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【場合の数・順列・組み合わせ】基礎から入試まで完全攻略
問題30問＋詳細解説

この記事でわかること

場合の数・順列・組み合わせは、数学IAの中でも特に「なんとなく」で解いてしまいがちな分野です。しかし、「なんとなく」の理解では入試本番で必ず失点します。

この記事を読むことで、以下のことが完璧に理解できます：

• ✅ 和の法則・積の法則の本質的な意味と使い分け
• ✅ 順列（P）と組み合わせ（C）の決定的な違いと見分け方
• ✅ 円順列・重複順列・同じものを含む順列の完全理解
• ✅ 重複組み合わせの考え方と公式
• ✅ 基礎問題10問で基本を完全マスター
• ✅ 標準問題10問で入試頻出パターンを網羅
• ✅ 発展問題10問で実際の大学入試に対応
• ✅ よくある間違いとその完全対策
• ✅ 共通テスト・大学入試での最新出題傾向

場合の数・順列・組み合わせ の基本概念と重要公式

1. 場合の数の基本原則

【和の法則】

【具体例】

サイコロを1回振って、「1の目が出る」または「6の目が出る」場合の数は、1＋1＝2通り

【積の法則】

【具体例】

サイコロを2回振るとき、出る目の組み合わせは 6×6＝36通り

2. 順列（Permutation）

【順列の定義】

【階乗の復習】

• n! = n × (n-1) × (n-2) × ··· × 2 × 1
• 0! = 1（これは定義）
• 例：5! = 5×4×3×2×1 = 120

【計算例】

• <sub>5</sub>P<sub>3</sub> = 5×4×3 = 60
• <sub>7</sub>P<sub>2</sub> = 7×6 = 42
• <sub>4</sub>P<sub>4</sub> = 4! = 24

【円順列】

【なぜ(n-1)!なのか？】

n個を直線上に並べると n! 通り。しかし円形では、1つの並びを固定して考えると、回転による n 通りが同じ並びになる。よって n! ÷ n = (n-1)!

【重複順列】

【例】0〜9の10種類の数字から3桁の数を作る（各位で同じ数字を使ってよい）→ 10³ = 1000通り

【同じものを含む順列】

【例】「MISSISSIPPI」の11文字を並べる場合

M:1個、I:4個、S:4個、P:2個

11! ÷ (1! × 4! × 4! × 2!) = 34650通り

3. 組み合わせ（Combination）

【組み合わせの定義】

【計算例】

• <sub>5</sub>C<sub>3</sub> = 5×4×3 ÷ (3×2×1) = 60÷6 = 10
• <sub>7</sub>C<sub>2</sub> = 7×6 ÷ (2×1) = 21
• <sub>10</sub>C<sub>3</sub> = 10×9×8 ÷ (3×2×1) = 120

【組み合わせの重要公式】

【重複組み合わせ】

【考え方：○と｜の並べ替え】

r個の○とn-1個の｜を並べ替える問題に帰着させる。

【例】3種類の果物から5個選ぶ → ○○○○○を｜｜で3つに区切る

○○｜○○｜○ は「りんご2個、みかん2個、バナナ1個」を表す

5個の○と2個の｜、計7個の並べ替え = <sub>7</sub>C<sub>2</sub> = 21通り

4. 順列と組み合わせの見分け方

基礎問題 10問（全問解説付き）

まずは基礎固めから。各問題の「考え方」をしっかり読んで、解法の選び方を身につけましょう。

標準問題 10問（全問解説付き）

入試頻出のパターン別に整理しました。各パターンの考え方をしっかり身につけましょう。

    A─┬─┬─┬─┬─┐
      │  │  │  │  │
      ├─┼─┼─┼─┤
      │  │  │  │  │
      ├─┼─┼─┼─┤
      │  │  │  │  │
      └─┴─┴─┴─┴─B
    （横5マス、縦3マス）
    

発展・入試レベル問題 10問（全問解説付き）

実際の大学入試で出題されたレベルの問題です。複合的な思考力が問われます。

    A(0,3)─┬─┬─┬─┬─┐
           │  │  │  │  │
           ├─┼─P(2,2)─┼─┤
           │  │  │  │  │
           ├─┼─┼─┼─┼─┤
           │  │  │  │  │
           └─┴─┴─┴─┴─B(5,0)
    

よくある間違いと完全対策

場合の数の問題で受験生がよく間違えるポイントを整理しました。これらを意識するだけで、得点力が大幅にアップします。

間違い①：順列と組み合わせの混同

間違い②：0を含む整数問題での最上位桁の処理

間違い③：円順列での回転の考慮忘れ

間違い④：重複の見落とし（グループ分け）

間違い⑤：「少なくとも」の直接計算

間違い⑥：同じものを含む順列での階乗の処理

間違い⑦：条件の処理順序

間違い⑧：積の法則と和の法則の混同

共通テスト・大学入試での出題傾向

共通テストでの出題傾向（2024-2025）

国公立二次・私立大入試での頻出テーマ

難関大で差がつくポイント