神戸大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は神戸大学 2010年度（平成22年度）前期試験 数学の過去問を徹底解説していきます。神戸大学は関西を代表する難関国公立大学であり、その数学入試問題は標準〜やや難レベルの良問が揃っています。2010年度の問題も例外ではなく、微分法、整数論、対数関数、確率、図形と多様な分野から出題されており、数学の総合力が試される内容となっています。

この記事では、各大問の問題文を忠実に再現し、解法のポイントや計算の流れを丁寧に解説します。また、別解や発展的な考え方も紹介しますので、神戸大学を目指す受験生はもちろん、数学力を高めたいすべての方にお役立ていただける内容です。

試験概要・難易度

試験形式

2010年度の出題分野一覧

全体講評

2010年度の神戸大学理系数学は、全体的に標準〜やや難レベルの出題でした。特徴的なのは、各分野からバランスよく出題されている点です。

第1問は三角関数を含む微分の問題で、極値を持たない条件を求めるという典型的なテーマです。しかし、sin 2x の微分や不等式の処理に注意が必要で、計算力が問われます。

第2問は整数問題で、素数の性質を用いた論証問題です。「mnがpの倍数ならばmまたはnはpの倍数」という補題が与えられており、これを活用する発想力が求められます。

第3問は対数関数を含む2曲線の増減・極値の調査と面積計算です。f(x) = (log x)²/x と g(x) = (log x)/x という類似した形の関数を扱うため、計算ミスに注意しながら丁寧に処理する必要があります。

第4問は確率の問題で、カードゲームという設定のもと、「マジックナンバー」という独自のルールを理解し、確率を求める問題です。問題文の読解力と場合分けの力が試されます。

第5問は円に内接する四角形に関する問題で、座標設定と三角関数を組み合わせて解く図形問題です。円に内接する条件から対角の和が180°になることなど、幾何的な性質の理解が必要です。

全体を通して、計算力、論証力、問題文の読解力がバランスよく要求される良問セットと言えます。

大問1：三角関数を含む関数の極値条件

問題

解説・解法のポイント

【方針】

関数が極値をもたないための条件は、導関数 f'(x) が常に0以上、または常に0以下であることです。言い換えると、f'(x) = 0 となる点で符号が変化しなければよいのです。

Step 1：導関数の計算

まず、f(x) を x で微分します。

f(x) = ax + cos x + (1/2) sin 2x

各項を微分すると：

• (ax)' = a
• (cos x)' = -sin x
• ((1/2) sin 2x)' = (1/2) · 2 cos 2x = cos 2x

よって：

f'(x) = a - sin x + cos 2x

Step 2：三角関数の変形

cos 2x を sin x で表すために、二倍角の公式を使います：

cos 2x = 1 - 2sin²x

これを代入すると：

f'(x) = a - sin x + 1 - 2sin²x

f'(x) = -2sin²x - sin x + (a + 1)

Step 3：置換による整理

t = sin x とおくと、-1 ≤ t ≤ 1 の範囲で考えることになります。

f'(x) = -2t² - t + (a + 1)

これを g(t) = -2t² - t + (a + 1) とおきます。

Step 4：極値をもたない条件

f(x) が極値をもたないためには、f'(x) が -1 ≤ t ≤ 1 の範囲で：

• 常に g(t) ≥ 0（f(x) が単調増加）
• または 常に g(t) ≤ 0（f(x) が単調減少）

のいずれかが成り立てばよいです。

Step 5：g(t) の分析

g(t) = -2t² - t + (a + 1) は上に凸の放物線です。

頂点の t 座標は：

t = -(-1)/(2·(-2)) = -1/4

-1/4 は区間 [-1, 1] に含まれるので、この区間での g(t) の最大値は t = -1/4 のときです。

g(-1/4) = -2·(1/16) - (-1/4) + (a + 1) = -1/8 + 1/4 + a + 1 = a + 9/8

また、端点での値は：

• g(-1) = -2·1 - (-1) + (a + 1) = -2 + 1 + a + 1 = a
• g(1) = -2·1 - 1 + (a + 1) = -2 - 1 + a + 1 = a - 2

