名古屋市立大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

したがって、f(x) は x = a で極値を取らない（単調増加関数）。

答え：f(x) は極値を持たない

（2）0 ≤ x ≤ 2a における最大値と最小値

(1) より f(x) は単調増加なので：

最小値：x = 0 のとき

f(0) = 0³ - 3a×0² + 3a²×0 = 0

最大値：x = 2a のとき

f(2a) = (2a)³ - 3a(2a)² + 3a²(2a)

= 8a³ - 12a³ + 6a³

= 2a³

（3）曲線と x 軸で囲まれた部分の面積

まず、f(x) = 0 の解を求めます：

x³ - 3ax² + 3a²x = 0

x(x² - 3ax + 3a²) = 0

x = 0 または x² - 3ax + 3a² = 0

2次方程式の判別式：D = 9a² - 12a² = -3a² < 0

したがって、実数解は x = 0 のみです。

f(x) は単調増加で f(0) = 0 なので：

• x < 0 のとき f(x) < 0
• x > 0 のとき f(x) > 0

曲線と x 軸で囲まれた部分は、x < 0 の領域にあります。

問題の解釈によりますが、典型的には適切な範囲での面積を求めます。例えば、x = -a から x = 0 の範囲での面積を考えると：

S = -∫₍₋ₐ₎⁰ f(x) dx = -[x⁴/4 - ax³ + (3a²/2)x²]₍₋ₐ₎⁰

計算を進めると：

= -[0 - (a⁴/4 + a⁴ + 3a⁴/2)]

= a⁴/4 + a⁴ + 3a⁴/2 = (11/4)a⁴

別解・発展

【発展：3次関数の対称性】

一般に、3次関数 y = ax³ + bx² + cx + d の変曲点は (-b/3a, f(-b/3a)) にあり、グラフはこの点に関して点対称です。

本問では f''(x) = 6x - 6a = 0 より x = a が変曲点。f(a) = a³ - 3a³ + 3a³ = a³ なので、変曲点は (a, a³) です。

大問3：行列と漸化式（旧課程）

問題

解説・解法のポイント

※注意：この問題は2012年当時の旧課程（数学C）の内容です。現行課程では行列は高校数学の範囲外ですが、対称式・漸化式の観点からは現行課程でも重要な考え方です。

（1）A² を求める

A² = [2, 1; 1, 2] × [2, 1; 1, 2]

= [2×2+1×1, 2×1+1×2; 1×2+2×1, 1×1+2×2]

= [5, 4; 4, 5]

（2）固有値と固有ベクトル

固有方程式 |A - λE| = 0 を解きます：

|2-λ, 1; 1, 2-λ| = (2-λ)² - 1 = 0

λ² - 4λ + 3 = 0

(λ - 1)(λ - 3) = 0

固有値：λ = 1, 3

λ = 1 のとき：

(A - E)x = 0 より [1, 1; 1, 1][x; y] = 0

x + y = 0 より、固有ベクトル：[1; -1]（の定数倍）

λ = 3 のとき：

(A - 3E)x = 0 より [-1, 1; 1, -1][x; y] = 0

-x + y = 0 より、固有ベクトル：[1; 1]（の定数倍）

（3）Aⁿ を求める

対角化を用います。P = [1, 1; -1, 1] とおくと：

P⁻¹AP = [1, 0; 0, 3]

P⁻¹ = (1/2)[1, -1; 1, 1] より：

A = P[1, 0; 0, 3]P⁻¹

Aⁿ = P[1ⁿ, 0; 0, 3ⁿ]P⁻¹ = P[1, 0; 0, 3ⁿ]P⁻¹

計算すると：

Aⁿ = (1/2)[(1+3ⁿ), (3ⁿ-1); (3ⁿ-1), (1+3ⁿ)]

（4）aₙ, bₙ を求める

漸化式を行列で表すと：

[aₙ₊₁; bₙ₊₁] = A[aₙ; bₙ]

よって：

[aₙ; bₙ] = Aⁿ⁻¹[a₁; b₁] = Aⁿ⁻¹[1; 0]

(3) の結果を用いて：

[aₙ; bₙ] = (1/2)[(1+3ⁿ⁻¹), (3ⁿ⁻¹-1); (3ⁿ⁻¹-1), (1+3ⁿ⁻¹)][1; 0]

= (1/2)[(1+3ⁿ⁻¹); (3ⁿ⁻¹-1)]

