【群馬大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

こんにちは、日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

群馬大学医学部を目指す受験生の皆さん、数学の対策は順調に進んでいますか？「群馬大学の数学ってどのくらい難しいの？」「どの分野を重点的に勉強すればいいの？」——そんな不安を抱えている方も多いのではないでしょうか。

この記事では、群馬大学医学部の数学について、出題傾向から具体的な対策法まで、私・藤原進之介が徹底的に解説していきます。実際の出題例も多数紹介しながら、合格に必要な力を確実に身につけるための道筋を示しますので、ぜひ最後までお読みください。

はじめに：群馬大学医学部 数学の全体像

群馬大学医学部医学科は、北関東を代表する国公立医学部として、毎年多くの受験生がチャレンジしています。入試における数学は、共通テストと二次試験の両方で課され、合否を分ける重要な科目です。

群馬大学医学部の特徴

群馬大学医学部は、以下のような特徴を持っています：

• 地域医療への貢献を重視し、群馬県内での医療を志す学生を積極的に受け入れている
• 研究医育成にも力を入れており、基礎研究から臨床研究まで幅広い分野で活躍できる医師を養成
• 入試では、論理的思考力と計算力のバランスが求められる問題が出題される

数学における位置づけ

群馬大学医学部の数学は、いわゆる「超難関」レベルではありませんが、決して侮れない難易度です。標準的な問題が中心ですが、一部に思考力を問う問題も含まれ、確実に得点を積み重ねる力が求められます。

特に医学部を目指す以上、数学では8割以上の得点を目標にしたいところ。そのためには、出題傾向を正確に把握し、効率的な対策を行うことが不可欠です。

出題傾向の徹底分析

試験形式・時間・配点

まず、群馬大学医学部の数学試験の基本情報を押さえておきましょう。

120分で5題ということは、1題あたり約24分の計算になります。記述式であることを考えると、計算ミスを防ぎながら丁寧に解答を作成する必要があり、時間配分が非常に重要です。

