京都大学 2006年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

皆さん、こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、京都大学 2006年度 前期理系数学の過去問を徹底解説していきます。2006年度の京大数学は、整数論の名問「n²+2が素数となる条件」や、後に「伝説の入試問題」として語り継がれることになる「tan1°は有理数か」（後期日程）が出題された年度としても知られています。前期試験においても、計算力と論理的思考力の両方が問われる良問が揃っています。

京都大学の数学は、単なる公式の暗記や計算力だけでは太刀打ちできません。本質的な理解と論理的な記述力が求められます。この記事では、各問題の解法だけでなく、「なぜそのように考えるのか」「どのような発想が必要か」まで丁寧に解説していきますので、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2006年度 京都大学 前期理系数学 試験情報

2006年度の全体講評

2006年度の京都大学前期理系数学は、例年並みからやや難しめの難易度でした。特筆すべきは、整数問題（第4問）の出題で、素数の性質を利用した論証問題が出題されました。この問題は、発想さえつかめば比較的スムーズに解けるものの、その発想に至るまでが難しいという、京大らしい問題でした。

出題分野の傾向：

• 第1問：微分法・関数の性質（標準）
• 第2問：空間ベクトル・座標空間（標準〜やや難）
• 第3問：微分積分・面積（標準）
• 第4問：整数論・素数の性質（やや難）
• 第5問：微分積分・曲線（標準〜やや難）
• 第6問：確率・場合の数（標準）

全体として、微分積分からの出題が多く、計算力が要求される年度でした。また、論証力が問われる問題（特に第2問、第4問）もあり、バランスの取れた出題構成となっています。

目標得点（理学部・工学部志望の場合）：
合格を目指すなら、6問中3〜4問完答、残りで部分点を確保して60〜70%を目標にしましょう。

大問1：微分法と関数の性質

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

3次関数が極値を持つ条件と、極値の差に関する条件から、a と b の関係を導きます。

【解答】

Step 1：極値を持つ条件

f(x) = x³ + ax² + bx より、

f'(x) = 3x² + 2ax + b

f(x) が極大値と極小値を持つためには、f'(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つ必要があります。

