明治大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

【問題1】

（1）$x = dfrac{1}{2-sqrt{3}}$ のとき、$x^2 - 4x + 1$ の値を求めよ。

（2）二次関数 $y = x^2 - 2ax + a + 2$（$0 leq x leq 2$）の最小値が $-1$ となるような定数 $a$ の値をすべて求めよ。

（3）赤玉3個、白玉4個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が少なくとも1個含まれる確率を求めよ。

【問題2】

数列 ${a_n}$ が次の条件を満たすとき、以下の問いに答えよ。

$$a_1 = 1, quad a_{n+1} = 2a_n + 3 quad (n = 1, 2, 3, cdots)$$

（1）$b_n = a_n + 3$ とおくとき、数列 ${b_n}$ の一般項を求めよ。

（2）数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。

（3）$displaystyle sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

【問題3】

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ について、以下の問いに答えよ。

（1）$f(x)$ の極値を求めよ。

（2）曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【問題4】

$vec{a} = (2, 1)$、$vec{b} = (1, 3)$ とする。以下の問いに答えよ。

（1）$vec{a} cdot vec{b}$ を求めよ。

（2）$vec{a}$ と $vec{b}$ のなす角 $theta$（$0° leq theta leq 180°$）を求めよ。

（3）ベクトル $vec{c} = vec{a} + tvec{b}$（$t$ は実数）が $vec{a}$ と垂直になるような $t$ の値を求めよ。

（4）（3）で求めた $t$ に対して、$|vec{c}|$ を求めよ。

解説・解法のポイント

（1）の解説：内積の計算

【ポイント】成分表示されたベクトルの内積は対応成分の積の和

$$vec{a} cdot vec{b} = 2 times 1 + 1 times 3 = 2 + 3 = boxed{5}$$

（2）の解説：なす角の計算

【ポイント】内積の定義式 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$ を利用

Step 1：各ベクトルの大きさを計算

$$|vec{a}| = sqrt{2^2 + 1^2} = sqrt{5}$$

$$|vec{b}| = sqrt{1^2 + 3^2} = sqrt{10}$$

Step 2：$costheta$ を計算

$$costheta = dfrac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|} = dfrac{5}{sqrt{5} cdot sqrt{10}} = dfrac{5}{sqrt{50}} = dfrac{5}{5sqrt{2}} = dfrac{1}{sqrt{2}} = dfrac{sqrt{2}}{2}$$

Step 3：角度を求める

$$costheta = dfrac{sqrt{2}}{2}$$

$$boxed{theta = 45°}$$

（3）の解説：垂直条件

【ポイント】2つのベクトルが垂直 ⟺ 内積が $0$

Step 1：$vec{c}$ を成分で表す

$$vec{c} = vec{a} + tvec{b} = (2, 1) + t(1, 3) = (2 + t, 1 + 3t)$$

Step 2：垂直条件を立式

$vec{c} perp vec{a}$ より $vec{c} cdot vec{a} = 0$

$$vec{c} cdot vec{a} = (2 + t) times 2 + (1 + 3t) times 1 = 0$$

$$4 + 2t + 1 + 3t = 0$$

$$5t + 5 = 0$$

$$boxed{t = -1}$$

（4）の解説：ベクトルの大きさ

Step 1：$t = -1$ を代入して $vec{c}$ を求める

$$vec{c} = (2 + (-1), 1 + 3 times (-1)) = (1, -2)$$

Step 2：大きさを計算

$$|vec{c}| = sqrt{1^2 + (-2)^2} = sqrt{1 + 4} = boxed{sqrt{5}}$$

藤原先生のワンポイント：ベクトルの垂直条件「内積 $= 0$」は超頻出です！この条件を使って未知数を求める問題は、明治大学だけでなくMARCH全体で非常によく出題されます。必ずマスターしておきましょう！

別解・発展

【正射影ベクトルとの関係】

$vec{c} = vec{a} + tvec{b}$ が $vec{a}$ と垂直になるということは、$vec{c}$ は $vec{a}$ の正射影ベクトルの終点から $vec{b}$ 方向への成分を表しています。

$vec{a}$ の $vec{b}$ 方向への正射影ベクトルは：

$$text{proj}_{vec{b}}vec{a} = dfrac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{b}|^2}vec{b} = dfrac{5}{10}vec{b} = dfrac{1}{2}vec{b}$$

