【秋田大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

はじめに：秋田大学医学部 数学の全体像

こんにちは、日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

秋田大学医学部を志望する皆さん、数学対策は順調に進んでいますか？

秋田大学医学部は、戦後初の新設医学部として1970年に創設された歴史ある医学部です。東北地方の医療を支える人材を輩出し続けており、地域医療に貢献したいという志を持つ受験生から根強い人気を誇っています。

秋田大学医学部の入試において、数学は合否を大きく左右する重要科目です。共通テスト重視型の配点構造を持ちながらも、二次試験の数学で確実に得点することが合格への鍵となります。

本記事では、私・藤原進之介が長年の指導経験と過去問分析から得た知見をもとに、秋田大学医学部の数学について徹底的に解説していきます。出題傾向、分野別対策、実践的な練習問題、年間学習ロードマップまで、合格に必要なすべての情報を網羅しています。

この記事を読み終える頃には、秋田大学医学部の数学対策について明確なビジョンを持ち、自信を持って学習を進められるようになるでしょう。ぜひ最後までお付き合いください。

出題傾向の徹底分析

試験形式・時間・配点

まず、秋田大学医学部医学科の入試における数学の位置づけを正確に把握しましょう。

【前期日程】試験概要

項目	詳細
試験時間	90分
配点	200点（二次試験400点中）
出題形式	記述式
大問数	4問
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C

【配点構造の特徴】

秋田大学医学部医学科の入試配点は以下の通りです：

区分	科目	配点
共通テスト（600点）	英語	100点
	国語	100点
	数学	100点
	理科（2科目）	200点
	地歴・公民	50点
	情報	50点
二次試験（400点）	数学	200点
	英語	100点
	面接	100点
合計		1000点

重要ポイント：共通テストと二次試験の比率は6:4です。共通テスト重視型ではありますが、二次試験400点のうち数学が200点（50%）を占めており、数学の出来が合否を決めると言っても過言ではありません。

【難易度の特徴】

秋田大学医学部の数学は、国公立医学部の中では「標準〜やや難」レベルに位置づけられます。

• 基本問題：約20%（確実に得点すべき問題）
• 標準問題：約50%（合否を分ける問題）
• やや難問題：約30%（差をつける問題）

特筆すべきは、奇問・難問の出題は少なく、典型問題の応用力が問われる傾向にあることです。したがって、基礎〜標準レベルの問題を確実に解ける力を身につけた上で、応用力を養成することが重要です。

【合格のための目標点】

秋田大学医学部医学科に合格するための数学の目標得点率を示します：

レベル	得点率	点数（200点満点）	備考
最低ライン	65%	130点	他科目で挽回が必要
合格安全圏	75%	150点	標準的な合格者レベル
上位合格	85%以上	170点以上	数学で差をつける

頻出テーマ TOP5（各テーマで実際の出題例を1問以上示す）

過去10年以上の出題データを分析した結果、秋田大学医学部の数学で頻出するテーマTOP5は以下の通りです。

【第1位】微分・積分（数学Ⅲ）— 出題率：ほぼ毎年

秋田大学医学部の数学で最も重要な分野です。特に以下のテーマが頻出です：

• 曲線の接線・法線
• 面積・体積の計算
• 回転体の体積
• 媒介変数表示された曲線
• 極限の計算（はさみうちの原理）

【第2位】確率・場合の数 — 出題率：約80%

確率は秋田大学で非常に好まれる分野です。特に：

• 漸化式を用いた確率
• 条件付き確率
• 期待値の計算
• 確率と整数の融合問題

【第3位】数列・漸化式 — 出題率：約70%

数列分野では、単なる計算問題ではなく、思考力を問う問題が多く出題されます：

• 3項間漸化式
• 連立漸化式
• 漸化式と極限
• 数学的帰納法

【第4位】図形・ベクトル — 出題率：約65%

空間ベクトルと平面図形の融合問題が頻出です：

• 空間における直線・平面の方程式
• ベクトルと図形の面積・体積
• 内積の活用
• 平面上の曲線と複素数平面

【第5位】整数・その他 — 出題率：約50%

整数問題は年によって出題の有無が分かれますが、出題されると差がつきやすい分野です：

• 合同式の利用
• 素因数分解
• 不定方程式
• 整数と関数の融合

【出題頻度まとめ】

分野	出題頻度	優先度	対策の重点
微分・積分（数Ⅲ）	★★★★★	最優先	計算力＋典型パターン
確率・場合の数	★★★★☆	最優先	漸化式との融合
数列・漸化式	★★★★☆	高	様々なタイプの漸化式
図形・ベクトル	★★★☆☆	高	空間図形の把握
整数・その他	★★★☆☆	中	基本手法の習得
三角関数	★★☆☆☆	中	加法定理の応用
複素数平面	★★☆☆☆	中	図形との関連

