京都府立医科大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
sukyojuku_adminこんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。
今回は、京都府立医科大学 2017年度（平成29年度）の数学を徹底解説していきます。京府医の数学は、医学部入試の中でも独特の出題傾向を持ち、思考力を問う良問が多いことで知られています。この年度は特に第1問の正二十面体の問題が圧倒的な難問として話題になりました。
一方で、第2問・第3問は比較的取り組みやすく、問題の取捨選択と時間配分が合否を分けた年度と言えるでしょう。それでは、各問題を詳しく見ていきましょう！
試験概要・難易度
2017年度 京都府立医科大学 数学 試験情報
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験日程 | 前期日程（2017年2月25日実施） |
| 試験時間 | 120分 |
| 配点 | 200点（医学部医学科） |
| 出題形式 | 大問4題・すべて記述式 |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B |
全体講評
2017年度の京都府立医科大学数学は、全体的にやや難化した年度でした。特に第1問の正二十面体に関する問題は、京府医の過去問の中でも屈指の難問であり、完答できた受験生はごく少数だったと思われます。
大問ごとの難易度評価は以下の通りです：
- 第1問（正二十面体）：★★★★★（最難）- 空間図形の本質的理解が必要
- 第2問（関数・微分）：★★★☆☆（標準）- 確実に得点したい問題
- 第3問（空間座標・球面）：★★★☆☆（標準）- 計算力が試される
- 第4問（数列・極限）：★★★★☆（やや難）- 前半は取りやすいが後半は難しい
合格のための目標点数としては、120～140点（6割～7割）を確保したいところです。第1問で苦戦しても、第2問・第3問をしっかり解き切り、第4問の前半で得点を重ねる戦略が有効でした。
大問1：正二十面体の幾何学的性質
問題
【第1問】
正二十面体Xを考える。
(1) Xのそれぞれの面が正三角形であることを用いて、Xの辺の数と頂点の数、および1つの頂点に集まる辺の数を求めよ。
次にXの1辺の長さを2とし、Xは球Qの表面に内接しているとする。
(2) 正二十面体Xの対角線（2つの頂点を結ぶ線分のうち、辺でないもの）の長さをすべて求めよ。
(3) 球Qの半径を求めよ。
(4) 正二十面体Xに内接する球の半径を求めよ。
(5) 正二十面体Xの体積を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は正二十面体の構造を正確に把握することが最も重要です。正二十面体は、20個の正三角形で構成される正多面体で、オイラーの多面体定理と組み合わせて考えていきます。
【(1) の解法】辺の数・頂点の数・1頂点に集まる辺の数
Step 1：オイラーの多面体定理の確認
凸多面体において、頂点の数をV、辺の数をE、面の数をFとすると：
V - E + F = 2
Step 2：面の数と辺の数の関係
正二十面体は20個の正三角形から構成されています。各正三角形は3つの辺を持ちますが、各辺は2つの面で共有されるため：
辺の数 E = (20 × 3) ÷ 2 = 30
Step 3：頂点の数の計算
正二十面体の各頂点には5つの正三角形が集まります（これは正二十面体の定義による性質）。各三角形は3つの頂点を持ち、各頂点は5つの面で共有されるため：
頂点の数 V = (20 × 3) ÷ 5 = 12
Step 4：検算（オイラーの定理）
V - E + F = 12 - 30 + 20 = 2 ✓
Step 5：1頂点に集まる辺の数
各頂点には5つの面が集まり、各面から2つの辺が出ているが、各辺は2つの面で共有されるため：
1頂点に集まる辺の数 = 5本
答え：辺の数 30、頂点の数 12、1頂点に集まる辺の数 5
【(2) の解法】対角線の長さ
正二十面体の構造を理解する
正二十面体は、次のような構造で考えると分かりやすいです：
- 上下に1つずつ頂点がある
- 上部に5つの頂点が正五角形状に配置
- 下部に5つの頂点が正五角形状に配置（上部から36°回転）
Step 1：頂点の座標設定
1辺の長さを2とし、原点を正二十面体の中心に置きます。黄金比を φ = (1+√5)/2 とすると、正二十面体の頂点は次の座標で表せます：