答え：

aₙ = (1 + 3ⁿ⁻¹)/2

bₙ = (3ⁿ⁻¹ - 1)/2

別解・発展

【別解：連立漸化式を直接解く方法】

aₙ₊₁ + bₙ₊₁ = 3(aₙ + bₙ) より、cₙ = aₙ + bₙ とおくと cₙ = 3ⁿ⁻¹c₁ = 3ⁿ⁻¹

aₙ₊₁ - bₙ₊₁ = aₙ - bₙ より、dₙ = aₙ - bₙ は定数で dₙ = d₁ = 1

したがって：

aₙ + bₙ = 3ⁿ⁻¹,   aₙ - bₙ = 1

これを解いて：

aₙ = (3ⁿ⁻¹ + 1)/2,   bₙ = (3ⁿ⁻¹ - 1)/2

大問4：積分と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

（1）共有点の座標

e^x = ex を解きます。

f(x) = e^x - ex とおくと：

f'(x) = e^x - e

f'(x) = 0 となるのは e^x = e、つまり x = 1 のとき。

f(1) = e - e = 0 なので、x = 1 は接点です。

実際、直線 y = ex は曲線 y = e^x の x = 1 における接線です：

• 接点：(1, e)
• 傾き：e^1 = e
• 接線の方程式：y - e = e(x - 1)、つまり y = ex

接線と曲線は接点でのみ交わるので、共有点は (1, e) のみです。

ただし、問題文で「囲まれた部分」とあるため、もう一つの境界条件を考える必要があります。典型的には x = 0 や原点を通るなどの条件が与えられます。

ここでは、x = 0 と x = 1 の間で囲まれた部分を考えます。

x = 0 のとき：C 上の点 (0, 1)、ℓ 上の点 (0, 0)

x = 1 のとき：共有点 (1, e)

（2）面積 S を求める

0 ≤ x ≤ 1 において、e^x ≥ ex（等号は x = 1 のみ）を確認します。

x = 0 のとき：e^0 = 1 > 0 = e × 0 ✓

x = 0.5 のとき：e^0.5 ≈ 1.65 > 0.5e ≈ 1.36 ✓

面積は：

S = ∫₀¹ (e^x - ex) dx

= [e^x - (e/2)x²]₀¹

= (e - e/2) - (1 - 0)

= e/2 - 1

= (e - 2)/2

（3）回転体の体積 V

x 軸まわりの回転体の体積は：

V = π∫₀¹ {(e^x)² - (ex)²} dx

= π∫₀¹ (e^{2x} - e²x²) dx

各項を積分します：

∫e^{2x} dx = (1/2)e^{2x}

∫e²x² dx = e² · (x³/3)

したがって：

V = π[(1/2)e^{2x} - (e²/3)x³]₀¹

= π{(1/2)e² - e²/3 - 1/2}

= π{(e²/6) - 1/2}

= π(e² - 3)/6

別解・発展

【別解：置換積分による面積計算】

y = e^x より x = ln y として、y 軸方向に積分する方法もあります：

S = ∫₁ᵉ (y/e - ln y) dy

これを計算しても同じ結果 (e-2)/2 が得られます。

【発展：一般の接線と指数関数】

曲線 y = e^x 上の点 (a, e^a) における接線は y = e^a(x - a + 1) です。この接線と曲線で囲まれる面積は、接点の位置によらず一定値を取るという興味深い性質があります（実際には、適切な範囲を設定する必要がありますが）。

大問5：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

（1）p₁, p₂ を求める

p₁ について：

S₁ = X₁ が3の倍数となるのは、X₁ = 3 または X₁ = 6 のとき。

p₁ = 2/6 = 1/3

p₂ について：

S₂ = X₁ + X₂ が3の倍数となる場合を数えます。

X₁ を3で割った余りで場合分けします：

• X₁ ≡ 0 (mod 3)：X₁ = 3, 6（確率 2/6 = 1/3）→ X₂ ≡ 0 が必要（確率 1/3）
• X₁ ≡ 1 (mod 3)：X₁ = 1, 4（確率 2/6 = 1/3）→ X₂ ≡ 2 が必要（確率 1/3）
• X₁ ≡ 2 (mod 3)：X₁ = 2, 5（確率 2/6 = 1/3）→ X₂ ≡ 1 が必要（確率 1/3）

p₂ = (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) = 1/3

（2）pₙ₊₁ を pₙ で表す

Sₙ を3で割った余りによる状態を考えます：

• 状態0：Sₙ ≡ 0 (mod 3)... 確率 pₙ
• 状態1：Sₙ ≡ 1 (mod 3)... 確率 qₙ
• 状態2：Sₙ ≡ 2 (mod 3)... 確率 rₙ

対称性より qₙ = rₙ = (1 - pₙ)/2

Sₙ₊₁ ≡ 0 (mod 3) となるのは：

• Sₙ ≡ 0 かつ Xₙ₊₁ ≡ 0：確率 pₙ × (1/3)
• Sₙ ≡ 1 かつ Xₙ₊₁ ≡ 2：確率 qₙ × (1/3)
• Sₙ ≡ 2 かつ Xₙ₊₁ ≡ 1：確率 rₙ × (1/3)

pₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (1/3)qₙ + (1/3)rₙ

= (1/3)pₙ + (1/3) · (1 - pₙ)/2 + (1/3) · (1 - pₙ)/2

= (1/3)pₙ + (1/3)(1 - pₙ)

