【重要】確率の定義

全事象Uの要素数がn通りで、そのどれが起こることも同様に確からしいとき、事象Aが起こる確率P(A)は：

P(A) = (事象Aの場合の数) / (全事象Uの場合の数) = a/n

【藤原のポイント】余事象を使うべき場面

「少なくとも1つ」「少なくとも1回」という表現が出てきたら、余事象を考えましょう！

• 少なくとも1つは〇〇 → 余事象は「すべて〇〇でない」
• 少なくとも1回は〇〇 → 余事象は「1回も〇〇しない」

【公式の意味】

• _nC_r：n回中どのr回でAが起こるかの組み合わせ
• p^r：Aがr回起こる確率
• (1-p)^n-r：Aが起こらないのがn-r回の確率

【注意】条件付き確率でよくある間違い

P_A(B)とP(A∩B)を混同しないこと！

• P(A∩B)：AとBがともに起こる確率（全体を分母とする）
• P_A(B)：Aが起こったときにBも起こる確率（Aの場合を分母とする）

【基礎問題1】サイコロの確率（基本）

■ 問題

1個のサイコロを1回投げるとき、次の確率を求めよ。

（1）3の目が出る確率

（2）偶数の目が出る確率

（3）5以下の目が出る確率

■ 考え方

サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6の6通りで、どの目が出ることも同様に確からしい。確率の基本定義P(A) = (Aが起こる場合の数)/(全体の場合の数)を使う。

■ 解法

全事象の場合の数は6通り

（1）3の目が出る確率

3の目は1通りなので、P = 1/6

（2）偶数の目が出る確率

偶数の目は2, 4, 6の3通りなので、P = 3/6 = 1/2

（3）5以下の目が出る確率

5以下の目は1, 2, 3, 4, 5の5通りなので、P = 5/6

■ 答

（1）1/6　（2）1/2　（3）5/6

【基礎問題2】コインの確率

■ 問題

2枚のコインを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。

（1）2枚とも表が出る確率

（2）1枚が表、1枚が裏になる確率

（3）少なくとも1枚は表が出る確率

■ 考え方

2枚のコインを区別して考える。コイン1とコイン2それぞれに表・裏の2通りあるので、全部で2×2=4通り。

■ 解法

起こりうる結果を列挙：（表,表）,（表,裏）,（裏,表）,（裏,裏）の4通り

（1）2枚とも表が出る確率

（表,表）の1通りなので、P = 1/4

（2）1枚が表、1枚が裏になる確率

（表,裏）,（裏,表）の2通りなので、P = 2/4 = 1/2

（3）少なくとも1枚は表が出る確率

余事象「2枚とも裏」の確率を使う。

2枚とも裏：（裏,裏）の1通りで、その確率は1/4

よって、少なくとも1枚は表 = 1 - 1/4 = 3/4

■ 答

（1）1/4　（2）1/2　（3）3/4

【基礎問題3】玉を取り出す確率（復元なし）

■ 問題

袋の中に赤玉3個、白玉2個の合計5個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めよ。

■ 考え方

玉は色で区別がつくが、同じ色の玉は区別できない。しかし、確率を求める際はすべての玉に番号をつけて区別すると考えやすい。

■ 解法

5個の玉すべてを区別すると考える。

・全体の場合の数：5個から1個取り出す = 5通り

・赤玉を取り出す場合の数：赤玉3個から1個 = 3通り

よって、P = 3/5

■ 答

3/5

【基礎問題4】2個同時に取り出す確率

■ 問題

袋の中に赤玉4個、白玉3個の合計7個の玉が入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

■ 考え方

「同時に取り出す」は順序を考えない組み合わせ。玉を区別して、組み合わせの公式を使う。

■ 解法

・全体の場合の数：7個から2個を選ぶ = ₇C₂ = 21通り

・2個とも赤玉の場合の数：赤玉4個から2個を選ぶ = ₄C₂ = 6通り

よって、P = 6/21 = 2/7

■ 答

2/7

【基礎問題5】排反事象と確率の加法

■ 問題

1個のサイコロを1回投げるとき、「2の倍数の目が出る」または「3の倍数の目が出る」確率を求めよ。

■ 考え方

2の倍数と3の倍数には共通部分（6の倍数=6）があるので、排反ではない。加法定理 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) を使う。