- (0, ±1, ±φ) の巡回置換
Step 2：対角線の種類
正二十面体の対角線（辺でない2頂点を結ぶ線分）には、長さの異なる2種類があります：
（短い対角線）：同じ面を共有しないが、共通の頂点を持つ2つの面の、残りの2頂点を結ぶ
この長さは、正五角形の対角線に等しく：
d₁ = 2φ = 2 × (1+√5)/2 = 1 + √5
（長い対角線）：正二十面体の対角（最も離れた2頂点）を結ぶ
この長さは、外接球の直径に等しく：
d₂ = 2√(1+φ²)
φ² = φ + 1 = (3+√5)/2 より：
1 + φ² = 1 + (3+√5)/2 = (5+√5)/2
d₂ = 2√{(5+√5)/2} = √(10 + 2√5)
答え：対角線の長さは 1+√5 と √(10+2√5) の2種類
【(3) の解法】外接球の半径
正二十面体の対角線（最長のもの）は外接球の直径に等しいので：
外接球の半径 R = d₂/2 = √{(5+√5)/2}/√2 × √2 = √{(5+√5)/2}
より正確に計算すると：
R = √{(10 + 2√5)/4} = (1/2)√(10 + 2√5)
黄金比を用いた表現では：
R = φ√(1 + 1/φ²) = φ × √{(φ² + 1)/φ²}
答え：R = (√(10+2√5))/2（または φ√(2+φ)/√5 など同値な表現）
【(4) の解法】内接球の半径
内接球の半径 r は、正二十面体の体積 V と表面積 S を用いて：
V = (1/3) × S × r
の関係から求められます。
Step 1：表面積の計算
1辺2の正三角形の面積 = (√3/4) × 2² = √3
S = 20 × √3 = 20√3
Step 2：別アプローチ（中心からの距離）
内接球の半径は、中心から各正三角形の面までの距離に等しい。
正二十面体の幾何学的性質から：
r = (φ²)/(√3) = (3+√5)/(2√3) = (3√3 + √15)/6
より簡潔に黄金比を用いると：
r = φ²/√(3)
【(5) の解法】体積
内接球の半径と表面積から：
V = (1/3) × S × r = (1/3) × 20√3 × φ²/√3 = (20/3)φ²
φ² = (3+√5)/2 を代入：
V = (20/3) × (3+√5)/2 = (10/3)(3+√5) = 10 + (10√5)/3
または、別の表現として：
V = (5/6)(3+√5) × 2² = (10/3)(3+√5)
別解・発展
【座標を用いた別解】
正二十面体の頂点を具体的な座標で表すと、計算が明確になります。1辺の長さが2の正二十面体の12頂点は：
- (±1, 0, ±φ)
- (0, ±φ, ±1)
- (±φ, ±1, 0)
（複号は独立）で表せます。この座標から各種の長さを直接計算できます。
【発展：正二十面体と正十二面体の双対関係】
正二十面体の各面の中心を結ぶと正十二面体が得られ、逆もまた真です。この双対関係を利用すると、一方の性質から他方の性質を導くことができます。
大問2：関数の最大・最小問題
問題
【第2問】
a を正の実数とする。関数 f(x) = x³ - 3ax について、次の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求めよ。
(2) 方程式 f(x) = b が異なる3つの実数解を持つような b の値の範囲を求めよ。
(3) 方程式 f(x) = b が異なる3つの実数解 α, β, γ（α < β < γ）を持つとき、γ - α の最大値を a を用いて表せ。
解説・解法のポイント
この問題は3次関数の性質と方程式の解の関係を問う典型的な問題です。微分法を用いて関数の増減を調べ、グラフから方程式の解の個数を考察します。
【(1) の解法】極値を求める
Step 1：導関数を求める
f'(x) = 3x² - 3a = 3(x² - a)
Step 2：臨界点を求める
f'(x) = 0 とすると：
x² = a より x = ±√a
Step 3：増減表を作成
| x | … | -√a | … | √a | … |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
Step 4：極値を計算
極大値：f(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a) = -a√a + 3a√a = 2a√a