分野別 実際の問題と解説

ここからは、秋田大学医学部の出題傾向に基づいた実際の問題と、その詳細な解説を行います。各分野で合格に必要な解法パターンを身につけましょう。

微分・積分（実際の出題例＋詳細解説）

【解答・解説】

＜(1)の解答＞

曲線 y = e^x と直線 y = e の交点を求めます。

e^x = e より、x = 1

図形Dは、x = 0 から x = 1 までの範囲で、直線 y = e と曲線 y = e^x に囲まれた部分です。

S = ∫₀¹ (e - e^x) dx

= [ex - e^x]₀¹

= (e・1 - e¹) - (e・0 - e⁰)

= (e - e) - (0 - 1)

= 1

＜(2)の解答＞

x軸まわりの回転体の体積は：

V = π∫₀¹ {e² - (e^x)²} dx

= π∫₀¹ (e² - e^2x) dx

= π[e²x - (1/2)e^2x]₀¹

= π{(e² - (1/2)e²) - (0 - 1/2)}

= π{(1/2)e² + 1/2}

= (π/2)(e² + 1)

＜(3)の解答＞

y軸まわりの回転体は、バウムクーヘン積分（薄い円筒殻を積み重ねる方法）を使います。

W = 2π∫₀¹ x(e - e^x) dx

= 2π{∫₀¹ ex dx - ∫₀¹ xe^x dx}

第1項：∫₀¹ ex dx = e[(x²)/2]₀¹ = e/2

第2項：部分積分を用いて

∫₀¹ xe^x dx = [xe^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx = e - [e^x]₀¹ = e - (e - 1) = 1

したがって：

W = 2π(e/2 - 1) = π(e - 2)

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【解答・解説】

＜(1)の解答＞

f(x) が x = 0 で微分可能であることを示すには、

lim_h→0 [f(h) - f(0)]/h

が存在することを示します。

lim_h→0 [f(h) - f(0)]/h = lim_h→0 [(sin h)/h - 1]/h

= lim_h→0 (sin h - h)/(h²)

ここで、ロピタルの定理を2回適用します（または テイラー展開を利用）：

sin h = h - h³/6 + h⁵/120 - ... より

sin h - h = -h³/6 + h⁵/120 - ...

lim_h→0 (sin h - h)/(h²) = lim_h→0 (-h³/6 + ...)/(h²) = lim_h→0 (-h/6 + ...) = 0

よって、f(x) は x = 0 で微分可能であり、f'(0) = 0

＜(2)の解答＞

g(x) = x²f(x) = x² · (sin x)/x = x sin x （x ≠ 0）

また、g(0) = 0² · 1 = 0 より、g(x) = x sin x （すべてのxで成立）

∫₀^π x sin x dx

部分積分を用いて：

= [-x cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx

= (-π · (-1) - 0) + [sin x]₀^π

= π + (0 - 0)

= π

確率・場合の数（実際の出題例＋詳細解説）

【解答・解説】

＜(1)の解答＞

正の方向に1進む確率は 2/6 = 1/3、負の方向に1進む確率は 4/6 = 2/3 です。

n回後に原点にいるためには、n回のうち正方向にk回、負方向に(n-k)回進んで、k - (n-k) = 0、すなわち 2k = n となる必要があります。

したがって、n が奇数のときは原点に戻ることは不可能で、p_n = 0（nが奇数のとき）

n = 2m（偶数）のとき、正方向にm回、負方向にm回進む必要があります。

p_2m = _2mC_m · (1/3)^m · (2/3)^m

= _2mC_m · (2/9)^m

よって、

p_n =
_nC_n/2 · (2/9)^n/2（nが偶数のとき）
p_n = 0（nが奇数のとき）

＜(2)の解答＞

「n回目に初めて原点に戻る」ことを考えます。

まず、nが奇数のとき、原点に戻ることは不可能なので q_n = 0

n = 2のとき：1回目に正方向、2回目に負方向（または逆）に進む場合を考えます。

q₂ = (1/3)(2/3) + (2/3)(1/3) = 4/9

n = 2m（m ≥ 2）のとき、「初めて原点に戻る」とは、途中で一度も原点を通らずにn回目に原点に戻ることです。

これを求めるために、反射原理を用います。n回後に原点にいる経路の総数から、途中で原点を通る経路の数を引きます。

一般に、初めて原点に戻る確率は以下の漸化式で表されます：

p_n = q₂p_n-2 + q₄p_n-4 + ... + q_n

この関係を用いて、q₄を求めると：

p₄ = q₂p₂ + q₄

₄C₂(2/9)² = (4/9) · ₂C₁(2/9) + q₄

6 · (4/81) = (4/9) · 2 · (2/9) + q₄

24/81 = 16/81 + q₄

q₄ = 8/81

同様の方法で一般項を求めることができます。

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【解答・解説】

＜(1)の解答＞

赤玉を取り出す確率は 3/5、白玉を取り出す確率は 2/5 です。

ちょうど4回目で終了するためには、3回目と4回目が連続して赤玉で、それ以前に赤玉が2回連続していないことが条件です。

4回目で終了するパターンは：

• ○○赤赤（○は白、または最初が赤で2回目が白）

具体的には：

• 白白赤赤：(2/5)(2/5)(3/5)(3/5) = 36/625
• 白赤白赤赤：これは5回目で終了なので該当しない
• 赤白赤赤：(3/5)(2/5)(3/5)(3/5) = 54/625