Step 6：条件の導出

【Case 1】g(t) ≥ 0 が -1 ≤ t ≤ 1 で成り立つ場合

区間での最小値が0以上であればよい。g(t) は上に凸なので、端点で最小値をとります。

g(-1) = a ≥ 0 かつ g(1) = a - 2 ≥ 0

よって a ≥ 2

【Case 2】g(t) ≤ 0 が -1 ≤ t ≤ 1 で成り立つ場合

区間での最大値が0以下であればよい。最大値は頂点で g(-1/4) = a + 9/8 です。

a + 9/8 ≤ 0

よって a ≤ -9/8

答え

別解・発展

【別解：グラフを用いた考察】

g(t) = -2t² - t + (a + 1) = 0 が区間 [-1, 1] に異なる2つの実数解をもつとき、f'(x) は符号を変化させ、f(x) は極値をもちます。

逆に、g(t) = 0 が [-1, 1] に異なる2解をもたない条件を求めればよいのです。

判別式を D とすると：

D = 1 + 8(a + 1) = 8a + 9

D < 0、すなわち a < -9/8 のとき、実数解なしで条件を満たします。

D ≥ 0 のときは、2解が両方とも区間外にあるか、重解が区間内にあるかを調べます。詳細な場合分けにより、上記と同じ答えが得られます。

【発展：なぜこの問題が出題されるのか】

この問題は、「極値をもたない」という条件を「導関数の符号が一定」と言い換える発想が核心です。さらに、三角関数の置換により、2次関数の問題に帰着させる技術も重要です。神戸大学では、このような「条件の言い換え」と「変数変換」を組み合わせた問題が頻出するので、類題で練習しておきましょう。

大問2：素数に関する整数問題

問題

解説・解法のポイント

【方針】

この問題では、問題文で与えられた「mn が p の倍数ならば m または n は p の倍数」という性質（素数の基本性質）を活用します。これは p が素数であることの本質的な性質です。

(1) の解説

【証明】

a + b と ab がともに p の倍数であると仮定します。

ここで、a と b を解にもつ2次方程式を考えます：

t² - (a + b)t + ab = 0

a + b = pk（k は整数）、ab = pl（l は整数）とおくと：

t² - pk·t + pl = 0

この方程式の解が a と b なので：

• a + b = pk ... ①
• ab = pl ... ②

背理法を用います。a, b の少なくとも一方が p の倍数でないと仮定します。

Case 1：a, b がともに p の倍数でない場合

②より ab = pl で、ab は p の倍数です。

問題文の補題より「ab が p の倍数ならば a または b は p の倍数」なので、a または b は p の倍数となり、仮定に矛盾します。

Case 2：a が p の倍数で、b が p の倍数でない場合（またはその逆）

a = pm（m は自然数）とおくと、①より：

pm + b = pk

b = p(k - m)

よって b も p の倍数となり、仮定に矛盾します。

以上より、a と b はともに p の倍数です。 □

(2) の解説

【証明】

aᵖ + bᵖ と aᵖbᵖ がともに p の倍数であると仮定します。

(1) の結果を A = aᵖ、B = bᵖ として適用します。

A + B = aᵖ + bᵖ が p の倍数

AB = aᵖbᵖ = (ab)ᵖ が p の倍数

(1) より、A = aᵖ と B = bᵖ はともに p の倍数です。

aᵖ が p の倍数であることから、補題を繰り返し適用します：

aᵖ = a · a · a · ... · a（p 個の積）が p の倍数

⟹ a · (aᵖ⁻¹) が p の倍数

⟹ a または aᵖ⁻¹ が p の倍数

これを繰り返すと、最終的に a が p の倍数であることがわかります。

同様にして、b も p の倍数です。 □

(3) の解説

【証明】

aᵖ + bᵖ が p² の倍数であると仮定します。

フェルマーの小定理を用います：

p が素数で、a が p の倍数でないとき、aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)

すなわち、aᵖ ≡ a (mod p)

実は、a が p の倍数であっても aᵖ ≡ a (mod p) は成り立ちます（両辺とも p の倍数）。

したがって、任意の整数 a に対して：

aᵖ ≡ a (mod p)

よって：

aᵖ + bᵖ ≡ a + b (mod p)

aᵖ + bᵖ が p² の倍数（したがって p の倍数）なので：

a + b ≡ 0 (mod p)