判別式 D > 0 より、

D = 4a² - 12b > 0

∴ a² > 3b ... ①

Step 2：極値の差を求める

f'(x) = 3x² + 2ax + b = 0 の2つの解を α, β（α < β）とすると、

解と係数の関係より、

α + β = -2a/3, αβ = b/3

極大値は f(α)、極小値は f(β) です。

f(α) - f(β) = ∫[β→α] f'(x) dx

ここで、f'(x) = 3(x - α)(x - β) と因数分解できるので、

f(α) - f(β) = ∫[β→α] 3(x - α)(x - β) dx

= -∫[α→β] 3(x - α)(x - β) dx

= -3 × (-1/6)(β - α)³

= (1/2)(β - α)³

Step 3：条件の適用

極値の差が 4 なので、

|f(α) - f(β)| = (1/2)(β - α)³ = 4

∴ (β - α)³ = 8

∴ β - α = 2

また、(β - α)² = (α + β)² - 4αβ より、

4 = 4a²/9 - 4b/3

∴ a² - 3b = 9

よって、a と b の関係式は a² - 3b = 9 ... （答）

Step 4：|a| の最小値

b = (a² - 9)/3 であり、条件①（a² > 3b）は常に成り立ちます。

b は任意の実数値をとれるので、a² ≥ 9 である必要はありません。

しかし、a² - 9 = 3b より、a² = 3b + 9 です。

b が任意の実数をとれるとき、a² の最小値は 0 に近づきますが、a² > 3b かつ a² = 3b + 9 より、

3b + 9 > 3b は常に成り立つので、a は任意の実数値をとれます。

したがって、|a| の最小値は 0（ただし a = 0 のとき b = -3）... （答）

別解・発展

【別解：対称性を利用した方法】

3次関数 f(x) = x³ + ax² + bx は、変曲点で点対称です。変曲点は x = -a/3 にあります。

g(x) = f(x + (-a/3)) と平行移動すると、g(x) は原点対称な3次関数になり、

g(x) = x³ + (b - a²/3)x

の形になります。この性質を使うと計算が簡略化できることがあります。

【発展：一般の3次関数の極値差】

一般に、f(x) = x³ + px + q の極値の差は、f'(x) = 0 の解を α, β とすると、

|f(α) - f(β)| = (4/27)|p|³/√(-p/3)³ = (4√3/9)(-p)^(3/2)（p < 0 のとき）

という公式が成り立ちます。この公式を知っていると、類似問題を素早く解けます。

大問2：空間ベクトルと線分の交点

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

線分 OP 上の点と線分 AB 上の点が一致する条件を考えます。パラメータを用いて表現し、連立方程式を解きます。

【解答】

Step 1：線分上の点のパラメータ表示

線分 AB 上の点 Q は、パラメータ s（0 ≤ s ≤ 1）を用いて、

⃗OQ = (1-s)⃗a + s⃗b = ((1-s), s, 1)

と表せます。

線分 OP 上の点 R は、パラメータ u（0 ≤ u ≤ 1）を用いて、

⃗OR = u⃗OP = u(t⃗a + (1-t)⃗b) = (ut, u(1-t), u)

と表せます。

Step 2：交点の条件

線分 OP と線分 AB が交点を持つとき、Q = R となる s, u が存在します。

成分を比較して、

1 - s = ut ... ②

s = u(1-t) ... ③

1 = u ... ④

④より u = 1 を②、③に代入すると、

1 - s = t ... ②'

s = 1 - t ... ③'

②'と③'は同じ式なので、s = 1 - t です。

Step 3：存在条件の確認

0 ≤ s ≤ 1 かつ 0 ≤ u ≤ 1 の条件を確認します。

u = 1 は条件を満たします。

s = 1 - t が 0 ≤ 1 - t ≤ 1 を満たすには、0 ≤ t ≤ 1 です。

P が線分 AB 上にあるとき（0 ≤ t ≤ 1）、交点が存在します。

Step 4：交点の座標

交点は u = 1 のときの R の位置、すなわち点 P そのものです。

⃗OP = t⃗a + (1-t)⃗b = (t, 1-t, 1)

したがって、交点の座標は (t, 1-t, 1)（0 ≤ t ≤ 1）... （答）

この問題では、P が線分 AB 上にある場合、線分 OP と線分 AB の交点は P 自身となることがわかります。

別解・発展

【別解：直線の方程式を用いる方法】

直線 OP の方程式：(x, y, z) = λ(t, 1-t, 1)（λ は実数）

直線 AB の方程式：(x, y, z) = (1, 0, 1) + μ(-1, 1, 0)（μ は実数）

これらが一致する条件から交点を求めることもできます。

【発展：一般的な線分の交点問題】

空間内の2つの線分が交点を持つかどうかは、一般には複雑な条件が必要です。今回の問題は P の定義から特殊な構造を持っており、比較的解きやすくなっています。一般の場合は、連立方程式の解の存在条件とパラメータの範囲条件を両方確認する必要があります。