■ 解法

・事象A：2の倍数の目が出る → {2, 4, 6} の3通り、P(A) = 3/6 = 1/2

・事象B：3の倍数の目が出る → {3, 6} の2通り、P(B) = 2/6 = 1/3

・事象A∩B：6の倍数の目が出る → {6} の1通り、P(A∩B) = 1/6

P(A∪B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3

■ 答

2/3

【基礎問題6】余事象の確率

■ 問題

15個の部品があり、その中に2個の不良品が含まれている。この15個の中から同時に3個を取り出すとき、少なくとも1個は不良品が含まれる確率を求めよ。

■ 考え方

「少なくとも1個」→ 余事象「1個も含まれない（すべて良品）」を使う。

■ 解法

良品は15-2=13個

・全体の場合の数：₁₅C₃ = (15×14×13)/(3×2×1) = 455通り

・すべて良品の場合の数：₁₃C₃ = (13×12×11)/(3×2×1) = 286通り

すべて良品の確率 = 286/455

少なくとも1個は不良品の確率 = 1 - 286/455 = 169/455 = 13/35

■ 答

13/35

【基礎問題7】独立試行の確率

■ 問題

サイコロを2回投げるとき、1回目に偶数が出て、2回目に5以上の目が出る確率を求めよ。

■ 考え方

1回目と2回目の試行は独立。独立な試行の確率は積で求まる。

■ 解法

・1回目に偶数が出る確率：{2, 4, 6}の3通りで、P₁ = 3/6 = 1/2

・2回目

・2回目に5以上の目が出る確率：{5, 6}の2通りで、P₂ = 2/6 = 1/3

独立試行なので、求める確率 = P₁ × P₂ = 1/2 × 1/3 = 1/6

■ 答

1/6

【基礎問題8】反復試行の確率（基本）

■ 問題

1枚のコインを4回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めよ。

■ 考え方

同じ試行（コインを投げる）を繰り返す反復試行。反復試行の公式 _nC_rp^r(1-p)^n-r を使う。

■ 解法

n = 4（回数）、r = 3（表の回数）、p = 1/2（表が出る確率）

求める確率 = ₄C₃ × (1/2)³ × (1/2)¹

= 4 × 1/8 × 1/2

= 4 × 1/16

= 1/4

■ 答

1/4

【基礎問題9】条件付き確率（基本）

■ 問題

2個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が8以上であるという条件のもとで、目の和がちょうど10である確率を求めよ。

■ 考え方

条件付き確率P_A(B) = P(A∩B)/P(A)を使う。「目の和が8以上」という条件のもとで、「目の和が10」の確率を求める。

■ 解法

2個のサイコロの目の出方は全部で6×6 = 36通り

事象A：目の和が8以上

・和が8：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) → 5通り

・和が9：(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4通り

・和が10：(4,6),(5,5),(6,4) → 3通り

・和が11：(5,6),(6,5) → 2通り

・和が12：(6,6) → 1通り

合計：5+4+3+2+1 = 15通り

事象B：目の和が10

上より3通り

事象A∩B：和が8以上かつ和が10

これは「和が10」と同じで、3通り

条件付き確率 P_A(B) = 3/15 = 1/5

■ 答

1/5

【基礎問題10】期待値の計算（基本）

■ 問題

1個のサイコロを1回投げて、出た目の数だけ点数がもらえるとする。もらえる点数の期待値を求めよ。

■ 考え方

期待値E(X) = Σx_ip_iを計算する。各目が出る確率はすべて1/6。

■ 解法

X：もらえる点数とすると、Xは1, 2, 3, 4, 5, 6の値をとり、それぞれの確率は1/6

E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6)

= (1+2+3+4+5+6)/6

= 21/6

= 7/2

■ 答

7/2（= 3.5）

【標準問題1】カードを引く確率

■ 問題

1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードがある。この中から3枚のカードを同時に引くとき、3枚のカードに書かれた数字の和が15以上になる確率を求めよ。

■ 考え方

全体の場合の数を求め、条件を満たす組み合わせを数え上げる。和が15以上になる組み合わせを丁寧に列挙する。

■ 解法

全体の場合の数：₉C₃ = 84通り

和が15以上になる組み合わせを列挙：

最大の和は7+8+9 = 24、最小の和は1+2+3 = 6

・和が24：{7,8,9} → 1通り

・和が23：{6,8,9} → 1通り

・和が22：{5,8,9}, {6,7,9} → 2通り

・和が21：{4,8,9}, {5,7,9}, {6,7,8} → 3通り

・和が20：{3,8,9}, {4,7,9}, {5,6,9}, {5,7,8} → 4通り

・和が19：{2,8,9}, {3,7,9}, {4,6,9}, {4,7,8}, {5,6,8} → 5通り

・和が18：{1,8,9}, {2,7,9}, {3,6,9}, {3,7,8}, {4,5,9}, {4,6,8}, {5,6,7} → 7通り

・和が17：{1,7,9}, {2,6,9}, {2,7,8}, {3,5,9}, {3,6,8}, {4,5,8}, {4,6,7} → 7通り

・和が16：{1,6,9}, {1,7,8}, {2,5,9}, {2,6,8}, {3,4,9}, {3,5,8}, {3,6,7}, {4,5,7} → 8通り

・和が15：{1,5,9}, {1,6,8}, {2,4,9}, {2,5,8}, {2,6,7}, {3,4,8}, {3,5,7}, {4,5,6} → 8通り