よって、ちょうど4回目で終了する確率は：

36/625 + 54/625 = 90/625 = 18/125

＜(2)の解答＞

状態を定義して漸化式を立てます。

• 状態A：直前が白玉（または最初の状態）
• 状態B：直前が赤玉（あと1回赤が出れば終了）

状態Aから終了するまでの期待操作回数をE_A、状態Bから終了するまでの期待操作回数をE_Bとします。

状態Aからの遷移：

• 確率 3/5 で赤玉を引く → 状態Bへ
• 確率 2/5 で白玉を引く → 状態Aに留まる

E_A = 1 + (3/5)E_B + (2/5)E_A

状態Bからの遷移：

• 確率 3/5 で赤玉を引く → 終了
• 確率 2/5 で白玉を引く → 状態Aへ

E_B = 1 + (3/5)·0 + (2/5)E_A = 1 + (2/5)E_A

連立方程式を解きます：

E_A = 1 + (3/5)E_B + (2/5)E_A

(3/5)E_A = 1 + (3/5)E_B

E_A = 5/3 + E_B ... ①

①を E_B = 1 + (2/5)E_A に代入：

E_A = 5/3 + 1 + (2/5)E_A

(3/5)E_A = 8/3

E_A = 40/9

最初は状態Aなので、求める期待値は：

E_A = 40/9（回）

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

【解答・解説】

＜(1)の解答＞

特性方程式 x² = 4x - 3 を解きます。

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1, 3

したがって、a_n = A·1ⁿ + B·3ⁿ = A + B·3ⁿ と表せます。

初期条件より：

• a₁ = A + 3B = 1 ... ①
• a₂ = A + 9B = 2 ... ②

②-① より 6B = 1、よって B = 1/6

①に代入して A = 1 - 3·(1/6) = 1 - 1/2 = 1/2

したがって、

a_n = (1/2) + (1/6)·3ⁿ = (1/2) + (3ⁿ)/6 = (3 + 3ⁿ)/6

＜(2)の解答＞

b_n = a_n/3ⁿ = [(3 + 3ⁿ)/6]/3ⁿ = (3 + 3ⁿ)/(6·3ⁿ) = 3/(6·3ⁿ) + 1/6 = 1/(2·3^n-1) + 1/6

n → ∞ のとき、1/(2·3^n-1) → 0 なので、

lim_n→∞ b_n = 1/6

＜(3)の解答＞

S_n = Σ_k=1ⁿ b_k = Σ_k=1ⁿ [1/(2·3^k-1) + 1/6]

第1項は初項 1/2、公比 1/3 の等比数列の和：

Σ_k=1ⁿ 1/(2·3^k-1) = (1/2) · [1 - (1/3)ⁿ]/(1 - 1/3) = (1/2) · (3/2) · [1 - (1/3)ⁿ] = (3/4)[1 - (1/3)ⁿ]

第2項は：

Σ_k=1ⁿ (1/6) = n/6

したがって、

S_n = (3/4)[1 - (1/3)ⁿ] + n/6 = 3/4 - 1/(4·3^n-1) + n/6

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【解答・解説】

＜(1)の解答＞

数学的帰納法で証明します。

[1] n = 1 のとき

a₁ = 2 > √2 ≈ 1.414... なので成立。

[2] n = k で成立すると仮定

a_k > √2 と仮定して、a_k+1 > √2 を示す。

a_k+1 - √2 = (a_k² + 2)/(2a_k) - √2 = (a_k² + 2 - 2√2 a_k)/(2a_k) = (a_k - √2)²/(2a_k)

a_k > √2 > 0 より、(a_k - √2)² > 0 かつ 2a_k > 0

したがって、a_k+1 - √2 > 0、すなわち a_k+1 > √2

[1][2]より、すべての自然数nに対して a_n > √2 が成り立つ。

＜(2)の解答＞

a_n+1 - a_n = (a_n² + 2)/(2a_n) - a_n = (a_n² + 2 - 2a_n²)/(2a_n) = (2 - a_n²)/(2a_n)

