京都府立大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

Step 2：P を2通りで表す

P は線分 AD 上にあるので、実数 s を用いて：

AP = s·AD = s{(1/3)b + (2/3)c} = (s/3)b + (2s/3)c …①

また、P は線分 BE 上にあるので、実数 t を用いて：

AP = AB + t·BE = b + t(AE - AB) = b + t{(2/5)c - b}

= (1-t)b + (2t/5)c …②

Step 3：係数比較で s, t を求める

b と c は一次独立なので、①と②の係数を比較して：

b の係数：s/3 = 1 - t …③
c の係数：2s/3 = 2t/5 …④

④より：

2s/3 = 2t/5
s/3 = t/5
5s = 3t
t = 5s/3 …⑤

⑤を③に代入：

s/3 = 1 - 5s/3
s/3 + 5s/3 = 1
6s/3 = 1
2s = 1
s = 1/2

⑤より t = 5/6

Step 4：AP を求める

s = 1/2 を①に代入：

AP = (1/2)/3·b + 2(1/2)/3·c = (1/6)b + (1/3)c

【(3)の解答】〜面積の計算〜

△ABP の面積を求めます。

方法1：面積比を利用

AP = (1/6)b + (1/3)c より、△ABP と △ABC の面積比を求めます。

△ABC の面積を S とすると、ベクトルの係数から：

△ABP / △ABC = |c の係数| = 1/3

※ これは、P が A を始点として c 方向に 1/3 だけ進んでいることに対応します。

まず △ABC の面積 S を求める：

cos∠BAC を求めます。(1)より b·c = 19 なので：

cos∠BAC = (b·c)/(|b||c|) = 19/(5×7) = 19/35

sin∠BAC を求めます：

sin²∠BAC = 1 - cos²∠BAC = 1 - (19/35)² = 1 - 361/1225 = 864/1225

sin∠BAC = √(864/1225) = √864/35 = 12√6/35

（√864 = √(144×6) = 12√6）

△ABC の面積：

S = (1/2)|b||c|sin∠BAC = (1/2)×5×7×(12√6/35) = (1/2)×(12√6) = 6√6

△ABP の面積を求める：

ここで、P の位置から △ABP の面積を計算します。

A, B, P を頂点とする三角形で、AP = (1/6)b + (1/3)c です。

△ABP の面積は、b と AP の張る平行四辺形の面積の半分です：

△ABP = (1/2)|b × AP|

ここで、AP = (1/6)b + (1/3)c なので：

b × AP = b × {(1/6)b + (1/3)c} = (1/6)(b × b) + (1/3)(b × c) = (1/3)(b × c)

（b × b = 0 より）

したがって：

△ABP = (1/2)|(1/3)(b × c)| = (1/3)·(1/2)|b × c| = (1/3)·△ABC = (1/3)×6√6 = 2√6

別解・発展

【別解】メネラウスの定理を利用

△ABD と直線 EP について、メネラウスの定理を適用することでも P の位置を求められます。

また、面積計算ではヘロンの公式を使って △ABC の面積を直接求める方法もあります：

s = (5+6+7)/2 = 9 として：

S = √{9(9-5)(9-6)(9-7)} = √(9×4×3×2) = √216 = 6√6

この結果は先ほどの計算と一致します。

【発展】空間ベクトルへの拡張

このような交点を求める手法は、空間ベクトルでも同様に使えます。直線と平面の交点、2直線の交点などを求める際にも、「2通りで表して係数比較」という方法が有効です。

大問4：微分積分と面積

問題

解説・解法のポイント

微分積分の総合問題です。京都府立大学では、3次関数のグラフと面積に関する問題が非常によく出題されます。

【(1)の解答】〜極値の計算〜

f(x) = x³ - 3x を微分します：

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x+1)(x-1)

f'(x) = 0 となるのは x = -1, 1

増減表を作成：

極値を計算：

• f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2（極大値）
• f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2（極小値）

【(2)の解答】〜グラフと x 軸で囲まれた面積〜

まず f(x) = 0 の解を求めます：

x³ - 3x = 0
x(x² - 3) = 0
x = 0, ±√3

グラフと x 軸で囲まれる部分は、-√3 ≤ x ≤ 0 と 0 ≤ x ≤ √3 の2つの領域です。

f(x) の符号を確認：

• -√3 < x 0
• 0 < x < √3 のとき f(x) < 0

面積を計算：

S = ∫_{-√3}^{0} f(x) dx + ∫_{0}^{√3} |f(x)| dx
= ∫_{-√3}^{0} (x³ - 3x) dx - ∫_{0}^{√3} (x³ - 3x) dx

不定積分を求めます：

∫(x³ - 3x) dx = x⁴/4 - 3x²/2 + C

定積分を計算：

∫_{-√3}^{0} (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - 3x²/2]_{-√3}^{0}
= (0) - {(√3)⁴/4 - 3(√3)²/2}
= 0 - {9/4 - 9/2}
= 0 - {9/4 - 18/4}
= 0 - (-9/4) = 9/4