すなわち、a + b は p の倍数です。 □

別解・発展

【(1) の別解：直接的証明】

ab が p の倍数より、補題から a または b が p の倍数。

a が p の倍数とすると、a + b が p の倍数より b も p の倍数。

b が p の倍数の場合も同様。いずれにせよ a, b ともに p の倍数。

【発展：二項定理との関係】

(3) では、より直接的に二項定理を使うこともできます：

aᵖ + bᵖ = (a + b)ᵖ - Σᵢ₌₁ᵖ⁻¹ ₚCᵢ aⁱbᵖ⁻ⁱ

ここで、1 ≤ i ≤ p-1 のとき ₚCᵢ は p の倍数であることを使えば、同様の結論が得られます。

大問3：対数関数を含む曲線と面積

問題

解説・解法のポイント

(1) の解説：共有点の座標

f(x) = g(x) を解きます：

(log x)²/x = (log x)/x

x > 0 より x ≠ 0 なので、両辺に x をかけて：

(log x)² = log x

(log x)² - log x = 0

log x (log x - 1) = 0

よって：

• log x = 0 ⟹ x = 1
• log x = 1 ⟹ x = e

x = 1 のとき：f(1) = g(1) = 0

x = e のとき：f(e) = 1/e、g(e) = 1/e

(2) の解説：増減と極値

【f(x) = (log x)²/x の増減】

商の微分法を用います：

f'(x) = {2(log x)·(1/x)·x - (log x)²·1}/x²

= {2 log x - (log x)²}/x²

= log x (2 - log x)/x²

x > 0 のとき x² > 0 なので、f'(x) の符号は log x (2 - log x) で決まります。

f(x) の極値：

• x = 1 で極小値 0
• x = e² で極大値 f(e²) = (log e²)²/e² = 4/e²

【g(x) = (log x)/x の増減】

g'(x) = {(1/x)·x - log x·1}/x² = (1 - log x)/x²

g'(x) の符号は 1 - log x で決まります。

g(x) の極値：

• x = e で極大値 g(e) = 1/e

【グラフの概形】

両関数とも x → +0 で −∞ に発散し（実際は f(x) → 0, g(x) → 0に収束）、x → ∞ で 0 に収束します。

※より詳しくは、0 < x < 1 で log x 1 で log x > 0 であることに注意してグラフを描きます。

(3) の解説：面積の計算

区間 1 ≤ x ≤ e において、(1)より両曲線は x = 1 と x = e で交わります。

この区間で f(x) と g(x) の大小関係を調べます：

f(x) - g(x) = (log x)²/x - (log x)/x = (log x)(log x - 1)/x

1 < x < e のとき：

• log x > 0（∵ x > 1）
• log x - 1 < 0（∵ x < e より log x < 1）
• x > 0

よって f(x) - g(x) < 0、すなわち f(x) < g(x) が成り立ちます。

したがって、求める面積 S は：

S = ∫₁ᵉ {g(x) - f(x)} dx = ∫₁ᵉ {(log x)/x - (log x)²/x} dx

【積分計算】

t = log x とおくと、dt = (1/x)dx

x = 1 のとき t = 0、x = e のとき t = 1

S = ∫₀¹ (t - t²) dt

= [t²/2 - t³/3]₀¹

= (1/2 - 1/3) - (0 - 0)

= 1/2 - 1/3

= 1/6

別解・発展

【別解：部分積分を用いる方法】

置換せずに直接積分することも可能です。

∫(log x)/x dx において、(log x)' = 1/x なので：

∫(log x)/x dx = ∫(log x)·(log x)' dx = (log x)²/2 + C

∫(log x)²/x dx = ∫(log x)²·(log x)' dx = (log x)³/3 + C

よって：

S = [(log x)²/2 - (log x)³/3]₁ᵉ

= {(1)²/2 - (1)³/3} - {(0)²/2 - (0)³/3}

= 1/2 - 1/3 = 1/6

【発展：極限の確認】

グラフを描く際、x → +0 での挙動も確認しておきましょう。

• lim(x→+0) f(x) = lim(x→+0) (log x)²/x：分子は +∞、分母は +0 なので +∞
• lim(x→+0) g(x) = lim(x→+0) (log x)/x：分子は −∞、分母は +0 なので −∞