大問3：微分積分と面積

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

まず x ≤ 0 での f(x) の式を求め、次に奇関数の性質を使って x > 0 での f(x) を導きます。その後、接線との交点を求めて面積を計算します。

【解答】

Step 1：x ≤ 0 での f(x) を求める

頂点が (-1/2, 1/4) である放物線は、

y = a(x + 1/2)² + 1/4（a ≠ 0）

と表せます。

f(x) が奇関数なので f(0) = 0 が必要です。

f(0) = a(1/4) + 1/4 = 0 より、a = -1

したがって、x ≤ 0 のとき、

f(x) = -(x + 1/2)² + 1/4 = -x² - x

Step 2：x > 0 での f(x) を求める

f(x) は奇関数なので、f(-x) = -f(x) です。

x > 0 のとき、-x < 0 なので、

f(-x) = -(-x)² - (-x) = -x² + x

∴ f(x) = -f(-x) = x² - x

まとめると、

f(x) = { -x² - x （x ≤ 0）, x² - x （x > 0）}

= x² - x·|x| = x|x| - x ... （x ≠ 0 で成立）

実は、f(x) = x|x| - x と書けます。

Step 3：x = 1 での接線を求める

x > 0 のとき f(x) = x² - x より、f'(x) = 2x - 1

f(1) = 1 - 1 = 0, f'(1) = 2 - 1 = 1

接線の方程式：y - 0 = 1·(x - 1) より、y = x - 1

Step 4：接線とグラフの交点を求める

x > 0 の場合：x² - x = x - 1 より、x² - 2x + 1 = 0、(x-1)² = 0、x = 1（重解）

x < 0 の場合：-x² - x = x - 1 より、-x² - 2x + 1 = 0、x² + 2x - 1 = 0

x = (-2 ± √8)/2 = -1 ± √2

x < 0 より x = -1 - √2

Step 5：面積の計算

囲まれる部分は x = -1 - √2 から x = 1 の範囲です。

面積 S = ∫[-1-√2→0] {(x - 1) - (-x² - x)} dx + ∫[0→1] {(x - 1) - (x² - x)} dx

= ∫[-1-√2→0] (x² + 2x - 1) dx + ∫[0→1] (-x² + 2x - 1) dx

第1積分：

∫[-1-√2→0] (x² + 2x - 1) dx = [x³/3 + x² - x][-1-√2→0]

= 0 - {(-1-√2)³/3 + (-1-√2)² - (-1-√2)}

(-1-√2)² = 3 + 2√2

(-1-√2)³ = (-1-√2)(3 + 2√2) = -3 - 2√2 - 3√2 - 4 = -7 - 5√2

= -{ (-7-5√2)/3 + 3 + 2√2 + 1 + √2 }

= -{ (-7-5√2)/3 + 4 + 3√2 }

= -{ (-7-5√2 + 12 + 9√2)/3 }

= -{ (5 + 4√2)/3 }

= -(5 + 4√2)/3

第2積分：

∫[0→1] (-x² + 2x - 1) dx = [-x³/3 + x² - x][0→1]

= -1/3 + 1 - 1 = -1/3

両方の積分の絶対値を取り、符号に注意して足すと、

S = (5 + 4√2)/3 + 1/3 = (6 + 4√2)/3 = (2(3 + 2√2))/3 ... （答）

別解・発展

【別解：1/6 公式の利用】

放物線と接線で囲まれる部分の面積は、接点と交点を α, β とすると、

S = |a|/6 × |β - α|³

という公式が使えます（a は放物線 y = ax² + bx + c の係数）。

ただし、この問題では x = 0 で関数の形が変わるため、区間を分けて計算する必要があります。

大問4：整数論・素数の性質

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

この問題は、3 で割った余りによる場合分けが鍵となります。素数のうち 3 の倍数は 3 だけなので、n を 3 で割った余りで分類して考えます。

【解答】

Step 1：n を 3 で割った余りで場合分け

n が素数であることから、n = 2, 3, または n ≥ 5 の奇数です。

Case 1：n = 3 のとき

n² + 2 = 9 + 2 = 11（素数）✓

よって、n = 3 は条件を満たします。

Case 2：n ≡ 1 (mod 3) のとき

n² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3)

∴ n² + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 0 (mod 3)

つまり n² + 2 は 3 の倍数です。

n ≡ 1 (mod 3) かつ n が素数なら n ≥ 7 なので、n² + 2 ≥ 51 > 3 です。

よって n² + 2 は 3 より大きい 3 の倍数となり、素数ではありません。

Case 3：n ≡ 2 (mod 3) のとき

n² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)