この概念を理解しておくと、より高度な問題にも対応できるようになります。

大問5：場合の数と確率（確率漸化式）

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：基本的な確率計算

$p_1$ の計算：

1回投げて3の倍数が出る確率：$3$ または $6$ が出ればよい

$$p_1 = dfrac{2}{6} = boxed{dfrac{1}{3}}$$

$p_2$ の計算：

2回投げて積が3の倍数になる確率は、余事象（積が3の倍数でない）を使う方が楽です。

積が3の倍数でない ⟺ 2回とも3の倍数でない目（$1, 2, 4, 5$）が出る

$$1 - p_2 = left(dfrac{4}{6}right)^2 = left(dfrac{2}{3}right)^2 = dfrac{4}{9}$$

$$p_2 = 1 - dfrac{4}{9} = boxed{dfrac{5}{9}}$$

（2）の解説：漸化式の導出

【ポイント】「$n+1$ 回目までに条件を満たす」場合を分類

$n+1$ 回目までに積が3の倍数になるのは、次の2つの場合：

1. $n$ 回目までに既に3の倍数：$n+1$ 回目は何が出てもOK
2. $n$ 回目まで3の倍数でない：$n+1$ 回目に3の倍数（$3$ または $6$）が出る

$$p_{n+1} = p_n times 1 + (1 - p_n) times dfrac{1}{3}$$

$$p_{n+1} = p_n + dfrac{1 - p_n}{3}$$

$$p_{n+1} = p_n + dfrac{1}{3} - dfrac{p_n}{3}$$

$$boxed{p_{n+1} = dfrac{2}{3}p_n + dfrac{1}{3}}$$

（3）の解説：漸化式を解く

【ポイント】$p_{n+1} = dfrac{2}{3}p_n + dfrac{1}{3}$ は大問2と同じ型！

Step 1：特性方程式を解く

$$alpha = dfrac{2}{3}alpha + dfrac{1}{3}$$

$$dfrac{1}{3}alpha = dfrac{1}{3}$$

$$alpha = 1$$

Step 2：漸化式を変形

$$p_{n+1} - 1 = dfrac{2}{3}(p_n - 1)$$

$q_n = p_n - 1$ とおくと：

$$q_{n+1} = dfrac{2}{3}q_n$$

これは公比 $dfrac{2}{3}$ の等比数列！

Step 3：初項を計算

$$q_1 = p_1 - 1 = dfrac{1}{3} - 1 = -dfrac{2}{3}$$

Step 4：$q_n$ の一般項を求める

$$q_n = -dfrac{2}{3} cdot left(dfrac{2}{3}right)^{n-1} = -left(dfrac{2}{3}right)^n$$

Step 5：$p_n$ を求める

$$p_n = q_n + 1 = 1 - left(dfrac{2}{3}right)^n = boxed{1 - dfrac{2^n}{3^n}}$$

【検算】

• $p_1 = 1 - dfrac{2}{3} = dfrac{1}{3}$ ✓
• $p_2 = 1 - dfrac{4}{9} = dfrac{5}{9}$ ✓

藤原先生のワンポイント：確率漸化式は明治大学でも頻出のテーマです！「$n$ 回目までの状態」と「$n+1$ 回目の推移」を整理して漸化式を立て、特性方程式で解くという流れを身につけておきましょう。また、$n to infty$ のとき $p_n to 1$ となることも確認しておくと良いでしょう（無限回投げれば確率1で3の倍数になる）。