∫_{0}^{√3} (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - 3x²/2]_{0}^{√3}
= {9/4 - 9/2} - 0 = -9/4

したがって：

S = 9/4 - (-9/4) = 9/4 + 9/4 = 9/2

【(3)の解答】〜接線と x 軸の交点〜

点 (a, f(a)) における接線の方程式を求めます。

f(a) = a³ - 3a、f'(a) = 3a² - 3 なので：

y - f(a) = f'(a)(x - a)
y - (a³ - 3a) = (3a² - 3)(x - a)

この接線が x 軸と交わる点では y = 0：

0 - (a³ - 3a) = (3a² - 3)(x - a)
-(a³ - 3a) = (3a² - 3)(x - a)
-a(a² - 3) = 3(a² - 1)(x - a)
-a(a² - 3) = 3(a+1)(a-1)(x - a)

a > √3 より a² - 3 > 0 かつ a - 1 > 0 なので、両辺を整理：

x - a = -a(a² - 3) / {3(a+1)(a-1)}
x - a = -a(a² - 3) / {3(a² - 1)}

x = a - a(a² - 3) / {3(a² - 1)}
= a{1 - (a² - 3)/(3(a² - 1))}
= a{(3(a² - 1) - (a² - 3)) / (3(a² - 1))}
= a{(3a² - 3 - a² + 3) / (3(a² - 1))}
= a{2a² / (3(a² - 1))}
= 2a³ / {3(a² - 1)}

【(4)の解答】〜曲線、x軸、直線で囲まれた面積〜

a > √3 のとき、曲線 y = f(x)、x 軸、直線 x = a で囲まれた部分を考えます。

この領域は、0 ≤ x ≤ √3 では曲線が x 軸の下側に、√3 ≤ x ≤ a では曲線が x 軸の上側にあります。

面積 S(a) は：

S(a) = ∫_{0}^{√3} |f(x)| dx + ∫_{√3}^{a} f(x) dx
= -∫_{0}^{√3} (x³ - 3x) dx + ∫_{√3}^{a} (x³ - 3x) dx

すでに計算した結果より：

-∫_{0}^{√3} (x³ - 3x) dx = -(-9/4) = 9/4

次に：

∫_{√3}^{a} (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - 3x²/2]_{√3}^{a}
= (a⁴/4 - 3a²/2) - (9/4 - 9/2)
= a⁴/4 - 3a²/2 - 9/4 + 9/2
= a⁴/4 - 3a²/2 + 9/4

したがって：

S(a) = 9/4 + a⁴/4 - 3a²/2 + 9/4
= a⁴/4 - 3a²/2 + 9/2

これを整理すると：

S(a) = (a⁴ - 6a² + 18) / 4 = (a⁴ - 6a² + 18) / 4

別解・発展

【公式の活用】

(2)の面積計算では、3次関数と x 軸で囲まれた面積の公式を使うこともできます。

y = a(x - α)(x - β)(x - γ)（α < β < γ）のグラフと x 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は：

S = |a|/12 × {(β - α)⁴ + (γ - β)⁴} / (γ - α)

ただし、この公式は複雑なので、基本に忠実に積分計算する方が確実です。

【発展】面積と接線の関係

3次関数の接線に関する面積問題は、入試頻出です。例えば「接線と曲線で囲まれた面積」を求める問題では、接点を通る接線と曲線のもう一つの交点を求め、1/12公式を適用するパターンがよく出ます。

この年度の重要テーマと対策

2012年度の京都府立大学数学を振り返ると、以下のテーマが重要であることがわかります。

【重要テーマ1】二次関数の最大・最小

ポイント：

• 軸と定義域の位置関係による場合分けを確実に
• グラフを描いて視覚的に確認する習慣をつける
• 文字を含む場合の場合分けの境界値に注意

対策：

教科書の例題・章末問題を完璧にした後、『チャート式 基礎からの数学Ⅰ+A』（青チャート）や『Focus Gold』の該当単元を演習しましょう。場合分けの書き方・まとめ方も採点対象なので、記述の練習も忘れずに。

【重要テーマ2】確率と漸化式

ポイント：

• 状態を適切に定義し、推移確率を整理する
• 対称性を利用して変数の数を減らす
• 漸化式を解く（等比型、特性方程式など）

対策：

確率漸化式の問題は、パターンが限られています。『1対1対応の演習 数学B』や『標準問題精講 数学B』で典型問題を押さえておけば、本番でも対応できます。

【重要テーマ3】ベクトルと図形

ポイント：

• 基本ベクトルの設定（始点を統一）
• 内積の計算（余弦定理との関連）
• 交点を2通りで表して係数比較
• 面積はベクトルの外積または三角比で

対策：

ベクトルは計算が煩雑になりやすいので、日頃から丁寧な計算を心がけましょう。平面ベクトルと空間ベクトルの両方を演習し、どちらが出ても対応できるようにしておくことが大切です。