合計：1+1+2+3+4+5+7+7+8+8 = 46通り

求める確率 = 46/84 = 23/42

■ 答

23/42

【標準問題2】くじ引きの確率（順番による差）

■ 問題

10本のくじの中に3本の当たりくじがある。A、B、Cの3人がこの順に1本ずつくじを引く（引いたくじは戻さない）。次の確率を求めよ。

（1）Aが当たる確率

（2）Bが当たる確率

（3）Cが当たる確率

■ 考え方

くじを引く順番に関係なく、各人が当たる確率は同じになる（公平性）。これを計算で確かめる。

■ 解法

（1）Aが当たる確率

10本中3本が当たりなので、P(A当たり) = 3/10

（2）Bが当たる確率

Aの結果で場合分け：

・Aが当たり(確率3/10)のとき、残り9本中2本が当たりでBが当たる確率は2/9

・Aがはずれ(確率7/10)のとき、残り9本中3本が当たりでBが当たる確率は3/9

P(B当たり) = (3/10)×(2/9) + (7/10)×(3/9) = 6/90 + 21/90 = 27/90 = 3/10

（3）Cが当たる確率

同様に計算するか、または「くじは公平」の原理から、P(C当たり) = 3/10

【別解】全体を順列で考える

10本のくじを10個の場所に並べる順列は10!通り

Cの位置（3番目）に当たりくじが来る場合の数は、3×9! = 3×9!通り

（当たり3本から1本選び、残り9本を残りの場所に並べる）

P(C当たり) = 3×9!/10! = 3/10

■ 答

（1）3/10　（2）3/10　（3）3/10

【標準問題3】サイコロ2個の確率

■ 問題

2個のサイコロを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。

（1）目の積が12になる確率

（2）目の積が偶数になる確率

■ 考え方

（1）は積が12になる組を数え上げ。（2）は余事象「積が奇数」を使うと楽。

■ 解法

全体の場合の数：6×6 = 36通り

（1）目の積が12になる確率

12 = 2×6 = 3×4 = 4×3 = 6×2

よって、(2,6), (3,4), (4,3), (6,2) の4通り

P = 4/36 = 1/9

（2）目の積が偶数になる確率

余事象「目の積が奇数」を考える

積が奇数 ⟺ 両方の目が奇数

奇数の目：1, 3, 5 の3通り

両方奇数の場合の数：3×3 = 9通り

積が奇数の確率 = 9/36 = 1/4

積が偶数の確率 = 1 - 1/4 = 3/4

■ 答

（1）1/9　（2）3/4

【標準問題4】玉を続けて取り出す確率（非復元抽出）

■ 問題

袋の中に赤玉5個、白玉3個の合計8個の玉が入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出す（取り出した玉は戻さない）とき、1個目が赤玉で2個目が白玉である確率を求めよ。

■ 考え方

1回目と2回目は独立ではない（1回目の結果が2回目に影響する）。乗法定理 P(A∩B) = P(A)×P_A(B) を使う。

■ 解法

・1個目が赤玉の確率：P(赤) = 5/8

・1個目が赤玉のとき、2個目が白玉の確率：

　残りは赤4個、白3個の計7個なので、P_赤(白) = 3/7

求める確率 = (5/8) × (3/7) = 15/56

■ 答

15/56

【標準問題5】反復試行（サイコロ）

■ 問題

1個のサイコロを5回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

■ 考え方

反復試行の公式を適用。1の目が出る確率p = 1/6、出ない確率q = 5/6。

■ 解法

n = 5, r = 2, p = 1/6, 1-p = 5/6

P = ₅C₂ × (1/6)² × (5/6)³

= 10 × (1/36) × (125/216)

= 10 × 125 / (36×216)

= 1250 / 7776

= 625/3888

■ 答

625/3888

【標準問題6】少なくとも1回（余事象の応用）

■ 問題

当たる確率が1/3のくじを4回引くとき、少なくとも1回は当たる確率を求めよ。

■ 考え方

「少なくとも1回当たる」の余事象は「1回も当たらない（4回ともはずれ）」。

■ 解法

はずれる確率 = 1 - 1/3 = 2/3

4回ともはずれる確率 = (2/3)⁴ = 16/81

少なくとも1回当たる確率 = 1 - 16/81 = 65/81

■ 答

65/81

【標準問題7】条件付き確率（表を使う）

■ 問題

ある工場で製品A, Bを生産している。全生産量のうちAが60%、Bが40%を占める。また、Aの不良率は2%、Bの不良率は5%である。製品を1つ無作為に選んだところ不良品であった。この製品がAである確率を求めよ。

■ 考え方

条件付き確率の問題。「不良品である」という条件のもとで「Aである」確率を求める。ベイズの定理的な考え方を使う。

■ 解法

全体を1000個と仮定して表を作る：

	A（600個）	B（400個）	計
良品	588	380	968
不良品	12	20	32

・Aの不良品：600 × 0.02 = 12個

・Bの不良品：400 × 0.05 = 20個

・不良品の合計：12 + 20 = 32個

不良品のうちAである確率 = 12/32 = 3/8

【公式による解法】

P(不良品|A) × P(A) / P(不良品)

= (0.02 × 0.6) / (0.02 × 0.6 + 0.05 × 0.4)