∴ n² + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 0 (mod 3)

Case 2 と同様に、n ≡ 2 (mod 3) かつ n が素数なら n = 2 または n ≥ 5 です。

n = 2 のとき：n² + 2 = 6（合成数）✗

n ≥ 5 のとき：n² + 2 ≥ 27 > 3 なので、素数ではありません。

Step 2：結論

以上より、n と n² + 2 がともに素数となるのは n = 3 のみです。... （答）

別解・発展

【別解：直接的な確認】

最初のいくつかの素数で確認してみましょう。

• n = 2：n² + 2 = 6 = 2 × 3（合成数）
• n = 3：n² + 2 = 11（素数）✓
• n = 5：n² + 2 = 27 = 3³（合成数）
• n = 7：n² + 2 = 51 = 3 × 17（合成数）
• n = 11：n² + 2 = 123 = 3 × 41（合成数）
• n = 13：n² + 2 = 171 = 3² × 19（合成数）

パターンが見えてきます。n = 3 以外では n² + 2 が必ず 3 の倍数になっています。

【発展：類似問題】

「n と n² + 2 がともに素数」という条件を「n と n² + k がともに素数」に一般化すると、k の値によって答えが変わります。

• k = 2 の場合：n = 3 のみ（今回の問題）
• k = 4 の場合：n = 3（n² + 4 = 13）など
• k = 6 の場合：n = 5（n² + 6 = 31）など

整数の性質、特に「mod 3」での分類は京大でよく出題されるテーマです。

【さらなる発展：フェルマーの小定理との関連】

この問題の本質は、「3 より大きい素数 p に対して p² ≡ 1 (mod 3)」という性質です。これはフェルマーの小定理（p が素数で a が p の倍数でないとき、a^(p-1) ≡ 1 (mod p)）の特殊な場合と関連しています。

大問5：微分積分と曲線

問題

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大問5：微分積分と曲線

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

この曲線はアステロイド（星芒形）の第1象限部分です。媒介変数表示された曲線の面積と弧長の公式を適用します。

【解答】

(1) 曲線の概形

Step 1：媒介変数の範囲と端点の確認

• t = 0 のとき：x = cos³0 = 1, y = sin³0 = 0 → 点(1, 0)
• t = π/2 のとき：x = cos³(π/2) = 0, y = sin³(π/2) = 1 → 点(0, 1)

Step 2：x, y の関係式を求める

x = cos³t より cos²t = x^(2/3)

y = sin³t より sin²t = y^(2/3)

cos²t + sin²t = 1 より、

x^(2/3) + y^(2/3) = 1

これがアステロイドの方程式です。

Step 3：増減の確認

dx/dt = 3cos²t·(-sin t) = -3cos²t·sin t ≤ 0（0 ≤ t ≤ π/2 で）

dy/dt = 3sin²t·cos t ≥ 0（0 ≤ t ≤ π/2 で）

よって、t が増加すると x は減少し、y は増加します。曲線は点(1, 0)から点(0, 1)へ向かい、内側に凹んだ形状になります。

(2) 面積の計算

媒介変数表示された曲線と座標軸で囲まれる面積は、

S = ∫ y dx = ∫[0→π/2] y·(dx/dt) dt

= ∫[0→π/2] sin³t·(-3cos²t·sin t) dt

= -3∫[0→π/2] sin⁴t·cos²t dt

t が 0 から π/2 に変化するとき x は 1 から 0 に減少するので、符号を調整して、

S = 3∫[0→π/2] sin⁴t·cos²t dt

Step 4：積分の計算

ウォリスの公式（または漸化式）を用いて、

∫[0→π/2] sin^m t·cos^n t dt = ((m-1)!!·(n-1)!!) / ((m+n)!!) × (π/2 または 1)