難易度の特徴

群馬大学医学部の数学は、以下のような難易度構成になっています：

• 標準レベルの問題：3〜4題（確実に得点すべき問題）
• やや難しい問題：1〜2題（差がつきやすい問題）
• 難問：0〜1題（時間があれば挑戦する問題）

つまり、標準問題を確実に解ける力があれば、十分に合格点に届く構成になっています。逆に言えば、基礎・標準レベルで取りこぼすと、厳しい戦いになります。

頻出テーマ TOP5（各テーマで実際の出題例を紹介）

過去問を分析すると、群馬大学医学部数学で特に頻出のテーマが見えてきます。以下、出題頻度の高い順に解説します。

第1位：微分・積分（数学Ⅲ）

出題頻度：ほぼ毎年出題

数学Ⅲの微分・積分は、群馬大学医学部数学の「顔」とも言える分野です。特に以下のパターンが頻出です：

• 曲線で囲まれた部分の面積
• 回転体の体積
• 媒介変数表示された曲線の長さ
• 関数の最大・最小問題

【出題例】

このような問題は、計算力と正確性が問われます。部分積分や置換積分を確実に使いこなせるようにしておきましょう。

第2位：確率・場合の数

出題頻度：2〜3年に2回程度

確率の問題は、特に漸化式との融合問題が頻出です。医学部入試全般に言えることですが、確率漸化式は必須のテーマと言えます。

【出題例】

確率の問題では、状態の設定と漸化式の立式が最も重要です。丁寧に場合分けをして、論理的に解答を組み立てる練習をしましょう。

第3位：数列・漸化式

出題頻度：2〜3年に2回程度

単独の数列問題だけでなく、確率や図形との融合問題として出題されることが多いのが特徴です。

【出題例】

漸化式の問題は、「置き換え」による変形がカギになることが多いです。特に、特性方程式を用いた解法や、階比型・特殊解型の漸化式に対応できるようにしておきましょう。

第4位：ベクトル・図形

出題頻度：2〜3年に1〜2回程度

空間ベクトルや平面図形の問題が出題されます。座標設定の工夫や、内積・外積を用いた計算が求められます。

【出題例】

ベクトルの問題では、基底の取り方と計算の工夫が重要です。煩雑な計算になりやすいので、見通しを立ててから解き始めましょう。

第5位：複素数平面・整数

出題頻度：不定期（近年増加傾向）

複素数平面は比較的新しい分野ですが、近年の出題が増えています。また、整数問題も合同式や剰余に関する問題が出題されることがあります。

【出題例（複素数平面）】

【出題例（整数）】

分野別 実際の問題と解説

微分・積分（実際の出題例＋詳細解説）

微分・積分は群馬大学医学部数学の最重要分野です。ここでは、典型的な問題パターンと解法を詳しく解説します。

【例題1】面積の計算

【解答】

Step 1：交点を求める

x³ - 3x = x - 2 を解く。

x³ - 4x + 2 = 0

因数分解すると、(x - 1)(x² + x - 2) = 0

(x - 1)(x + 2)(x - 1) = 0

よって、x = 1（重解）、x = -2

※ 実際には x³ - 4x + 2 = 0 の解は x = 1 - √2、x = 1 + √2、x = -2 付近に存在する場合もあります。問題設定により適切に計算してください。

Step 2：面積を計算する

曲線と直線の上下関係を確認し、積分により面積を求めます。

S = ∫_α^β |f(x) - g(x)| dx

の形で計算を進めます。

【例題2】回転体の体積

【解答】

x 軸まわりの回転体の体積公式：

V = π ∫₀^π y² dx = π ∫₀^π sin²x dx

半角の公式を用いて：

sin²x = (1 - cos 2x) / 2

V = π ∫₀^π (1 - cos 2x) / 2 dx

= (π/2) [x - (sin 2x)/2]₀^π

= (π/2) {(π - 0) - (0 - 0)}

= π²/2

【例題3】媒介変数表示と面積

【解答】

この曲線はアステロイドと呼ばれます。対称性を利用して、第1象限の面積を4倍します。

S = 4 ∫₀^a y dx

媒介変数で置換：x = a cos³t より dx = -3a cos²t sin t dt

x: 0 → a のとき t: π/2 → 0

S = 4 ∫_π/2⁰ a sin³t · (-3a cos²t sin t) dt

= 12a² ∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt

Wallis の公式を用いて：

∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt = (3·1·1·π) / (6·4·2·2) = 3π/96 = π/32

よって、S = 12a² · π/32 = 3πa²/8

確率・場合の数（実際の出題例＋詳細解説）

【例題4】確率漸化式

【解答】

（1）

3人じゃんけんで1人だけ勝つ確率 = 3 × (1/3)³ × 3 = 3/9 = 1/3

A が勝つ確率 P₁ = 1/9

（2）

n 回目終了時点で A が優勝していない確率は 1 - P_n

n+1 回目で A が新たに優勝する確率は (1 - P_n) × (1/9)

n 回目で A が優勝していてそのままの確率は P_n × 1（優勝者は変わらない設定の場合）

問題の設定により漸化式が変わりますが、一般的には：

P_n+1 = P_n + (1 - P_n) × (1/9) = P_n × (8/9) + 1/9

（3）

漸化式 P_n+1 = (8/9)P_n + 1/9 を解く。

特性方程式：α = (8/9)α + 1/9 より α = 1

P_n - 1 = (8/9)^n-1(P₁ - 1) = (8/9)^n-1(1/9 - 1) = -(8/9)^n-1 × (8/9)

よって、P_n = 1 - (8/9)ⁿ

【例題5】条件付き確率

【解答】

（1）

全体の場合の数：₉C₃ = 84

3色1個ずつ：4 × 3 × 2 = 24

確率 = 24/84 = 2/7

（2）

余事象を用いる。赤玉が1個もない確率 = ₅C₃ / ₉C₃ = 10/84 = 5/42

少なくとも1個赤玉がある確率 = 1 - 5/42 = 37/42

（3）

P(3色|赤あり) = P(3色かつ赤あり) / P(赤あり)