= 0.012 / 0.032 = 12/32 = 3/8

■ 答

3/8

【標準問題8】じゃんけんの確率

■ 問題

A, B, Cの3人でじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。

（1）Aだけが勝つ確率

（2）1人だけが勝つ確率

（3）あいこになる確率

■ 考え方

3人がそれぞれグー・チョキ・パーの3通りを出すので、全体は3³ = 27通り。

■ 解法

全体の場合の数：27通り

（1）Aだけが勝つ確率

Aがグーで勝つ：BとCはチョキ → 1通り

Aがチョキで勝つ：BとCはパー → 1通り

Aがパーで勝つ：BとCはグー → 1通り

合計3通り

P = 3/27 = 1/9

（2）1人だけが勝つ確率

A, B, Cのどれか1人が勝つ。対称性から各人が勝つ確率は同じ。

P = 3 × (1/9) = 1/3

（3）あいこになる確率

あいこ = 「1人勝ち」でも「2人勝ち（= 1人負け）」でもない

1人負け（2人勝ち）の確率も1/3（対称性より）

あいこの確率 = 1 - 1/3 - 1/3 = 1/3

【別解】あいこを直接数える

・3人とも同じ手：3通り（全員グー、全員チョキ、全員パー）

・3人が全部異なる手：3! = 6通り

あいこは 3 + 6 = 9通り

P = 9/27 = 1/3 ✓

■ 答

（1）1/9　（2）1/3　（3）1/3

【標準問題9】期待値の応用

■ 問題

箱の中に1, 2, 3, 4, 5の数字が書かれた5枚のカードがある。この箱から2枚のカードを同時に引くとき、2枚のカードに書かれた数字の和の期待値を求めよ。

■ 考え方

2枚の和Xのとり得る値と、その確率を求めて期待値を計算する。または、1枚目の期待値と2枚目の期待値の和として考える。

■ 解法

【方法1：直接計算】

2枚の選び方：₅C₂ = 10通り

各組と和：

• {1,2}→3, {1,3}→4, {1,4}→5, {1,5}→6
• {2,3}→5, {2,4}→6, {2,5}→7
• {3,4}→7, {3,5}→8
• {4,5}→9

和の合計 = 3+4+5+6+5+6+7+7+8+9 = 60

期待値 = 60/10 = 6

【方法2：期待値の線形性】

1枚のカードの数字の期待値 = (1+2+3+4+5)/5 = 3

2枚の和の期待値 = 3 + 3 = 6（ただしこれは復元抽出の場合と同じ結果になる理由の説明が必要）

実は非復元抽出でも、各カードが選ばれる確率は等しいため、2枚の和の期待値は2×3 = 6となる。

■ 答

6

【標準問題10】点の移動と確率

■ 問題

数直線上を動く点Pが原点にある。コインを投げて、表が出たら+1、裏が出たら-1だけ移動する。コインを4回投げたとき、点Pが原点にある確率を求めよ。

■ 考え方

原点に戻るには、+1の回数と-1の回数が等しくなければならない。つまり、表2回、裏2回が出ればよい。

■ 解法

4回投げて原点に戻る条件：表2回、裏2回

これは反復試行の確率で求められる。

表が出る確率 p = 1/2、裏が出る確率 q = 1/2

4回中2回表が出る確率：

P = ₄C₂ × (1/2)² × (1/2)²

= 6 × 1/4 × 1/4

= 6/16

= 3/8

■ 答

3/8

【発展問題1】条件付き確率と原因の確率

■ 問題

袋Aには赤玉4個と白玉2個、袋Bには赤玉3個と白玉5個が入っている。サイコロを1回投げて、1または2の目が出たら袋Aから、それ以外の目が出たら袋Bから玉を1個取り出す。取り出した玉が赤玉であったとき、それが袋Aから取り出されたものである確率を求めよ。

■ 考え方

「赤玉が出た」という結果から「袋Aから取り出した」という原因を推定する問題。ベイズの定理（原因の確率）を使う。

■ 解法

事象の設定：

• 事象A：袋Aから取り出す
• 事象B：袋Bから取り出す
• 事象R：赤玉が出る

各確率の計算：

• P(A) = 2/6 = 1/3（1または2の目が出る確率）
• P(B) = 4/6 = 2/3（3, 4, 5, 6の目が出る確率）
• P(R|A) = 4/6 = 2/3（袋Aから赤玉を取り出す確率）
• P(R|B) = 3/8（袋Bから赤玉を取り出す確率）

赤玉が出る確率 P(R)：

P(R) = P(A)×P(R|A) + P(B)×P(R|B)

= (1/3)×(2/3) + (2/3)×(3/8)

= 2/9 + 6/24

= 2/9 + 1/4

= 8/36 + 9/36

= 17/36

求める確率（赤玉が出たとき袋Aである確率）：

P(A|R) = P(A∩R) / P(R) = P(A)×P(R|A) / P(R)

= (2/9) / (17/36)

= (2/9) × (36/17)

