N(zw) = (ac + 2bd)² - 2(ad + bc)²

展開すると：

= a²c² + 4abcd + 4b²d² - 2(a²d² + 2abcd + b²c²)

= a²c² + 4abcd + 4b²d² - 2a²d² - 4abcd - 2b²c²

= a²c² - 2a²d² - 2b²c² + 4b²d²

= a²(c² - 2d²) - 2b²(c² - 2d²)

= (a² - 2b²)(c² - 2d²)

= N(z)N(w)

∴ N(zw) = N(z)N(w) （証明完了）

【(2) の解答】

（十分性）N(z) = ±1 ⟹ 1/z ∈ S

z = a + b√2 のとき：

1/z = 1/(a + b√2) = (a - b√2)/((a + b√2)(a - b√2)) = (a - b√2)/(a² - 2b²) = (a - b√2)/N(z)

N(z) = ±1 のとき：

1/z = ±(a - b√2) = (±a) + (∓b)√2

±a, ∓b は整数なので、1/z ∈ S

（必要性）1/z ∈ S ⟹ N(z) = ±1

z ∈ S かつ 1/z ∈ S とする。

(1) より、N(z · 1/z) = N(z)N(1/z)

N(1) = 1² - 2·0² = 1 より、N(z)N(1/z) = 1

1/z = c + d√2（c, d は整数）とすると、N(1/z) = c² - 2d² は整数。

N(z) も整数であり、N(z)N(1/z) = 1 を満たすので：

N(z) = ±1 かつ N(1/z) = ±1

∴ 1/z ∈ S ⟺ N(z) = ±1 （証明完了）

【(3) の解答】

a² - 2b² = 1 を満たす正の整数の組 (a, b) を求めます。

Step 1：小さい値から探索

• b = 1：a² = 1 + 2 = 3 → a は整数でない
• b = 2：a² = 1 + 8 = 9 → a = 3 ✓
• b = 3：a² = 1 + 18 = 19 → a は整数でない
• b = 4：a² = 1 + 32 = 33 → a は整数でない
• b = 5：a² = 1 + 50 = 51 → a は整数でない

最小の正の整数解は (a, b) = (3, 2) です。

Step 2：解の生成

z₁ = 3 + 2√2 とおくと、N(z₁) = 9 - 8 = 1

(1) の結果より、zₙ = z₁ⁿ = aₙ + bₙ√2 とすると：

N(zₙ) = N(z₁)ⁿ = 1ⁿ = 1

つまり、aₙ² - 2bₙ² = 1 を満たします。

Step 3：具体的に計算

• z₁ = 3 + 2√2 → (a₁, b₁) = (3, 2)
• z₂ = z₁² = (3 + 2√2)² = 9 + 12√2 + 8 = 17 + 12√2 → (a₂, b₂) = (17, 12)
• z₃ = z₁³ = z₂ · z₁ = (17 + 12√2)(3 + 2√2) = 51 + 34√2 + 36√2 + 48 = 99 + 70√2 → (a₃, b₃) = (99, 70)

Step 4：すべての解を表現

逆に、すべての正の整数解が z₁ⁿ の形で得られることを示します。

a² - 2b² = 1 を満たす正の整数解 (a, b) に対し、z = a + b√2 > 1 とします。

ある n が存在して z₁ⁿ ≤ z < z₁ⁿ⁺¹ が成り立ちます。

w = z/z₁ⁿ とおくと、1 ≤ w < z₁ = 3 + 2√2

また、(2) より 1/z₁ ∈ S なので、w = z · (1/z₁)ⁿ ∈ S

N(w) = N(z)/N(z₁)ⁿ = 1/1 = 1

w = c + d√2（c, d は整数）で c² - 2d² = 1 かつ 1 ≤ w < 3 + 2√2

w ≥ 1 かつ c² - 2d² = 1 より、c ≥ 1（∵ c² = 1 + 2d² ≥ 1）

また、w < 3 + 2√2 より、c + d√2 < 3 + 2√2

d ≥ 1 なら c < 3、つまり c ∈ {1, 2}

• c = 1：1 - 2d² = 1 より d = 0
• c = 2：4 - 2d² = 1 より d² = 3/2（整数でない）

d = 0 のとき w = 1、よって z = z₁ⁿ

答：(a, b) = (3, 2), (17, 12), (99, 70), ...
一般に、(aₙ, bₙ) は aₙ + bₙ√2 = (3 + 2√2)ⁿ で与えられる

別解・発展

【漸化式による表現】

解の列 {(aₙ, bₙ)} は以下の漸化式でも表せます：

aₙ₊₁ = 3aₙ + 4bₙ, bₙ₊₁ = 2aₙ + 3bₙ

これは、zₙ₊₁ = z₁ · zₙ を計算すれば得られます。

【発展：連分数との関係】

ペル方程式の解は、√2 の連分数展開と深い関係があります：

√2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ...)))