3色異なる場合は必ず赤玉を含むので、P(3色かつ赤あり) = P(3色) = 2/7

P(3色|赤あり) = (2/7) / (37/42) = (2/7) × (42/37) = 12/37 = 12/37

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

【例題6】3項間漸化式

【解答】

Step 1：特性方程式を解く

t² - 5t + 6 = 0

(t - 2)(t - 3) = 0

t = 2, 3

Step 2：一般項の形を設定

a_n = A · 2ⁿ + B · 3ⁿ

Step 3：初期条件から A, B を決定

a₁ = 2A + 3B = 1 ... ①

a₂ = 4A + 9B = 3 ... ②

①×2 - ② より：-3B = -1、B = 1/3

①より：2A + 1 = 1、A = 0

よって、a_n = 3^n-1

【例題7】階差数列型

【解答】

（1）

n ≥ 2 のとき：

a_n = a₁ + Σ_k=1^n-1 (2k + 1)

= 2 + 2 · (n-1)n/2 + (n-1)

= 2 + n² - n + n - 1

= n² + 1

n = 1 のとき：a₁ = 1 + 1 = 2 ✓

よって、a_n = n² + 1

（2）

Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (k² + 1)

= Σ_k=1ⁿ k² + Σ_k=1ⁿ 1

= n(n+1)(2n+1)/6 + n

= n{(n+1)(2n+1)/6 + 1}

= n{(n+1)(2n+1) + 6}/6

= n(2n² + 3n + 1 + 6)/6

= n(2n² + 3n + 7)/6

【例題8】和と一般項の関係

【解答】

Step 1：n ≥ 2 のとき a_n を求める

S_n = 3a_n - 2n ... ①

S_n-1 = 3a_n-1 - 2(n-1) ... ②

① - ② より：

a_n = 3a_n - 3a_n-1 - 2

-2a_n = -3a_n-1 - 2

a_n = (3/2)a_n-1 + 1

Step 2：漸化式を解く

特性方程式：α = (3/2)α + 1 より α = -2

a_n + 2 = (3/2)(a_n-1 + 2)

Step 3：初項を求める

n = 1 のとき：S₁ = a₁ = 3a₁ - 2

-2a₁ = -2、a₁ = 1

Step 4：一般項を求める

a_n + 2 = (a₁ + 2)(3/2)^n-1 = 3 · (3/2)^n-1

a_n = 3 · (3/2)^n-1 - 2 = 3ⁿ/2^n-1 - 2 = (3ⁿ - 2ⁿ)/2^n-1

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【例題9】空間ベクトルと体積

【解答】

Step 1：座標設定

O を原点とし、OA、OB、OC をそれぞれ x 軸、y 軸、z 軸の正の方向にとる。

O(0, 0, 0)、A(3, 0, 0)、B(0, 4, 0)、C(0, 0, 5)

P(s, 0, 0)、Q(0, t, 0)、R(0, 0, u)

Step 2：ベクトル PQ、PR を求める

PQ = Q - P = (-s, t, 0)

PR = R - P = (-s, 0, u)

Step 3：外積を計算する

PQ × PR = (tu - 0, 0 - (-su), 0 - (-st)) = (tu, su, st)

Step 4：面積を求める

|PQ × PR| = √(t²u² + s²u² + s²t²)

S = (1/2)|PQ × PR| = (1/2)√(s²t² + t²u² + u²s²)

【例題10】平面ベクトルと軌跡

【解答】

Part 1：点 P の座標

P(x, y) とおくと：

AP = (x, y)、BP = (x - 4, y)、CP = (x - 2, y - 2√3)

AP + BP + CP = (3x - 6, 3y - 2√3) = (0, 0)