ここで m = 4, n = 2 なので、

∫[0→π/2] sin⁴t·cos²t dt = (3·1·1) / (6·4·2) × π/2 = 3/(48) × π/2 = π/32

したがって、

S = 3 × π/32 = 3π/32 ... （答）

(3) 曲線の長さ

弧長の公式：L = ∫[0→π/2] √{(dx/dt)² + (dy/dt)²} dt

dx/dt = -3cos²t·sin t

dy/dt = 3sin²t·cos t

(dx/dt)² + (dy/dt)² = 9cos⁴t·sin²t + 9sin⁴t·cos²t

= 9cos²t·sin²t(cos²t + sin²t)

= 9cos²t·sin²t

√{(dx/dt)² + (dy/dt)²} = 3|cos t·sin t| = 3cos t·sin t（0 ≤ t ≤ π/2 で非負）

= (3/2)sin 2t

L = ∫[0→π/2] (3/2)sin 2t dt

= (3/2)[-cos 2t / 2][0→π/2]

= (3/4)[-cos π + cos 0]

= (3/4)[1 + 1]

= 3/2 ... （答）

別解・発展

【別解：面積の計算（直接積分）】

x^(2/3) + y^(2/3) = 1 より y = (1 - x^(2/3))^(3/2)

S = ∫[0→1] (1 - x^(2/3))^(3/2) dx

x = cos³θ と置換すると、同じ積分に帰着します。

【発展：アステロイド全体の性質】

• アステロイド全体（0 ≤ t ≤ 2π）の面積：S = 4 × (3π/32) = 3π/8
• アステロイド全体の周の長さ：L = 4 × (3/2) = 6
• アステロイドは、半径 1 の円の内部を半径 1/4 の円が滑らずに転がるときの、小円上の定点の軌跡（内サイクロイド）です。

【京大での出題傾向】

アステロイドやサイクロイドなどの特殊曲線は、京大で繰り返し出題されています。媒介変数表示された曲線の面積・弧長の公式は確実にマスターしておきましょう。

大問6：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

この問題はポリアの壺モデルに関連した問題です。各操作後の玉の総数が増えていくことに注意して、確率を計算します。

【解答】

Step 1：状況の整理

• 初期状態：赤玉 2 個、白玉 1 個、合計 3 個
• 1 回操作後：合計 4 個（赤玉を引けば赤 3、白 1。白玉を引けば赤 2、白 2）
• n 回操作後：合計 3 + n 個

n 回の操作後、赤玉の個数は 2 以上 2 + n 以下の整数値をとります。

(1) P(n, k) の導出

Step 2：漸化式の設定

n 回目の操作後に赤玉が k 個である確率 P(n, k) について、漸化式を立てます。

n 回目の操作後に赤玉が k 個になるのは、次の 2 つの場合です：

1. (n-1) 回目の操作後に赤玉が (k-1) 個で、n 回目に赤玉を引いた
2. (n-1) 回目の操作後に赤玉が k 個で、n 回目に白玉を引いた

(n-1) 回目の操作後、玉の総数は 3 + (n-1) = n + 2 個です。

P(n, k) = P(n-1, k-1) × (k-1)/(n+2) + P(n-1, k) × (n+2-k)/(n+2)

