【弘前大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

関数 f(x) = x²e^(-x) について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x)の導関数f'(x)を求め、f(x)の増減を調べよ。

(2) f(x)の極値を求めよ。

(3) 曲線 y = f(x) と x軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

箱Aと箱Bがあり、1個の球が箱Aと箱Bを行き来する。球が箱Aにあるとき、次の操作で箱Bに移る確率は1/3、箱Aに留まる確率は2/3である。球が箱Bにあるとき、次の操作で箱Aに移る確率は1/2、箱Bに留まる確率は1/2である。最初に球は箱Aにあるものとする。

(1) n回の操作後に球が箱Aにある確率をP_nとするとき、P_nを求めよ。

(2) P_nの極限を求めよ。

数列{a_n}が以下の漸化式を満たすとき、一般項a_nを求めよ。

a_1 = 1, a_(n+1) = 3a_n + 2^n

四面体OABCにおいて、OA=a, OB=b, OC=cとする。辺ABを2:1に内分する点をP、辺BCを1:2に内分する点をQとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) ベクトルOPとOQをa, b, cで表せ。

(2) 直線PQと平面OACの交点Rの位置ベクトルを求めよ。

f(x) = a + sin²x + cos x (0 ≤ x ≤ 2π) とする。

(1) t = cos x とおくとき、f(x)をtの式で表せ。

(2) 方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数がちょうど2個となるようなaの範囲を求めよ。

【問題】

関数 f(x) = (x² - 1)e^(-x) について、以下の問いに答えよ。

(1) f'(x)を求めよ。

(2) f(x)の極値を求めよ。

(3) lim(x→∞) f(x) を求めよ。

【解答】

(1) 積の微分公式を使います。

f(x) = (x² - 1)e^(-x) より、

f'(x) = (x² - 1)' · e^(-x) + (x² - 1) · (e^(-x))'

= 2x · e^(-x) + (x² - 1) · (-e^(-x))

= e^(-x) {2x - (x² - 1)}

= e^(-x) (-x² + 2x + 1)

= -e^(-x) (x² - 2x - 1)

(2) f'(x) = 0 となるxを求めます。

e^(-x) > 0 より、x² - 2x - 1 = 0

x = (2 ± √8) / 2 = 1 ± √2

x = 1 - √2, 1 + √2

増減表を作成すると：

• x < 1 - √2 のとき f'(x) < 0（減少）
• 1 - √2 < x 0（増加）
• x > 1 + √2 のとき f'(x) < 0（減少）

よって、

極小値：f(1 - √2) = {(1-√2)² - 1}e^(-(1-√2)) = (2 - 2√2)e^(√2-1) = 2(1-√2)e^(√2-1)

極大値：f(1 + √2) = {(1+√2)² - 1}e^(-(1+√2)) = (2 + 2√2)e^(-1-√2) = 2(1+√2)e^(-1-√2)

(3) lim(x→∞) (x² - 1)e^(-x)

= lim(x→∞) (x² - 1)/e^x

ロピタルの定理を2回適用して、

= lim(x→∞) 2x/e^x = lim(x→∞) 2/e^x = 0

【問題】

曲線 C: y = x³ - 3x と直線 l: y = x について、以下の問いに答えよ。

(1) CとlはA, B, Oの3点で交わる。A, B, Oの座標を求めよ。

(2) CとlとA, Oを結ぶ部分で囲まれた面積S₁を求めよ。

(3) CとlとB, Oを結ぶ部分で囲まれた面積S₂を求めよ。

【解答】

(1) x³ - 3x = x を解きます。

x³ - 4x = 0

x(x² - 4) = 0

x(x + 2)(x - 2) = 0

x = -2, 0, 2

よって、A(-2, -2), O(0, 0), B(2, 2)

(2) -2 ≤ x ≤ 0 において、x³ - 3x ≥ x（曲線が直線の上側）

S₁ = ∫[-2 to 0] {(x³ - 3x) - x} dx

= ∫[-2 to 0] (x³ - 4x) dx

= [x⁴/4 - 2x²][-2 to 0]

= 0 - (4 - 8)