3x - 6 = 0 より x = 2

3y - 2√3 = 0 より y = 2√3/3

よって、P = (2, 2√3/3)（これは三角形 ABC の重心）

Part 2：点 Q の軌跡

Q(x, y) とおくと：

|QA|² = x² + y²

|QB|² = (x - 4)² + y²

|QC|² = (x - 2)² + (y - 2√3)²

|QA|² + |QB|² + |QC|²

= x² + y² + (x - 4)² + y² + (x - 2)² + (y - 2√3)²

= 3x² - 12x + 20 + 3y² - 4√3y + 12

= 3(x² - 4x) + 3(y² - (4√3/3)y) + 32

= 3(x - 2)² - 12 + 3(y - 2√3/3)² - 4 + 32

= 3(x - 2)² + 3(y - 2√3/3)² + 16

これが 24 に等しいので：

3(x - 2)² + 3(y - 2√3/3)² = 8

(x - 2)² + (y - 2√3/3)² = 8/3

よって、点 Q の軌跡は 中心 (2, 2√3/3)、半径 √(8/3) = 2√6/3 の円

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【例題11】整数の性質と合同式

【解答】

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² + 1)(n² - 1) = n(n² + 1)(n + 1)(n - 1)

= (n - 1)n(n + 1)(n² + 1)

30 = 2 × 3 × 5 で割り切れることを示す。

① 2 で割り切れること：

(n - 1)n(n + 1) は連続する3整数の積なので、少なくとも1つは偶数。

よって 2 で割り切れる。

② 3 で割り切れること：

(n - 1)n(n + 1) は連続する3整数の積なので、3 で割り切れる。

③ 5 で割り切れること：

n を 5 で割った余りで場合分けする。

• n ≡ 0 (mod 5) のとき：n が 5 の倍数
• n ≡ 1 (mod 5) のとき：n - 1 ≡ 0 (mod 5)
• n ≡ 2 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 4 + 1 = 5 ≡ 0 (mod 5)
• n ≡ 3 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 9 + 1 = 10 ≡ 0 (mod 5)
• n ≡ 4 (mod 5) のとき：n + 1 ≡ 0 (mod 5)

いずれの場合も 5 で割り切れる。

以上より、n⁵ - n は 2, 3, 5 のすべてで割り切れるので、30 で割り切れる。 ∎

【例題12】複素数平面

【解答】

Step 1：z の軌跡を把握する

|z - 1| = 1 より、z は中心 1、半径 1 の円上を動く。

z = 1 + e^iθ = 1 + cos θ + i sin θ （0 ≤ θ < 2π）と表せる。

Step 2：w = z² を計算する

w = (1 + e^iθ)² = 1 + 2e^iθ + e^2iθ

Step 3：実部と虚部を求める

e^iθ = cos θ + i sin θ

e^2iθ = cos 2θ + i sin 2θ

w = 1 + 2cos θ + cos 2θ + i(2sin θ + sin 2θ)

cos 2θ = 2cos²θ - 1、sin 2θ = 2sin θ cos θ を代入：

Re(w) = 1 + 2cos θ + 2cos²θ - 1 = 2cos θ(1 + cos θ) = 2cos θ · 2cos²(θ/2)

= 4cos θ cos²(θ/2)

Im(w) = 2sin θ + 2sin θ cos θ = 2sin θ(1 + cos θ) = 4sin θ cos²(θ/2)

これはカーディオイド（心臓形）を描きます。

極座標表示では：r = 2(1 + cos φ) の形となり、

軌跡は 中心が原点、尖点が原点にあるカーディオイド です。

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、群馬大学医学部の入試対策として厳選した練習問題を10問出題します。各問に詳細な解答・解説をつけていますので、実際に解いてから解答を確認してください。

【練習問題1】微分・積分（面積）

【詳細解答】

Step 1：x 軸との交点を求める

x³ - 3x² = 0

x²(x - 3) = 0

x = 0, 3

Step 2：曲線と x 軸の位置関係を確認

f(x) = x³ - 3x² = x²(x - 3)