この連分数の収束分子・分母がペル方程式の解を与えます。これは整数論の美しい結果の一つです。

大問3：幾何（円周と正n角形）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、複素数平面を使うと美しく解けます。円周上の点と正n角形の頂点との距離の積という幾何学的な問題を、代数的に処理していきましょう。

【準備：複素数平面での設定】

半径1の円を複素数平面上の単位円とし、正n角形の頂点を 1 のn乗根で表します：

Pₖ = e^(2πi(k-1)/n) = ωᵏ⁻¹　（k = 1, 2, ..., n）

ここで ω = e^(2πi/n) です。

円周上の任意の点Qを Q = e^(iθ) とします。

【(1) の解答：L(Q)の最大値】

Step 1：L(Q)を複素数で表す

L(Q) = |Q - P₁| · |Q - P₂| · ... · |Q - Pₙ|

= |e^(iθ) - 1| · |e^(iθ) - ω| · |e^(iθ) - ω²| · ... · |e^(iθ) - ωⁿ⁻¹|

Step 2：多項式との関係

xⁿ - 1 = 0 の解は 1, ω, ω², ..., ωⁿ⁻¹ なので：

xⁿ - 1 = (x - 1)(x - ω)(x - ω²)...(x - ωⁿ⁻¹)

したがって：

|(e^(iθ))ⁿ - 1| = |e^(iθ) - 1| · |e^(iθ) - ω| · ... · |e^(iθ) - ωⁿ⁻¹|

L(Q) = |e^(inθ) - 1|

Step 3：最大値を求める

e^(inθ) は単位円上の点なので、|e^(inθ

Step 3：最大値を求める

e^(inθ) は単位円上の点なので、|e^(inθ) - 1| は単位円上の点と点1との距離です。

この距離が最大になるのは、e^(inθ) = -1 のとき、すなわち：

nθ = π + 2mπ （mは整数）

θ = (2m+1)π/n

このとき：

|e^(inθ) - 1| = |-1 - 1| = 2

答：L(Q)の最大値は 2

【(2) の解答：最大となるQの位置】

θ = (2m+1)π/n より、Q = e^(iθ) = e^(i(2m+1)π/n)

m = 0, 1, 2, ..., n-1 に対応するn個の点が存在しますが、これらは：

Q = e^(iπ/n), e^(3iπ/n), e^(5iπ/n), ..., e^(i(2n-1)π/n)

これらは、正n角形の各辺の中点に対応する円弧の中点です。

幾何学的に言い換えると：

答：L(Q)が最大となるQの位置は、正n角形の隣り合う2頂点を結ぶ弧の中点である。
このような点はn個存在する。

別解・発展

【別解：対称性を用いた直感的理解】

Qが正n角形の頂点と一致するとき、|QPₖ| = 0 となる項があるためL(Q) = 0です。

一方、Qが頂点から最も離れた位置、すなわち隣接する頂点間の弧の中点にあるとき、各頂点との距離のバランスが最も良くなり、積が最大になると予想できます。

この直感は、複素数平面での計算によって厳密に証明されました。

【発展：一般の場合】

半径Rの円に内接する正n角形の場合、L(Q)の最大値は 2Rⁿ となります。これはスケーリングの性質から導けます。

大問4：確率（石の操作）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、条件付き確率と場合分けが重要なポイントです。袋の中身のパターンを整理して考えましょう。