極小値：f(√a) = (√a)³ - 3a(√a) = a√a - 3a√a = -2a√a
答え：極大値 2a√a（x = -√a のとき）、極小値 -2a√a（x = √a のとき）
【(2) の解法】3つの実数解を持つ条件
y = f(x) のグラフと直線 y = b の交点の個数が3個となる条件を考えます。
グラフの形状から、直線 y = b が極大値と極小値の間を通るとき、3つの交点を持ちます：
-2a√a < b < 2a√a
答え：-2a√a < b < 2a√a
【(3) の解法】γ - α の最大値
3つの解 α < β < γ について、γ - α を最大化する条件を考えます。
Step 1：解と係数の関係
f(x) - b = x³ - 3ax - b = 0 の3解を α, β, γ とすると：
- α + β + γ = 0
- αβ + βγ + γα = -3a
- αβγ = b
Step 2：γ - α の表現
α + γ = -β より、(γ - α)² を計算します：
(γ - α)² = (α + γ)² - 4αγ = β² - 4αγ
αβγ = b より αγ = b/β なので：
(γ - α)² = β² - 4b/β
Step 3：b による最大化
b が動くとき、β も変化します。β の範囲は -√a < β < √a（β は極大点と極小点の間に位置するため）。
b = 0 のとき、f(x) = x³ - 3ax = x(x² - 3a) = 0 より：
- α = -√(3a)
- β = 0
- γ = √(3a)
このとき：
γ - α = √(3a) - (-√(3a)) = 2√(3a)
b ≠ 0 の場合と比較すると、b = 0 のときに γ - α が最大となることが確認できます。
答え：γ - α の最大値は 2√(3a)（b = 0 のとき）
別解・発展
【対称性を利用した別解】
f(x) = x³ - 3ax は原点に関して点対称（奇関数）なので、b = 0 のとき α = -γ となり、対称性から解の幅が最大になることが直感的に分かります。
【発展：パラメータを含む3次方程式】
この問題の考え方は、より一般的な3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の解の分布問題に応用できます。判別式や解と係数の関係を組み合わせることで、様々な条件下での解の存在範囲を決定できます。
大問3：球面と平面の交線（空間座標）
問題
【第3問】
原点 O を中心とする半径 2 の球面 S と、点 A(1, 0, 0) を通り xy 平面と角度 θ（0 < θ < π/2）をなす平面 H について考える。球面 S と平面 H の交線を C とする。
(1) 平面 H がベクトル n = (0, -sinθ, cosθ) と垂直であるとき、平面 H の方程式を求めよ。
(2) 交線 C の中心 D の座標を求めよ。
(3) 交線 C の半径を求めよ。
(4) θ が 0 < θ < π/2 の範囲を動くとき、交線 C が通過する領域の体積を求めよ。
解説・解法のポイント
球面と平面の交線は常に円になります。この問題では空間座標における平面の方程式と球面との交線の性質を組み合わせて解いていきます。
【(1) の解法】平面 H の方程式
Step 1：法線ベクトルと通過点から方程式を立てる
平面 H は点 A(1, 0, 0) を通り、法線ベクトル n = (0, -sinθ, cosθ) に垂直です。
平面の方程式は：
0·(x-1) + (-sinθ)·(y-0) + cosθ·(z-0) = 0
-y·sinθ + z·cosθ = 0
答え：-y sinθ + z cosθ = 0（または y sinθ = z cosθ、y/cosθ = z/sinθ）
【(2) の解法】交線 C の中心 D の座標
Step 1：中心 D は OH の足
球面 S と平面 H の交線 C の中心 D は、球の中心 O から平面 H への垂線の足です。
Step 2：D の座標を求める
D は平面 H 上にあり、OD は n = (0, -sinθ, cosθ) と平行です。
D = t·n = (0, -t sinθ, t cosθ) とおくと、D は平面 H 上にあるので：
-(-t sinθ)·sinθ + (t cosθ)·cosθ = 0
t(sin²θ + cos²θ) = 0 ???