※実際にはロピタルの定理などで詳しく調べると、どちらも 0 に収束することがわかります。

大問4：カードゲームの確率（マジックナンバー）

問題

解説・解法のポイント

【マジックナンバーの特徴】

マジックナンバー 0, 3, 6, 9 は「3の倍数」です。これに気づくと、問題の見通しが良くなります。

カード 1, 2, 3, 4 の合計は 1 + 2 + 3 + 4 = 10 で、3の倍数ではありません。したがって、最後まで取り出せれば合計は10となり、マジックナンバーにはなりません。

(1) の解説

1枚目が「1」のとき、累積和の推移を追跡します。

【1枚目】カード1を引く → 累積和 = 1（マジックナンバーでない）✓

残りのカードは 2, 3, 4 で、これらを引く順序は 3! = 6 通りです。

各順序について、累積和がマジックナンバーになるかチェックします：

勝つパターンは 3 通り、全パターンは 6 通りです。

(2) の解説

1枚目のカードの数字で場合分けします。

【1枚目が1の場合】

(1)より、勝つ確率は 1/2

【1枚目が2の場合】

累積和 = 2（マジックナンバーでない）

残り 1, 3, 4 の順列を調べます：

勝つパターン：0 通り → 勝つ確率 = 0

【1枚目が3の場合】

累積和 = 3（マジックナンバー！）→ 即負け

勝つ確率 = 0

【1枚目が4の場合】

累積和 = 4（マジックナンバーでない）

残り 1, 2, 3 の順列を調べます：

勝つパターン：3 通り → 勝つ確率 = 3/6 = 1/2

【全体の勝つ確率】

1枚目の選び方は各 1/4 の確率なので：

P(勝ち) = (1/4)·(1/2) + (1/4)·0 + (1/4)·0 + (1/4)·(1/2)

= 1/8 + 0 + 0 + 1/8 = 2/8 = 1/4

(3) の解説

条件付き確率を求めます。

A：1枚目が1で勝つ事象

B：2枚目が2である事象

求める条件付き確率は P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

(1)の表から：

• P(A) = (1枚目が1で勝つパターン数)/(1枚目が1の全パターン数) = 3/6 = 1/2
• A∩B：1枚目が1、2枚目が2で勝つパターン

(1)の表を見ると、2枚目が2のパターン（1→2→...）は：

• 1, 2, 3, 4：累積 1→3→6→10 → 負け
• 1, 2, 4, 3：累積 1→3→7→10 → 負け

どちらも負けなので、A∩B のパターン数は 0 です。

P(A∩B) = 0/6 = 0

よって：

P(B|A) = 0/(1/2) = 0

別解・発展

【マジックナンバーの法則】

マジックナンバーが3の倍数であることを活用すると、より効率的に解けます。

カード 1, 2, 3, 4 を mod 3 で見ると 1, 2, 0, 1 です。

累積和が 0 (mod 3) になるタイミングで負けるので、この観点から場合分けできます。

【発展：一般化】

カードの枚数や数字を変えた場合の確率を考えることで、組合せ論的な洞察が深まります。

大問5：円に内接する四角形

問題

解説・解法のポイント

【問題の設定を理解する】

まず、与えられた情報を整理します：

• 点 A(1, √3) は原点中心の円上にある
• 円の半径 r = OA = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2
• OA = OD = 2（半径）
• 四角形 ABCD は円に内接
• ∠AOD = θ

点 A(1, √3) の偏角は arctan(√3/1) = π/3 です。

(1) の解説

点 C は円上にあるので、OC = 2（半径）です。

C の x 座標が a なので、C = (a, y_C) とすると：

a² + y_C² = 4

OC の長さ：

または、a を用いて表すなら OC = √(a² + (4 - a²)) = 2 ですが、これは円上の点であることから自明です。

OB = OC の証明：

B も円上の点なので、OB = 2（半径）= OC

よって、OB と OC の長さは等しい。 □

(2) の解説

円に内接する四角形の性質を使います。

点 A の偏角は π/3 です。

∠AOD = θ で、D は A から角度 θ だけ回転した位置にあります。

四角形 ABCD が円に内接するとき、対角の和は π です：

∠DAB + ∠BCD = π

また、円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は中心角の半分です。

点の配置を考えると、A, B, C, D は円周上にこの順で並んでいます。

対称性から、∠AOD = θ のとき、点 D の偏角は π/3 + θ です。

四角形が円に内接する条件と配置から：

• A の偏角：π/3
• D の偏角：π/3 + θ
• B の偏角：π/3 - α（ある角度 α）
• C の偏角：π/3 + θ + α

対角の和が π になる条件から、C の偏角を求めると：

C の偏角 = π/3 + θ + (π - θ)/2 = π/3 + π/2 + θ/2

C の x 座標は：

a = 2 cos(C の偏角)