= 72/153

= 8/17

■ 答

8/17

【発展問題2】反復試行と漸化式

■ 問題

Aさんが勝つ確率が1/3、Bさんが勝つ確率が2/3のゲームを繰り返し行う。先に3回勝った方を優勝とするとき、Aさんが優勝する確率を求めよ。

■ 考え方

Aが優勝するパターンを、最後にAが勝つゲームの回数で場合分けして考える。

■ 解法

Aが優勝するのは、Aが3勝した時点で終了。このときBは0勝、1勝、または2勝。

【パターン1】3回でAが優勝（Aが3連勝）

確率 = (1/3)³ = 1/27

【パターン2】4回でAが優勝（Aが3勝1敗で、最後はA勝ち）

最初の3回でAが2勝1敗、4回目にAが勝つ

最初の3回の2勝1敗の並び方：₃C₁ = 3通り

確率 = 3 × (1/3)² × (2/3) × (1/3) = 3 × (1/9) × (2/3) × (1/3) = 6/81 = 2/27

【パターン3】5回でAが優勝（Aが3勝2敗で、最後はA勝ち）

最初の4回でAが2勝2敗、5回目にAが勝つ

最初の4回の2勝2敗の並び方：₄C₂ = 6通り

確率 = 6 × (1/3)² × (2/3)² × (1/3) = 6 × (1/9) × (4/9) × (1/3) = 24/243 = 8/81

Aが優勝する確率 = 1/27 + 2/27 + 8/81

= 3/81 + 6/81 + 8/81

= 17/81

■ 答

17/81

【発展問題3】確率の最大値

■ 問題

1個のサイコロをn回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率をP(n)とする。P(n)が最大となるnの値を求めよ。

■ 考え方

反復試行の公式でP(n)を表し、P(n+1)/P(n)を調べて増減を判定する。

■ 解法

P(n) = _nC₂ × (1/6)² × (5/6)^n-2　（n ≥ 2）

P(n+1)/P(n)を計算：

P(n+1) = _n+1C₂ × (1/6)² × (5/6)^n-1

P(n+1)/P(n) = [_n+1C₂ / _nC₂] × (5/6)

_n+1C₂ / _nC₂ = [(n+1)n/2] / [n(n-1)/2] = (n+1)/(n-1)

P(n+1)/P(n) = [(n+1)/(n-1)] × (5/6) = 5(n+1)/6(n-1)

P(n+1) > P(n) となる条件：

5(n+1)/6(n-1) > 1

5(n+1) > 6(n-1)

5n + 5 > 6n - 6

11 > n

n < 11

よって：

• n P(n)（増加）
• n = 11 のとき P(12) = P(11)
• n > 11 のとき P(n+1) < P(n)（減少）

したがって、P(n)が最大となるのは n = 11, 12

■ 答

n = 11 および n = 12（両方で最大値をとる）

【発展問題4】複数回の移動と確率

■ 問題

座標平面上で、点Pは原点を出発し、サイコロを1回投げるごとに次のルールで移動する。

• 1, 2の目が出たら x軸方向に+1
• 3, 4の目が出たら y軸方向に+1
• 5, 6の目が出たら 移動しない

サイコロを4回投げたとき、点Pが点(2, 1)にある確率を求めよ。

■ 考え方

点(2, 1)に到達するには、x方向に2回、y方向に1回、移動なしが1回必要。これは多項分布の問題。

■ 解法

各事象の確率：

• x方向に移動（1, 2の目）：確率 p = 2/6 = 1/3
• y方向に移動（3, 4の目）：確率 q = 2/6 = 1/3
• 移動しない（5, 6の目）：確率 r = 2/6 = 1/3

4回中、x移動が2回、y移動が1回、静止が1回となる確率：

場合の数：4! / (2!×1!×1!) = 12通り

確率 = 12 × (1/3)² × (1/3)¹ × (1/3)¹

= 12 × (1/3)⁴

= 12/81

= 4/27

■ 答

4/27

【発展問題5】確率と整数

■ 問題

1から100までの整数から1つを無作為に選ぶ。選んだ整数が4でも6でも割り切れない確率を求めよ。

■ 考え方

「4でも6でも割り切れない」= 「4で割り切れる」∪「6で割り切れる」の余事象

包除原理を使って計算する。

■ 解法

事象A：4で割り切れる

事象B：6で割り切れる

1から100までで：

• 4の倍数の個数：⌊100/4⌋ = 25個
• 6の倍数の個数：⌊100/6⌋ = 16個
• 4かつ6の倍数 = 12の倍数の個数：⌊100/12⌋ = 8個

4または6の倍数の個数（包除原理）：

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 25 + 16 - 8 = 33個

4でも6でも割り切れない整数の個数：100 - 33 = 67個

求める確率 = 67/100 = 67/100

■ 答

67/100

【発展問題6】確率漸化式

■ 問題

赤玉2個と白玉1個が入った袋がある。袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この操作をn回行うとき、取り出した玉の中に赤玉と白玉が両方含まれる確率を P_n とする。P_n を求めよ。