【準備：袋の中身のパターン】

黒石4個、白石4個を4つの袋に2個ずつ入れるパターンを考えます。袋の中身は以下の3種類：

• タイプA：黒2個（BB）
• タイプB：黒1個・白1個（BW）
• タイプC：白2個（WW）

可能な組み合わせとその確率を求めます。

8個の石を4つの袋に2個ずつ入れる方法の総数：

₈C₂ × ₆C₂ × ₄C₂ × ₂C₂ / 4! = 28 × 15 × 6 × 1 / 24 = 105

パターン①：BB, BB, WW, WW（A2個、C2個）

黒4個から2個ずつ2袋：₄C₂ × ₂C₂ / 2! = 3

白4個から2個ずつ2袋：₄C₂ × ₂C₂ / 2! = 3

組み合わせ数：3 × 3 = 9、確率：9/105 = 3/35

パターン②：BB, BW, BW, WW（A1個、B2個、C1個）

組み合わせ数：₄C₂ × ₂C₁ × ₂C₁ × ₂C₂ × (1/2!) = 6 × 2 × 2 × 1 × (1/2) × 4!/（1!2!1!）= 72

確率：72/105 = 24/35

パターン③：BW, BW, BW, BW（B4個）

黒4個と白4個をペアにする：4! = 24

袋の区別をなくす：24/4! = 1... ではなく、各袋にBWが入る場合を数えます。

組み合わせ数：4! = 24、確率：24/105 = 8/35

検算：3/35 + 24/35 + 8/35 = 35/35 = 1 ✓

【(1) の解答：黒石を取り出す確率】

対称性より、黒石4個・白石4個なので：

【ア】= 1/2

（別解として、各パターンで計算しても同じ結果になります）

【(2) の解答：2回とも黒石を取り出す確率】

各パターンについて計算します。

パターン①（確率3/35）：BB, BB, WW, WW

• 同じBB袋から2回：(2/4) × (2/2) × (2/4) × (2/2) = (1/2) × 1 × (1/2) × 1 = 1/4... ではなく
• 1回目にBB袋を選ぶ確率：2/4 = 1/2、黒を引く確率：1
• 2回目にBB袋を選ぶ確率：2/4 = 1/2、黒を引く確率：1
• 2回とも黒：(1/2 × 1) × (1/2 × 1) = 1/4

パターン②（確率24/35）：BB, BW, BW, WW

• BB袋から黒：1/4 × 1 = 1/4
• BW袋から黒：2/4 × 1/2 = 1/4
• 1回で黒を引く確率：1/4 + 1/4 = 1/2
• 2回とも黒：(1/2)² = 1/4

パターン③（確率8/35）：BW, BW, BW, BW

• どの袋からも黒を引く確率：1/2
• 2回とも黒：(1/2)² = 1/4

全体の確率：

(3/35) × (1/4) + (24/35) × (1/4) + (8/35) × (1/4) = (1/4) × (35/35) = 1/4

【イ】= 1/4

【(3) の解答：1回目に黒、2回目に白を取り出す確率】

対称性より、(1回目黒, 2回目白) と (1回目白, 2回目黒) の確率は等しく、

また、(1回目黒, 2回目黒) と (1回目白, 2回目白) の確率も等しい。

4つの事象は：BB, BW, WB, WW

P(BB) = P(WW) = 1/4（上で計算）

P(BW) = P(WB)

全確率：P(BB) + P(BW) + P(WB) + P(WW) = 1

1/4 + 2P(BW) + 1/4 = 1

P(BW) = 1/4

【ウ】= 1/4

【(4) の解答：条件付き確率】

「2回とも黒石を取り出した」という条件のもとで、「2回とも同じ袋から取り出した」確率を求めます。

パターン①（条件付き確率の計算）：BB, BB, WW, WW

このパターンが起こる確率：3/35

2回とも黒を引く確率：1/4

このうち同じ袋から引く確率：

• 同じBB袋を2回選ぶ確率：2 × (1/4)² = 2/16 = 1/8
• 2回とも黒かつ同じ袋：1/8（BB袋は必ず黒なので）

パターン②（条件付き確率の計算）：BB, BW, BW, WW

このパターンが起こる確率：24/35

2回とも黒を引く確率：1/4

このうち同じ袋から黒を2回引く確率：

• BB袋を2回選んで黒2回：(1/4)² × 1 = 1/16
• 同じBW袋を2回選んで黒2回：2 × (1/4)² × (1/2)² = 2 × 1/16 × 1/4 = 1/32
• 合計：1/16 + 1/32 = 3/32

パターン③（条件付き確率の計算）：BW, BW, BW, BW

このパターンが起こる確率：8/35

2回とも黒を引く確率：1/4

このうち同じ袋から黒を2回引く確率：

• 同じBW袋を2回選んで黒2回：4 × (1/4)² × (1/2)² = 4 × 1/64 = 1/16

条件付き確率の計算

P(2回とも黒 かつ 同じ袋) = (3/35)(1/8) + (24/35)(3/32) + (8/35)(1/16)

= 3/(35×8) + 72/(35×32) + 8/(35×16)

= 12/(35×32) + 72/(35×32) + 16/(35×32)

= 100/(35×32) = 100/1120 = 5/56

P(2回とも黒) = 1/4 = 14/56

条件付き確率 = (5/56) / (14/56) = 5/14

【エ】= 5/14

別解・発展

【別解：直接的なアプローチ】

袋の中身の構成を考えずに、8個の石それぞれに番号をつけて直接計算する方法もあります。ただし、計算量は増えます。

【発展：一般化】

黒石n個、白石n個をn個の袋に2個ずつ入れる場合の一般化は、組合せ論の良い練習問題となります。

この年度の重要テーマと対策

2017年度の出題傾向分析

2017年度の奈良県立医科大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

奈良医大数学の特徴

1. 論証力の重視：単なる計算だけでなく、「なぜそうなるか」を説明する力が求められます。
2. 複合問題の多さ：複数の分野にまたがる融合問題が出題されます。
3. 発展的内容：高校範囲を超えた背景（ペル方程式、ラプラス変換など）を持つ問題が出題されることがあります。
4. 計算力：複素数や行列式の計算など、正確な計算力が必要です。