具体的な配置を整理すると：

(3) の解説

四角形 ABCD の面積は、三角形に分割して求めます。

S = △OAB + △OBC + △OCD + △ODA

または

S = △OAC + △OCA（対角線で分割）

各頂点の座標を偏角で表すと：

• A：偏角 π/3、座標 (2cos(π/3), 2sin(π/3)) = (1, √3)
• D：偏角 π/3 + θ
• B, C：四角形の条件から決定

三角形 OAD の面積：

△OAD = (1/2)·OA·OD·sin θ = (1/2)·2·2·sin θ = 2 sin θ

同様に他の三角形の面積を計算し、合計すると：

(4) の解説

S = 4 sin θ + 2 sin 2θ = 4 sin θ + 4 sin θ cos θ = 4 sin θ (1 + cos θ)

dS/dθ = 4 cos θ (1 + cos θ) + 4 sin θ (- sin θ)

= 4 cos θ + 4 cos²θ - 4 sin²θ

= 4 cos θ + 4(cos²θ - sin²θ)

= 4 cos θ + 4 cos 2θ

= 4(cos θ + cos 2θ)

cos θ + cos 2θ = 0 を解きます：

cos θ + 2cos²θ - 1 = 0

2cos²θ + cos θ - 1 = 0

(2cos θ - 1)(cos θ + 1) = 0

cos θ = 1/2 または cos θ = -1

0 < θ < π より：

• cos θ = 1/2 → θ = π/3
• cos θ = -1 → θ = π（境界で除外）

θ = π/3 のとき：

S = 4 sin(π/3)(1 + cos(π/3)) = 4·(√3/2)·(1 + 1/2) = 4·(√3/2)·(3/2) = 3√3

別解・発展

【別解：正六角形との関係】

θ = π/3 のとき、四角形 ABCD は正六角形の4頂点を結んだ形になります。このとき面積が最大になるのは、対称性から直感的にも理解できます。

【発展：トレミーの定理】

円に内接する四角形には、トレミーの定理「AC·BD = AB·CD + AD·BC」が成り立ちます。この定理を使うと、対角線の長さの関係などを効率的に導けます。

この年度の重要テーマと対策

1. 微分法の極値条件（第1問）

「極値をもたない」という条件を「導関数が常に非負または常に非正」と言い換える技術は必須です。さらに、三角関数を含む場合は sin x = t などの置換で2次関数に帰着させる方法をマスターしましょう。

対策ポイント：

• 二倍角・半角の公式を使いこなす
• 置換後の変域を正確に把握する
• 2次関数の最大・最小問題に習熟する

2. 整数問題の論証（第2問）

素数の性質「pが素数のとき、abがpの倍数ならばaまたはbはpの倍数」は整数問題の基本です。この性質を使った証明問題は神戸大学でよく出題されます。

対策ポイント：

• 背理法や対偶を使った証明に慣れる
• フェルマーの小定理を理解しておく
• mod（合同式）の計算に習熟する

3. 対数関数の微積分（第3問）

f(x) = (log x)ⁿ/x の形の関数は頻出です。微分して増減を調べ、グラフを描き、面積を求める一連の流れを確実にできるようにしましょう。

対策ポイント：

• 商の微分法を正確に適用する
• log x = t の置換による積分に慣れる
• グラフの概形を素早く描けるようにする

4. 確率の問題設定理解（第4問）

独自ルールのゲームでは、まず問題文を正確に理解することが大切です。すべての場合を書き出す「樹形図」や「表」を活用しましょう。

対策ポイント：

• 問題文を丁寧に読み、ルールを正確に把握する
• 小さい場合から実験して法則を見つける
• 条件付き確率の公式 P(B|A) = P(A∩B)/P(A) を正確に使う
• 「3の倍数」など、数の性質に着目して効率化する

5. 円に内接する四角形（第5問）

円に内接する四角形には「対角の和が180°」という重要な性質があります。座標と三角関数を組み合わせた図形問題では、この性質を活用しましょう。

対策ポイント：

• 円周角の定理、中心角と円周角の関係を復習する
• 三角形の面積公式 S = (1/2)ab sin C を使いこなす
• 三角関数の合成と最大・最小問題に慣れる
• パラメータ（θなど）で座標を表す技術を磨く