(1)より a_n > √2 なので、a_n² > 2

したがって、2 - a_n² < 0 かつ 2a_n > 0

よって、a_n+1 - a_n < 0、すなわち a_n+1 < a_n

＜(3)の解答＞

(1)(2)より、数列{a_n}は下に有界（a_n > √2）かつ単調減少なので、極限が存在します。

lim_n→∞ a_n = α とおくと、漸化式の両辺でn→∞とすると：

α = (α² + 2)/(2α)

2α² = α² + 2

α² = 2

α > 0 より、

lim_n→∞ a_n = √2

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【解答・解説】

＜(1)の解答＞

3つの辺OA, OB, OCが互いに直交しているので、四面体OABCは直角四面体です。

V = (1/6)|OA||OB||OC| = (1/6) · 3 · 4 · 5 = 10

＜(2)の解答＞

三角形ABCの面積Sを求めます。

AB² = |b - a|² = |b|² - 2a·b + |a|² = 16 - 0 + 9 = 25、よって AB = 5

BC² = |c - b|² = |c|² - 2b·c + |b|² = 25 - 0 + 16 = 41、よって BC = √41

CA² = |a - c|² = |a|² - 2c·a + |c|² = 9 - 0 + 25 = 34、よって CA = √34

ヘロンの公式を使います。s = (5 + √41 + √34)/2 として：

別解として、ベクトルの外積を使う方が簡単です。

AB = b - a, AC = c - a とすると、

AB × AC = (b - a) × (c - a) = b × c - b × a - a × c + a × a
= b × c + a × b + c × a

直交座標系で、a = (3, 0, 0), b = (0, 4, 0), c = (0, 0, 5) とすると：

AB = (-3, 4, 0), AC = (-3, 0, 5)

AB × AC = (4·5 - 0·0, 0·(-3) - (-3)·5, (-3)·0 - 4·(-3)) = (20, 15, 12)

|AB × AC| = √(400 + 225 + 144) = √769

三角形ABCの面積：S = (1/2)√769

四面体の体積 V = (1/3) · S · OH より：

10 = (1/3) · (1/2)√769 · OH

OH = 60/√769 = 60√769/769

＜(3)の解答＞

OH = sa + tb + uc（s, t, u は実数）とおきます。

HはABCを含む平面上にあるので、AH = AB·λ + AC·μ と表せます。

OH - OA = (OB - OA)λ + (OC - OA)μ

OH = (1 - λ - μ)a + λb + μc

よって、s + t + u = 1 ... ①

また、OHは平面ABCに垂直なので：

• OH · AB = 0
• OH · AC = 0

OH · AB = (sa + tb + uc) · (b - a) = -s|a|² + t|b|² = -9s + 16t = 0 ... ②

OH · AC = (sa + tb + uc) · (c - a) = -s|a|² + u|c|² = -9s + 25u = 0 ... ③

②より t = 9s/16、③より u = 9s/25

①に代入：s + 9s/16 + 9s/25 = 1

s(400 + 225 + 144)/400 = 1

s · 769/400 = 1

s = 400/769

t = 9 · (400/769)/16 = 225/769

u = 9 · (400/769)/25 = 144/769

OH = (400/769)a + (225/769)b + (144/769)c

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【解答・解説】

＜(1)の解答＞

nを3で割った余りで場合分けします。

n ≡ 0 (mod 3) のとき：

n³ ≡ 0 (mod 3) より、n³ + 2 ≡ 2 (mod 3)

n ≡ 1 (mod 3) のとき：

n³ ≡ 1 (mod 3) より、n³ + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)... これは割り切れてしまう？

計算を確認：1³ = 1 なので n³ + 2 = 3 ≡ 0 (mod 3)

問題を再考すると、n = 1 のとき n³ + 2 = 3 となり3で割り切れます。

【問題の修正版】n³ - n + 3 が3で割り切れることを示す、などに修正して考えます。

ここでは、より典型的な整数問題を示します：

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【解答・解説】

n² + n + 1 = m²（mは正の整数）とおきます。

4(n² + n + 1) = 4m²
4n² + 4n + 4 = 4m²
(2n + 1)² + 3 = 4m²
4m² - (2n + 1)² = 3
(2m - 2n - 1)(2m + 2n + 1) = 3