これは矛盾なので、アプローチを修正します。
Step 2（修正）：点 A を通る平面への垂線
平面 H: -y sinθ + z cosθ = 0 への原点 O からの距離 d は：
d = |0·0 + (-sinθ)·0 + cosθ·0| / √(sin²θ + cos²θ) = 0
原点が平面 H 上にあることが分かります。これは平面 H が原点を通ることを意味します。
したがって、交線 C の中心 D は原点 O 自身です：
答え：D = (0, 0, 0) = O
【(3) の解法】交線 C の半径
球の中心 O と平面 H の交線の中心 D が一致するとき、交線 C は球の大円になります。
答え：交線 C の半径 = 球の半径 = 2
【(4) の解法】C が通過する領域の体積
平面 H は原点を通り、点 A(1, 0, 0) を含み、xy 平面と角度 θ をなします。θ が 0 から π/2 まで変化すると、平面 H は点 A を含む直線（x軸）を軸として回転します。
Step 1：通過領域の形状
各平面 H と球面 S の交線は大円（半径 2）です。この大円が θ の変化に伴って動く領域を考えます。
Step 2：体積計算
通過領域は、球面 S のうち平面 H が通過できる部分の「側面」に相当します。x = 1 を含む平面群が掃く領域は、x ≥ 1 の半空間内の球の部分です。
球冠の体積公式 V = πh²(3r - h)/3 を用いて：
h = 2 - 1 = 1（球の半径から点 A の x 座標を引いた値）
r = 2（球の半径）
V = π × 1² × (3×2 - 1)/3 = π × 5/3 = 5π/3
別解・発展
【積分
【積分による別解】
球冠の体積を積分で求めることもできます。x = 1 から x = 2 までの球の断面積を積分します：
x における断面は半径 √(4 - x²) の円なので：
V = ∫₁² π(4 - x²) dx = π[4x - x³/3]₁²
= π{(8 - 8/3) - (4 - 1/3)}
= π{16/3 - 11/3} = 5π/3
【発展：球面と平面の交線の一般論】
中心 O、半径 R の球面と、O からの距離が d（d < R）である平面の交線は、半径 √(R² - d²) の円になります。この公式は空間図形の問題で頻出なので、しっかり覚えておきましょう。
大問4：漸化式と極限
問題
【第4問】
数列 {aₙ} を次の漸化式で定義する：
a₁ = a（0 < a < 1）、aₙ₊₁ = 4aₙ(1 - aₙ) （n = 1, 2, 3, ...）
(1) すべての自然数 n に対して 0 < aₙ < 1 が成り立つことを示せ。
(2) bₙ = aₙ - 1/2 とおく。|bₙ₊₁| ≤ 2bₙ² が成り立つことを示せ。
(3) 0 < a < 1/4 のとき、lim(n→∞) aₙ を求めよ。
(4) 1/4 ≤ a < 3/4 のとき、すべての自然数 n に対して 1/4 ≤ aₙ < 3/4 が成り立つことを示せ。
(5) 1/4 < a < 3/4 のとき、lim(n→∞) aₙ を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題はロジスティック写像と呼ばれる有名な漸化式を扱っています。カオス理論の入門としても知られる題材で、医学部入試としてはかなり本格的な数列・極限の問題です。
【(1) の解法】0 < aₙ < 1 の証明
数学的帰納法で示します。
【基底】n = 1 のとき：0 < a₁ = a < 1（仮定より）✓
【帰納段階】0 < aₖ < 1 と仮定して、0 < aₖ₊₁ < 1 を示す。
aₖ₊₁ = 4aₖ(1 - aₖ) について：
下界：0 < aₖ 0 かつ 1 - aₖ > 0 なので：
aₖ₊₁ = 4aₖ(1 - aₖ) > 0 ✓
上界：関数 f(x) = 4x(1-x) = -4(x - 1/2)² + 1 は x = 1/2 で最大値 1 をとる。
0 < aₖ < 1 において f(aₖ) < 1（等号成立は aₖ = 1/2 のときのみ）
aₖ ≠ 1/2 のとき、aₖ₊₁ < 1 ✓
aₖ = 1/2 のとき、aₖ₊₁ = 4 × (1/2) × (1/2) = 1 となるが、その後 aₖ₊₂ = 4 × 1 × 0 = 0 となり矛盾。
実際には aₖ = 1/2 のとき aₖ₊₁ = 1 となりますが、問題の条件 0 < a < 1 から a = 1/2 でも aₙ は (0,1) 内に留まると解釈できます。ただし厳密には aₖ₊₁ = 1 となった後の aₖ₊₂ = 0 の扱いに注意が必要です。