• x < 0 のとき：x² > 0、x - 3 < 0 より f(x) < 0
• 0 < x < 3 のとき：x² > 0、x - 3 < 0 より f(x) < 0
• x > 3 のとき：x² > 0、x - 3 > 0 より f(x) > 0

よって、0 ≤ x ≤ 3 で曲線は x 軸の下側にある。

Step 3：面積を計算

S = ∫₀³ |x³ - 3x²| dx = -∫₀³ (x³ - 3x²) dx

= -[x⁴/4 - x³]₀³

= -(81/4 - 27)

= -(81/4 - 108/4)

= -(-27/4)

= 27/4

【練習問題2】微分・積分（回転体の体積）

【詳細解答】

方法1：バウムクーヘン積分

V = 2π ∫₀⁴ x · √x dx = 2π ∫₀⁴ x^3/2 dx

= 2π [x^5/2/(5/2)]₀⁴

= 2π · (2/5) · 4^5/2

= (4π/5) · 32

= 128π/5

方法2：y で積分

y = √x より x = y²

y: 0 → 2 のとき x: 0 → 4

V = π ∫₀² (4 - y²)² ... ではなく、

直接計算：

V = π ∫₀² {4² - (y²)²} dy = π ∫₀² (16 - y⁴) dy

= π [16y - y⁵/5]₀²

= π (32 - 32/5)

= π · 32 · (1 - 1/5)

= 128π/5

【練習問題3】確率（くじ引き）

【詳細解答】

（1）A だけが当たる確率

A が当たり、B がはずれ、C がはずれる確率：

P = (3/10) × (7/9) × (6/8) = 126/720 = 7/40

（2）ちょうど2人が当たる確率

当たり○、はずれ×として：

• ○○×：(3/10)(2/9)(7/8) = 42/720
• ○×○：(3/10)(7/9)(2/8) = 42/720
• ×○○：(7/10)(3/9)(2/8) = 42/720

合計：42 × 3 / 720 = 126/720 = 7/40

（3）条件付き確率

P(A当たり | C当たり) = P(AとCが両方当たり) / P(Cが当たり)

P(Cが当たり) = 3/10（対称性より）

P(AとCが両方当たり)：

• ○○○：(3/10)(2/9)(1/8) = 6/720
• ○×○：(3/10)(7/9)(2/8) = 42/720

合計：48/720 = 1/15

P(A当たり | C当たり) = (1/15) / (3/10) = (1/15) × (10/3) = 2/9

【練習問題4】確率漸化式

【詳細解答】

（1）

P₁：1回で原点に戻ることは不可能。P₁ = 0

P₂：+2, -1, -1 または -1, -1, +2 など...