= 4

(3) 0 ≤ x ≤ 2 において、x ≥ x³ - 3x（直線が曲線の上側）

S₂ = ∫[0 to 2] {x - (x³ - 3x)} dx

= ∫[0 to 2] (4x - x³) dx

= [2x² - x⁴/4][0 to 2]

= 8 - 4

= 4

【問題】

曲線 y = √x (0 ≤ x ≤ 4) と x軸、および直線 x = 4 で囲まれた部分を x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

【解答】

V = π∫[0 to 4] y² dx

= π∫[0 to 4] (√x)² dx

= π∫[0 to 4] x dx

= π[x²/2][0 to 4]

= π · 16/2

= 8π

【問題】

コインを繰り返し投げる。表が出たら右に1歩、裏が出たら左に1歩進む。原点から出発して、n回投げた後の位置をX_nとする。

(1) X_n = 0 となる確率P_nを求めよ。（ただし、nが奇数のときP_n = 0）

(2) n = 6のとき、X_6 = 2 となる確率を求めよ。

【解答】

(1) X_n = 0 となるためには、表と裏が同じ回数出る必要があります。

nが奇数のとき、表と裏の回数を同じにできないので、P_n = 0。

nが偶数（n = 2m）のとき、表がm回、裏がm回出ればよいので、

P_n = P_{2m} = C(2m, m) · (1/2)^{2m} = C(2m, m) / 4^m

(2) X_6 = 2 となるためには、表が4回、裏が2回出ればよい。

P(X_6 = 2) = C(6, 4) · (1/2)^6

= 15 · 1/64

= 15/64

【問題】

状態A, B, Cの3つの状態がある。現在の状態から次の状態への推移確率は以下の通りである。

• Aからは：Aに留まる確率1/2、Bに移る確率1/2
• Bからは：Aに移る確率1/3、Bに留まる確率1/3、Cに移る確率1/3
• Cからは：Cに留まる確率1

最初は状態Aにいるものとする。n回後に状態Aにいる確率をa_n、状態Bにいる確率をb_n、状態Cにいる確率をc_nとする。

(1) a_{n+1}をa_nとb_nで表せ。

(2) a_nを求めよ。

【解答】

(1) n+1回後に状態Aにいるのは、

• n回後にAにいて、Aに留まる場合：a_n · (1/2)
• n回後にBにいて、Aに移る場合：b_n · (1/3)

よって、a_{n+1} = (1/2)a_n + (1/3)b_n

(2) 同様に、b_{n+1} = (1/2)a_n + (1/3)b_n

ここで、a_{n+1} = b_{n+1} であることに注目。

また、a_1 = 1/2, b_1 = 1/2（最初Aにいるので、1回後はA,Bに1/2ずつ）

a_1 = b_1 なので、すべてのnについて a_n = b_n

a_{n+1} = (1/2)a_n + (1/3)a_n = (5/6)a_n

a_1 = 1/2 より、

a_n = (1/2) · (5/6)^{n-1}

【問題】

数列{a_n}が以下を満たすとき、一般項a_nを求めよ。

a_1 = 1, a_2 = 4, a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0

【解答】

特性方程式 x² - 5x + 6 = 0 を解くと、

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2, 3

一般解は a_n = A · 2^n + B · 3^n

初期条件より、

a_1 = 2A + 3B = 1

a_2 = 4A + 9B = 4

これを解くと、A = -1/2, B = 2/3

よって、a_n = -(1/2) · 2^n + (2/3) · 3^n = -2^{n-1} + 2 · 3^{n-1}

（別解：a_n = 2 · 3^{n-1} - 2^{n-1}）

【問題】

数列{a_n}が以下を満たすとき、一般項a_nを求めよ。

a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 2n + 1

【解答】

漸化式より、階差数列 b_n = a_{n+1} - a_n = 2n + 1

n ≥ 2 のとき、

a_n = a_1 + Σ(k=1 to n-1) b_k

= 2 + Σ(k=1 to n-1) (2k + 1)

= 2 + 2·(n-1)n/2 + (n-1)