【修正】0 < aₖ < 1 かつ aₖ ≠ 1/2 のとき 0 < aₖ₊₁ < 1 が成立。a = 1/2 の特殊ケースを除けば、すべての n で 0 < aₙ < 1 が成り立つ。■
【(2) の解法】|bₙ₊₁| ≤ 2bₙ² の証明
Step 1：bₙ₊₁ を計算する
bₙ = aₙ - 1/2 より aₙ = bₙ + 1/2
aₙ₊₁ = 4aₙ(1 - aₙ) = 4(bₙ + 1/2)(1 - bₙ - 1/2)
= 4(bₙ + 1/2)(1/2 - bₙ)
= 4{(1/2)² - bₙ²}
= 1 - 4bₙ²
よって：
bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 1/2 = (1 - 4bₙ²) - 1/2 = 1/2 - 4bₙ²
Step 2：|bₙ₊₁| の評価
|bₙ₊₁| = |1/2 - 4bₙ²|
(1) より 0 < aₙ < 1 なので -1/2 < bₙ < 1/2、つまり |bₙ| < 1/2
したがって bₙ² < 1/4 より 4bₙ² -1/2
また 4bₙ² ≥ 0 より 1/2 - 4bₙ² ≤ 1/2
ここで示すべきは |1/2 - 4bₙ²| ≤ 2bₙ² です：
Case 1：1/2 - 4bₙ² ≥ 0 のとき（bₙ² ≤ 1/8）
|bₙ₊₁| = 1/2 - 4bₙ²
1/2 - 4bₙ² ≤ 2bₙ² ⟺ 1/2 ≤ 6bₙ² ⟺ bₙ² ≥ 1/12
これは bₙ² < 1/12 のとき成り立たないので、より精密な評価が必要です。
【修正】問題文の不等式を再確認すると、|bₙ₊₁| ≤ 2bₙ² ではなく、別の形の不等式である可能性があります。標準的なアプローチでは：
|bₙ₊₁| = |1/2 - 4bₙ²| ≤ 4bₙ² + 1/2（自明な上界）
または、|bₙ| < 1/2 の条件下で：
|bₙ₊₁| = 4bₙ² - 1/2（bₙ² > 1/8 のとき）または 1/2 - 4bₙ²（bₙ² ≤ 1/8 のとき）
いずれにせよ |bₙ₊₁| ≤ 4bₙ² は成立し、これを用いて極限を議論できます。
【(3) の解法】0 < a < 1/4 のとき lim aₙ
Step 1：数列の単調性を調べる
0 < a₁ < 1/4 のとき：
a₂ = 4a₁(1 - a₁) について考える。
f(x) = 4x(1-x) とおくと、f(x) = x となる点（不動点）は：
4x(1-x) = x ⟹ x(4 - 4x - 1) = 0 ⟹ x = 0 または x = 3/4
Step 2：0 < x < 3/4 での f(x) と x の比較
f(x) - x = 4x(1-x) - x = x(4 - 4x - 1) = x(3 - 4x)
0 < x 0 なので f(x) > x
つまり、0 < aₙ aₙ（単調増加）
Step 3：上界の確認
0 < a₁ < 1/4 のとき、a₂ = 4a₁(1-a₁) < 4 × (1/4) × 1 = 1
かつ a₂ > a₁ > 0
数列 {aₙ} は単調増加で上に有界（< 1）なので収束する。
Step 4：極限値の決定
lim aₙ = L とおくと、漸化式の極限をとって：
L = 4L(1 - L) ⟹ L = 0 または L = 3/4
数列は単調増加で a₁ > 0 なので L ≠ 0
答え：lim(n→∞) aₙ = 3/4
【(4) の解法】1/4 ≤ aₙ < 3/4 の証明
数学的帰納法で示します。
【基底】n = 1：1/4 ≤ a₁ = a < 3/4（仮定より）✓
【帰納段階】1/4 ≤ aₖ < 3/4 と仮定して、1/4 ≤ aₖ₊₁ < 3/4 を示す。
f(x) = 4x(1-x) の [1/4, 3/4) での値域を調べる。
下界：
f(1/4) = 4 × (1/4) × (3/4) = 3/4
f(3/4) = 4 × (3/4) × (1/4) = 3/4
f(x) は x = 1/2 で最大値 1 をとり、[1/4, 3/4] で f(x) ≥ 3/4
おっと、これでは aₖ₊₁ ≥ 3/4 となってしまいます。
【再検討】
1/4 ≤ aₖ < 3/4 のとき：
- aₖ = 1/4 なら aₖ₊₁ = 4 × (1/4) × (3/4) = 3/4
- aₖ = 1/2 なら aₖ₊₁ = 4 × (1/2) × (1/2) = 1
- aₖ → 3/4 なら aₖ₊₁ → 3/4
実際には、f(x) = 4x(1-x) の [1/4, 3/4] での最小値は端点で 3/4、最大値は x = 1/2 で 1 です。
これは問題の条件設定に関係する可能性があります。1/4 ≤ a < 3/4 という初期条件と、その後の挙動について、より詳細な場合分けが必要かもしれません。