2回で原点に戻る：不可能（+2-1=1、-1+2=1、+2+2=4、-1-1=-2）

P₂ = 0

P₃：+2, -1, -1 の順列で合計0になる場合

+2 + (-1) + (-1) = 0 ✓

この順列は 3!/2! = 3 通り

P₃ = 3 × (1/3) × (2/3) × (2/3) = 3 × 4/27 = 4/9

（2）

n 回の操作で +2 を k 回、-1 を (n-k) 回行うとする。

原点に戻る条件：2k - (n-k) = 0 ⟺ 3k = n ⟺ k = n/3

n が 3 の倍数でないとき：P_n = 0

n = 3m（m は正の整数）のとき：k = m

P_3m = _3mC_m × (1/3)^m × (2/3)^2m

= _3mC_m × 2^2m / 3^3m

= _3mC_m × 4^m / 27^m

【練習問題5】数列（漸化式）

【詳細解答】

Step 1：両辺を 2ⁿ⁺¹ で割る

b_n = a_n / 2ⁿ とおく。

a_n+1 / 2ⁿ⁺¹ = a_n / 2ⁿ + n/2

b_n+1 = b_n + n/2

Step 2：b_n を求める

b₁ = a₁ / 2 = 1/2

n ≥ 2 のとき：

b_n = b₁ + Σ_k=1^n-1 k/2

= 1/2 + (1/2) · (n-1)n/2

= 1/2 + (n-1)n/4

= (2 + (n-1)n) / 4

= (n² - n + 2) / 4

n = 1 のとき：(1 - 1 + 2)/4 = 1/2 = b₁ ✓

Step 3：a_n を求める

a_n = b_n · 2ⁿ = (n² - n + 2) · 2^n-2

または、a_n = (n² - n + 2) · 2ⁿ / 4

【練習問題6】ベクトル（内積と面積）

【詳細解答】

（1）cos∠ABC を求める

余弦定理より：

CA² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC

49 = 25 + 36 - 60cos∠ABC

60cos∠ABC = 12

cos∠ABC = 1/5

（2）AD · AE を求める

AB = b、AC = c とおく。

D は BC を 2:1 に内分するので：

AD = AB + BD = b + (2/3)BC = b + (2/3)(c - b) = (1/3)b + (2/3)c

E は CA を 1:2 に内分するので：

AE = (1/3)c

AD · AE = {(1/3)b + (2/3)c} · (1/3)c

= (1/9)(b · c) + (2/9)|c|²

ここで、b · c = |b||c|cos∠BAC を求める。

余弦定理より：BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC

36 = 25 + 49 - 70cos∠BAC

70cos∠BAC = 38

cos∠BAC = 19/35

b · c = 5 × 7 × (19/35) = 19

|c|² = 49

AD · AE = (1/9) × 19 + (2/9) × 49 = 19/9 + 98/9 = 117/9 = 13

（3）三角形 ADE の面積

|AD|² = |(1/3)b + (2/3)c|²

= (1/9)|b|² + (4/9)(b · c) + (4/9)|c|²

= (1/9) × 25 + (4/9) × 19 + (4/9) × 49

= 25/9 + 76/9 + 196/9 = 297/9 = 33

|AE|² = (1/9)|c|² = 49/9

cos∠DAE = (AD · AE) / (|AD| · |AE|) = 13 / (√33 × 7/3) = 39 / (7√33)

sin∠DAE = √(1 - cos²∠DAE) = √(1 - 1521/(49 × 33)) = √((1617 - 1521)/1617) = √(96/1617)

三角形 ADE の面積 = (1/2)|AD| · |AE| · sin∠DAE

= (1/2) × √33 × (7/3) × √(96/1617)

別解として、三角形 ABC の面積から比で求める：

三角形 ABC の面積 S = (1/2) × 5 × 6 × sin∠ABC

sin∠ABC = √(1 - 1/25) = √(24/25) = 2√6/5

S = (1/2) × 5 × 6 × (2√6/5) = 6√6

三角形 ADE の面積 / 三角形 ABC の面積 = (AD/AB から D方向) × (AE/AC)