神戸大学数学の傾向と総合対策

神戸大学の数学は、以下の特徴があります：

1. 標準〜やや難レベルの良問：奇抜な問題は少なく、教科書の内容を深く理解していれば対応できる
2. 計算量がやや多い：正確かつ迅速な計算力が求められる
3. 論証問題の出題：整数や不等式の証明問題が定期的に出題される
4. 融合問題：複数分野を組み合わせた問題（微分＋三角関数、図形＋座標など）が多い

効果的な対策：

• 教科書の例題・章末問題を完璧にする
• 標準的な問題集（青チャート、Focus Goldなど）で典型問題を網羅する
• 過去問を10年分以上解き、出題傾向を把握する
• 時間を計って演習し、120分で5問を解く感覚を身につける

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：極値条件（第1問の類題）

解答・解説

【解答】

f'(x) = a + cos x - cos 2x を計算します。

cos 2x = 2cos²x - 1 より：

f'(x) = a + cos x - (2cos²x - 1) = -2cos²x + cos x + (a + 1)

t = cos x とおくと、-1 ≤ t ≤ 1 で：

g(t) = -2t² + t + (a + 1)

f(x) が極値をもつ ⟺ f'(x) = 0 が異なる実数解をもち、その解で符号が変化する

⟺ g(t) = 0 が -1 < t < 1 に少なくとも1つの解をもつ（端点は含まない）

g(t) は上に凸の放物線で、頂点の t 座標は t = 1/4（区間内）。

g(-1) = -2 - 1 + a + 1 = a - 2

g(1) = -2 + 1 + a + 1 = a

g(1/4) = -2(1/16) + 1/4 + a + 1 = a + 9/8

g(t) = 0 が (-1, 1) に解をもつ条件は：

• g(-1)・g(1) < 0、または
• g(1/4) > 0 かつ（g(-1) < 0 または g(1) < 0）

整理すると：

(a - 2)・a 0 かつ a 0 かつ a - 2 < 0）

0 < a -9/8 かつ a < 2）

条件を統合すると：

【ポイント】本問では「極値をもつ」条件なので、第1問とは逆の条件を求めます。置換後の2次関数が区間内で符号変化する条件を丁寧に調べましょう。

練習問題2：整数の証明問題（第2問の類題）

解答・解説

【(1) の解答】

対偶「n が偶数ならば n² - 1 は8の倍数でない」を示します。

n = 2k（k は正の整数）とおくと：

n² - 1 = 4k² - 1

これを8で割ると：

• k = 1 のとき：4·1 - 1 = 3（8の倍数でない）
• k = 2 のとき：4·4 - 1 = 15（8の倍数でない）

一般に 4k² - 1 ≡ 4k² - 1 (mod 8)

k が偶数なら 4k² ≡ 0 (mod 8) より 4k² - 1 ≡ -1 ≡ 7 (mod 8)

k が奇数なら 4k² ≡ 4 (mod 8) より 4k² - 1 ≡ 3 (mod 8)

いずれも8の倍数ではないので、対偶が成り立ち、元の命題も成り立つ。 □

【(2) の解答】

n を奇数とし、n = 2m + 1（m は0以上の整数）とおくと：

n² - 1 = (2m + 1)² - 1 = 4m² + 4m + 1 - 1 = 4m² + 4m = 4m(m + 1)

m と m + 1 は連続する整数なので、どちらか一方は偶数です。

よって m(m + 1) は2の倍数であり、4m(m + 1) は8の倍数です。 □

【(3) の解答】

n⁴ - 1 = (n² - 1)(n² + 1)

n が偶数のとき：n² は4の倍数、n² - 1 は奇数、n² + 1 も奇数

よって n⁴ - 1 は奇数×奇数 = 奇数で、16の倍数でない。

n が奇数のとき：(2)より n² - 1 は8の倍数

また、n² = (2m+1)² = 4m² + 4m + 1 なので n² + 1 = 4m² + 4m + 2 = 2(2m² + 2m + 1)

2m² + 2m + 1 = 2m(m+1) + 1 は奇数（∵ m(m+1)は偶数）なので、n² + 1 ≡ 2 (mod 4)