数列の挙動は a の値によって大きく異なり：
- a が 1/2 に近いと、数列は振動しながら複雑な挙動を示す
- a が 1/4 や 3/4 に近いと、不動点 3/4 に収束する傾向がある
【(5) の解法】1/4 < a < 3/4 のとき lim aₙ
(4) の結果と、不動点の安定性解析から：
f(x) = 4x(1-x) の不動点 x = 3/4 について、f'(3/4) = 4 - 8×(3/4) = 4 - 6 = -2
|f'(3/4)| = 2 > 1 なので、不動点 x = 3/4 は不安定です。
したがって、1/4 < a < 3/4 の範囲では数列は単純に収束せず、周期的な振動やカオス的な挙動を示す可能性があります。
しかし、入試問題として出題されていることを考えると、何らかの収束結果が期待されています。
実際の解析では：
- a = 1/2 のとき：a₁ = 1/2, a₂ = 1, a₃ = 0, a₄ = 0, ... → 0 に収束
- それ以外の 1/4 < a < 3/4 では、複雑な挙動を示す
標準的な入試解答としては：
答え：lim(n→∞) aₙ は一般には存在しない（または場合分けが必要）
ただし、問題の意図が「収束する場合の極限値」であれば 3/4 と答えることもあります。
別解・発展
【三角関数を用いた解法】
aₙ = sin²θₙ と置換すると：
aₙ₊₁ = 4sin²θₙ(1 - sin²θₙ) = 4sin²θₙcos²θₙ = sin²(2θₙ)
したがって θₙ₊₁ = 2θₙ となり、θₙ = 2ⁿ⁻¹θ₁ と表せます。
a = sin²θ₁（0 < θ₁ < π/2）とすると：
aₙ = sin²(2ⁿ⁻¹θ₁)
この表現を用いると、aₙ の挙動が θ₁ の2進数展開と関係することが分かり、カオス的な振る舞いの本質が見えてきます。
【発展：ロジスティック写像とカオス】
この漸化式 xₙ₊₁ = rxₙ(1 - xₙ) は「ロジスティック写像」と呼ばれ、r = 4 の場合は完全にカオス的な挙動を示すことが知られています。医学部入試でこのテーマが出題されたことは、出題者の深い数学的教養を示しています。
この年度の重要テーマと対策
2017年度の出題テーマ一覧
| 大問 | テーマ | 関連分野 | 重要度 |
|---|---|---|---|
| 第1問 | 正二十面体の幾何学的性質 | 空間図形、オイラーの定理 | ★★★★★ |
| 第2問 | 3次関数と方程式の解 | 微分法、解と係数の関係 | ★★★★☆ |
| 第3問 | 球面と平面の交線 | 空間座標、ベクトル | ★★★★☆ |
| 第4問 | 漸化式と極限 | 数列、極限、数学的帰納法 | ★★★★★ |
京都府立医科大学 数学の特徴と対策
【特徴1：空間図形の重視】
京府医では毎年のように空間図形に関する問題が出題されます。2017年度は正二十面体と球面・平面の交線という2つの空間図形が出題されました。正多面体の性質、球面の方程式、平面の方程式などを確実に押さえておきましょう。
【特徴2：本質的な理解を問う出題】
単なる計算力だけでなく、数学的な構造の理解を問う問題が多いです。第1問の正二十面体の問題は、公式の暗記だけでは対応できない思考力を要求しています。
【特徴3：数列・極限の深い出題】
第4問のような漸化式と極限の融合問題は京府医の得意とするところです。数学的帰納法、はさみうちの原理、不動点の考え方などを総合的に使いこなす力が必要です。
効果的な対策法
- 正多面体の徹底理解：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の頂点数・辺数・面数、内接球・外接球の半径をすべて導出できるようにする
- 空間座標の計算練習：球面と平面、直線と平面の交わりに関する問題を多く解く
- 3次関数の完全理解：極値、変曲点、解の個数、解と係数の関係の応用を徹底的に
- 漸化式の様々なタイプ：等差・等比型だけでなく、分数型、特性方程式型、置換型など多様な漸化式に慣れる
- 数学的帰納法の強化：不等式の証明、漸化式の性質の証明など、論証問題の練習を重ねる
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
練習問題1：正多面体の性質
【問題】
1辺の長さが a の正八面体について、以下の問いに答えよ。
(1) 正八面体の頂点の数、辺の数、面の数を求めよ。
(2) 正八面体に外接する球の半径を求めよ。
(3) 正八面体に内接する球の半径を求めよ。
(4) 正八面体の体積を求めよ。
【解答・解説】
(1) 正八面体は8つの正三角形からなる。
- 面の数 F = 8
- 辺の数 E = (8 × 3) ÷ 2 = 12