■ 考え方

余事象「すべて赤玉」または「すべて白玉」を考える。

■ 解法

1回の操作で：

• 赤玉を取り出す確率：2/3
• 白玉を取り出す確率：1/3

n回の操作で：

• すべて赤玉の確率：(2/3)ⁿ
• すべて白玉の確率：(1/3)ⁿ

「すべて赤玉」と「すべて白玉」は排反なので：

P_n = 1 - (2/3)ⁿ - (1/3)ⁿ

= 1 - (2ⁿ + 1)/3ⁿ

= (3ⁿ - 2ⁿ - 1)/3ⁿ

= 1 - (2/3)ⁿ - (1/3)ⁿ

■ 答

P_n = 1 - (2/3)ⁿ - (1/3)ⁿ = (3ⁿ - 2ⁿ - 1)/3ⁿ

【発展問題7】条件付き確率の応用（3つの扉問題・モンティホール問題風）

■ 問題

3つの箱A, B, Cがあり、1つの箱にだけ宝が入っている。どの箱に宝が入っているかは同様に確からしい。あなたは箱Aを選んだ。その後、司会者が宝の入っていない箱を1つ開けて見せた（司会者は宝の場所を知っている）。司会者は箱Cを開け、中は空であった。

この状況で、あなたが選択を箱Bに変更したとき、宝が当たる確率を求めよ。

■ 考え方

条件付き確率を使って、「司会者がCを開けた」という情報のもとでの確率を計算する。

■ 解法

宝が各箱に入っている事象をそれぞれ「宝A」「宝B」「宝C」とする。

司会者がCを開ける事象を「開C」とする。

最初の確率（事前確率）：

P(宝A) = P(宝B) = P(宝C) = 1/3

司会者がCを開ける確率（各場合）：

• 宝がAにある場合：司会者はBかCを開けられる → P(開C|宝A) = 1/2
• 宝がBにある場合：司会者はCしか開けられない → P(開C|宝B) = 1
• 宝がCにある場合：司会者はCを開けられない → P(開C|宝C) = 0

司会者がCを開ける確率 P(開C)：

P(開C) = P(宝A)×P(開C|宝A) + P(宝B)×P(開C|宝B) + P(宝C)×P(開C|宝C)

= (1/3)×(1/2) + (1/3)×1 + (1/3)×0

= 1/6 + 1/3 + 0 = 1/2

Bに変更して当たる確率（「開C」の条件のもとで宝がBにある確率）：

P(宝B|開C) = P(宝B)×P(開C|宝B) / P(開C)

= (1/3)×1 / (1/2)

= (1/3) × 2

= 2/3

■ 答

2/3

【発展問題8】連続する事象の確率

■ 問題

コインを6回投げるとき、表が3回以上連続して出る確率を求めよ。

■ 考え方

余事象「表が3回以上連続しない」を直接数えるか、「3回以上連続する」パターンを場合分けして数える。

■ 解法

全体の場合の数：2⁶ = 64通り

「表が3回以上連続する」パターンを数える：

連続する表の開始位置で場合分け（包除原理を使う）

A_k：k回目からk+2回目まで3連続で表が出る事象（k = 1, 2, 3, 4）

|A₁|：1,2,3回目が表。残り3回は自由 → 2³ = 8通り

|A₂|：2,3,4回目が表。残り3回は自由 → 8通り

|A₃|：3,4,5回目が表。残り3回は自由 → 8通り

|A₄|：4,5,6回目が表。残り3回は自由 → 8通り

重複を引く：

|A₁∩A₂|：1,2,3,4回目が表 → 2² = 4通り

|A₂∩A₃|：2,3,4,5回目が表 → 4通り

|A₃∩A₄|：3,4,5,6回目が表 → 4通り

|A₁∩A₃|：1,2,3,4,5回目が表 → 2通り

|A₂∩A₄|：2,3,4,5,6回目が表 → 2通り

|A₁∩A₄|：1,2,3,4,5,6回目が表 → 1通り

3つ以上の積集合：

|A₁∩A₂∩A₃|：1〜5回目が表 → 2通り

|A₂∩A₃∩A₄|：2〜6回目が表 → 2通り

|A₁∩A₂∩A₄|：1〜4, 4〜6回目が表 = 全部表 → 1通り

|A₁∩A₃∩A₄|：1〜3, 3〜6回目が表 = 全部表 → 1通り

4つの積集合：

|A₁∩A₂∩A₃∩A₄| = 全部表 → 1通り

包除原理より：

|A₁∪A₂∪A₃∪A₄| = (8+8+8+8) - (4+4+4+2+2+1) + (2+2+1+1) - 1

= 32 - 17 + 6 - 1 = 20通り

求める確率 = 20/64 = 5/16

■ 答

5/16

【発展問題9】期待値の応用（ゲームの公平性）

■ 問題

次のゲームを考える。参加費100円を払い、サイコロを2個投げる。出た目の和が7なら300円もらえ、目の和が7以外なら何ももらえない。

（1）このゲームの期待値（利益の期待値）を求めよ。

（2）ゲームを公平にするには、参加費をいくらにすればよいか。

■ 考え方

目の和が7になる確率を求め、期待値を計算する。

■ 解法

サイコロ2個の目の出方：6×6 = 36通り

目の和が7になる場合：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6通り

P(和が7) = 6/36 = 1/6

（1）期待値の計算

利益X（参加費100円を払った後の収支）：

• 和が7のとき：300 - 100 = 200円の利益（確率1/6）
• 和が7以外のとき：0 - 100 = -100円の利益（確率5/6）

E(X) = 200×(1/6) + (-100)×(5/6)