= (1/3)pₙ + 1/3 - (1/3)pₙ

あれ？これだと pₙ₊₁ = 1/3 で定数になってしまいます。

実際、対称性から pₙ = 1/3（n ≥ 1 で一定）であることがわかります。

（3）（4）pₙ と極限

上記の考察より：

pₙ = 1/3（n ≥ 1 で定数）

lim_{n→∞} pₙ = 1/3

別解・発展

【別解：一般化した場合】

もし、さいころの目が3で割った余りについて非対称な場合（例：1〜4の目が出るさいころ）は、漸化式がより複雑になります。

例えば、余り0：1個（目=3）、余り1：2個（目=1,4）、余り2：1個（目=2）の場合：

遷移確率が異なるため、pₙ は n に依存する形になり、本格的な漸化式を解く必要があります。

この年度の重要テーマと対策

2012年度に見られた重要テーマ

2012年度の名古屋市立大学数学では、以下のテーマが特に重要でした：

1. 対称式の扱い

3文字の基本対称式（σ₁, σ₂, σ₃）を用いて、べき乗の和（Pₙ = aⁿ + bⁿ + cⁿ）を求める問題は、名市大に限らず多くの大学で頻出です。

対策：

• 基本対称式の定義を完璧に覚える
• P₁, P₂, P₃ の公式を導出できるようにする
• ニュートンの恒等式（漸化式）を使いこなす
• 類題を10問以上解いて、パターンを体に染み込ませる

2. 微分法と関数の性質

3次関数の極値、最大・最小、グラフの概形は基本中の基本です。特に「f'(x) = 0 でも極値を取らない場合」の理解が重要です。

対策：

• f'(x) の符号変化と極値の関係を正確に理解する
• 3次関数の変曲点と対称性を利用した解法を習得する
• 文字定数を含む関数の場合分けに慣れる

3. 積分計算と面積・体積

指数関数 e^x を含む積分は、名市大で頻出です。特に接線との組み合わせ問題は定番です。

対策：

• e^x, e^{ax} の積分を確実に
• 回転体の体積公式（π∫y² dx）を使いこなす
• 計算ミスを防ぐため、途中式を丁寧に書く習慣をつける

4. 確率と漸化式の融合

状態遷移を考える確率漸化式は、難関大学では必須テーマです。

対策：

• 「状態」を適切に定義する練習をする
• 遷移確率を表にまとめる習慣をつける
• 対称性を見抜いて計算を簡略化する
• 極限値の直感的な意味を考える

名古屋市立大学 数学の傾向と対策（総括）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2012年度の問題で扱われたテーマの理解を深めるため、類似問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！

練習問題1：対称式（基本〜標準）

解答・解説

(1) α² + β² + γ²

公式：α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)

= 3² - 2 × 2 = 9 - 4 = 5

(2) α³ + β³ + γ³

公式：α³ + β³ + γ³ - 3αβγ = (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα)

α³ + β³ + γ³ = (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα) + 3αβγ

= 3 × (5 - 2) + 3 × (-2)

= 3 × 3 - 6 = 9 - 6 = 3

(3) (α-1)(β-1)(γ-1)

展開すると：

(α-1)(β-1)(γ-1) = αβγ - (αβ + βγ + γα) + (α + β + γ) - 1

= -2 - 2 + 3 - 1 = -2

練習問題2：微分と最大・最小（標準）

解答・解説

(1) 極値

f'(x) = 4x³ - 12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)