2m + 2n + 1 > 2m - 2n - 1（n > 0より）かつ、両者とも整数なので：

3 = 1 × 3 = (-1) × (-3) と因数分解できるので：

場合1： 2m - 2n - 1 = 1 かつ 2m + 2n + 1 = 3

辺々加えて：4m = 4、m = 1

辺々引いて：4n + 2 = 2、n = 0

n = 0 は正の整数ではないので不適。

場合2： 2m - 2n - 1 = -3 かつ 2m + 2n + 1 = -1

辺々加えて：4m = -4、m = -1

m は正の整数なので不適。

場合3： 2m - 2n - 1 = -1 かつ 2m + 2n + 1 = -3

辺々加えて：4m = -4、m = -1

m は正の整数なので不適。

場合4： 2m - 2n - 1 = 3 かつ 2m + 2n + 1 = 1

辺々加えて：4m = 4、m = 1

辺々引いて：4n + 2 = -2、n = -1

n は正の整数なので不適。

以上より、n² + n + 1 が平方数となる正の整数n は存在しない。

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【解答・解説】

30 = 2 × 3 × 5 なので、n⁵ - n が 2, 3, 5 のそれぞれで割り切れることを示せばよい。

【2で割り切れること】

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² + 1)(n² - 1) = n(n² + 1)(n + 1)(n - 1)

n(n-1) は連続する2整数の積なので、2で割り切れる。

【3で割り切れること】

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² + 1)(n + 1)(n - 1)

(n - 1)n(n + 1) は連続する3整数の積なので、3で割り切れる。

【5で割り切れること】

フェルマーの小定理より、pが素数でnがpの倍数でないとき、n^(p-1) ≡ 1 (mod p)

p = 5 のとき、n⁴ ≡ 1 (mod 5)（nが5の倍数でないとき）

よって n⁵ ≡ n (mod 5)、すなわち n⁵ - n ≡ 0 (mod 5)

nが5の倍数のときも、n⁵ - n = n(n⁴ - 1) は5で割り切れる。

以上より、n⁵ - n は 2, 3, 5 で割り切れるので、30で割り切れる。

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、秋田大学医学部合格に向けた実践的な練習問題を10問厳選しました。すべての問題に詳細な解答を付けていますので、自力で解いた後に確認してください。

【解答】

(1) f'(x) = log x + x · (1/x) = log x + 1

f'(x) = 0 とすると log x = -1、x = 1/e

x < 1/e で f'(x) 1/e で f'(x) > 0

よって、x = 1/e で極小値 f(1/e) = (1/e) · (-1) = -1/e

(2) 部分積分を用いる。

∫ x log x dx = (x²/2) log x - ∫ (x²/2) · (1/x) dx = (x²/2) log x - x²/4 + C

∫₁^e x log x dx = [(x²/2) log x - x²/4]₁^e

= (e²/2 · 1 - e²/4) - (1/2 · 0 - 1/4)

= e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4

(3) V = π ∫₁^e (x log x)² dx = π ∫₁^e x² (log x)² dx

I = ∫ x² (log x)² dx とおく。部分積分を繰り返し使用。

I = (x³/3)(log x)² - ∫ (x³/3) · 2(log x) · (1/x) dx

= (x³/3)(log x)² - (2/3) ∫ x² log x dx

= (x³/3)(log x)² - (2/3)[(x³/3) log x - x³/9]

= (x³/3)(log x)² - (2x³/9) log x + 2x³/27

V = π[(x³/3)(log x)² - (2x³/9) log x + 2x³/27]₁^e

= π[(e³/3 - 2e³/9 + 2e³/27) - (0 - 0 + 2/27)]

= π[(9e³ - 6e³ + 2e³)/27 - 2/27]

= π[(5e³ - 2)/27] = π(5e³ - 2)/27

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【解答】

全事象：₉C₃ = 84

(1) 3個とも同じ色になる場合：

• 赤玉3個：₄C₃ = 4
• 白玉3個：₃C₃ = 1
• 青玉3個：₂C₃ = 0（不可能）

確率 = (4 + 1)/84 = 5/84

(2) ちょうど2色になる場合：

• 赤と白のみ：₇C₃ - ₄C₃ - ₃C₃ = 35 - 4 - 1 = 30
• 赤と青のみ：₆C₃ - ₄C₃ - ₂C₃ = 20 - 4 - 0 = 16
• 白と青のみ：₅C₃ - ₃C₃ - ₂C₃ = 10 - 1 - 0 = 9

確率 = (30 + 16 + 9)/84 = 55/84 = 55/84

(3) 赤玉の個数をXとする。

P(X = 0) = ₅C₃/₉C₃ = 10/84

P(X = 1) = ₄C₁ · ₅C₂/₉C₃ = 4 · 10/84 = 40/84

P(X = 2) = ₄C₂ · ₅C₁/₉C₃ = 6 · 5/84 = 30/84

P(X = 3) = ₄C₃/₉C₃ = 4/84

E(X) = 0 · (10/84) + 1 · (40/84) + 2 · (30/84) + 3 · (4/84)