= 200/6 - 500/6

= -300/6

= -50円

（2）公平な参加費

参加費をa円とすると：

E(X) = (300 - a)×(1/6) + (-a)×(5/6)

= (300 - a)/6 - 5a/6

= (300 - a - 5a)/6

= (300 - 6a)/6

公平（期待値 = 0）にするには：

300 - 6a = 0

a = 50

参加費を50円にすればゲームは公平になる。

■ 答

（1）-50円（平均して50円損する）

（2）50円

【発展問題10】総合問題（確率漸化式・極限）

■ 問題

点Pは数直線上の原点を出発する。コインを投げて表が出たら+1、裏が出たら-1移動する。ただし、点Pが位置3に到達したらそこで終了する。n回コインを投げた後（または終了後）に点Pが位置3にいる確率を P_n とする。

（1）P₃ を求めよ。

（2）P₅ を求めよ。

（3）P_n の一般項を求めよ（n ≥ 3）。

■ 考え方

位置3に到達するには、+1が-1より3回多く出る必要がある。一度位置3に到達したらそこに留まる。

■ 解法

（1）P₃

3回で位置3に到達するには、3回とも表（+1）が必要。

P₃ = (1/2)³ = 1/8

（2）P₅

5回以内に位置3に到達するパターン：

【パターン1】3回で到達（表3連続）→ その後は位置3に留まる

確率 = 1/8（すでに計算済み）

【パターン2】5回で初めて到達

5回で位置3に到達するには、表4回・裏1回で、途中で位置3を通過しないパターン。

5回で表4回・裏1回の場合、最終位置は 4×(+1) + 1×(-1) = 3 ✓

ただし、途中で位置3に到達するパターンを除く必要がある。

表4回・裏1回の並び方：₅C₁ = 5通り

このうち、最初の3回がすべて表のパターン（表表表〇〇）は、途中で位置3に到達するので除外。

・表表表表裏：3回目で位置3到達 → 除外

・表表表裏表：3回目で位置3到達 → 除外

残り3通り：裏表表表表、表裏表表表、表表裏表表

これらは途中で位置3に到達せず、5回目に初めて位置3に到達。

5回で初めて到達する確率 = 3 × (1/2)⁵ = 3/32

P₅ = P₃ + (5回で初めて到達する確率) = 1/8 + 3/32 = 4/32 + 3/32 = 7/32

（3）一般項

n回以内に位置3に初めて到達する確率を考える。

位置3に初めて到達するのは奇数回目のみ可能（0から3は奇数歩）。

2k+1回目（k ≥ 1）に初めて位置3に到達する確率を a_2k+1 とすると：

表がk+2回、裏がk-1回出て、途中で位置3を通らないパターンの数が必要。

これはカタラン数を用いた議論になり、複雑になるため、ここでは漸化式的アプローチを示す。

Q_n = 1 - P_n（n回後にまだ位置3に到達していない確率）とすると：

P_n = 1 - Q_n

n → ∞ のとき、いつかは位置3に到達するので P_∞ → 1（ランダムウォークの再帰性より、1次元では確率1で任意の点に到達）

具体的な一般項の導出は高度な議論を要するが、入試レベルでは上記の (1)(2) の計算ができれば十分。

■ 答

（1）1/8

（2）7/32

（3）n回以内に初めて位置3に到達するパターンを漸化式で表し、P_n = P_n-1 +（n回目に初めて到達する確率）として求める。（詳細は上記参照）

❌ 間違い例

「2枚のコインを投げて、表が0枚、1枚、2枚の3通りだから、表が1枚出る確率は1/3」

⭕ 正しい考え方

2枚のコインを区別すると、(表,表), (表,裏), (裏,表), (裏,裏) の4通り。これらは同様に確からしい。表が1枚出るのは2通りなので、確率は2/4 = 1/2。

対策：必ず「同様に確からしい」基本事象まで分解して数える。

❌ 間違い例

「5個から2個を同時に取り出す」のに、₅P₂ = 20通りと計算してしまう。

⭕ 正しい考え方

「同時に取り出す」は順序を区別しないので、₅C₂ = 10通り。

対策：

• 「同時に」「組み合わせを選ぶ」→ 組み合わせ _nC_r
• 「順番に」「並べる」→ 順列 _nP_r

❌ 間違い例

「AとBは独立だからP(A∪B) = P(A) + P(B)」と考える。

⭕ 正しい考え方

• 排反：AとBが同時に起こらない → P(A∩B) = 0 → P(A∪B) = P(A) + P(B)
• 独立：AとBが互いに影響しない → P(A∩B) = P(A)×P(B)

これらは全く異なる概念！独立な事象は通常、排反ではない。

❌ 間違い例

「Aが起こったときにBが起こる確率」を、全事象を分母にして計算してしまう。

⭕ 正しい考え方

条件付き確率 P_A(B) では、Aが起こった場合だけを全体（分母）とする。

P_A(B) = P(A∩B) / P(A) = (AかつBの場合の数) / (Aの場合の数)