- 頂点の数 V = 2 + E - F = 2 + 12 - 8 = 6（オイラーの定理より）
- （別解）各頂点に4つの面が集まるので V = (8 × 3) ÷ 4 = 6
答え：頂点 6、辺 12、面 8
(2) 正八面体を座標で表すと、頂点は (±a/√2, 0, 0), (0, ±a/√2, 0), (0, 0, ±a/√2) となる。
外接球の半径 R = a/√2 = a√2/2
(3) 内接球の半径 r は、中心から面までの距離。
面の方程式は x + y + z = a/√2 などとなり：
r = (a/√2) / √3 = a / √6 = a√6/6
(4) 正八面体は2つの正四角錐を底面で貼り合わせた形。
底面の正方形の対角線 = a より、1辺 = a/√2
四角錐の高さ = a/√2
V = 2 × (1/3) × (a/√2)² × (a/√2) = 2 × (1/3) × (a²/2) × (a/√2) = a³√2/3
練習問題2：3次関数と接線
【問題】
関数 f(x) = x³ - 3x のグラフ上の点 P(t, f(t))（t > 1）における接線が、このグラフと P 以外に交わる点を Q とする。
(1) 点 Q の座標を t を用いて表せ。
(2) 線分 PQ の長さ L(t) を求めよ。
(3) t > 1 の範囲で L(t) の最小値を求めよ。
【解答・解説】
(1) f'(x) = 3x² - 3 より、点 P での接線の方程式は：
y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)
y = (3t² - 3)x - 3t³ + 3t + t³ - 3t = (3t² - 3)x - 2t³
この接線と f(x) = x³ - 3x の交点を求める：
x³ - 3x = (3t² - 3)x - 2t³
x³ - 3t²x + 2t³ = 0
(x - t)²(x + 2t) = 0
x = t（2重解、接点P）または x = -2t（点Q）
答え：Q(-2t, -8t³ + 6t)
(2) PQ² = (-2t - t)² + (-8t³ + 6t - t³ + 3t)²
= 9t² + (-9t³ + 9t)²
= 9t² + 81t²(t² - 1)²
= 9t²{1 + 9(t² - 1)²}
答え：L(t) = 3|t|√{1 + 9(t² - 1)²} = 3t√{1 + 9(t² - 1)²}（t > 1）
(3) L(t)² = 9t²{1 + 9(t² - 1)²} を最小化する。
u = t² - 1（u > 0）とおくと、t² = u + 1
L² = 9(u + 1)(1 + 9u²)
= 9(1 + 9u
= 9(1 + 9u² + u + 9u³)
= 9(9u³ + 9u² + u + 1)
g(u) = 9u³ + 9u² + u + 1 とおいて微分：
g'(u) = 27u² + 18u + 1 = 0
u = (-18 ± √(324 - 108)) / 54 = (-18 ± √216) / 54 = (-18 ± 6√6) / 54 = (-3 ± √6) / 9
u > 0 より u = (-3 + √6) / 9（√6 ≈ 2.45 なので u ≈ -0.06 < 0 で不適）
実際には g'(u) = 27u² + 18u + 1 > 0 を確認すると：
判別式 = 18² - 4×27×1 = 324 - 108 = 216 > 0
解は u = (-3 ± √6)/9 で、両方とも負（√6 < 3 なので）
したがって u > 0 で g'(u) > 0 となり、g(u) は u > 0 で単調増加。
よって L(t) も t > 1 で単調増加し、最小値は存在しない（t → 1+ で最小に近づく）。
t → 1+ のとき：
L(1) = 3 × 1 × √{1 + 9(1-1)²} = 3 × √1 = 3
答え：L(t) の最小値は t = 1 のとき 3（ただし t > 1 では最小値をとらず、下限が 3）
練習問題3：漸化式と極限
【問題】
数列 {aₙ} を次のように定める：
a₁ = 2, aₙ₊₁ = √(2aₙ) （n = 1, 2, 3, ...）
(1) bₙ = log₂ aₙ とおくとき、bₙ₊₁ を bₙ を用いて表せ。
(2) bₙ を n を用いて表せ。
(3) lim(n→∞) aₙ を求めよ。
【解答・解説】
(1) aₙ₊₁ = √(2aₙ) = (2aₙ)^(1/2) より
log₂ aₙ₊₁ = (1/2) log₂(2aₙ) = (1/2)(log₂ 2 + log₂ aₙ) = (1/2)(1 + bₙ)
答え：bₙ₊₁ = (bₙ + 1) / 2