別解・発展

【余事象で直接求める方法】

$n$ 回投げて積が3の倍数にならない確率は、$n$ 回すべてで3の倍数でない目が出る確率：

$$1 - p_n = left(dfrac{4}{6}right)^n = left(dfrac{2}{3}right)^n$$

よって：

$$p_n = 1 - left(dfrac{2}{3}right)^n$$

この問題は余事象を使えば漸化式を経由せずに直接解けますが、漸化式の練習としても重要なので、両方の解法を理解しておきましょう！

大問6：図形と方程式（円と直線）

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：円と直線の位置関係

【ポイント】中心と直線の距離 $d$ と半径 $r$ を比較

Step 1：円の中心と半径を確認

円 $C$：中心 $(0, 0)$、半径 $r = sqrt{5}$

Step 2：中心から直線への距離を計算

直線 $ell: x - y + k = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離：

$$d = dfrac{|0 - 0 + k|}{sqrt{1^2 + (-1)^2}} = dfrac{|k|}{sqrt{2}}$$

Step 3：2点で交わる条件

$$d < r$$

$$dfrac{|k|}{sqrt{2}} < sqrt{5}$$

$$|k| < sqrt{10}$$

$$boxed{-sqrt{10} < k < sqrt{10}}$$

（2）の解説：弦の長さの条件

【ポイント】三平方の定理で弦の長さを求める

中心から弦への距離を $d$、弦の長さを $2ell$ とすると：

$$r^2 = d^2 + ell^2$$

弦 $PQ$ の長さが $2$ なので $ell = 1$：

$$(sqrt{5})^2 = d^2 + 1^2$$

$$5 = d^2 + 1$$

$$d^2 = 4$$

$$d = 2$$

よって：

$$dfrac{|k|}{sqrt{2}} = 2$$

$$|k| = 2sqrt{2}$$

$$boxed{k = pm 2sqrt{2}}$$

（3）の解説：弓形の面積

【ポイント】扇形の面積 − 三角形の面積 = 弓形の面積

Step 1：中心角を求める

中心 $O$ から弦 $PQ$ への垂線の足を $H$ とすると、$OH = 2$、$HP = 1$、$OP = sqrt{5}$

$triangle OHP$ において：

$$cosangle POH = dfrac{OH}{OP} = dfrac{2}{sqrt{5}}$$

中心角 $angle POQ = 2angle POH$ なので：

$$cosangle POH = dfrac{2}{sqrt{5}} = dfrac{2sqrt{5}}{5}$$

また、$sinangle POH = dfrac{HP}{OP} = dfrac{1}{sqrt{5}} = dfrac{sqrt{5}}{5}$

Step 2：扇形の面積を計算

$angle POQ = 2theta$（$theta = angle POH$）とすると、扇形の面積は：

$$S_{text{扇形}} = dfrac{1}{2}r^2 cdot 2theta = r^2theta = 5theta$$

Step 3：三角形 $OPQ$ の面積を計算

$$S_{triangle OPQ} = dfrac{1}{2} times PQ times OH = dfrac{1}{2} times 2 times 2 = 2$$

Step 4：弓形の面積を計算

$$S_{text{弓形}} = S_{text{扇形}} - S_{triangle OPQ} = 5theta - 2$$

ここで、$theta = arctandfrac{1}{2}$（$tantheta = dfrac{1}{2}$）より：

$$boxed{S = 5arctandfrac{1}{2} - 2}$$

（数値では約 $0.32$）

藤原先生のワンポイント：弓形の面積は「扇形 − 三角形」で求めます！中心角を求めるのが難しい場合は、$sintheta$ や $costheta$ の値から逆三角関数を使って表すことになります。明治大学ではここまで複雑な問題は少ないですが、考え方は押さえておきましょう。

この年度の重要テーマと対策

2019年度 明治大学数学の頻出テーマ

2019年度の入試問題を分析すると、以下のテーマが特に重要であることが分かります。

1. 二次関数の最大・最小（場合分け）

軸や定義域に文字が含まれる場合の場合分けは、明治大学で最も頻出のテーマの一つです。以下の3パターンを確実に押さえておきましょう：

• 軸が定義域の左側にある場合
• 軸が定義域内にある場合
• 軸が定義域の右側にある場合

2. 確率と漸化式の融合

「$n$ 回目までに〜となる確率」を $p_n$ とおき、漸化式を立てて一般項を求める問題は非常によく出ます。特に：

• $p_{n+1} = ap_n + b$ 型（特性方程式で解く）
• 余事象を使った考え方

を徹底的に練習してください。

3. 数列の和と漸化式

等差数列・等比数列の基本から、$a_{n+1} = pa_n + q$ 型の漸化式まで、幅広く出題されます。特に：

• 等比数列の和の公式
• $Sigma$ 計算（$Sigma k$, $Sigma k^2$, $Sigma r^k$ など）
• 階差数列

4. ベクトルの内積と垂直条件

成分計算、内積、垂直条件（内積 $= 0$）は毎年のように出題されます。位置ベクトルの問題も含めて対策しておきましょう。

5. 微分・積分の基本計算

理系では特に重要ですが、文系でも：

• 極値の計算
• 接線の方程式
• 面積計算（$dfrac{1}{6}$ 公式、$dfrac{1}{12}$ 公式）

は確実にできるようにしておく必要があります。

効果的な対策法

1. 教科書の章末問題を完璧に：明治大学の問題は標準レベルが中心。まずは教科書レベルを確実に。
2. 計算力を鍛える：60分で全問解くには、計算スピードと正確性が不可欠。
3. 過去問を10年分：出題パターンに慣れ、時間配分を体得する。
4. 苦手分野を作らない：どの分野からも出題されるため、バランスよく学習する。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数の最大・最小

【解答・解説】

Step 1：標準形に変形

$$f(x) = -(x^2 - 4x) + a = -(x - 2)^2 + 4 + a$$

軸：$x = 2$、頂点：$(2, 4 + a)$

Step 2：最大値を考える

上に凸の放物線で、軸 $x = 2$ は定義域 $[0, 3]$ 内にあるので、$x = 2$ で最大値をとる。

$$f(2) = 4 + a = 7$$

$$a = 3$$

【答え】$a = 3$

練習問題2：確率漸化式

【解答・解説】

（1）の解答：

• $q_1$：1回投げて連続2回はありえない → $q_1 = 1$
• $q_2$：2回投げて「表表」以外 → $q_2 = 1 - dfrac{1}{4} = dfrac{3}{4}$
• $q_3$：$8$ 通り中、「表表表」「表表裏」「裏表表」の $3$ 通りがダメ → $q_3 = dfrac{5}{8}$