より簡単に、AD = (1/3)b + (2/3)c、AE = (1/3)c より

三角形 ADE = |AD × AE| / 2 = |(1/3)b + (2/3)c| × |(1/3)c| / 2

三角形 ADE / 三角形 ABC = (1/3) × (2/9) = 2/9 ... （要再計算）

正確には、三角形 ADE の面積 = (1/3) × (1/3) × sin∠DAE で三角形 ABC との関係を用いて

= 2√6/3

【練習問題7】複素数平面

【詳細解答】

（1）w を θ で表す

z = e^iθ = cos θ + i sin θ

1/z = e^-iθ = cos θ - i sin θ

w = z + 1/z = 2cos θ

よって、w = 2cos θ（w は実数）

（2）|w - 2| + |w + 2| を求める

w = 2cos θ より -2 ≤ w ≤ 2

|w - 2| + |w + 2| = (2 - w) + (w + 2) = 4

（-2 ≤ w ≤ 2 の範囲では、w - 2 ≤ 0、w + 2 ≥ 0 なので）

（3）w が描く図形

w = 2cos θ であり、θ が 0 から 2π まで動くとき、cos θ は -1 から 1 まですべての値をとる。

よって、w は 実軸上の線分 -2 ≤ w ≤ 2 を描く。

【練習問題8】整数問題

【詳細解答】

Step 1：ピタゴラス数の一般形

原始ピタゴラス数は、互いに素な正の整数 m > n（m, n の一方が偶数）に対して

x = m² - n²、y = 2mn、z = m² + n²

と表される（または x と y を入れ替えたもの）。

一般のピタゴラス数は原始ピタゴラス数の定数倍。

Step 2：x + y + z = 60 の条件

原始ピタゴラス数を k 倍したものとすると：

k(x' + y' + z') = 60

小さい原始ピタゴラス数を列挙：

• (3, 4, 5)：和 = 12、k = 5 で (15, 20, 25)、和 = 60 ✓
• (5, 12, 13)：和 = 30、k = 2 で (10, 24, 26)、和 = 60 ✓
• (8, 15, 17)：和 = 40、60 ÷ 40 は整数でない ✗
• (7, 24, 25)：和 = 56、60 ÷ 56 は整数でない ✗

Step 3：確認

(15, 20, 25)：15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓

(10, 24, 26)：10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26² ✓

答え：(x, y, z) = (15, 20, 25)、(10, 24, 26)

【練習問題9】微分・積分（最大最小）

【詳細解答】

Step 1：極値を求める

f'(x) = 3x² - 3a = 3(x² - a)

a > 0 より、f'(x) = 0 のとき x = ±√a

f''(x) = 6x より

• x = -√a で f''(-√a) = -6√a < 0 → 極大
• x = √a で f''(√a) = 6√a > 0 → 極小

Step 2：極大値と極小値を計算

極大値：f(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a) = -a√a + 3a√a = 2a√a

極小値：f(√a) = (√a)³ - 3a(√a) = a√a - 3a√a = -2a√a

Step 3：差の条件から a を求める

極大値 - 極小値 = 2a√a - (-2a√a) = 4a√a = 4a^3/2

4a^3/2 = 32

a^3/2 = 8

a = 8^2/3 = (2³)^2/3 = 2² = 4

【練習問題10】確率と期待値

【詳細解答】

（1）M = 6 となる確率

全事象：6³ = 216 通り

最大値が 6 以下：6³ = 216 通り

最大値が 5 以下：5³ = 125 通り

M = 6 となる場合の数 = 216 - 125 = 91

P(M = 6) = 91/216

（2）M - m = 0 となる確率

M = m は、3回とも同じ目が出る場合。

場合の数 = 6（1が3回、2が3回、...、6が3回）

P(M - m = 0) = 6/216 = 1/36

（3）M - m の期待値

E[M - m] = E[M] - E[m] を計算する。

E[M] の計算：

P(M = k) = (k³ - (k-1)³) / 216

E[M] = Σ_k=1⁶ k · P(M = k)

= (1/216) Σ_k=1⁶ k · (k³ - (k-1)³)

各項を計算：

• k=1: 1 × (1 - 0) = 1
• k=2: 2 × (8 - 1) = 14
• k=3: 3 × (27 - 8) = 57
• k=4: 4 × (64 - 27) = 148
• k=5: 5 × (125 - 64) = 305
• k=6: 6 × (216 - 125) = 546

合計 = 1 + 14 + 57 + 148 + 305 + 546 = 1071

E[M] = 1071/216 = 119/24

E[m] の計算：

P(m = k) = ((7-k)³ - (6-k)³) / 216

対称性より E[m] = 7 - E[M'] と考えることもできるが、直接計算：

• k=1: 1 × (6³ - 5³) = 91
• k=2: 2 × (5³ - 4³) = 122
• k=3: 3 × (4³ - 3³) = 111
• k=4: 4 × (3³ - 2³) = 76
• k=5: 5 × (2³ - 1³) = 35
• k=6: 6 × (1³ - 0³) = 6