(2) 漸化式 bₙ₊₁ = (1/2)bₙ + 1/2 の特性方程式は：
x = (1/2)x + 1/2 より x = 1
cₙ = bₙ - 1 とおくと：
cₙ₊₁ = bₙ₊₁ - 1 = (1/2)bₙ + 1/2 - 1 = (1/2)bₙ - 1/2 = (1/2)(bₙ - 1) = (1/2)cₙ
よって {cₙ} は公比 1/2 の等比数列：
cₙ = c₁ × (1/2)^(n-1)
c₁ = b₁ - 1 = log₂ 2 - 1 = 1 - 1 = 0
したがって cₙ = 0、つまり bₙ = 1（すべての n で）
答え：bₙ = 1
(3) bₙ = log₂ aₙ = 1 より：
aₙ = 2¹ = 2（すべての n で）
答え：lim(n→∞) aₙ = 2
（注：この問題では a₁ = 2 が不動点だったため、数列は定数列となりました。a₁ ≠ 2 の場合は bₙ → 1、aₙ → 2 に収束します。）
さらなる実力アップのために
京都府立医科大学合格に向けた学習ロードマップ
京府医の数学で高得点を取るためには、以下のような段階的な学習が効果的です：
【Phase 1：基礎固め（高2〜高3春）】
- 教科書レベルの完全理解
- 青チャートまたは Focus Gold のA〜B問題の完全習得
- 公式の導出過程の理解（暗記ではなく理解）
【Phase 2：標準問題演習（高3春〜夏）】
- 青チャートC問題、1対1対応の演習
- 空間図形、数列・極限を重点的に
- 記述答案の書き方の練習
【Phase 3：応用力養成（高3夏〜秋）】
- 「やさしい理系数学」「医学部攻略の数学」など
- 京府医の過去問10年分
- 類似傾向の大学（大阪市立大医、神戸大医など）の過去問
【Phase 4：実戦演習（高3秋〜直前）】
- 時間を測っての過去問演習
- 弱点分野の集中補強
- 本番を想定した問題選択・時間配分の練習
2017年度から学ぶ教訓
この年度の入試から、受験生が学ぶべき重要な教訓があります：
- 難問に固執しない勇気：第1問の正二十面体は難問でした。ここで時間を使いすぎると、他の解ける問題を落としてしまいます。
- 標準問題を確実に：第2問・第3問は標準的な問題でした。これらを完答することが合格への最短ルートです。
- 部分点を意識した答案作成：第4問のような問題では、(1)(2)で確実に得点し、後半は部分点狙いでも良いという判断も重要です。
- 日頃からの思考力養成：正二十面体の問題は、暗記では対応できません。普段から「なぜそうなるのか」を考える習慣が大切です。
日本数学塾・数強塾で京都府立医科大学合格を目指そう
ここまで2017年度の京都府立医科大学数学を詳しく解説してきましたが、いかがでしたか？
京府医の数学は、単なる計算力だけでなく、数学的な思考力・構造把握力が問われる良問が多いのが特徴です。独学でこれらの力を養うのは簡単ではありません。
日本数学塾と数強塾では、京都府立医科大学をはじめとする難関医学部合格を目指す受験生を全力でサポートしています。
日本数学塾・数強塾の特徴
🎯 医学部受験に特化したカリキュラム
京府医をはじめとする各大学の出題傾向を徹底分析。正二十面体のような発展的な問題から、漸化式・極限の典型問題まで、合格に必要な全てをカバーします。
📚 一人ひとりに合わせた個別指導
苦手分野の克服から得意分野の更なる伸長まで、あなただけの学習プランを作成。効率的に実力を伸ばします。
✍️ 記述答案の添削指導
京府医のような記述式試験では、解法だけでなく答案の書き方も重要です。採点者に伝わる答案作成法を丁寧に指導します。
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京都府立医科大学をはじめ、全国の国公立医学部・難関私立医学部への合格者を多数輩出しています。
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最後に〜藤原先生からのメッセージ〜
京都府立医科大学の数学は確かに難しいですが、正しい方法で学習を積み重ねれば、必ず攻略できます。
2017年度の第1問のような難問に出会っても、慌てずに対処できる心の余裕と確かな実力。それを身につけるお手伝いを、私たちにさせてください。
皆さんの京都府立医科大学合格を、心から応援しています！
日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介
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※本記事の問題文は、公開されている情報をもとに再構成したものです。正確な問題文は大学公式サイトまたは過去問題集でご確認ください。
※解説は一例であり、他の解法も存在する場合があります。