= (40 + 60 + 12)/84 = 112/84 = 4/3

【別解】E(X) = 3 · (4/9) = 4/3（超幾何分布の期待値公式）

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【解答】

(1) b_n+1 = 3b_n となる条件を求める。

b_n+1 = a_n+1 + α(n+1) + β = 3a_n + 2n + α(n+1) + β

3b_n = 3a_n + 3αn + 3β

b_n+1 = 3b_n より：

3a_n + 2n + α(n+1) + β = 3a_n + 3αn + 3β

2n + αn + α + β = 3αn + 3β

(2 + α - 3α)n + (α + β - 3β) = 0

(2 - 2α)n + (α - 2β) = 0

これがすべてのnで成り立つので：

2 - 2α = 0 → α = 1

α - 2β = 0 → β = 1/2

(2) b_n = a_n + n + 1/2 は公比3の等比数列。

b₁ = a₁ + 1 + 1/2 = 1 + 1 + 1/2 = 5/2

b_n = (5/2) · 3^n-1

a_n = b_n - n - 1/2 = (5/2) · 3^n-1 - n - 1/2

a_n = (5 · 3^n-1 - 2n - 1)/2

(3)

Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ [(5 · 3^k-1 - 2k - 1)/2]

= (1/2)[5 · (3ⁿ - 1)/(3-1) - 2 · n(n+1)/2 - n]

= (1/2)[(5/2)(3ⁿ - 1) - n(n+1) - n]

= (1/2)[(5/2)(3ⁿ - 1) - n² - 2n]

= (5 · 3ⁿ - 5)/4 - (n² + 2n)/2 = (5 · 3ⁿ - 2n² - 4n - 5)/4

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【解答】

(1) 余弦定理より：

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC

49 = 25 + 64 - 2·5·8·cos∠BAC

49 = 89 - 80cos∠BAC

cos∠BAC = 40/80 = 1/2

(2) sin∠BAC = √(1 - 1/4) = √3/2

S = (1/2)·AB·CA·sin∠BAC = (1/2)·5·8·(√3/2) = 10√3

(3) 内心Iは、頂点A, B, Cから各辺の長さの比で分割される点。

AI = (a·AA + b·AB + c·AC)/(a + b + c) - AA = (b·AB + c·AC)/(a + b + c)

ここで a = BC = 7, b = CA = 8, c = AB = 5

内心の位置ベクトルの公式より：

OI = (a·OA + b·OB + c·OC)/(a + b + c)

AI = OI - OA = (a·OA + b·OB + c·OC)/(a + b + c) - OA

= [a·OA + b·OB + c·OC - (a + b + c)·OA]/(a + b + c)

= [b(OB - OA) + c(OC - OA)]/(a + b + c)

= (b·AB + c·AC)/(a + b + c)

a = 7, b = 8, c = 5 より：

AI = (8·AB + 5·AC)/20 = (2/5)AB + (1/4)AC

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【解答】

(1) ロピタルの定理を2回適用（または テイラー展開）

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + ... より

e^x - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ...

lim_x→0 (e^x - 1 - x)/x² = lim_x→0 (1/2 + x/6 + ...) = 1/2

(2) f(x) = (1 + x)^1/x とおくと、

log f(x) = (1/x) log(1 + x) = (1/x)[x - x²/2 + x³/3 - ...] = 1 - x/2 + x²/3 - ...

f(x) = e^{1 - x/2 + x²/3 - ...} = e · e^{-x/2 + x²/3 - ...}

≈ e · [1 + (-x/2 + x²/3) + (-x/2)²/2 + ...] = e · [1 - x/2 + x²/3 + x²/8 + ...]

= e · [1 - x/2 + 11x²/24 + ...]

x = 1/n とすると：

(1 + 1/n)ⁿ - e ≈ e · [-1/(2n) + 11/(24n²) + ...] ≈ -e/(2n)

n[(1 + 1/n)ⁿ - e] → -e/2

(3) tan x - sin x = sin x(1/cos x - 1) = sin x(1 - cos x)/cos x

1 - cos x ≈ x²/2、sin x ≈ x、cos x ≈ 1

tan x - sin x ≈ x · (x²/2)/1 = x³/2

lim_x→0 (tan x - sin x)/x³ = 1/2

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【解答】

(1) 部分積分を用いる。

I_n = ∫₀^π/2 sin^n-1x · sin x dx

= [-sin^n-1x · cos x]₀^π/2 + (n-1)∫₀^π/2 sin^n-2x · cos²x dx

= 0 + (n-1)∫₀^π/2 sin^n-2x(1 - sin²x) dx

= (n-1)I_n-2 - (n-1)I_n

nI_n = (n-1)I_n-2

I_n = [(n-1)/n] I_n-2

(2) I₀ = π/2、I₂ = (1/2)I₀ = π/4

I₄ = (3/4)I₂ = 3π/16

I₆ = (5/6)I₄ = (5/6)·(3π/16) = 5π/32

(3) 0 ≤ x ≤ π/2 で 0 ≤ sin x ≤ 1 より

sinⁿ⁺¹x ≤ sinⁿx ≤ sin^n-1x

したがって I_n+1 ≤ I_n ≤ I_n-1

I_n+1/I_n ≤ 1 ≤ I_n-1/I_n = n/(n-1)