（2）の解答：

$n+2$ 回目の状態を考える：

• $n+2$ 回目が裏：$n+1$ 回目まで条件を満たせばOK → 確率 $dfrac{1}{2}q_{n+1}$
• $n+2$ 回目が表：$n+1$ 回目は裏でなければならず、$n$ 回目まで条件を満たす → 確率 $dfrac{1}{2} times dfrac{1}{2} times q_n = dfrac{1}{4}q_n$

$$q_{n+2} = dfrac{1}{2}q_{n+1} + dfrac{1}{4}q_n$$

【答え】$q_{n+2} = dfrac{1}{2}q_{n+1} + dfrac{1}{4}q_n$

練習問題3：ベクトルと面積

【解答・解説】

Step 1：$costheta$ を求める（$theta = angle AOB$）

$$costheta = dfrac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|} = dfrac{6}{3 times 4} = dfrac{1}{2}$$

Step 2：$sintheta$ を求める

$$sin^2theta = 1 - cos^2theta = 1 - dfrac{1}{4} = dfrac{3}{4}$$

$$sintheta = dfrac{sqrt{3}}{2}$$（$0 < theta 0$）

Step 3：面積を計算

$$S = dfrac{1}{2}|vec{a}||vec{b}|sintheta = dfrac{1}{2} times 3 times 4 times dfrac{sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3}$$

【答え】$3sqrt{3}$

日本数学塾・数強塾で明治大学合格を目指そう

ここまでお読みいただき、ありがとうございました！

明治大学の数学は、基礎・標準レベルの問題を確実に得点することが合格への近道です。しかし、独学ではなかなか自分の弱点に気づけなかったり、効率的な勉強法が分からなかったりすることも多いのではないでしょうか？

そこで、私が講師を務める日本数学塾・数強塾をご紹介させてください！

日本数学塾の特徴

日本数学塾は、数学専門のオンライン個別指導塾です。

• 完全1対1の個別指導：生徒一人ひとりの理解度に合わせた丁寧な指導
• プロ講師陣：難関大学出身・指導経験豊富な講師が担当
• オンライン完結：自宅から受講可能。通塾時間ゼロで効率的
• 明治大学対策に強い：GMARCHレベルの入試対策を熟知したカリキュラム

「数学が苦手で、どこから手をつけていいか分からない…」
「基礎はできるけど、入試問題になると解けない…」
「時間内に解き終わらない…」

こんな悩みを抱えている方は、ぜひ一度ご相談ください！

数強塾の特徴

数強塾は、数学に特化したオンライン専門塾として、多くの受験生の合格をサポートしてきました。

• 数学専門だからこその深い指導：数学だけに特化しているからこそ、細部まで徹底した指導が可能
• 映像授業＋個別フォロー：質の高い映像授業と、分からない部分の個別サポートを両立
• 豊富な過去問解説：明治大学をはじめ、多くの大学の過去問解説を用意
• LINEでいつでも質問OK：疑問点をすぐに解消できる環境

無料体験授業のご案内

合格者の声

最後に：藤原進之介からのメッセージ

明治大学の数学は、決して難問ばかりではありません。むしろ、基礎・標準レベルの問題をいかにミスなく、効率よく解けるかが勝負の分かれ目です。

今回解説した2019年度の問題を見ても分かるように、どの問題も教科書や標準的な問題集でしっかり学習していれば解ける内容です。大切なのは：

1. 基礎を完璧にすること ─ 公式の暗記だけでなく、「なぜそうなるのか」を理解する
2. 典型問題のパターンを身につけること ─ 二次関数の場合分け、漸化式の解法など
3. 計算力を鍛えること ─ 60分という限られた時間で全問解くために
4. 過去問で実戦力を養うこと ─ 時間配分や問題の取捨選択を体得する

これらを意識して勉強を続ければ、必ず明治大学合格に手が届きます。

もし一人での勉強に限界を感じたら、ぜひ日本数学塾や数強塾の門を叩いてください。私たちが全力でサポートします！

皆さんの明治大学合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

---

関連記事

• 明治大学 2020年度 数学 過去問解説
• 明治大学 2018年度 数学 過去問解説
• 【MARCH対策】数学の頻出テーマと勉強法
• 二次関数の場合分け完全攻略
• 確率漸化式の解き方をマスターしよう

---

この記事の監修：藤原進之介（日本数学塾・数強塾 講師）
最終更新日：2024年
カテゴリ：大学入試過去問解説、明治大学、MARCH対策