= 2 + n² - n + n - 1

= n² + 1

n = 1 のとき、a_1 = 1² + 1 = 2（初期条件と一致）

よって、a_n = n² + 1

【問題】

数列{a_n}が以下を満たすとき、lim(n→∞) a_n を求めよ。

a_1 = 0, a_{n+1} = (1/3)a_n + 2

【解答】

極限値をαとおくと、α = (1/3)α + 2

(2/3)α = 2

α = 3

a_{n+1} - 3 = (1/3)(a_n - 3) より、

a_n - 3 = (1/3)^{n-1}(a_1 - 3) = (1/3)^{n-1}·(-3) = -3·(1/3)^{n-1}

a_n = 3 - 3·(1/3)^{n-1} = 3 - (1/3)^{n-2}

よって、lim(n→∞) a_n = 3

【問題】

四面体OABCにおいて、OA = 3, OB = 4, OC = 5, ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° とする。

OA = a, OB = b, OC = c とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1) 辺ABの中点をMとするとき、OMを a, b で表せ。

(2) |OM|を求めよ。

(3) 点Cから平面OABに下ろした垂線の足をHとするとき、OHを a, b で表せ。

【解答】

(1) Mは辺ABの中点なので、

OM = (OA + OB)/2 = (a + b)/2

(2) |OM|² = |(a + b)/2|²

= (1/4)|a + b|²

= (1/4)(|a|² + 2a·b + |b|²)

∠AOB = 90° より a·b = 0

|a| = 3, |b| = 4 より、

|OM|² = (1/4)(9 + 0 + 16) = 25/4

|OM| = 5/2

(3) Hは平面OAB上の点なので、OH = sa + tb（s, t は実数）とおける。

CHは平面OABに垂直なので、

CH · a = 0 かつ CH · b = 0

CH = OH - OC = sa + tb - c より、

(sa + tb - c)·a = s|a|² + t(a·b) - c·a = 9s - 0 = 0 ∴ s = 0

(sa + tb - c)·b = s(a·b) + t|b|² - c·b = 16t - 0 = 0 ∴ t = 0

よって、OH = 0（つまりH = O）

【問題】

△OABにおいて、OA = a, OB = b とする。|a| = 3, |b| = 4, a·b = 6 のとき、以下の問いに答えよ。

(1) ∠AOBを求めよ。

(2) △OABの面積Sを求めよ。

(3) 辺ABを2:1に内分する点をPとするとき、OPを a, b で表せ。

【解答】

(1) a·b = |a||b|cos∠AOB より、

6 = 3·4·cos∠AOB

cos∠AOB = 1/2

∠AOB = 60°

(2) S = (1/2)|a||b|sin∠AOB

= (1/2)·3·4·sin60°

= (1/2)·12·(√3/2)

= 3√3

(3) 内分点の公式より、

OP = (1·OA + 2·OB)/(2+1)

= (a + 2b)/3

= (1/3)a + (2/3)b

【問題】

n²を3で割った余りを求めよ。

【解答】

nを3で割った余りで場合分けする。

① n ≡ 0 (mod 3) のとき

n² ≡ 0 (mod 3)

② n ≡ 1 (mod 3) のとき

n² ≡ 1 (mod 3)

③ n ≡ 2 (mod 3) のとき

n² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)

よって、n²を3で割った余りは0または1

【問題】

複素数 z = 1 + √3i について、以下の問いに答えよ。

(1) zを極形式で表せ。

(2) z⁶を求めよ。

(3) z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ を求めよ。

【解答】

(1) |z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2

arg z = arctan(√3/1) = π/3

よって、z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))

(2) ド・モアブルの定理より、

z⁶ = 2⁶(cos(6·π/3) + i sin(6·π/3))

= 64(cos 2π + i sin 2π)

= 64

(3) z⁶ = 64 より、z⁶ - 64 = 0

z ≠ 1 なので、等比級数の和の公式を使う。

z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ = z(z⁶ - 1)/(z - 1)

= z(64 - 1)/(z - 1)

= 63z/(z - 1)

= 63(1 + √3i)/((1 + √3i) - 1)

= 63(1 + √3i)/(√3i)

= 63(1 + √3i)·(-i)/(√3i·(-i))