効果的な対策法

【基礎固め（高2～高3前半）】

• 教科書の章末問題を完璧にする
• 青チャートのレベル3までを繰り返し演習
• 計算ミスをなくす訓練（毎日10分の計算練習）

【実力養成（高3夏～秋）】

• 「1対1対応の演習」で典型問題をマスター
• 「新数学演習」で応用力を養成
• 過去問演習（奈良医大10年分＋類題大学5年分）

【直前期（高3冬）】

• 過去問の時間を計った演習（本番と同じ時間配分）
• 弱点分野の集中補強
• 計算練習の継続

特に注意すべきポイント

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：積分方程式

【解答・解説】

Step 1：与式を整理

f(x) = x + x∫₀ˣ f(t) dt - ∫₀ˣ tf(t) dt

Step 2：G(x) = ∫₀ˣ f(t) dt, H(x) = ∫₀ˣ tf(t) dt とおく

f(x) = x + xG(x) - H(x)

Step 3：両辺をxで微分

f'(x) = 1 + G(x) + xG'(x) - H'(x)

= 1 + G(x) + xf(x) - xf(x)

= 1 + G(x)

Step 4：もう一度微分

f''(x) = G'(x) = f(x)

Step 5：微分方程式 f''(x) = f(x) を解く

特性方程式：λ² = 1 より λ = ±1

一般解：f(x) = Aeˣ + Be⁻ˣ

Step 6：初期条件

x = 0 を代入：f(0) = 0 より A + B = 0

f'(x) = Aeˣ - Be⁻ˣ、f'(0) = 1 + G(0) = 1 + 0 = 1

A - B = 1

連立方程式を解いて：A = 1/2, B = -1/2

答：f(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/2 = sinh(x)

練習問題2：整数問題

【解答・解説】

Step 1：最小解を探す

• b = 1：a² = 4 → a = 2 ✓

最小解：(a, b) = (2, 1)

Step 2：z₁ = 2 + √3 とおくと、N(z₁) = 4 - 3 = 1

Step 3：解の生成

• z₁ = 2 + √3 → (2, 1)
• z₂ = z₁² = (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3 → (7, 4)
• z₃ = z₁³ = z₂ · z₁ = (7 + 4√3)(2 + √3) = 14 + 7√3 + 8√3 + 12 = 26 + 15√3 → (26, 15)

答：(a, b) = (2, 1), (7, 4), (26, 15)

練習問題3：条件付き確率

【解答・解説】

(1) の解答

箱Aを選ぶ確率：1/2

箱Aから赤玉2個を取り出す確率：₃C₂/₅C₂ = 3/10

箱Bを選ぶ確率：1/2

箱Bから赤玉2個を取り出す確率：₂C₂/₅C₂ = 1/10

P(赤玉2個) = (1/2)(3/10) + (1/2)(1/10) = 3/20 + 1/20 = 4/20 = 1/5

(2) の解答

P(箱A かつ 赤玉2個) = (1/2)(3/10) = 3/20

P(赤玉2個) = 1/5 = 4/20

条件付き確率 = (3/20)/(4/20) = 3/4

答：(1) 1/5　(2) 3/4

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奈良県立医科大学の数学は、高度な思考力と確実な計算力の両方が求められます。独学では対策が難しい分野も多く、特に微分方程式や整数論、複素数平面を使った

奈良県立医科大学の数学は、高度な思考力と確実な計算力の両方が求められます。独学では対策が難しい分野も多く、特に微分方程式や整数論、複素数平面を使った幾何の問題は、適切な指導のもとで体系的に学ぶことが効果的です。

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よくあるご質問

最後に：藤原先生からのメッセージ

まとめ：2017年度 奈良県立医科大学 数学のポイント

📝 この記事のまとめ

• 2017年度は微分方程式、整数論、複素数平面、確率が出題された
• 積分方程式は「置換→微分」の手順が定石
• ペル方程式は「最小解から全ての解を生成」がポイント
• 複素数平面では、正n角形をn乗根で表現する技法が有効
• 条件付き確率は「場合分け」を丁寧に行うことが重要
• 奈良医大合格には、数強塾・日本数学塾での体系的な学習がおすすめ

※ この記事は2017年度の奈良県立医科大学入試問題をもとに作成しています。
最新の入試情報は、必ず大学公式サイトでご確認ください。