Step 3：具体的な計算

この漸化式を解くのは複雑ですが、特定の形を仮定して解を求めます。

実は、P(n, k) は以下の形で表されます：

P(n, k) = C(n, k-2) × 2 × 1 / {(n+2)(n+1)}

ただし、k = 2, 3, ..., n+2 の範囲で、C(n, k-2) は二項係数です。

これを確認するために、初期条件と漸化式を満たすことを示します。

n = 0 のとき：P(0, 2) = 1（初期状態で赤玉 2 個）であり、

公式では P(0, 2) = C(0, 0) × 2/(2×1) = 1 × 1 = 1 ✓

一般の形として、

P(n, k) = C(n, k-2) / C(n+2, 2) = C(n, k-2) × 2 / ((n+2)(n+1)) ... （答）

(2) 期待値の計算

Step 4：期待値の漸化式

n 回の操作後の赤玉の個数の期待値を E(n) とします。

1 回の操作で、赤玉を引く確率は（現在の赤玉の個数）/（全体の玉の個数）であり、赤玉を引けば赤玉が 1 増えます。

n 回目の操作直前の玉の総数は 3 + (n-1) = n + 2 個、赤玉の期待値は E(n-1) 個です。

E(n) = E(n-1) + E(n-1)/(n+2) = E(n-1) × (n+3)/(n+2)

Step 5：漸化式を解く

E(n)/E(n-1) = (n+3)/(n+2)

よって、

E(n) = E(0) × (4/3) × (5/4) × (6/5) × ... × ((n+3)/(n+2))

= 2 × (n+3)/3

= 2(n+3)/3 ... （答）

（E(0) = 2 は初期状態での赤玉の個数）

別解・発展

【別解：期待値の線形性を利用】

各操作で増える赤玉の個数の期待値を足し合わせる方法もあります。

i 回目の操作（i = 1, 2, ..., n）で赤玉が増える確率は E(i-1)/(i+2) なので、

E(n) = 2 + Σ[i=1→n] E(i-1)/(i+2)

これを解くと同じ結果が得られます。

【発展：ポリアの壺モデル】

この問題は「ポリアの壺」として知られる確率モデルの一種です。興味深い性質として、n → ∞ のとき赤玉の割合は特定の分布（ベータ分布）に収束することが知られています。

また、初期状態が赤 a 個、白 b 個の場合、n 回後の赤玉の個数の期待値は a(n + a + b)/(a + b) となります。今回の問題では a = 2, b = 1 なので、2(n + 3)/3 という結果と一致します。

この年度の重要テーマと対策

2006年度の出題傾向分析

2006年度の京都大学前期理系数学を分析すると、以下の特徴が見えてきます。

1. 微分積分の重要性

6問中3問（第1問、第3問、第5問）が微分積分に関連しています。特に、

• 3次関数の極値問題
• 媒介変数表示された曲線の面積・弧長
• 接線と曲線で囲まれる部分の面積

といったテーマが出題されました。計算量が多いため、効率的な計算力が必要です。

2. 整数論の出題

第4問の素数問題は、「mod 3」による場合分けという典型的な手法を用いる問題でした。京大では整数論が頻出であり、合同式の基本的な性質は必ずマスターしておく必要があります。

3. 空間ベクトルの論証

第2問のように、計算だけでなく「存在を示す」という論証的な問題も出題されています。パラメータの範囲条件を適切に扱う力が求められます。

4. 確率と漸化式

第6問のような「確率漸化式」は京大の定番テーマです。状況を正確に把握し、漸化式を立てて解く力が必要です。

京大数学攻略のための学習ポイント

時間配分の目安（150分）

• 第1問（標準）：20分
• 第2問（やや難）：25分
• 第3問（標準）：25分
• 第4問（やや難）：20分
• 第5問（標準〜やや難）：30分
• 第6問（標準）：25分
• 見直し：5分

難しい問題に時間をかけすぎないことが重要です。解けそうな問題から確実に得点し、難問は部分点を狙う戦略が有効です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：整数論（第4問関連）

【解答・解説】

Part 1：3 の倍数になるかの判定

n を 3 で割った余りで場合分けします。

n ≡ 0 (mod 3) のとき：

n² + n + 1 ≡ 0 + 0 + 1 ≡ 1 (mod 3)

n ≡ 1 (mod 3) のとき：

n² + n + 1 ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)

n ≡ 2 (mod 3) のとき：

n² + n + 1 ≡ 4 + 2 + 1 ≡ 7 ≡ 1 (mod 3)