よって n⁴ - 1 = (n² - 1)(n² + 1) = 8k · 2l = 16kl（k, l は整数で l は奇数）

したがって n⁴ - 1 は16の倍数。

練習問題3：確率と条件付き確率（第4問の類題）

解答・解説

【(1) の解答】

2枚目で終了 ⟺ 1枚目の和 < 5 かつ 1枚目+2枚目の和 ≥ 5

1枚目はどのカードでも和 < 5 を満たす（最大で5だが、5は等号を含まない）

あ、条件を確認すると「5以上」なので、1枚目が5のとき、和=5≥5 で1枚目で終了します。

1枚目で終了：1枚目が5のとき → 確率 1/5

2枚目で終了：1枚目が1,2,3,4のいずれかで、1枚目+2枚目 ≥ 5

• 1枚目が1のとき：2枚目が4,5で終了 → 2通り（5は除外済みなので4のみ？いや1枚目が1なので5は残っている）→ 4,5の2通り
• 1枚目が2のとき：2枚目が3,4,5で終了 → 3通り
• 1枚目が3のとき：2枚目が2,4,5で終了 → 3通り
• 1枚目が4のとき：2枚目が1,2,3,5で終了 → 4通り

2枚目で終了する場合の数：2 + 3 + 3 + 4 = 12

1枚目と2枚目の選び方：5 × 4 = 20通り

2枚目で終了する確率 = 12/20 = 3/5

【(2) の解答】

3枚目で終了 ⟺ 2枚目までの和 < 5 かつ 3枚目までの和 ≥ 5

2枚目までの和 < 5 となる組み合わせ（1枚目≠5）：

• (1,2) → 和3
• (1,3) → 和4
• (2,1) → 和3
• (3,1) → 和4

これらについて、3枚目で和≥5となるかを確認：

• (1,2,?) 和3 → 3枚目が2以上で終了。残り3,4,5 → すべて終了（3通り）
• (1,3,?) 和4 → 3枚目が1以上で終了。残り2,4,5 → すべて終了（3通り）
• (2,1,?) 和3 → 3枚目が2以上で終了。残り3,4,5 → すべて終了（3通り）
• (3,1,?) 和4 → 3枚目が1以上で終了。残り2,4,5 → すべて終了（3通り）

3枚目で終了する順列の数：4 × 3 = 12

全順列：5! = 120

3枚目で終了する確率 = 12/120 = 1/10

【(3) の解答】

終了時の和が5となるパターン：

• 1枚目で終了（和=5）：1枚目が5 → 確率 1/5
• 2枚目で終了（和=5）：(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4通り
• 3枚目で終了（和=5）：2枚目まで和<5、3枚目で和=5
  • (1,2,2)は不可（同じカードなし）
  • (1,3,1)は不可
  • (2,1,2)は不可
  • (3,1,1)は不可

  → 0通り

和=5で終了する確率 = 1/5 + 4/20 = 1/5 + 1/5 = 2/5

まとめ：2010年度神戸大学数学を振り返って

2010年度の神戸大学数学は、微分法、整数論、対数関数の微積分、確率、図形と方程式という5つの主要分野からバランスよく出題されました。

この年度で特に重要だった技術：

1. 置換による帰着：三角関数の問題を2次関数に帰着させる（第1問）
2. 素数の基本性質の活用：「abがpの倍数⟹aまたはbがpの倍数」を繰り返し使う（第2問）
3. log x = t の置換積分：対数関数を含む積分の定石（第3問）
4. 場合分けと樹形図：すべての場合を丁寧に調べる（第4問）
5. 円周角の定理と面積公式：図形問題の基本（第5問）

これらの技術は、神戸大学に限らず多くの難関大学で必要とされるものです。本記事の解説と練習問題を通じて、しっかりと身につけてください。

日本数学塾・数強塾で神戸大学合格を目指そう

ここまで2010年度の神戸大学数学を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

神戸大学の数学は、基礎の徹底理解と標準問題の反復演習、そして過去問による実戦練習が合格への鍵です。一人で勉強していると、自分の弱点に気づきにくかったり、効率の良い勉強法がわからなかったりすることもあるでしょう。

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この記事が神戸大学を目指す受験生の皆さんのお役に立てば幸いです。質問や感想があれば、お気軽にお問い合わせください。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師 藤原進之介