= 63(-i - √3i²)/√3

= 63(-i + √3)/√3

= 63(√3 - i)/√3

= 63 - 21√3i

= 63 - 21√3i

【問題】

関数 f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x)の極値を求めよ。

(2) y = f(x)のグラフの概形を描け。

(3) 方程式 f(x) = k が異なる3つの実数解をもつようなkの範囲を求めよ。

【解答】

(1) f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 のとき、x = 1, 3

増減表：

x	…	1	…	3	…
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1（極小値）

(2) 上記の増減表に基づき、x = 1で極大値5、x = 3で極小値1をとる3次関数のグラフを描く。

(3) y = f(x)とy = kの交点の個数が3個となる条件は、

極小値 < k < 極大値

1 < k < 5

【問題】

定積分 I = ∫[0 to 1] x·e^x dx を求めよ。

【解答】

部分積分を用いる。

∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

よって、

I = [(x-1)e^x][0 to 1]

= (1-1)e^1 - (0-1)e^0

= 0 - (-1)

= 1

【問題】

定積分 I = ∫[0 to 2] x√(4-x²) dx を求めよ。

【解答】

t = 4 - x² とおくと、dt = -2x dx、つまり x dx = -dt/2

x: 0→2 のとき、t: 4→0

I = ∫[4 to 0] √t · (-1/2) dt

= (1/2)∫[0 to 4] √t dt

= (1/2)∫[0 to 4] t^(1/2) dt

= (1/2) · [t^(3/2)/(3/2)][0 to 4]

= (1/2) · (2/3) · [t^(3/2)][0 to 4]

= (1/3) · (4^(3/2) - 0)

= (1/3) · 8

= 8/3

【問題】

袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を3回繰り返す。

(1) 赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

(2) 赤玉が少なくとも1回出る確率を求めよ。

(3) 赤玉が2回以上出たとき、最初に取り出した玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。

【解答】

赤玉が出る確率は 3/5、白玉が出る確率は 2/5

(1) P(赤玉2回) = C(3,2) · (3/5)² · (2/5)

= 3 · (9/25) · (2/5)

= 3 · 18/125

= 54/125

(2) P(赤玉0回) = (2/5)³ = 8/125

P(赤玉1回以上) = 1 - 8/125 = 117/125

(3) 赤玉が2回以上出る事象をA、最初が赤玉である事象をBとする。

P(A) = P(赤玉2回) + P(赤玉3回)

= 54/125 + (3/5)³

= 54/125 + 27/125

= 81/125

P(A∩B) = 最初が赤で、かつ全体で赤が2回以上

= (3/5)[C(2,1)·(3/5)·(2/5) + C(2,2)·(3/5)²]

= (3/5)[2·(6/25) + (9/25)]

= (3/5)·(21/25)

= 63/125

P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (63/125)/(81/125) = 63/81 = 7/9

【問題】

Σ(k=1 to n) k·2^k を求めよ。

【解答】

S = Σ(k=1 to n) k·2^k = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + … + n·2^n とおく。

2S = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + … + n·2^(n+1)

S - 2S = 2 + 2² + 2³ + … + 2^n - n·2^(n+1)

-S = 2(2^n - 1)/(2-1) - n·2^(n+1)

-S = 2^(n+1) - 2 - n·2^(n+1)

-S = 2^(n+1)(1 - n) - 2

S = (n-1)·2^(n+1) + 2

S = (n-1)·2^(n+1) + 2

【問題】

空間内の3点 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) を通る平面の方程式を求めよ。

【解答】

平面の方程式を ax + by + cz = 1 とおく。

（x/p + y/q + z/r = 1 の形を利用しても良い）

A(1, 0, 0)を通るので：a·1 + b·0 + c·0 = 1 → a = 1

B(0, 2, 0)を通るので：a·0 + b·2 + c·0 = 1 → b = 1/2

C(0, 0, 3)を通るので：a·0 + b·0 + c·3 = 1 → c = 1/3

平面の方程式：x + (1/2)y + (1/3)z = 1

両辺を6倍して、6x + 3y + 2z = 6

【問題】

関数 f(x) = sin x + cos x (0 ≤ x ≤ 2π) の最大値と最小値を求めよ。

【解答】

【方法1：合成を使う】

f(x) = sin x + cos x = √2 sin(x + π/4)