f'(x) = 0 となるのは x = 0, 1, 2

増減表を作成：

極値を計算：

• f(0) = 0（極小値）
• f(1) = 1 - 4 + 4 = 1（極大値）
• f(2) = 16 - 32 + 16 = 0（極小値）

答え：x = 0, 2 で極小値 0、x = 1 で極大値 1

(2) 最大値・最小値

端点での値：

• f(-1) = 1 + 4 + 4 = 9
• f(3) = 81 - 108 + 36 = 9

区間内の極値と端点の値を比較：

• 最大値：f(-1) = f(3) = 9
• 最小値：f(0) = f(2) = 0

(3) 異なる4つの実数解を持つ k の範囲

y = f(x) のグラフと直線 y = k が4点で交わる条件を考えます。

(1) より、f(x) は x = 0, 2 で極小値 0、x = 1 で極大値 1 を取るW字型のグラフです。

4つの交点を持つには、極小値 < k < 極大値 であればよいので：

0 < k < 1

練習問題3：確率と漸化式（標準〜やや難）

解答・解説

(1) ちょうど2回でゲーム終了

初期状態：A が3点、B が0点

ゲームがちょうど2回で終了するには、B が2連勝して B の得点が2点、A の得点が1点になる...いや、これではゲームは終了しません。

条件を確認すると、「どちらかの得点が0点以下」で終了なので：

• A が0点以下になる → A の負け
• B が0点以下になる → B の負け（ただし B は最初0点なので、1回でも負けると終了）

待ってください。B は最初0点なので、1回目で A が勝つと B は-1点となり、即座にゲーム終了です。

したがって、ちょうど2回でゲームが終了するのは：

• 1回目：あいこ、2回目：A の勝ち（B が-1点で終了）
• 1回目：あいこ、2回目：B の勝ち...これでは B が1点、A が2点でまだ終了しない

1回目に B が勝つと B が1点、A が2点。2回目に A が勝つと B が0点で終了。

整理すると、ちょうど2回で終了するパターン：

1. 1回目あいこ → 2回目 A 勝ち：確率 (1/3) × (1/3) = 1/9
2. 1回目 B 勝ち → 2回目 A 勝ち：確率 (1/3) × (1/3) = 1/9

P = 1/9 + 1/9 = 2/9

(2) P(3, 2) を求める

3回目終了時に A が2点である確率を求めます。ただし、途中でゲーム終了していないことが条件です。

A の得点の推移を追跡します（初期値3点）：

3回後に A が2点 → 合計で1点減少 → 勝ち数 - 負け数 = -1

3回のじゃんけんで、勝ち・負け・あいこの組み合わせを考えます。

勝ち数を w、負け数を l、あいこ数を d とすると：

• w + l + d = 3
• w - l = -1（つまり l = w + 1）

可能な組み合わせ：

• w = 0, l = 1, d = 2：(0勝1敗2分)
• w = 1, l = 2, d = 0：(1勝2敗0分)

ただし、途中で B の得点が0以下になってはいけません。

パターン1：0勝1敗2分

A が1回負け、2回あいこ。B の得点推移：0 → ...

A が負ける = B が勝つ → B の得点が+1

B の得点は最大1点で、0以下にならないのでOK。

順番の組み合わせ：₃C₁ = 3通り（どこで負けるか）

確率：3 × (1/3)¹ × (1/3)² = 3 × (1/27) = 1/9

パターン2：1勝2敗0分

途中経過を確認する必要があります。

B の得点推移：A勝ちで-1、A負けで+1

• 勝→負→負：B得点 -1（1回目で終了）→ 不可
• 負→勝→負：B得点 1→0→1 → OK（B が0点にならない）→ 不可（0点で終了）
• 負→負→勝：B得点 1→2→1 → OK

実は、A が勝つと B の得点が減り、最初 B は0点なので、1回目に A が勝つと即終了です。

また、B の得点が0点になった時点で終了なので、「負→勝→負」は2回目終了時に B が0点で終了。

したがって、パターン2で有効なのは「負→負→勝」のみ：

確率：(1/3)³ = 1/27

合計：

P(3, 2) = 1/9 + 1/27 = 3/27 + 1/27 = 4/27

(3) ゲームが終了する確率

この問題は、実は確率1で必ず終了します。

理由：あいこの確率は1/3で、勝敗がつく確率は2/3です。無限回じゃんけんを続ければ、いつかは必ず勝敗がつき、得点が変動します。A と B の得点の合計は常に3点（保存量）なので、有限の状態数しかなく、確率1でどちらかが0点以下になります。

より厳密には、A が先に0点以下になる確率と、B が先に0点以下になる確率の和が1です。

この問題では B の初期得点が0点なので、A が1回でも勝てば B の負けとなります。

ゲームが永遠に続く確率は0なので：

ゲームが終了する確率 = 1

2012年度の学習を終えて：合格に向けたアドバイス

この年度から学ぶべきこと

2012年度の名古屋市立大学数学を通じて、以下のことを学んでいただけたと思います：

1. 基本を完璧に：対称式、微分の増減表、積分計算など、基本事項の正確な理解が合否を分けます。
2. 計算力の重要性：名市大は計算量がやや多い傾向にあります。日頃から手を動かして計算練習をしましょう。
3. 対称性・パターンを見抜く力：確率の問題で対称性に気づけば計算が大幅に簡略化されます。
4. 時間配分の戦略：全問完答を目指すよりも、解ける問題を確実に得点することが重要です。

おすすめの学習プラン

日本数学塾・数強塾で名古屋市立大学合格を目指そう

ここまで、2012年度の名古屋市立大学数学を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

「解説を読めば理解できるけど、自分で解けるようになるか不安...」
「計算ミスが多くて、本番で力を発揮できるか心配...」
「医学部志望だけど、数学の点数が伸び悩んでいる...」