【重要テーマ4】微分積分と面積

ポイント：

• 増減表を正確に書く
• グラフと軸で囲まれた面積の計算
• 接線の方程式と交点
• 定積分の計算力（特に置換積分、部分積分）

対策：

3次関数の問題は定番中の定番です。グラフの概形、極値、面積計算を一連の流れで解けるよう練習しましょう。計算ミスが命取りになるので、検算の習慣も大切です。

【総合対策】

1. 基礎固め（高2〜高3夏）：教科書の例題・章末問題を完璧に
2. 標準演習（高3夏〜秋）：『チャート式』『Focus Gold』の例題レベル
3. 過去問演習（高3秋〜直前）：京都府立大学の過去問を5年分以上
4. 類題演習：同レベルの公立大学（大阪公立大学、兵庫県立大学など）の過去問も有効

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2012年度の京都府立大学の傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、ぜひ挑戦してみてください！

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

g(x) = x² - 4x + a = (x - 2)² - 4 + a

頂点は (2, a - 4)。軸 x = 2 は区間 [-1, 3] 内にあるので、最小値は頂点で取ります。

最小値 = a - 4 = -5 より：

a = -1

【練習問題2】確率

【解答・解説】

1回の操作で白玉が出る確率は 3/5、赤玉が出る確率は 2/5。

3回中、白玉が k 回出る確率は：

P(k) = C(3,k) × (3/5)^k × (2/5)^(3-k)

白玉の回数 ≥ 赤

白玉の回数 ≥ 赤玉の回数となるのは、白玉が2回以上出る場合です。

（3回中、白玉2回・赤玉1回、または白玉3回・赤玉0回）

それぞれの確率を計算：

白玉2回の場合：

P(2) = C(3,2) × (3/5)² × (2/5)¹ = 3 × (9/25) × (2/5) = 3 × 18/125 = 54/125

白玉3回の場合：

P(3) = C(3,3) × (3/5)³ × (2/5)⁰ = 1 × (27/125) × 1 = 27/125

したがって、求める確率は：

P(2) + P(3) = 54/125 + 27/125 = 81/125

【練習問題3】微分と接線

【解答・解説】

f(x) = x³ - 6x² + 9x とおくと：

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)

点 P(t, f(t)) における接線の方程式は：

y - f(t) = f'(t)(x - t)
y - (t³ - 6t² + 9t) = (3t² - 12t + 9)(x - t)

この接線が原点 (0, 0) を通る条件：

0 - (t³ - 6t² + 9t) = (3t² - 12t + 9)(0 - t)
-(t³ - 6t² + 9t) = -t(3t² - 12t + 9)
-t³ + 6t² - 9t = -3t³ + 12t² - 9t
-t³ + 6t² - 9t + 3t³ - 12t² + 9t = 0
2t³ - 6t² = 0
2t²(t - 3) = 0

t > 0 より t² ≠ 0 なので：

t = 3

※ t = 0 は条件 t > 0 を満たさないので除外。

【補足】この問題では、接線が原点を通るという条件から t の方程式を導きました。3次関数の接線問題では、「接点の座標を文字でおく → 接線の方程式を立てる → 通過条件を代入」という流れが基本パターンです。

京都府立大学 数学攻略のための学習ロードマップ

最後に、京都府立大学の数学で高得点を取るための学習計画をご紹介します。

【高2生〜高3春】基礎固め期

【高3夏】標準問題演習期

【高3秋】実践演習期

【高3冬〜直前】仕上げ期

【分野別 優先度】

京都府立大学の数学で特に重要な分野を、優先度順に整理しました。

日本数学塾・数強塾で京都府立大学合格を目指そう

ここまで、京都府立大学 2012年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

京都府立大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心であり、教科書の内容を確実に理解し、典型問題のパターンを身につけていれば十分に高得点が狙えます。しかし、

• 「どの問題集をどのペースで進めればいいかわからない」
• 「自分の答案の書き方が正しいか不安」
• 「わからない問題があっても質問できる人がいない」
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といった悩みを抱えている受験生も多いのではないでしょうか。

そんな皆さんを全力でサポートするのが、私たち日本数学塾・数強塾です！

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【最後に〜受験生へのメッセージ〜】

京都府立大学の数学は、決して難問ぞろいではありません。基礎を固め、典型問題を確実に解けるようにすれば、必ず合格点に届きます。

大切なのは、

1. 毎日コツコツ継続すること
2. わからないところを放置しないこと
3. 実際に手を動かして問題を解くこと

この3つです。

皆さんの京都府立大学合格を、心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介