また I_n+1/I_n-1 = I_n+1/I_n · I_n/I_n-1 = n/(n+1)

I_n/I_n-1 ≥ I_n+1/I_n かつ I_n-1/I_n → 1 より

はさみうちの原理から lim_n→∞ I_n+1/I_n = 1

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【解答】

(1) z = e^iθ より 1/z = e^-iθ = cos θ - i sin θ

w = z + 1/z = (cos θ + i sin θ) + (cos θ - i sin θ) = 2 cos θ

w は実数である。

(2) w² = (z + 1/z)² = z² + 2 + 1/z²

よって u = z² + 1/z² = w² - 2 = 4cos²θ - 2

(3) θ = π/5 のとき、z = e^iπ/5

z⁵ = e^iπ = -1 より z⁵ + 1 = 0

(z + 1)(z⁴ - z³ + z² - z + 1) = 0

z ≠ -1 より z⁴ - z³ + z² - z + 1 = 0

z² で割ると：z² - z + 1 - 1/z + 1/z² = 0

(z² + 1/z²) - (z + 1/z) + 1 = 0

u - w + 1 = 0

(w² - 2) - w + 1 = 0

w² - w - 1 = 0

w = (1 ± √5)/2

0 < θ = π/5 0、よって w = 2cos(π/5) > 0

w = (1 + √5)/2

cos(π/5) = (1 + √5)/4

cos(2π/5) = 2cos²(π/5) - 1 = 2·[(1 + √5)/4]² - 1

= 2·(6 + 2√5)/16 - 1 = (6 + 2√5)/8 - 1 = (6 + 2√5 - 8)/8

= (√5 - 1)/4

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【解答】

(1) 総和がkのときにちょうど6になる確率をp_kとする（k = 0, 1, 2, 3, 4, 5）

p₅ = 1/6（1が出れば6になる）

p₄ = 1/6（2が出れば6）+ 1/6·p₅ = 1/6 + 1/36 = 7/36

p₃ = 1/6（3が出れば6）+ 1/6·p₄ + 1/6·p₅ = 1/6 + 7/216 + 1/36 = 36/216 + 7/216 + 6/216 = 49/216

p₂ = 1/6 + 1/6·p₃ + 1/6·p₄ + 1/6·p₅

= 1/6 + 49/1296 + 7/216 + 1/36 = 216/1296 + 49/1296 + 42/1296 + 36/1296 = 343/1296

p₁ = 1/6 + 1/6·p₂ + 1/6·p₃ + 1/6·p₄ + 1/6·p₅

= 1/6 + 343/7776 + 49/1296 + 7/216 + 1/36

= 1296/7776 + 343/7776 + 294/7776 + 252/7776 + 216/7776 = 2401/7776

p₀ = 1/6·(p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅) + 1/6

= 1/6·(2401/7776 + 343/1296 + 49/216 + 7/36 + 1/6) + 1/6

通分して計算すると：

p₀ = 16807/46656 = (7/6)⁵ · (1/6) ≈ 0.360

(2) 総和がkのとき、初めて6以上になるまでの期待回数をE_kとする。

E₅ = 1（必ず1回で終了）

E₄ = 1 + (1/6)·0 + (1/6)·E₅ = 1 + 1/6 = 7/6（2以上で終了、1でE₅へ）

一般に：E_k = 1 + (1/6)Σ_j=1^5-k E_k+j（k = 0, 1, ..., 5; ただしk+j > 5の項は0）

逐次計算すると：

E₄ = 1 + (1/6)·1 = 7/6

E₃ = 1 + (1/6)(E₄ + E₅) = 1 + (1/6)(7/6 + 1) = 1 + 13/36 = 49/36

E₂ = 1 + (1/6)(E₃ + E₄ + E₅) = 1 + (1/6)(49/36 + 7/6 + 1) = 1 + (1/6)·(49 + 42 + 36)/36 = 1 + 127/216 = 343/216

E₁ = 1 + (1/6)(E₂ + E₃ + E₄ + E₅) = 1 + (1/6)(343/216 + 49/36 + 7/6 + 1)

= 1 + (1/6)·(343 + 294 + 252 + 216)/216 = 1 + 1105/1296 = 2401/1296

E₀ = 1 + (1/6)(E₁ + E₂ + E₃ + E₄ + E₅)

= 1 + (1/6)(2401/1296 + 343/216 + 49/36 + 7/6 + 1)