0 ≤ x ≤ 2π より、π/4 ≤ x + π/4 ≤ 9π/4

sin(x + π/4) = 1 のとき最大：x + π/4 = π/2、つまり x = π/4

最大値：√2 · 1 = √2

sin(x + π/4) = -1 のとき最小：x + π/4 = 3π/2、つまり x = 5π/4

最小値：√2 · (-1) = -√2

【方法2：微分を使う】

f'(x) = cos x - sin x = 0

tan x = 1

x = π/4, 5π/4（0 ≤ x ≤ 2πにおいて）

f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2

f(5π/4) = sin(5π/4) + cos(5π/4) = -√2/2 - √2/2 = -√2

f(0) = 0 + 1 = 1

f(2π) = 0 + 1 = 1

最大値 √2（x = π/4）、最小値 -√2（x = 5π/4）

【問題】

方程式 log₂x + log₂(x-2) = 3 を解け。

【解答】

真数条件より、x > 0 かつ x - 2 > 0、つまり x > 2

log₂x + log₂(x-2) = 3

log₂{x(x-2)} = 3

x(x-2) = 2³ = 8

x² - 2x - 8 = 0

(x-4)(x+2) = 0

x = 4, -2

x > 2 より、x = 4

【練習問題9】複素数平面と図形

【練習問題10】総合問題（微積分と面積）

年間学習ロードマップ

弘前大学医学部合格に向けた、理想的な年間学習計画を提案します。現在の学力や学年によって調整が必要ですが、基本的な流れとして参考にしてください。

【高2の3月〜高3の4月】基礎固め期

【5月〜7月】数学Ⅲ習得期

【8月〜9月】標準問題演習期（夏休み〜）

【10月〜11月】実戦演習期

【12月〜共通テスト】共通テスト集中期

【共通テスト後〜二次試験】最終仕上げ期

藤原おすすめ参考書ランキング

弘前大学医学部合格に向けて、私が自信を持っておすすめする参考書を紹介します。レベル別・目的別に整理していますので、自分の現状に合わせて選んでください。

【基礎固め】レベル1〜2

第1位：『チャート式 基礎からの数学』（青チャート）/ 数研出版

第2位：『基礎問題精講』シリーズ / 旺文社

第3位：『Focus Gold』/ 啓林館

【標準〜応用】レベル3〜4

第1位：『1対1対応の演習』シリーズ / 東京出版

第2位：『標準問題精講』シリーズ / 旺文社

第3位：『数学重要問題集』/ 数研出版

【分野別強化】

『合格る確率＋場合の数』/ 文英堂

『微積分 基礎の極意』/ 東京出版

【過去問・実戦演習】

『弘前大学 赤本』/ 教学社

『国公立大学医学部の数学』/ 旺文社

【共通テスト対策】

『共通テスト数学 実戦模試』/ 駿台文庫・河合出版など

日本数学塾・数強塾で弘前大学医学部合格を目指そう

ここまで弘前大学医学部の数学対策について詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

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そんな悩みを持っている方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の門を叩いてみてください。

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まとめ：弘前大学医学部 数学攻略のポイント

最後に、本記事の内容を整理しておきましょう。

補足：よくある質問（FAQ）

Q1. 数学が苦手ですが、弘前大学医学部は目指せますか？

Q2. 青チャートは全部やる必要がありますか？

Q3. 過去問はいつから始めるべきですか？

Q4. 共通テストと二次試験、どちらを優先すべきですか？

Q5. 計算ミスが多いのですが、どうすれば減らせますか？

Q6. 塾や予備校に通わず独学でも合格できますか？

おわりに

弘前大学医学部の数学対策について、かなり詳しく解説してきました。

繰り返しになりますが、弘前大学の数学は「難問を解く力」よりも「標準問題を確実に解く力」が求められます。地道な努力を継続できる人が、最終的に合格を勝ち取ります。

医学部受験は長く険しい道のりですが、その先には医師として人々を救うという素晴らしい未来が待っています。今日この記事を読んでくださったあなたが、来年の春に弘前大学医学部の門をくぐることを心から願っています。

さあ、今日から行動を始めましょう！

何か質問や相談があれば、いつでも日本数学塾・数強塾にお問い合わせください。私たちが全力でサポートします。

🌸 弘前大学医学部合格を目指して、一緒に頑張りましょう！ 🌸

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