対策：「〜のとき」「〜という条件で」という表現に注目し、条件付き確率であることを認識する。

❌ 間違い例

「少なくとも1個は赤玉」を求めるのに、「赤1個白2個」「赤2個白1個」「赤3個」の場合をすべて計算する。

⭕ 正しい考え方

余事象「すべて白玉」の確率を計算し、1から引く方が圧倒的に楽。

対策：「少なくとも〜」「〜以上」「〜以下」という表現が出たら、余事象を検討する。

❌ 間違い例

「コインを5回投げて表が3回出る確率」を (1/2)³×(1/2)² = 1/32 と計算。

⭕ 正しい考え方

5回中どの3回で表が出るかの組み合わせ ₅C₃ = 10 を掛ける。

正解：₅C₃ × (1/2)³ × (1/2)² = 10 × 1/32 = 10/32 = 5/16

❌ 間違い例

「取り出した玉を戻さない」のに、2回目も最初と同じ全体数で計算する。

⭕ 正しい考え方

• 復元抽出（戻す）：各回の試行は独立。確率は毎回同じ。
• 非復元抽出（戻さない）：各回の試行は従属。2回目は残りの中から選ぶ。

対策：問題文の「戻す」「戻さない」を必ず確認する。書いていない場合は「戻さない」が多い。

⚠ 注意点

確率の計算では分数の計算が多く、約分ミスが起こりやすい。

対策：

• 最終的な答えは必ず既約分数にする
• P(A) + P(Ā) = 1 を使って検算する
• すべての確率の和が1になることを確認する
• 計算途中で約分せず、最後にまとめて約分する

【戦略1】基本公式を完璧にする

確率の問題は、基本公式の組み合わせで解けるものがほとんど。まずは加法定理、乗法定理、余事象、反復試行、条件付き確率の公式を完璧に暗記し、使いこなせるようにする。

【戦略2】問題文を正確に読む

「同時に取り出す」「順番に取り出す」「戻す」「戻さない」「少なくとも」などのキーワードを見逃さない。問題文を読む段階で、どの公式を使うか判断する。

【戦略3】樹形図・表を積極的に使う

複雑な問題では、頭の中だけで考えず、樹形図や表を描いて整理する。特に条件付き確率では表を作ることで見通しがよくなる。

【戦略4】検算の習慣をつける

確率の和が1になるか、各確率が0以上1以下か、余事象との関係は正しいか、などをチェックする習慣をつける。

【戦略5】典型問題のパターンを覚える

サイコロ、コイン、カード、玉、くじ引きなど、典型的な設定の問題を数多く解き、パターンを身につける。入試では似たような設定の問題が繰り返し出題される。

💡 コツ1：具体的な数で考える

抽象的な問題でも、まずは具体的な数字を入れて考えてみる。例えば「n個から取り出す」問題なら、n=3, 4, 5など小さい数で試してみる。

💡 コツ2：図を描く

樹形図、ベン図、表など、視覚的に整理することで見通しがよくなる。特に条件付き確率では「面積図」が有効。

💡 コツ3：答えの妥当性をチェック

求めた確率が0〜1の範囲にあるか、直感と合っているか、余事象と合わせて1になるか、など確認する習慣をつける。

💡 コツ4：間違いノートを作る

自分がよく間違えるパターンを記録し、同じミスを繰り返さないようにする。

💡 コツ5：声に出して説明する

解法を声に出して説明できれば、本当に理解している証拠。友人に教えるつもりで説明してみる。

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藤原進之介

数強塾 代表取締役 / 日本数学塾 主宰

著書9冊（『藤原進之介のゼロから始める情報I』ほか）

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📌 確率の重要公式まとめ

公式名	公式
確率の定義	P(A) = (Aの場合の数) / (全事象の場合の数)
加法定理	P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
排反事象の加法	P(A∪B) = P(A) + P(B)（AとBが排反のとき）
余事象	P(Ā) = 1 - P(A)
独立試行の乗法	P(A∩B) = P(A) × P(B)（AとBが独立のとき）
反復試行	nCr × pr × (1-p)n-r
条件付き確率	PA(B) = P(A∩B) / P(A)
乗法定理	P(A∩B) = P(A) × PA(B)
期待値	E(X) = Σxipi

📌 問題を解くときのチェックリスト

• ☐ 「同様に確からしい」か確認したか
• ☐ 「同時に取り出す」か「順番に取り出す」か確認したか
• ☐ 「戻す（復元）」か「戻さない（非復元）」か確認したか
• ☐ 「少なくとも」は余事象で考えたか
• ☐ 条件付き確率の分母は正しいか
• ☐ 反復試行で組み合わせの係数を忘れていないか
• ☐ 答えが0以上1以下になっているか
• ☐ 約分は正しくできているか

📌 入試で狙われるテーマ

1. 条件付き確率（特に「原因の確率」）
2. 反復試行の確率
3. 余事象を使う問題
4. 期待値の計算
5. 確率と他分野の融合（整数、数列、図形）