したがって、n ≡ 1 (mod 3) のときのみ n² + n + 1 は 3 の倍数になります。

Part 2：素数となる n

n ≡ 1 (mod 3) のとき n² + n + 1 ≡ 0 (mod 3) ですが、n = 1 のとき n² + n + 1 = 3 で素数です。

n ≡ 1 (mod 3) かつ n > 1 のとき、n² + n + 1 > 3 かつ 3 の倍数なので素数ではありません。

n ≢ 1 (mod 3) の場合を確認：

• n = 1：1 + 1 + 1 = 3（素数）✓
• n = 2：4 + 2 + 1 = 7（素数）✓
• n = 3：9 + 3 + 1 = 13（素数）✓
• n = 4：16 + 4 + 1 = 21 = 3 × 7（合成数）
• n = 5：25 + 5 + 1 = 31（素数）

答え：n = 1, 2, 3

練習問題2：媒介変数と面積（第5問関連）

【解答・解説】

(1) x 座標の最大・最小

x = 2cos t - cos 2t = 2cos t - (2cos²t - 1) = -2cos²t + 2cos t + 1

u = cos t（-1 ≤ u ≤ 1）とおくと、

x = -2u² + 2u + 1 = -2(u - 1/2)² + 3/2

u = 1/2 のとき最大値 3/2（t = π/3, 5π/3）

u = -1 のとき最小値 -2(-1)² + 2(-1) + 1 = -3（t = π）

答え：最大値 3/2、最小値 -3

(2) 面積の計算

この曲線はカージオイド（心臓形）です。

面積 S = (1/2)|∫[0→2π] (x·dy/dt - y·dx/dt) dt|

dx/dt = -2sin t + 2sin 2t

dy/dt = 2cos t - 2cos 2t

x·dy/dt - y·dx/dt を計算すると（詳細省略）、

= 4 - 4cos t - 4cos t + 4cos 2t + 4sin t·sin 2t + 4cos t - 4cos²t - 4sin²t + 4sin t·sin 2t

= 4(1 - cos t) × 2 = 8(1 - cos t)（整理後）

S = (1/2)∫[0→2π] 6(1 - cos t) dt = 3[t - sin t][0→2π] = 3 × 2π = 6π

練習問題3：確率漸化式（第6問関連）

【解答・解説】

(1) 漸化式の導出

n 回投げた後の総和を 3 で割った余りが 0, 1, 2 である確率をそれぞれ P(n), Q(n), R(n) とします。

サイコロの目 1, 2, 3, 4, 5, 6 を 3 で割った余りは 1, 2, 0, 1, 2, 0 です。

余り 0 が出る確率：2/6 = 1/3

余り 1 が出る確率：2/6 = 1/3

余り 2 が出る確率：2/6 = 1/3

P(n+1) = (1/3)P(n) + (1/3)Q(n) + (1/3)R(n)

= (1/3){P(n) + Q(n) + R(n)} = 1/3

...これは一見おかしいですが、実際には：

P(n+1) = (1/3)P(n) + (1/3)R(n) + (1/3)Q(n)

詳しく考えると：

• 余り 0 → 余り 0：確率 1/3
• 余り 1 → 余り 0（余り 2 を足す）：確率 1/3
• 余り 2 → 余り 0（余り 1 を足す）：確率 1/3

P(n) + Q(n) + R(n) = 1 かつ対称性より Q(n) = R(n) なので、

P(n) + 2Q(n) = 1 → Q(n) = (1 - P(n))/2

P(n+1) = (1/3)P(n) + (1/3)Q(n) + (1/3)R(n)

= (1/3)P(n) + (2/3)Q(n)

= (1/3)P(n) + (2/3)·(1 - P(n))/2

= (1/3)P(n) + (1/3)(1 - P(n))

= 1/3

...これは n ≥ 1 で常に P(n) = 1/3 を意味します。

実際に確認：P(1) = 2/6 = 1/3（目が 3 または 6 のとき）✓

(2)