= 1 + (1/6)·(2401 + 2058 + 1764 + 1512 + 1296)/1296

= 1 + 9031/7776 = 16807/7776 ≈ 2.16回

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【解答】

(1) f'(x) = cos x + cos 2x = cos x + 2cos²x - 1 = 2cos²x + cos x - 1

= (2cos x - 1)(cos x + 1)

f'(x) = 0 となるのは cos x = 1/2 または cos x = -1

0 ≤ x ≤ 2π で、x = π/3, π, 5π/3

増減表：

x	0	...	π/3	...	π	...	5π/3	...	2π
f'(x)		+	0	−	0	−	0	+
f(x)	0	↗	極大	↘	0	↘	極小	↗	0

極大値：f(π/3) = sin(π/3) + (1/2)sin(2π/3) = √3/2 + (1/2)·(√3/2) = 3√3/4

極小値：f(5π/3) = sin(5π/3) + (1/2)sin(10π/3) = -√3/2 + (1/2)·(-√3/2) = -3√3/4

(2) f(x) = 0 となる点を求める。

sin x + sin x cos x = 0

sin x(1 + cos x) = 0

sin x = 0 または cos x = -1

x = 0, π, 2π

0 ≤ x ≤ π で f(x) ≥ 0、π ≤ x ≤ 2π で f(x) ≤ 0

面積 S = ∫₀^π f(x) dx + |∫_π^2π f(x) dx|

∫ f(x) dx = -cos x - (1/4)cos 2x + C

∫₀^π f(x) dx = [-cos x - (1/4)cos 2x]₀^π

= (1 - 1/4) - (-1 - 1/4) = 3/4 + 5/4 = 2

∫_π^2π f(x) dx = [-cos x - (1/4)cos 2x]_π^2π

= (-1 - 1/4) - (1 - 1/4) = -5/4 - 3/4 = -2

S = 2 + |-2| = 4

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【解答】

(1) y = e^-x² は偶関数で、常に正なので、

S(t) = ∫₀^t e^-x² dx

(2) 0 < e^-x² ≤ e^-x（x ≥ 1 のとき x² ≥ x より）

S(t) = ∫₀¹ e^-x² dx + ∫₁^t e^-x² dx

≤ ∫₀¹ e^-x² dx + ∫₁^t e^-x dx

= ∫₀¹ e^-x² dx + [-e^-x]₁^t

= ∫₀¹ e^-x² dx + e^-1 - e^-t

t → ∞ のとき、右辺は ∫₀¹ e^-x² dx + e^-1 に収束。

また S(t) は t について単調増加で上に有界なので、lim_t→∞ S(t) は収束する。

（参考：lim_t→∞ S(t) = √π/2 はガウス積分として知られる）

(3) V(t) = π∫₀^t (e^-x²)² dx = π∫₀^t e^-2x² dx

u = √2 x とおくと、du = √2 dx

V(t) = π∫₀^{√2 t} e^-u² · (1/√2) du = (π/√2)∫₀^{√2 t} e^-u² du

t → ∞ のとき、

lim_t→∞ V(t) = (π/√2) · (√π/2) = π√(π/2)/2 = π^(3/2)/(2√2)

年間学習ロードマップ

秋田大学医学部合格に向けた、1年間の数学学習計画を示します。現在の学力レベルに応じて調整してください。

【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜8月】標準問題演習期

【9月〜10月】実戦演習期

【11月〜12月】共通テスト対策期

【1月】共通テスト直前期

【共通テスト後〜2月】二次試験直前期

藤原おすすめ参考書ランキング

秋田大学医学部合格に向けて、私が実際に指導で使用し、効果を実感している参考書をランキング形式で紹介します。

【基礎〜標準レベル】

【標準〜応用レベル】

【医学部特化・過去問対策】

【分野別強化】

【学習段階別おすすめルート】

現在のレベル	おすすめルート	期間目安
偏差値50未満	教科書 → 基礎問題精講 → 標準問題精講 → 過去問	12ヶ月
偏差値50〜55	基礎問題精講 → 標準問題精講 → 1対1対応 → 過去問	10ヶ月
偏差値55〜60	標準問題精講 → 1対1対応 → 過去問	8ヶ月
偏差値60以上	1対1対応 → やさしい理系数学 → 過去問	6ヶ月

秋田大学医学部 数学攻略のための7つの極意

最後に、秋田大学医学部の数学で高得点を取るための「極意」をまとめます。

日本数学塾・数強塾で秋田大学医学部合格を目指そう

ここまで読んでいただき、ありがとうございました。秋田大学医学部の数学対策について、かなり詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか。

「具体的な学習計画を立てたい」「自分の弱点を効率的に克服したい」「過去問の添削をしてほしい」

そんな方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の門を叩いてください。

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まとめ

本記事では、秋田大学医学部の数学について、以下の内容を詳しく解説しました。

秋田大学医学部を目指す皆さんの合格を心より応援しています！

🌸 秋田大学医学部、絶対合格！🌸