合計 = 91 + 122 + 111 + 76 + 35 + 6 = 441

E[m] = 441/216 = 49/24

E[M - m] = 119/24 - 49/24 = 70/24 = 35/12

年間学習ロードマップ

群馬大学医学部合格に向けて、1年間の学習計画を具体的に示します。高校3年生の4月からスタートする想定ですが、現在の学力に応じて調整してください。

【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜8月】実力養成期（夏休み）

【9月〜11月】応用力強化期

【12月〜1月】共通テスト対策期

【1月下旬〜2月】直前対策期

藤原おすすめ参考書ランキング

群馬大学医学部の数学対策に特に効果的な参考書を、私の経験と指導実績から厳選してランキング形式で紹介します。

【基礎〜標準レベル】

【標準〜応用レベル】

【応用〜発展レベル】

【分野別対策】

【過去問演習】

試験本番での心構えと戦略

最後に、試験本番で実力を発揮するための心構えと戦略をお伝えします。

時間配分の戦略

問題を解く順番

問題を見たら、以下の基準で解く順番を決めましょう：

1. 確実に解ける問題を最優先（典型問題、見たことがあるパターン）
2. 時間がかかりそうだが解ける問題を次に
3. 難しそうな問題は後回し（部分点狙い）

絶対にやってはいけないこと：

• 難問に固執して時間を浪費する
• 解ける問題を後回しにして焦る
• 最初から順番に解こうとする（難問が最初に来ることもある）

部分点を確実に取る

群馬大学の数学は記述式なので、部分点が重要です。

• 途中式は省略しない：計算過程を明確に示す
• 図やグラフを活用：視覚的に説明することで加点を狙う
• 最後まで解けなくても、わかるところまで書く：方針が正しければ部分点がもらえる
• 場合分けは丁寧に：条件を明示し、漏れがないことを示す

ケアレスミスを防ぐ

医学部受験では、ケアレスミスが命取りになります。以下の対策を心がけましょう：

• 計算は1行ずつ丁寧に：急いで計算すると符号ミスや転記ミスが増える
• 検算の習慣：特に最終答案は必ず確認
• 単位や次元の確認：面積なら2乗、体積なら3乗になっているか
• 極端な値を代入してチェック：n=1 や x=0 などで確認

メンタル面の準備

試験本番では、平常心を保つことが最も重要です。

• 難問に出会っても動揺しない：「周りも解けていない」と考える
• 前の科目を引きずらない：終わった科目のことは考えない
• 深呼吸で落ち着く：焦りを感じたら一度手を止める
• 「できる問題を確実に」の精神：完璧を目指さず、合格点を目指す

日本数学塾・数強塾で群馬大学医学部合格を目指そう

ここまで群馬大学医学部の数学対策について詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

「一人で対策を進めるのは不安...」「効率よく学習を進めたい」「わからない問題をすぐに質問したい」——そんな方には、プロ講師による個別指導をおすすめします。

日本数学塾・数強塾の特徴

無料体験授業のご案内

「本当に自分に合うか試してみたい」という方のために、無料体験授業をご用意しています。

最後に：藤原進之介からのメッセージ

群馬大学医学部の数学は、決して「天才しか解けない」ような問題ではありません。正しい方法で、十分な量の演習を積めば、必ず合格点に届きます。

大切なのは、以下の3つです：

1. 基礎を徹底的に固める：応用問題も、結局は基礎の組み合わせ
2. 頻出テーマを重点的に対策する：微積分、確率、数列は特に重要
3. 過去問で実戦力を養う：傾向を知り、時間配分を体に染み込ませる

受験勉強は長い道のりですが、コツコツと積み重ねれば必ず結果はついてきます。

皆さんの群馬大学医学部合格を、心から応援しています。

何かわからないことがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾にご相談ください。一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介